第六章 实数单元测试综合卷学能测试试题
第六章 实数单元测试综合卷学能测试试题
一、选择题
1.下列说法中正确的是( ) A .4的算术平方根是±2 B .平方根等于本身的数有0、1 C .﹣27的立方根是﹣3 D .﹣a 一定没有平方根
2.在有理数中,一个数的立方等于这个数本身,这种数的个数为( ) A .1
B .2
C .3
D .4
3.下列计算正确的是( ) A .42=±
B .1193
±
= C .2(5)5-= D .382=±
4.规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如222÷÷,
(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等,类比有理数的乘方,我们把222÷÷记作2③,读作“2的圈
3次方”,把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④,读作“3-的圈4次方”,一般地,把
(0)a a a a a a ÷÷÷
÷÷≠记作a ?,读作“a 的圈c 次方”,关于除方,下列说法错误的
是( )
A .任何非零数的圈2次方都等于1
B .对于任何正整数a ,21()a a
=④
C .3=4④④
D .负数的圈奇次方结果是负数,负数的圈偶次方结果是正数. 5.有下列命题:
①无理数是无限不循环小数;②平方根与立方根相等的数有1和0;③过一点有且只有一条直线与这条直线平行;④邻补角是互补的角;⑤实数与数轴上的点一一对应. 其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.估计27的值在( ) A .2和3之间
B .3和4之间
C .4和5之间
D .5和6之间
7.估计7+1的值在( ) A .2到3之间
B .3到4之间
C .4到5之间
D .5到6之间
8.如图,数轴上表示实数3的点可能是( )
A .点P
B .点Q
C .点R
D .点S
9.估计25+的值在( )
A .1到2之间
B .2到3之间
C .3到4之间
D .4到5之间
10.下列判断中不正确的是( )
A .37是无理数
B .无理数都能用数轴上的点来表示
C .﹣17>﹣4
D .﹣5的绝对值为5
二、填空题
11.如图所示,把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上,圆形纸片上的A 点对应原点,将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周,点A 到达点A′的位置,则点A′表示的数是_______.
12.已知a n =
()
2
1
1n +(n =1,2,3,…),记b 1=2(1-a 1),b 2=2(1-a 1)(1-a 2),…,b n =
2(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ),则通过计算推测出表达式b n =________ (用含n 的代数式表示). 13.a 是10的整数部分,b 的立方根为-2,则a+b 的值为________. 14.若实数a 、b 满足240a b ++-=,则
a
b
=_____. 15.数轴上表示1、2的点分别为A 、B ,点A 是BC 的中点,则点C 所表示的数是____.
16.观察下列算式:
246816???+2(28)?1616+4=20; 4681016???+2(410)?1640+4=44;… 3032343616???+__________
17.规定:[x]表示不大于x 的最大整数,(x )表示不小于x 的最小整数,[x )表示最接近x 的整数(x≠n+0.5,n 为整数),例如:[2.3]=2,(2.3)=3,[2.3)=2.当﹣1<x <1时,化简[x]+(x )+[x )的结果是_____.
18.一个数的立方等于它本身,这个数是__.
19.已知,a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,求31ab c d -+=_____. 20.11133+
=112344+=11
3455
+=,……请你将发现的规律用含自然数n (n≥1)的等式表示出来__________________.
三、解答题
21.观察下列各式: (x -1)(x+1)=x 2-1 (x -1)(x 2+x+1)=x 3-1 (x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1 ……
(1)根据以上规律,则(x -1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=__________________. (2)你能否由此归纳出一般性规律(x -1)(x n +x n -1+x n -2+…+x+1)=____________. (3)根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果. 22.观察下列三行数:
(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案,n 为正整数) (2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系?
(3)取每行的第9个数,记这三个数的和为a ,化简计算求值:(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54
a 2) 23.观察下列各式
﹣1×
12=﹣1+12
﹣11
23?=﹣11+23
﹣11
34?=﹣11+34
(1)根据以上规律可得:﹣1145
?= ;11
-1n n += (n ≥1的正整数). (2)用以上规律计算:(﹣1×12)+(﹣1123?)+(﹣11
34?)+…+(﹣1120152016
?).
