新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习8.2数形结合思想(含答案解析)

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新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习8.1函数与方程思想(含答案解析)

第一部分知识复习专题专题八思想方法专题第一讲函数与方程思想一、选择题1. (2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ．当0≤x ＜π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：由题意，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.故选A. 答案：A2．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为( )A ．{a|1＜a≤2}B ．{a|a ≥2}C ．{a|2≤a ≤3}D ．{2，3}解析：依题意得y ＝a 3x ，当x ∈[a ，2a]时，y ＝a 3x ∈⎣⎡⎦⎤12a 2，a 2 [a ，a 2]，因此有12a 2≥a ，又a ＞1，由此解得a≥2.故选B.答案：B3．对任意a ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是( )A.{}x |1＜x ＜3B.{}x |x ＜1或x ＞3C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＜1或x ＞2解析：由f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0得 a(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.令g(a)＝a(x －2)＋x 2－4x ＋4，由不等式f (x)>0恒成立，即g(a)>0在[－1，1]上恒成立．∴有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－（x －2）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）＋x 2－4x ＋4>0. 解得x<1或x>3. 答案：B4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其一交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32B. 3C.72D ．4 解析：如图，令|F 1P|＝r 1，|F 2P|＝r 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ＝4，r 22－r 21＝（2c ）2＝12⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝3 r 2＝72.答案：C5．(2014·大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f (－x)＝－f(x), 又因为f(x ＋2)是偶函数，则f(－x ＋2)＝f(x ＋2)，所以f(8)＝f(6＋2)＝f(－6＋2)＝f(－4)＝－f(4)，而f(4)＝f(2＋2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0，f(8)＝0，同理f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝－f(5)；而f(5)＝(3＋2)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(9)＝1，所以f(8)＋f(9)＝1.故选D.答案：D6．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g(x)＝x 2＋ln(x ＋a)图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝⎛⎭⎫ －1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e解析：由题可得存在x 0∈(－∞，0)满足f(x 0)＝g(－x 0) x 20＋ex 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a) ex 0－ln(－x 0＋a)－12＝0，令h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12，因为函数y ＝e x 和y ＝－ln(－x ＋a)在定义域内都是单调递增的，所以函数h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12在定义域内是单调递增的，又因为x 趋近于－∞时，函数h(x)＜0且h(x)＝0在(－∞，0)上有解(即函数h(x)有零点)，所以h(0)＝e 0－ln(0＋a)－12＞0 ln a ＜ln e a ＜ e.故选B.答案：B二、填空题7．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：令f(x)＝(2－2－|x －2|)2，∵－|x －2|≤0，∴0<2－|x －2|≤1.∴f(x)∈[1，4)．∵方程有实根， ∴1≤2＋a<4，解得－1≤a<2. 答案：[－1，2)8. (2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．解析：由4a ＝2得a ＝12，所以lg x ＝12，解得x ＝10.答案：10三、解答题9．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1，a≠0，f(1)＝1且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的表达式．解析：∵f(x)＝2bxax－1，f(1)＝1，∴2ba－1＝1.∴a＝2b＋1.又f(x)＝2x，即2bxax－1＝2x只有一个解，也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解．∴Δ＝[－2(1＋b)]2－4×2a×0＝0，即(1＋b)2＝0.得b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝2xx＋1.10．某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2OA＝4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．解析：以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝2py，由C(2，4)代入得：p＝1 2，所以曲线段OC的方程为：y＝x2(x∈[0，2])．A(－2，0)，B(－2，4)，设P(x，x2)(x∈[0，2])在OC上，过P作PQ⊥AB于Q，PN ⊥BC于N，故PQ ＝2＋x ，PN ＝4－x 2，则矩形商业楼区的面积 S ＝(2＋x)(4－x 2)(x ∈[0，2])．S ＝－x 3－2x 2＋4x ＋8，令S′＝－3x 2－4x ＋4＝0得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数，所以当x ＝23时，S 取得最大值，此时PQ ＝2＋x ＝83，PN ＝4－x 2＝329，S max ＝83×329＝25627(km 2)．故该矩形商业楼区规划成长为329 km ，宽为83 km 时，用地面积最大为25627km 2.11．进入2007年以来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加．某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽x 不少于5米，不多于a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元．问：当猪舍的宽x 定为多少时，该养殖户投入的资金最少？最少是多少元？解析：设该养殖户投入资金为y 元，易知猪舍的长为200x米， ∵y ＝200×10＋200×15＋⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×20＋4x ×10＝80⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋5 000(5≤x≤a)， ∵函数f(x)＝x ＋100x在[5，10]上单调递减，在[10，＋∞)上单调递增， ∴当a≥10时，y min ＝6 600，此时x ＝10；当5≤a ＜10时，y min ＝80⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋5 000，此时x ＝a. ∴若a≥10米，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6 600元；若5≤a ＜10米，猪舍的宽就定为a 米，该养殖户投入的资金最少是[80⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋5 000]元．12．直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A ，B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 2＝1(x≤－1)消去y ，得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.①(联立方程是解决交点问题的一般方法)因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程①有两个不相等的负实数根．所以⎩⎨⎧Δ＝4k 2＋8（1－k 2）＞0，x 1＋x 2＝2k 1－k 2＜0，x 1·x 2＝－21－k2＞0，解得1＜k ＜ 2.设M(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝k1－k2，y 0＝kx 0＋1＝11－k 2.由P(－2，0)，M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2，Q(0，b)三点共线，得出b ＝2－2k 2＋k ＋2，……(构造出b 和k 的函数关系式)设f(k)＝－2k 2＋k ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫k －142＋178，…(使函数更加清晰) 则f(k)在(1，2)上为减函数， ∴f(2)＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0. ∴－(2－2)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1. ∴b ＜－2－2或b ＞2.∴b 的取值范围是(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．13．若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解析：解法一令2x ＝t(t ＞0)，则原方程可化为 t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*)问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a 的取值范围． ①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0⎩⎪⎨⎪⎧a≤2－22或a≥2＋22，a ＜0，a ＞－1，即－1＜a≤2－22，②当方程(*)的根一个在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上时，令f(t)＝t 2＋at ＋a ＋1得f(0)≤0，即a≤－1. 由①②知满足条件的a 的取值范围为 (－∞，2－22]．解法二令t ＝2x (t ＞0)，则原方程可化为t 2＋at ＋a ＋1＝0. 变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－（t 2－1）＋21＋t＝－⎣⎡⎦⎤（t －1）＋2t ＋1＝－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1－2≤－(22－2)＝2－2 2.当且仅当t ＝2－1时取等号．所以a 的取值范围是(－∞，2－22)．。

