图象法处理实验数据的复习 苏教版
新教材苏教版高中数学必修一 知识点09 函数的表示方法
高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式． 【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题． 例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ； 当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果． 【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-， 即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1， 故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥， 令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥， 故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（ ）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]， 所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（ ）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（ ）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭， 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（ ） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（ ）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a， 因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上， 所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（ ） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确； 因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误， 所以正确的有①①①，共3个， 故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -． 故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案 【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =， 当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=， 由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解； 由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =， 所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6， 故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解； 当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==， 则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力． 二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556； 当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416， 综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________． 【答案】154． 【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--， 当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅， 可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤， 作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =， 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154． 故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立 【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域； （3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+， 当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=， 解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。
2008年江苏地区物理学科高三专题复习(图像法)
(1)在图乙中画出i—t图线； (2)图乙中图线与坐标轴所围成面积的物理意义是 ； (3)该电容器电容为 F(结果保留两位有效数字)；
说明： 图像法处理实验数据时，除了斜率、截距外， 图像与横坐标所围的面积也代表一定的物理 意义，应注意挖掘。 图像法处理实验数据可以用直线，也可以是 曲线。
（2）简要写出利用图7所示电路测量电源电动势 和内阻的实验步骤： ①_____________________________； ②_____________________________； （3）图8是由实验数据 绘出的图象，由此求 出待测干电池组的电 动势E＝__________V、 内阻r＝__________Ω 。 （计算结果保留三位 有效数字。
讨论：
• 如果电池的电动仍然是1.5 V，内阻是2.0 Ω， 但用两个小灯泡串联在该电池两端，小灯泡的 实际功率是多少?
U
O
I
两灯泡并联呢？
绘图步骤及要求：
1．根据测量的要求选定坐标轴，一般以横轴为自 5 3．如要求计算直线的斜率，可以取直线上 ．根据测量所得数据，在图中标出坐标 变量，纵轴为因变量。坐标轴要标明所代表的物 相隔较远的两点，不一定取由实验测出的 点。如同一坐标图上要描几条曲线，应 理量的名称及单位。