24.(1)观察下列式子:
①100222112-=-==; ②211224222-=-==; ③322228442-=-==; ……
根据上述等式的规律,试写出第n 个等式,并说明第n 个等式成立; (2)求01220192222++++的个位数字.
25.操作与推理:我们知道,任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示,根据下列题
意解决问题:
(1)已知x=2,请画出数轴表示出x 的点:
(2)在数轴上,我们把表示数2的点定为基准点,记作点O ,对于两个不同的点A 和B ,若点A 、 B 到点O 的距离相等,则称点A 与点B 互为基准等距变换点.例如图2,点A 表示数-1,点B 表示数5,它们与基准点O 的距离都是3个单位长度,我们称点A 与点B 互为基准等距变换点.
①记已知点M 表示数m ,点N 表示数n ,点M 与点N 互为基准等距变换点.I .若m=3,则n= ;II .用含m 的代数式表示n= ;
②对点M 进行如下操作:先把点M 表示的数乘以23,再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N ,若点M 与点N 互为基准等距变换点,求点M 表示的数; ③点P 在点Q 的左边,点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度,对Q 点做如下操作: Q 1为Q 的基准等距变换点,将数轴沿原点对折后Q 1的落点为Q 2这样为一次变换: Q 3为Q 2的基准等距变换点,将数轴沿原点对折后Q 3的落点为Q 4这样为二次变换: Q 5为Q 4的基准等距变换点......,依此顺序不断地重复变换,得到Q 5,Q 6,Q 7....Q n ,若P 与Q n .两点间的距离是4,直接写出n 的值.
26.让我们规定一种运算
a b ad cb c d
=-, 如
232534245
=?-?=-. 再如
14224
x x =-. 按照这种运算规定,请解答下列问题,
(1)计算
60.5
1
4
2
= ;-3-245= ;2-335x x
=- (2)当x=-1时,求2232122
32x x x x -++-+---的值(要求写出计算过程).
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一、选择题 1.C 解析:C 【分析】
根据立方根与平方根的定义即可求出答案. 【详解】
解:A、4的算术平方根是2,故A错误;
B、平方根等于本身的数是0,故B错误;
C、(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,故C正确;
D、﹣a大于或等于0时,可以有平方根,故D错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义,熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.
2.C
解析:C
【分析】
设这个数为x, 根据题意列出关于x的方程,求出方程的解即可.
【详解】
解:设这个数为x,根据题意得:3x x
=,
解得:x=0或-1或1,共3个;
故选:C.
【点睛】
此题考查了有理数的立方,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.C
解析:C
【分析】
A、根据算术平方根的定义即可判定;
B、根据平方根的定义即可判定;
C、根据平方根的性质计算即可判定;
D、根据立方根的定义即可判定.
【详解】
A2
=,故选项错误;
B、
1
3
=±,故选项错误;
C、2
(=5,故选项正确;
D2,故选项错误.
故选:C.
【点睛】
此题考查平方根,立方根,解题关键在于掌握运算法则. 4.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据定义依次计算判定即可. 【详解】
解:A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除,所以都等于1; 所以选项A 正确; B 、a ④=21111
()a a a a a a a a a
÷÷÷=???=; 所以选项B 正确; C 、3④=3÷3÷3÷3=
19,4④=4÷4÷4÷4=1
16
,,则 3④≠4④; 所以选项C 错误; D 、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项D 正确; 故选:C . 【点睛】
本题是有理数的混合运算,也是一个新定义的理解与运用;一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算,另一方面也考查了学生的阅读理解能力;注意:负数的奇数次方为负数,负数的偶数次方为正数,同时对新定义,其实就是多个数的除法运算,要注意运算顺序.
5.B
解析:B 【分析】
利用无理数的概念,邻补角、平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系,两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】
①无理数是无限不循环小数,正确; ②平方根与立方根相等的数只有0,故错误;
③在同一平面内,过一点有且只有一条直线与这条直线平行,故错误; ④邻补角是相等的角,故错误; ⑤实数与数轴上的点一一对应,正确. 所以,正确的命题有2个, 故选B. 【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够了解无理数、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识,难度不大.