高三复习数学82_数形结合思想 (2)(有答案)

8.2 数形结合思想一、选择题1. 不等式x 2−log a x <0，在x ∈(0,12)时恒成立，则a 的取值范围是（） A.0<a <1 B.116≤a <1 C.a >1 D.0<a ≤1162. 已知f (x )={x +3,x ≤1，−x 2+2x +3,x >1，则函数g (x )=f (x )−e x 的零点个数为( )A.1B.2C.3D.43. 已知函数f (x )={x +1,x ≤0，log 2x,x >0，则函数y =f(f (x ))+1的零点个数是（）A.4B.3C.2D.14. 已知平面向量a 、b ,|a |=1,|b |=√3，且|2a +b |=√7，则向量a 与向量a +b 的夹角为（） A.π2B.π3C.π6D.π5. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点）是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为（） A.2−√3 B.√3−1C.√22D.√326. 已知函数f (x )={|lg x|,0<x ≤10，−12x +6,x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，则abc 的取值范围是（） A.(1,10) B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)二、填空题如果函数y =1+√4−x 2(x|≤2)的图象与函数y =k (x −2)+4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．已知1a+2b=1(a >0,b >0)，当ab 取最小值时，方程√2−√2x =√b −bax|x|的实数解的个数是________．已知函数f(x)={e −x −2,(x ≤0)2ax −1,(x >0) (a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是−1； ②函数f(x)在R 上是单调函数；③若f(x)>0在[12,+∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2．其中正确命题的序号是________．三、解答题若方程lg (−x 2+3x −m )=lg (3−x )在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．已知a >0，函数f (x )=x|x −a|+1(x ∈R ) 当a =1时，求所有使f (x )=x 成立的x 的值；当a ∈(0,3)时，求函数y =f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．设函数F (x )={f (x ),x ≤0g (x ),x >0'其中f (x )=ax 3−3ax ，g (x )=12x 2−ln x ，方程F (x )=a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析 8.2 数形结合思想一、选择题 1.【答案】 B【考点】函数恒成立问题基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】不等式x 2−log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且(12)2≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1．2.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：函数g (x )=f (x )−e x 的零点个数即为函数f (x )与y =e x 的图象交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y =e x 的图象，由图象可知两个函数图象有两个交点， ∴ 函数g (x )=f (x )−e x 有两个零点．故选B. 3.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】令x +1=0，得x =−1，令log 2x =0，得x =1；令F (x )=f(f (x ))+1，则F (x )={x +3,x ≤−1，log 2(x +1)+1,−1<x ≤0，log 2x +2,0<x ≤1，log 2x +2,0<x >1，作出函数y =F (x )的图象如图所示，有4个零点．4.【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】∵ |2a +b |2=4|a |2+4a ⋅b +|b |2=7，|a |=1，|b |=√3，∴ 4+4a ⋅b +3=7，即a ⋅b =0， ∴ a ⊥b ．如图所示，a 与a +b 的夹角为∠COA ，∵tan∠COA=|CA||OA|=√31，∴∠COA=π3，即a与a+b的夹角为π3.5.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】如图，易知|MF2|=c，∵|MF1|+|MF2|=2a，∴|MF1|=2a−c．在△F1MF2中，∵MF1⊥MF2，又|F1F2|=2c，∴(2a−c)2+c2=(2c)2，即2a2−2ac−c2=0．方程两边同除以−a2得e2+2e−2=0，解得e=√3−1．6.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】画出函数f(x)的图象，再画出直线y=d(0<d<1)，如图所示，直观上知0<a< 1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|=|lg b|，得−lg a=lg b，从而得ab=1，则10< abc<12．二、填空题【答案】(512, 3 4 ]【考点】函数的图象根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】函数y=1+√4−x2的值域为[1,3]，将y−1=√4−x2两边平方，得x2+(y−1)2= 4，考虑到函数的值域，函数y=1+√4−x2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(−2,1)和点B(2,1)；函数y=k(x−2)+4是过定点P(2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k的范围是(512,34 ]．【答案】1【考点】基本不等式根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】1 ab =12(1a⋅2b)≤12⋅(12+2b2)2=18，当1a=2b，即a=2,b=4时等号成立，则方程为1−x=√2−x|x|，在同一坐标系作出y1=−(x−1)和y2=√2−x|x|的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为．【答案】 ①③④ 【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】如图所示，作出函数f (x )的图象，显然f (x )在(−∞,0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)=−1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0,+∞)上单调递增，故函数f (x )在(12,+∞)上的最小值为f (12)=2a ×12−1=a −1，所以若f (x )>0在[12,+∞)上恒成立，则a −1>0，即a >1，故③正确；由图象可知在(−∞,0)上对任意x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2成立，故④正确．三、解答题【答案】m =1或−3<m ≤0 【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】原方程变形为{3−x >0−x 2+3x −m =3−x即：{3−x >0(x −2)2=1−m设曲线y 1=(x −2)2,x ∈(0,3)和直线y 2=1−m ，图象如图所示．由图可知：①当1−m =0时，有唯一解，m =1；②当1≤1−m <4时，有唯一解，即−3<m ≤0， ∴ m =1或−3<m ≤0．此题也可设曲线y 1=−(x −2)2+1,x ∈(0,3)和直线y 2=m 后画出图象求解．【答案】x =−1或x =1 f (x )min =2a −3【考点】绝对值不等式的解法与证明函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解因为x|x −1|+1=x ，所以x =−1或x =1．f (x )={x 2−ax +1,x ≥a ，−x 2+ax +1,x <a ，（其示意图如图所示）①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )=x 2−ax +1，对称轴是x =a 2≤12<1，所以函数y =f (x )在区间[1,2]上递增， f (x )min =f (1)=2−a ；②当1<a ≤2时，当x =a 时函数f (x )min =f (a )=1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )=−x 2+ax +1，对称轴是x =a 2∈(1,32),f (1)=a,f (2)=2a −3．因为(2a −3)−a =a −3<0，所以函数f (x )min =f (2)=2a −3．【答案】(√22,2) 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解 x ∈(0,1)时，g ′(x )=x −1x <0,x ∈(1,+∞)时，g ′(x )=x −1x >0，所以当x =1时，g (x )取极小值g(1)=12．（1）当a =0时，方程F (x )=a 2不可能有4个解；（2）当a <0时，因为f ′(x )=3a (x 2−1)，若x ∈(−∞,0]时，f ′(x )=3a (x 2−1)，当x ∈(−1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x )<0，所以当x =−1时，f (x )取得极小值f (−1)=2a ，又f (0)=0，所以F (x )的图象如图（1）所示，从图象可以看出F (x )=a 2不可能有4个解．（3）当a >0时，当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x )>0，当x ∈(−1,0]时，f ′(x )<0，所以当x =−1时，f (x )取得极大值f (−1)=2a ，又f (0)=0，所以F (x )的图象如图（2）所示，从图象看出方程F (x )=a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是(√22,2)．。