例5.（2004年上海，18）小灯泡灯丝的电阻会随温度的升高 而变大.某同学为研究这一现象，用如图实验电路得到 如下数据（I 和U分别表示小灯泡上的电流和电压）： （1）在坐标纸上画出小灯泡的U－I曲线； （2）如果一电池的电动势是1.5 V，内阻是2.0 Ω， 将本题中的小灯泡接在该电池两端，小灯泡的实际功率 是多少?
序号 I/A
1 0.08
2 1.37 0.16
3 1.34 0.24
苏教版九年级物理教学
摩擦力
两个相互接触的物体在相对运动 或相对运动趋势时产生的阻碍相 对运动的力。分为静摩擦力、滑 动摩擦力和滚动摩擦力。
弹力
物体由于发生弹性形变而产生的 力，大小与形变量成正比，方向 垂直于接触面。
力的合成与分解
力的合成
作用在同一物体上的多个力可以合成 一个等效的力，称为合力。合力的大 小和方向由平行四边形法则或三角形 法则确定。
透镜的应用
如照相机、投影仪、放大镜等都是利用透镜成像原理制成的。
眼睛和眼镜的原理
01 02 03
眼睛的结构和功能
眼睛主要由眼球壁和眼内容物组成。眼球壁包括外膜、中 膜和内膜三层结构；眼内容物包括房水、晶状体和玻璃体 三种透明物质。它们共同协作，使眼睛能够感知外界的光 线并形成清晰的图像。
近视眼的成因和矫正
04
电磁学基础知识
电场与电场强度
电场
电荷周围存在的一种特殊物质， 它对放入其中的其他电荷产生力
的作用。
电场强度
描述电场强弱的物理量，用E表示， 单位是牛/库（N/C）。电场强度 的大小与试探电荷的电量无关，只 与电场本身有关。
电场线
为了形象地描述电场而引入的线， 电场线上每点的切线方向表示该点 的电场强度方向，电场线的疏密表 示电场的强弱。
80%
力的单位
在国际单位制中，力的单位是牛顿 （N）。
牛顿运动定律
01
02
03
牛顿第一定律
物体在不受外力作用时， 将保持静止状态或匀速直 线运动状态。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成 正比，与物体质量成反比， 即F=ma。
牛顿第三定律
作用力和反作用力大小相 等、方向相反，作用在同 一直线上。
复习课：图象法处理实验数据
直击高考
②为使砝码桶及桶内砝码的总重力在数 值上近似等于木块运动时受到的拉力， 应满足的条件是砝码桶及桶内砝码的总 质量 远小于 木块和木块上砝码的总质 量（填远大于，远小于，或近似于）
直击高考
③甲、乙两同学在同一实验室，各取一套图示的装 置放在水平桌面上，木块上均不放砝码，在没有平 衡摩擦力的情况下，研究加速度a与拉力F的关系， 分别得到图中甲、乙两条直线。设甲、乙用的木块 质量分别为m甲、m乙甲、乙用的木块与木板间的动摩 擦因数分别为μ 甲，μ 乙，由图可知，m甲 小于 m乙， μ 甲 大于μ 乙 （填“大于”、“小于”或“等于”)
(2)已知小灯泡上标有“3V 2W”,若把新、旧干电池各一节串联做 电源,则电源的效率 η= 。(保留 2 位有效数字) (3)在(2)中,新、 旧电池提供的电功率分别是 W和 W; 旧电池本身所消耗的电功率是 W;小灯泡实际消耗的电功率是 W。 (4)你认为新、旧电池搭配使用的做法是否合理,简述理由。
√
√√ √√
√
√ √ √
√
√ √ √ √ √
√ √ √
探究碰撞中的不变量
√
图象法处理实验数据的优点：
1.简明、直观地反映出各物理量之间的关系 。 2.能有效减小实验中的偶然误差. 3.可以从图象中得到无法通过实验测得的数据， 还可以求出相关的其它物理量。
应用图象法处理实验数据
一.图象的建立 二.图象的应用 三.图象的综合及迁移运用
图象的建立
相关数据见下表
实验次 数 1 2
，
条数 1 2 3 4 5 6
速度/m· s-1 1.28 1.75 2.10 2.26 2.68 2.96
速度平方/m2· s-2 1.64 3.06 4.41 5.11 7.18 8.76
(完整版)苏教版初中数学知识点总结(适合打印)
1．一般性质（角）⑴内角和：360°⑵顺次连结各边中点得平行四边形。⑶外角和：360°
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
2．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4．特殊三角形的判定与性质5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行： ;
1.配料问题：溶质=溶液×浓度2.溶液=溶质+溶剂3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
二、实数的运算
运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的分配律）
运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
第二章 代数式
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。
6．三角形的面积⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
全国苏科版初中信息技术七年级上册第四单元第3节《数据处理与统计》教学设计
内容：今天的学习，我们了解了数据处理与统计的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对数据处理与统计的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
教学资源拓展
1.拓展资源：
1.数据处理
2.统计分析
二、数据处理与统计的方法
1.数据收集与整理
2.数据分析
三、数据处理与统计的应用
1.实际案例
2.实验操作
四、数据处理与统计的重要性
1.解决问题
2.做出决策
五、数据处理与统计的挑战
1.数据处理技巧
2.数据可视化
六、数据处理与统计的发展趋势
1.大数据时代
2.人工智能应用
七、数据处理与统计的实践建议
教学评价与反馈
1.课堂表现：在课堂教学中，教师可以观察学生的参与程度、提问和回答问题的情况，以及学生在实践活动中的表现，从而了解学生对数据处理与统计知识的理解和掌握程度。
2.小组讨论成果展示：通过小组讨论，学生可以展示他们对数据处理与统计知识的理解和应用能力。教师可以评估学生在讨论中的参与程度、提出的观点和创新性思维。
6.实际案例：提供一些与数据处理和统计分析相关的实际案例，让学生了解数据处理与统计在实际应用中的具体应用场景和方法。
二、拓展要求：
1.自主学习：鼓励学生利用课后时间进行自主学习，阅读推荐的阅读材料，观看视频资源，参加在线课程等。
2.实践操作：鼓励学生进行实际操作，使用数据处理软件进行数据处理与统计分析，使用数据可视化工具进行数据可视化。
突破策略：
(1)数据的收集与整理：通过实际案例的演示和操作，让学生直观地了解数据的收集和整理过程，并掌握相关的操作技能。
用图象法处理实验数据
y轴： ， x轴： .