6.D
解析:D 【分析】
用平方法进行比较,看27在哪两个整数平方之间即可. 【详解】
∵252527=<,263627=>
∴5<6 故选:D 【点睛】
本题考查比较二次根式的大小,常见方法有2种:
(1)将数字平方,转化为不含二次根号的数字比较;
(2)将数字都转化到二次根式中,然后进行比较.
7.B
解析:B
【分析】
的范围,继而可求得答案.
【详解】
∵22=4,32=9,
∴<3,
∴+1<4,
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的估算,熟练掌握是解题的关键.
8.A
解析:A
【分析】
的点可能是哪个.
【详解】
∵12,
的点可能是点P.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了在数轴上表示数的方法,以及数轴的特征:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大,要熟练掌握.
9.D
解析:D
【分析】
2与3之间,所以2在4与5之间.
【详解】
解:∵22=4,32=9,
∴23,
∴2+2<3+2,
则4<2+<5,
故选:D.
【点睛】
键.
10.C
解析:C 【分析】
运用实数大小的比较、绝对值有理数和无理数的定义和性质逐项分析即可. 【详解】
解:A 是无理数,原说法正确,故此选项不符合题意;
B 、无理数都能用数轴上的点来表示,原说法正确,故此选项不符合题意;
C 44,原说法错误,故此选项符合题意;
D 故答案为C . 【点睛】
本题主要考查了实数大小的比较、绝对值有理数和无理数的定义和性质等知识点,灵活运用相关定义和性质是解答本题的关键.
二、填空题 11.-4 【解析】
解:该圆的周长为2π×2=4π,所以A′与A 的距离为4π,由于圆形是逆时针滚动,所以A′在A 的左侧,所以A′表示的数为-4π,故答案为-4π. 解析:-4π
【解析】
解:该圆的周长为2π×2=4π,所以A ′与A 的距离为4π,由于圆形是逆时针滚动,所以A ′在A 的左侧,所以A ′表示的数为-4π,故答案为-4π.
12.. 【解析】 【详解】
根据题意按规律求解:b1=2(1-a1)=,b2=2(1-a1)(1-a2)=,…,所以可得:bn=. 解:根据以上分析bn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an )=. “
解析:
12
++n n . 【解析】 【详解】
根据题意按规律求解:b 1=2(1-a 1)=1312
21-4211
+???== ?+??,b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=
314221-29321+???== ?+??,…,所以可得:b n =1
2++n n . 解:根据以上分析b n =2(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )=
1
2
++n n . “点睛”本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.本题中表示b 值时要先算出a 的值,要注意a 中n 的取值.
13.-5 【解析】 ∵32<10<42, ∴的整数部分a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是:-5.
解析:-5 【解析】 ∵32<10<42,
a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是:-5.
14.﹣ 【解析】
根据题意得:a+2=0,b-4=0,解得:a=-2,b=4,则=﹣.故答案是﹣.
解析:﹣12
【解析】
根据题意得:a+2=0,b-4=0,解得:a=-2,b=4,则
a b =﹣12.故答案是﹣12
. 15.【分析】
设点C 表示的数是x ,再根据中点坐标公式即可得出x 的值. 【详解】
解:设点C 表示的数是x ,
∵数轴上1、的点分别表示A、B,且点A是BC的中点,
根据中点坐标公式可得:,解得:,
故答案
解析:2-
【分析】
设点C表示的数是x,再根据中点坐标公式即可得出x的值.
【详解】
解:设点C表示的数是x,
∵数轴上1的点分别表示A、B,且点A是BC的中点,
,解得:,
根据中点坐标公式可得:=1
2
故答案为:
【点睛】
本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键.16.【分析】
根据题目数据,计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根,依此进行计算即可.
【详解】
解:
=
=1080+4
=1084.
故答案为:1084.
【点睛】
解析:【分析】
根据题目数据,计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根,依此进行计算即可.
【详解】
=
=1080+4
=1084.
故答案为:1084.
【点睛】
本题考查了算术平方根,读懂题目信息,观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键.