高中总复习二轮理科数学精品课件第一部分三、数形结合思想

<2
解析: ∵ 2
∴方程x2+ax+2b=0一根在区间[0,1)内,另一根在区间(1,2]内,即函数
f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.
(0) ≥ 0,
≥ 0,
∴ (1) < 0, 即 + 2 + 1 < 0,作出可行域,如图中阴影部分所示,
3.实现数形结合的渠道
(1)实数与数轴上点的对应;(2)函数与图象的对应;(3)曲线与方程的对应;(4)
以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,如复数、三角、
空间点的坐标等.
高频考点•探究突破
命题热点一利用数形结合求函数零点的个数
【思考】如何利用函数的图象解决函数零点的个数问题?
当a+1>0,即a>-1时,令y'>0,得x∈(a+1,+∞),函数y=f(x)-ax-b单调递增,令
y'<0,得x∈(0,a+1),函数y=f(x)-ax-b单调递减;函数y=f(x)-ax-b最多有2个零
点.
根据题意,函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点⇔函数y=f(x)-ax-b在区间(-∞,0)上有
函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程(特
别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数,其基本步
骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要
作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的
图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
, < 0,
对点训练1已知a,b∈R,函数f(x)= 1 3 - 1 ( + 1) 2 + , ≥ 0, 若函数

2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第一部分第2讲数形结合思想

由图可知，－3≤t1<－2，t2> .
设g(t)＝t2－2t＋a，则
解得－15≤a<－8，故选A.
答案：A
方法点睛
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象的直观性，写出满足的条件，进而求出参数的取值范围．
调研三利用数形结合思想求解平面向量问题
A．①B．②
C．①②D．①②③
解析：曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2< ，满足条件的整数x可取－1,0,1.
当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1,0)，(－1,1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0,1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)．故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋，∴x2＋y2≤2，∴ ≤ ，当且仅当|x|＝y，即或时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为，故②正确；顺次连接(－1,0)，(－1，1)，(0,1)，(1,1)，(1,0)，(0，－1)，(－1,0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确，故选C.
当x＝0时，h(0)＝－a.
由图象可知要满足y＝f(x)与h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1，故选C.
答案：C
(3)[2019·山东四校联考]已知函数f(x)＝当a<0时，f2(x)－2f(x)＋a＝0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是()