（2010汕头一模）35.③若采用线性图象处理数据，请写出与线性图象对应的坐标轴表示的物理量（用字母符号表示）
练习：如图所示的ａ－Ｆ图象中，实线甲和乙分别表示在两地，各自在保持重物质量不变的情况下，用竖直向上的拉力匀加速提升重物时，重物加速度ａ的大小与拉力Ｆ的大小之间的关系.由图可以判知 （1）甲地的重力加速度____________乙地的重力加速度；（填“大于”、“等于”、“小于”） （2）甲地的重物质量 ____________乙地的 重物质量.（填“大于”、 “等于”、“小于” ）
研究匀变速直线运动
验证力的合成的 平行四边形定则 验证牛顿第二定律 验证动量守恒定律 探究动能定理 验证机械能 守恒定律 探究弹力和 弹簧伸长的关系
练习使用多用电表
测定金属的 电阻率
描绘小电珠的 伏安特性曲线
测定电源的 电动势和内阻
传感器的简单使用
用油膜法估测 分子的大小
A
V
R
S
E r
研究匀变速直线运动
0.190
0.400
0.200
2
0.500
1.65
0.413
0.840
0.420
3
0.500
2.40
0.600
1.220
0.610
4
1.000
2.40
1.20
2.420
1.21
5
1.000
2.84
1.42
2.860
1.43
W
△E
1、在直角坐标系中选定坐标轴所表示的物理量并标出相应的单位；
（J ）
（J ）
01
03
02
图形图像处理总复习提纲
总复习提纲题型：填空题、计算题、作图题。
一、图像学1. 图像数字化处理狭义的数字图像处理：是指将一幅图像变为另一幅经过修改（或改进）的图像。
数字图像分析：是指将一幅图像转化为一种非图像的表示。
一幅图像必须先转换为数字形式计算机才能处理。
2. 采样。
采样是把空间连续的图像转换为离散点的图像，即把空间坐标离散化，取出图像在每个离散点处的函数值（称为灰度值）。
3. 量化。
量化是将图像函数值离散化，即将灰度值用整数表示。
4. 灰度直方图（1）定义：灰度直方图表示数字图像中每一灰度级出现的频数。
对连续图像而言，灰度直方图表示每一灰度级在图像中出现的概率密度，记作Pr(r)。
（2）计算方法：以灰度级为横坐标，纵坐标为灰度级的频率，绘制频率同灰度级的关系图就是灰度直方图。
它是图像的一个重要特征，反映了图像灰度分布的情况。
频率的计算式为例题：第二章图像处理点运算第6页的题。
（3）直方图的性质①灰度直方图只能反映图像的灰度分布情况，而不能反映图像像素的位置,即丢失了像素的位置信息。
②一幅图像对应唯一的灰度直方图，反之不成立。
不同的图像可对应相同的直方图。
图1给出了一个不同的图像具有相同直方图的例子。
图1 不同的图像具有相同直方图③一幅图像分成多个区域，多个区域的直方图之和即为原图像的直方图。
5. 对比度增强在一些图像中，感兴趣的特征占整个灰度级相当窄的范围，点运算可以扩展兴趣特征的对比度，是指占据可以显示灰度级的更大范围。
g(i,j)=a+(b-a)/(d-c)*( f(i,j)-c)例题：[50,200]->[0,255]a=0,b=255,c=50,d=2006. 图像的代数运算与几何运算（1）代数运算是指两幅输入图像之间进行点对点的加、减、乘、除运算得到输出图像的过程。
如果记输入图像为A(x,y)和B(x,y)，输出图像为C(x,y)，则有如下四种形式：（2）几何运算几何运算可改变图像中各物体间的空间关系。
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图象法处理实验数据的复习
江阴市云亭中学 214422 顾爱国
高考对物理实验能力的考核很重视，尤其是实验原理和数据处理能力的考核。
学会分析和处理实验数据是一项很重要的实验技能，掌握这种实验技能，不仅对学生在高考上灵活解题非常有益的，而且对学生在今后离开学校参加工作后独立处理问题也是不无好处。
图象是描述物理过程、揭示物理规律、解决物理问题的重要方法之一，用图象法处理实验数据是物理实验中最常用的方法。
它的优越性表现在：能形象直观地表达物理规律，有效地减少偶然误差对结果的影响，较方便地获得未经测量或无法直接测量的物理量数值，还能有效地避免错误。
高中物理实验中出现的误差或错误，有的在利用图象进行数据处理时从图象直接反映出来，像单摆测重力加速度实验；有的可利用图象来减少麻烦的计算，像测匀变速直线运动测加速度实验；还有的可利用图象来分析测量值与真实值之间的偏差，像测量电源电动势和内阻的实验。
下面就这三方面举例来对高中物理实验数据处理进行复习。
一、图象法处理数据避免实验错误或误差 在单摆测重力加速度的实验原理中，由g
L T
π
2=得2
24T
L
g
π=。
要测g ，只要测出
摆线长l 线和摆球直径d ，及n 次摆动周期的时间t 。
就可以利用公式求出g,且多测几次求平均值即可。
但此实验可以用图象法来进行处理，只要根据公式
L
g
T
2
2
4π=
得到T
2
与L 成正比，若把实验测得的多组数据转化成（L ，T 2）或（T 2 ， L ）然后建立坐标轴，将上述数据描到坐标上，连接各点就可得到一条过坐标原点的直线。
由直线的斜率可得g.