17.﹣2或﹣1或0或1或2. 【分析】 有三种情况:
①当时,[x]=-1,(x )=0,[x )=-1或0, ∴[x]+(x )+[x )=-2或-1; ②当时,[x]=0,(x )=0,[x )=0, ∴[x]
解析:﹣2或﹣1或0或1或2. 【分析】 有三种情况:
①当10x -<<时,[x ]=-1,(x )=0,[x )=-1或0, ∴[x ]+(x )+[x )=-2或-1;
②当0x =时,[x ]=0,(x )=0,[x )=0, ∴[x ]+(x )+[x )=0;
③当01x <<时,[x ]=0,(x )=1,[x )=0或1, ∴[x ]+(x )+[x )=1或2;
综上所述,化简[x ]+(x )+[x )的结果是-2或﹣1或0或1或2. 故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛:本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 请在此输入详解!
18.0或±1. 【分析】
根据立方的定义计算即可. 【详解】
解:∵(﹣1)3=﹣1,13=1,03=0, ∴一个数的立方等于它本身,这个数是0或±1. 故答案为:0或±1. 【点睛】 本题考查了乘方的
解析:0或±1. 【分析】
根据立方的定义计算即可. 【详解】
解:∵(﹣1)3=﹣1,13=1,03=0, ∴一个数的立方等于它本身,这个数是0或±1. 故答案为:0或±1.
【点睛】
本题考查了乘方的定义,熟练掌握立方的定义是解题关键,注意本题要分类讨论,不要漏数.
19.【分析】
根据a、b互为倒数,c、d互为相反数求出ab=1,c+d=0,然后代入求值即可.
【详解】
∵a、b互为倒数,
∴ab=1,
∵c、d互为相反数,
∴c+d=0,
∴=﹣1+0+1=0.
解析:【分析】
根据a、b互为倒数,c、d互为相反数求出ab=1,c+d=0,然后代入求值即可.
【详解】
∵a、b互为倒数,
∴ab=1,
∵c、d互为相反数,
∴c+d=0,
∴1=﹣1+0+1=0.
故答案为:0.
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义,正确把握相关定义是解题关键.
20.【分析】
观察分析可得,,,则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知,发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为:
【点睛】
本题主要考查二次根式,找
(1)
=+≥
n n
【分析】
=+
=(2
(3
=+n(n≥1)的等式表示出来是
(1)
n n
=+≥
【详解】
由分析可知,发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
(1)
n n
=+≥
(1)
n n
=+≥
【点睛】
本题主要考查二次根式,找出题中的规律是解题的关键,观察各式,归纳总结得到一般性规律,写出用n表示的等式即可.
三、解答题
21.(1)x7-1;(2)x n+1-1;(3)
51
31 2
-
.
【分析】
(1)仿照已知等式写出答案即可;
(2)先归纳总结出规律,然后按规律解答即可;
(3)先利用得出规律的变形,然后利用规律解答即可.【详解】
解:(1)根据题意得:(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1;(2)根据题意得:(x-1)(x"+x"-1+.…+x+1)=x"+1-1;
(3)原式=1
2
×(3-1)(1+3+32+···+349+350)=
1
2
×(x50+1-1)=
51
31
2
-
故答案为:(1)x7-1;(2)x n+1-1;(3)
51
31 2
-
.
【点睛】
本题考查了平方差公式以及规律型问题,弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键.
22.(1)-(-2)n;(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2;第③行数等于第①行数相应的数除以(-2);(3)-783
【分析】
第一个有符号交替变化的情况时,可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号,并检验计算结果。
【详解】
(1)首先2 4 8 16 很显然后者比前者多一个二倍。那么通项(一串数列具有代表性的代数
式)中绝对含有n 2,前面加上负号。考虑到数值的变化可以用n 1-12n
-()表示。
(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2 第③行数等于第①行数相应的数除以(-2)
(3)原式=2222
5131(16125)51311612517a a a a a a a a a ----+=---+-=--
第①行的第9个数为512,第②行的第9个数为510,第③行的第9个数为-256,所以
512510256766a =+-=,将a 的值代入上式,得原式=-783. 【点睛】
找规律要善于发现数字之间的共同点,或者是隐藏关系,培养学生的数感。规律很多,关键要在与尝试。 23.(1)1145-+,11
1n n -++;(2)20152016
-. 【分析】
(1)根据题目中的式子,容易得到式子的规律;
(2)根据题目中的规律,将乘法变形为加法即可计算出所求式子的结果. 【详解】 解:(1)11114545-
?=-+,1111-=-11n n n n +++,
故答案为:1145-
+,111
n n -++; (2)1111111
(1)()()()2
233420152016
-?+-
?+-?+?+-? 11111111()()()2233420152016
=-+
+-++-++?+-+ 1
12016
=-+ 2015
2016=-
. 【点睛】
本题考查规律性:数字的变化类,解题的关键是明确题意,找出所求式子中数的变化的特点.