高三复习数学82_数形结合思(有答案)

8.2 数形结合思想一、解答题。

1. 若f (x )+1=1f (x+1)，当x ∈[0,1]时，f (x )=x ，若在区间（−1,1]内g (x )=f (x )−mx −m 有两个零点，则实数m 的取值范围是（） A.[0,12)B.[12,+∞)C.[0,13)D.(0,12]2. 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 都有f (x +2)=f (2−x )，当x ∈(−2,0]时，f (x )=(√22)x−1，则关于x 的方程f (x )−log 8(x +2)=0在区间(−2,6)上根的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.43. 使log 2(−x )<x +1 成立的x 的取值范围是________.4. 若不等式|x −2a|≥12x +a −1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．5. 当x ∈(1,2)时，不等式(x −1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为（） A.(2,3] B.[4,+∞） C.(1,2] D.[2,4)6. 如果实数x ，y 满足(x −2)2+y 2=3，则yx 的最大值为（） A.12 B.√33C.√32D.√37. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a −c )⋅(b −c )=0，则|c |的最大值是（） A.1 B.2 C.√2 D.√228. 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示−x +3，32x +12,x 2−4x +3中的较大者，则f (x )的最小值是（） A.2 B.3 C.8 D.−19. 当0<x<π2时，函数f(x)=1+cos2x+4sin2xsin2x的最小值为（）A.−4B.−2√2C.4D.2√210. 若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是（）A.−2<ba <−1 B.ba<−2或ba>−1C.−2<ba <−12D.ba>−12或ba<−211. 已知0<a<1，则方程a|x|=|log a x|的实根个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个12. 已知复数z满足|z−2−2i|=√2，求z的模的最大值、最小值的范围．13. 求函数u=√2t+4+√6−t的最值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________参考答案与试题解析 8.2 数形结合思想一、解答题。

2018年高考数学(理)二轮复习讲学案：考前数学思想领航二、数形结合思想(含答案解析)

二、数形结合思想方法一函数图象数形沟通法模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数，∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A解析因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二几何意义数形沟通法模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AM OA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有 (1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥则y x －x y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]答案 B解析作出不等式组301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x，f (t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t－1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.方法三圆锥曲线数形沟通法模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)解析点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A.答案 A思维升华破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.。

高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)

第 2 讲数形联合思想1．数形联合的数学思想：包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大概能够分为两种情况：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精准性和规范严实性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精准地说明曲线的几何性质．2．运用数形联合思想剖析解决问题时，要按照三个原则：(1)等价性原则．在数形联合时，代数性质和几何性质的变换一定是等价的，不然解题将会出现破绽．有时，因为图形的限制性，不可以完好的表现数的一般性，这时图形的性质只好是一种直观而浅易的说明，要注意其带来的负面效应．(2)两方性原则．既要进行几何直观剖析，又要进行相应的代数抽象探究，仅对代数问题进行几何剖析简单犯错．(3)简单性原则．不要为了“数形联合”而数形联合．详细运用时，一要考虑能否可行和能否有益；二要选择好打破口，适合设参、用参、成立关系、做好转变；三要发掘隐含条件，正确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应想法选择动直线与定二次曲线．3．数形联合思想解决的问题常有以下几种：(1)建立函数模型并联合其图象求参数的取值范围．(2)建立函数模型并联合其图象研究方程根的范围．(3)建立函数模型并联合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)建立函数模型并联合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构成立体几何模型研究代数问题．(6)建立分析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)建立方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、地点关系、性质等．4．数形联合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇异功能，这就要求我们在平常学习中增强这方面的训练，以提升解题能力和速度．详细操作时，应注意以下几点：(1)正确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法议论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种卓有成效的方法，值得注意的是第一要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适合调整，以便于作图 )，而后作出两个函数的图象，由图求解．热门一利用数形联合思想议论方程的根例 1(2014 ·山东 )已知函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1， g( x)＝ kx ，若方程 f(x) ＝ g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ()11 ， 1)A ．(0， )B ． (22C ． (1,2)D ． (2，＋ ∞)答案 B分析先作出函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1 的图象，如下图，当直线 g(x)＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)＝ kx 过 A 点时斜率为1，故 f(x)＝ g(x) 有两个不相等的实根时，k 的范围为 (1， 1)．22思想升华用函数的图象议论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟习函数的表达式 (不熟习时，需要作适合变形转化为两个熟习的函数 )，而后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．x 2＋bx ＋ c ， x ≤0，设函数 f(x)＝若 f(－ 4)＝ f(0)， f( － 2)＝－ 2，则对于 x 的方程2， x>0，f(x)＝ x 的解的个数为 ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． 4答案 C分析由 f(－ 4)＝ f(0)， f(－2) ＝－ 2，x 2＋ 4x ＋ 2， x ≤0，解得 b ＝4， c ＝ 2，∴ f(x)＝2， x>0.作出函数 y ＝ f(x)及 y ＝ x 的函数图象如下图，由图可得交点有 3 个．热门二利用数形联合思想解不等式、求参数范围例 2(1)已知奇函数 f(x)的定义域是 { x|x≠0， x∈R } ，且在 (0，＋∞)上单一递加，若f(1)＝ 0，则知足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 ________．1(2) 若不等式 |x－ 2a| ≥x＋ a－ 1 对 x∈R恒成立，则 a 的取值范围是 ________．2答案 (1)( － 1,0)∪ (0,1)(2)－∞，12分析(1) 作出切合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 (－ 1,0)∪ (0,1)．1(2) 作出 y＝ |x－ 2a|和 y＝2x＋ a－1 的简图，依题意知应有2a≤2－ 2a，1故 a≤2.思想升华求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特色，选择适合的两个(或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下地点关系转变数目关系来解决问题，常常能够防止烦杂的运算，获取简捷的解答．(1)设 A＝{( x， y)|x2＋ (y－1) 2＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x＋ y＋ m≥0}，则使 A? B 成立的实数 m 的取值范围是 __________ ．(2) 若不等式9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为区间 [a， b] ，且 b－a＝ 2，则 k＝ ________.答案(1)[2－ 1，＋∞) (2)2分析(1) 会合 A 是一个圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上的点的会合，会合 B 是一个不等式 x＋y＋ m≥0 表示的平面地区内的点的会合，要使 A? B，则应使圆被平面地区所包括(如图 )，即直线 x＋ y＋ m＝ 0 应与圆相切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有|m＋1|＝1，又 m>0，2因此 m＝2－ 1，故 m 的取值范围是 m≥ 2－ 1.(2) 令 y1＝ 9－ x2，y2＝ k(x＋ 2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为 [a， b]且 b－ a＝ 2.联合图象知b＝ 3， a＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2)．又因为点 ( －2，－2)在直线上，22＋2因此 k＝＝ 2.热门三利用数形联合思想解最值问题例 3 (1)已知 P 是直线 l ： 3x ＋4y ＋ 8＝ 0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x 2＋ y 2－ 2x － 2y ＋ 1＝0 的两条切线， A 、 B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为 ________．x － 2y ＋ 1≥0，)(2) 已知点 P(x ， y)的坐标 x ， y 知足则 x 2＋ y 2－ 6x ＋9 的取值范围是 (|x|－y － 1≤0， A ． [2,4] B ． [2,16] C ． [4,10] D ． [4,16]答案 (1)2 2 (2)B分析(1) 从运动的看法看问题，当动点P 沿直线 3x ＋ 4y ＋8＝ 0 向左上方或右下方无量远处运动时，直角三角形PAC 的面积S＝1Rt △PAC21 P 从左上、|PA| |AC|·＝ |PA|愈来愈大，进而 S 四边形 PACB 也愈来愈大；当点2右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，明显，当点 P 抵达一个最特别的地点，即CP垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有独一的最小值，此时 |PC|＝ |3 ×1＋ 4×1＋ 8|＝ 3，32＋ 42进而 |PA|＝ |PC |2－ |AC|2 ＝ 2 2.1 因此(S四边形 PACB )min ＝ 2× ×|PA| ×|AC|＝ 22.2(2) 画出可行域如图，所求的 x 2＋ y 2－ 6x ＋ 9＝ (x － 3)2＋ y 2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线 x － y － 1＝ 0(x ≥0)的距离 d 的平方，最大值为 |QA|2＝ 16.2|3－ 0－ 1|2＝ ( 2∵ d ＝ (22)2) ＝2.1 ＋－∴ 取值范围是 [2,16] ．思想升华 (1) 在几何的一些最值问题中，能够依据图形的性质联合图形上点的条件进行变换，迅速求得最值．(2) 假如 (不 )等式、代数式的构造包含着明显的几何特色，就要考虑用数形联合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013 ·重庆 )设 P 是圆 (x － 3)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2x － y ＋ 1≤0，(2) 若实数 x 、y 知足 x>0，则 y的最小值是 ____．xy ≤2，答案(1)B (2)2分析(1) 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－ 1)，圆的半径长为 2，|PQ |的最小值为圆心到直线x＝－ 3 的距离减去圆的半径长，因此|PQ|min＝3－ (－ 3)－ 2＝ 4.