24.(1)11222n n n ---=,理由见解析;(2)01220192222++++的个位数字为5.
【分析】
(1)找规律,发现等式满足11222n n n ---=,证明,即可.(2)利用公式11222n n n ---=,分别表示每个项,利用相消法,计算结果,即可. 【详解】
(1)11222n n n ---= 理由是:122n n --
11122n n +--=-
11222n n --=?-
()1212n -=-? 12n -=
(2)原式=(
)()()()10
2
1322020201922
2
22222-+-+-++-
2020022=-
()
505
42
1=-
505161=-
因为6的任何整数次幂的个位数字为6. 所以505161-的个位数字为5,即01220192222++++的个位数字为5.
【点睛】
本题考查了与数字运算有关的规律题,仔细观察发现规律是解题的关键. 25.(1)见解析;(2)①I ,1;II 4-m ②1
12
;③2或6. 【分析】
(1)在数轴上描点; (2)由基准点的定义可知,
22
m n
+=; (3)(3)设P 点表示的数是m ,则Q 点表示的数是m+8,由题可知Q 1与Q 是基准点,Q 2与Q 1关于原点对称,Q 3与Q 2是基准点,Q 4与Q 3关于原点对称,…
由此规律可得到当n 为偶数,Q n 表示的数是m+8-2n ,P 与Q n 两点间的距离是4,则有|m-m-8+2n|=4即可求n ; 【详解】
解:(1)如图所示,
(2)①Ⅰ.∵2是基准点,m=3,3到2的距离是1,所以到2的距离是1的另外一个点是1, ∴n=1; 故答案为1;
Ⅱ.有定义可知:m+n=4, ∴n=4-m ; 故答案为:4-m
②设点M 表示的数是m , 先乘以23,得到23m ,
再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N 为23m+2, ∵点M 与点N 互为基准等距变换点, ∴23m+2+m=4,
∴m=
112
; ③设P 点表示的数是m ,则Q 点表示的数是m+8,如图,
由题可知Q 1表示的数是4-(m+8),Q 2表示的数是-4+(m+8),Q 3表示的数是8-(m+8),Q 4表示的数是-8+(m+8),Q 5表示的数是12-(m+8),Q 6表示的数是-12+(m+8)… ∴当n 为偶数,Q n 表示的数是-2n+(m+8), ∵若P 与Q n 两点间的距离是4, ∴|m-[-2n+(m+8)]|=4, ∴n=2或n=6. 【点睛】
本题考查新定义,数轴上数的特点;能够理解基准点的定义是解决问题的基础,从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的;(3)中找到Q 的变换规律是解题的关键. 26.(1)1;-7;-x ;(2)-7 【分析】
(1)根据新运算的定义式,代入数据求出结果即可;
(2)根据新运算的定义式将原式化简为-x-8,代入x=-1即可得出结论. 【详解】
解:(1)
60.5
1
60.5432112
4
2
=?-?=-=;
-3-23524158745=-?--?=---=-()(); 2
-3253310935x
x x x x x x
=?---?=---=--()()().
故答案为:1;-7;-x .
(2)原式=(-3x 2+2x+1)×(-2)-(-2x 2+x-2)×(-3), =(6x 2-4x-2)-(6x 2-3x+6), =-x-8,
当x=-1时,原式=-x-8=-(-1)-8=-7.
∴当x=-1时,2232122
32
x x x x -++-+---的值为-7.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算,读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键.