应选 B.(2)可行域如下图．又y的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. x由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小．联立x－ y＋ 1＝ 0，得 A(1,2)，y＝ 2，因此 k OA＝2－0＝ 2.因此y的最小值为 2. 1－ 0x1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面地区、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的门路，当试题中波及这些问题的数目关系时，我们能够经过图形剖析这些数目关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，纯真从图形上没法看出问题的结论，这就要对图形进行数目上的剖析，经过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形联合解题，有时只需把图象大概形状画出即可，不需要精准图象．4．数形联合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1． (2013 ·重庆 )已知圆 C1： (x－ 2)2＋ (y－3) 2＝1，圆 C2： (x－ 3)2＋ (y－4)2＝9， M， N 分别是圆C1， C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 |PM|＋ |PN|的最小值为 ()A ．52－ 4 B.17－ 1C．6－2 2 D.17答案A分析设 P(x,0) ，设 C1对于 x轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC121′|＋(2,3)|＋ |PC |＝ |PC|PC2 |≥|C1′C2|＝－ 2 ＋－ 3－2＝5 2.而 |PM |＋ |PN|＝ |PC1|＋ |PC2|－ 4≥5 2－ 4.2． (2014 ·江西 )在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C面积的最小值为 ()4 A. 5π3 B. 4πC． (6－2 5) π5 D. 4π答案A分析∵∠ AOB ＝90°，∴点 O 在圆 C 上．设直线 2x＋ y－ 4＝0 与圆 C 相切于点 D ，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线2x＋ y－ 4＝0 的距离，∴点 C 在以 O 为焦点，以直线2x＋ y－ 4＝ 0 为准线的抛物线上，∴当且仅当O， C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD |＝ |2 ×0＋ 0－ 4|＝ 4 ，55∴圆 C 的最小半径为2，5∴圆 C 面积的最小值为224π.π( )＝55－ x2＋ 2x， x≤0，3． (2013 ·课标全国Ⅰ )已知函数 f(x)＝若 |f(x)| ≥ax，则 a 的取值范围是 ()x＋， x>0.A ． (－∞，0]B．(－∞，1]C． [－2,1] D ． [－ 2,0]答案D分析函数 y＝ |f(x)|的图象如图．①当 a＝0 时， |f(x)|≥ax 明显成立．②当 a>0 时，只需在 x>0 时，ln( x＋1) ≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y＝ ax 的增加速度．明显不存在a>0 使 ln( x＋ 1)≥ax 在 x>0 上恒成立．2③当 a<0 时，只需在x<0 时， x －2x≥ax 成立．综上所述：－2≤a≤0.应选 D.4． (2014 ·天津 )已知函数 f(x)＝ |x2＋ 3x|， x∈R.若方程 f(x)－ a|x－ 1|＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ________．答案(0,1)∪ (9，＋∞)分析设 y1＝ f(x)＝ |x2＋ 3x|， y2＝ a|x－ 1|，在同向来角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|， y2＝ a|x－ 1|的图象如下图．由图可知 f(x)－a|x－ 1|＝ 0 有 4个互异的实数根等价于y1＝ |x2＋ 3x|与 y2＝ a|x－ 1|的图象有 4 个不一样的交点．当 4 个交点横坐标都小于 1 时，y＝－ x2－3x，有两组不一样解x1， x2，y＝ a － x消 y 得 x2＋ (3－ a) x＋a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x1＋ x2＝ a－ 3<2， x1x2＝a<1 ，联立可得 0<a<1.当 4 个交点横坐标有两个小于1，两个大于 1 时，y＝ x2＋ 3x，有两组不一样解x3， x4.y＝ a x－消去 y 得 x2＋ (3－ a)x＋ a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x3＋ x4＝ a－ 3>2， x3x4＝a>1 ，联立可得 a>9，综上知， 0< a<1 或 a>9.押题精练221．方程 |x－2x|＝ a ＋ 1(a>0)的解的个数是 ()A ．1 B．2 C．3 D．4答案B分析(数形联合法 )∵a>0 ，∴ a2＋ 1>1.而 y＝ |x2－ 2x|的图象如图，∴ y＝ |x2－ 2x|的图象与y＝a2＋1 的图象总有两个交点．22．不等式 |x＋ 3|－ |x－ 1| ≤a－3a对随意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()A ． (－∞，－ 1]∪ [4，＋∞)B ． (－∞，－ 2]∪ [5，＋∞)C． [1,2]D ． (－∞，1] ∪[2，＋∞)答案A－ 4x<－，分析f(x)＝ |x＋ 3|－ |x－ 1|＝2x＋ 2－ 3≤x，画出函数f(x)的4x≥图象，如图，能够看出函数f(x)的最大值为4，故只需 a2－3a≥4 即可，解得 a≤－ 1 或 a≥4.正确选项为A.3．经过P(0，－ 1)作直线l，若直线l 与连结 A(1，－ 2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l________，________.的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为答案π3π[－1,1] [0， ]∪[， π)44分析如下图，联合图形：为使l 与线段 AB 总有公共点，则 k PA ≤k ≤k PB ，而 k PB >0， k PA <0 ，故 k<0 时，倾斜角 α为钝角， k ＝ 0 时， α＝ 0， k>0 时， α 为锐角．－ 2－－又 k PA ＝＝－ 1，1－ 0－ 1－1k PB ＝＝ 1， ∴－ 1≤k ≤1.0－ 2π又当 0≤k ≤1 时， 0≤α≤ ；4当－ 1≤k<0 时，3ππ 3π4 ≤α<π故.倾斜角 α的取值范围为 α∈ [0， 4]∪[， π)．42x ＋ 3y － 6≤0，4． (2013 ·山东 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组 x ＋ y － 2≥0，所表示的地区上一y ≥0动点，则 |OM|的最小值是 ________．答案 2分析由题意知原点 O 到直线 x ＋ y － 2＝ 0 的距离为 |OM|的最小值．因此 |OM|的最小值为2＝ 2.25． (2013 ·江西 )过点 ( 2，0) 引直线 l 与曲线 y ＝ 21－ x 订交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为 ________．3答案－ 3分析11 1∵S△ AOB＝|OA ||OB|sin ∠ AOB ＝ sin ∠ AOB ≤ .2 22π当 ∠ AOB ＝ 2时， S △ AOB 面积最大．2此时 O 到 AB 的距离 d ＝ 2 .设 AB 方程为 y ＝ k(x － 2)(k<0)，即 kx － y － 2k ＝ 0.由 d ＝| 2k|＝2得 k ＝－3k 2＋ 1 2 3 .6．设函数 f(x)＝ ax 3－ 3ax ， g(x)＝ bx 2－ ln x(a ， b ∈ R )，已知它们在 x ＝ 1 处的切线相互平行．(1) 求 b 的值；(2) f x ， x ≤0， a 的取值范围．若函数 F(x)＝且方程 F( x)＝ a 2有且仅有四个解，务实数gx ，x>0 ，解函数 g(x)＝ bx2－ ln x 的定义域为 (0，＋∞)，(1) f′(x)＝ 3ax2－3a? f′(1)＝ 0，1g′(x)＝ 2bx－x? g′(1)＝ 2b－ 1，1依题意得2b－ 1＝0，因此 b＝2.1(2) x∈(0,1) 时， g′(x)＝ x－x<0，即 g( x)在 (0,1)上单一递减，1x∈ (1，＋∞)时， g′(x)＝ x－x>0，即 g(x)在 (1，＋∞)上单一递加，1因此当 x＝ 1 时， g(x)获得极小值g(1) ＝；当 a＝ 0 时，方程 F(x)＝ a2不行能有四个解；当 a<0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1) 上单一递减，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递加，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极小值f( －1)＝ 2a，又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象能够看出F(x)＝a2不行能有四个解．当a>0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递减，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极大值f( －1)＝ 2a.又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (2)所示，从图 (2)看出，若方程F(x) ＝ a 2有四个解，则122<a <2a，因此，实数 a 的取值范围是2. 2， 2。

创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习2.1.2数形结合思想(含答案详析)

第二讲数形结合思想1．数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．[例1] (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 [思维流程][解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1.而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1(x ∈(－1,0])．如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图像，而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图像交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图像为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12；直线PO 的斜率为k 2＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图像有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2<m ≤k 1，即m ∈⎝⎛⎦⎤0，12. [答案] D——————————规律·总结———————————————————利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像，结合图像得，当x ∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是8.[2((2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．[思维流程][解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)(－1,0) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 ————————规律·总结——————————————————————利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．2．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(2,3] B ．[4，＋∞) C ．(1,2]D ．[2,4)解析：选C 设y 1＝(x －1)2，y 2＝log a x ，则y 1的图像为如图所示的抛物线．要使对一切x ∈(1,2)，y 1<y 2恒成立，显然a >1，并且只需当x ＝2时，log a x ≥1，即a ≤2，所以1<a ≤2.[例3] (1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx 的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3(2)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[思维流程][解析] (1)(x －2)2＋y 2＝3表示坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径r ＝3，如图，而y x ＝y －0x －0表示圆上的点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率．该问题转化为如下几何问题：点A 在M (2,0)为圆心，3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知，当点A 在第一象限，且OA 与圆相切时OA 的斜率最大．连接AM ，则AM ⊥OA ，|OA |＝|OM |2－|AM |2＝22－(3)2＝1，可得yx的最大值为tan ∠AOM ＝3，故选D.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. [答案] (1)D (2)C——————————规律·总结——————————————————————利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题．第三步：解决几何问题．第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D ．－1解析：选A 分别画出y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x＋3三个函数的图像，如图所示，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3，x >5，f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B (1,2)，所以函数f (x )的最小值是2.4．当0<x <π2，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋4sin 2x sin 2x 的最小值为( )A ．－4B ．－2 2C ．4D ．2 2解析：选D f (x )＝1＋cos 2x ＋2(1－cos 2x )sin 2x ＝3－cos 2x0－(－sin 2x )，它表示点(0,3)与点(－sin 2x ，cos 2x )连线的斜率，而点(－sin 2x ，cos 2x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时是圆x 2＋y 2＝1的左半圆(不含端点)，数形结合可知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f (x )最小．设切线方程为y ＝kx ＋3，则|3|k 2＋1＝1⇒k ＝22或k ＝－22(舍)，故f (x )的最小值为2 2.1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B.116≤a ＜1 C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点即为函数f (x )与y ＝e x 的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x 的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x 有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ， ∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. 5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<a bc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎤512，348．已知1a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝⎛⎭⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．解：f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ①y ＝43x ＋1－a ， ② ①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，其倾斜角为α，则有tan α＝43，0<α<π2， ∴sin α＝45，cos α＝35， |OA |＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝2·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝ 2·1＋sin αcos α＝2⎝⎛⎭⎫1＋4535＝6. 要使f (x )≤g (x )在x ∈[－4,0]恒成立，则②所表示的直线应在直线AT 的上方或与它重合，故有1－a ≥6，即a ≤－5.所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]．11．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )．(1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ， (其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.12．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12. (1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解；(2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。

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第一部分知识复习专题
专题八思想方法专题第二讲数形结合思想
一、选择题
1．已知0＜a ＜1，则方程a |x|＝|log a x|的实根个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．1个或2个或3个
解析：判断方程的根的个数就是判断图象y ＝a |x|与y ＝|log a x|的交点个数，
画出两个函数图象(如右图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根．答案：B
2．为了得到函数y ＝lg x ＋3
10的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查．按各选项变换后的函数如下所示：
A ．y ＝lg(x ＋3)＋1＝lg10(x ＋3)，
B ．y ＝lg(x －3)＋1＝lg10(x －3)，
C ．y ＝lg(x ＋3)－1＝lg x ＋3
10
，
D ．y ＝lg(x －3)－1＝lg x －3
10.
答案：C
3．定义在R 上的偶函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[3，4]时，f(x)＝x －2，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12＜f ⎝⎛⎭⎫cos 1
2 B ．f ⎝
⎛⎭⎫sin
π3＞f ⎝⎛⎭
⎫
cos π3 C ．f(sin 1)＜f(cos 1) D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32＞f ⎝⎛⎭⎫cos 32
解析：由f(x)＝f(x ＋2)知T ＝2为f(x)的一个周期，设x ∈[－1，0]，知x ＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f(x)的图象，如图所示：
A ：sin 12＜cos 12
f ⎝⎛⎭⎫sin 12＞f ⎝⎛⎭⎫cos 1
2；
B ：sin π3＞cos
π
3f ⎝
⎛⎭⎫sin
π3＜f ⎝⎛⎭
⎫
cos π3；
C ：sin 1＞cos 1f(sin 1)＜f(cos 1)；
D ：sin 32＞cos
3
2f ⎝⎛⎭⎫sin 32＜f ⎝⎛⎭
⎫cos 32. 答案：C
4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1、抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1
和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.115 D.3716
解析：记抛
物线y 2＝4x 的焦点为F ，是F(1，0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F(1，0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1，0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即等于
|4×1－3×0＋6|
5＝2.故选A.
答案：A
5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是( )
A ．5
B ．8 C.17－1 D.5＋2
解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1，0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0，4)，设点P 到抛物线的准线的距离为d ，由抛物线的定义有d ＝|PF|，所以|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.
答案：C
6．函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：
解法一因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋23－2＝8，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，故f(x)在(0，1)内的零点个数是1.
解法二设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中作出两函数的图象(如上图所示)，可知B 正确．
答案：B
7．(2014·福建卷)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1
2
”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：由k ＝1时，圆心到直线l ：y ＝x ＋1的距离d ＝
2
2
，所以弦长为2，所以S △OAB ＝12×2×22＝12，所以充分性成立，由图形的对称性当k ＝－1时，△OAB 的面积为12，所以不必要性不成立．故选A.
答案：A
二、填空题
8．当x ∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围为________．
解析：在同一坐标系内作出y ＝(x －1) 2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象，若y ＝log a x 过(2，1)，则log a 2＝1，∴a ＝2.结合图形，若使x ∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则1＜a≤2.
答案：(1，2]
三、解答题
9．已知0＜x ＜3
2π，方程sin 2x ＋2sin xcos x ＋3cos 2x ＋a ＝0有3个实数根，求a 的取
值范围．
解析：原方程可化为2＋sin 2x ＋cos 2x ＋a ＝0，
即2sin ⎝
⎛⎭
⎫
2x ＋
π4＝－a －2. 令f(x)＝2sin(2x ＋
π4)(0＜x ＜3π2
)，则原方程有3个实根等价于y ＝f(x)与y ＝－a －2有3个交点．
由图象可得－1＜－a －2≤1， ∴a 的取值范围为[－3，－1)．
10．已知圆C 过椭圆x 22＋y 2
＝1的右焦点，且圆心在x 的正半轴上，且直线l ：y ＝x －1
被圆C 截得的弦长为2 2.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．
解析：(1)在椭圆x 2
2＋y 2＝1中，c 2＝a 2－b 2＝1，所以c ＝1，于是右焦点为(1，0)．设圆
心为(t ，0)(t ＞0)，圆心到直线的距离为d ＝|t －1|2
.注意到弦长、半径、弦心距满足：⎝⎛⎭⎫L 22＝r 2
－d 2
，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫|t －1|22
＋2＝(t －1)2，解之得t ＝3或t ＝－1(舍去)，半径r ＝3－1＝2，所以圆C
的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.
(2)如图，
不妨设P(x ，y)，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2，且|PM|＝|PO|，所以|PO|2＝|PC|2－|CM|2，也即|PC|2－|PO|2＝|CM|2＝4，于是(x －3)2＋y 2－(x 2＋y 2)＝4，即x ＝5
6，即点P 所在曲线方
程为x ＝56.要使|PM|最小，由|PM|2＝|PC|2－4，只需|PC|最小，也即圆心到直线x ＝5
6的距离
最小，可知点P 在x 轴上时满足题意，即点P ⎝⎛⎭⎫
56，0.。