但有些同学实验画图时确得到了这样的图象：
为何会出现这样的结果呢？不难看出公式中)
2
(42
2
d l g
T
o +
=
π，若在画图时，摆长认为
是L=l 线，则画出的图线就是图2；若摆长认为是L=l 线+d ，则画出的图线是图3。
若在测
2 图1
2
周期时把n 次时间记成了n-1/2次，则图象中的图线就也成了图2；若没周期时把n 次记作了n+1/2次，则图线也就成了图3。
还有若测量过程对了，但测量误差大，则画出的图线也就不可能过坐标原点。
所以由图象法处理实验数据时可以看出实验中的错误及误差。
二、图象法处理数据避免繁琐的计算
在有些实验中，最后的结果需要经过繁琐的计算才能得到。
例如，在测匀加速直线运动的加速度实验中，加速度的计算：2
14312aT
s s s s s s n n =-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=--
则
2
362
252
143,3,3aT
s s aT s s aT s s =-=-=-，所以
， 则
把代入可得：。
这样计算是很烦琐的。
若用图象法作图来得结果将变得相当简单。
根据Δs=aT 2，选取T 2为横坐标，选Δs 为纵坐标。
由纸带上的点量出不同时间间隔的Δs ，可以取一个时间间隔的Δs ，坐标为（T 2
,Δs ）；再取两个时间间隔的Δs ，坐标为（4T 2
,4Δs ）；……取n 个时
间间隔的△s ，坐标为（（nT ）2 , n 2
△s ）,以些类推。
在坐标轴上描点即可得图4：
只要根据图象中直线的斜率就可求出加速度，利用此方法大大简化了计算过程，而且缩小了误差。
在测电源电动势和内阻的实验中也一样可以利用些法的。
三、图象法分析测量值和真实值之间的偏差
在实验的测量和计算的过程中，总会存在系统误差。
能确定实验中的误差，将有利于帮助学生进一步的理解知识。
在实验中处理数据时，我们常常是作出图象，然后依图象斜率及截距的理论意义求得测量值．然而图象是根据测量值画出的，其斜率及截距的真实值与其理论值的误差即实验的系统误差．分析系统误差时，我们只要根据实验原理和相关物理规律推出图象所依赖的数学解析式，并求得斜率及截距的真实值，用之与理论值相比较，便可知系统误差情况．下面就图象法确定真实值和测量值之间的大小关系举两例。
例（1）分析“用电流表和电压表测电池电动势和内阻”实验的系统误差．
n 2ΔS
2 2
2
2
)
(T
s nT s
n
tg a ∆=
∆=
=θ
图4
a 、图象法处理实验数据的原理
这个实验通常采用以上两个电路：电流表内接法（如图5）和电流表外接法（如图6）．实验时按电路图连接好电路，通过调节滑动变阻器从电压表和电流表读出多组Ｕ、Ｉ值，并作出Ｕ-Ｉ图象根据闭合电路欧姆定律Ｕ＝ε－Ｉｒ，可知：在Ｕ-Ｉ图象上，曲线的纵截距即为电池电动势的测量值，而曲线斜率的绝对值即是电池内阻的测量值．如图7所示。
b 、误差分析
采用图5电路时，由于电压表的分流作用，使得电流表读数小于通过电池的电流，而产生系统误差．设电压表读数为Ｕ测，电流表读数为Ｉ测．实验中是由电压表和电流测出多组Ｕ、Ｉ值并描点作图画出Ｕ-Ｉ图象的，它并不是理论上的Ｕ-Ｉ图象，而是Ｕ测-Ｉ测关系曲线，那么，Ｕ测-Ｉ测的函数关系式是什么呢？设电压表的内阻为Ｒv ，通过电压表的电流为Ｉv ，电池电动势的真实值为ε，电池内阻的真实值为ｒ，则由图5电路分析可知Ｕ测＝ε－（Ｉ测＋Ｉv ）ｒ，又Ｉv ＝Ｕ测／Ｒv ，所以有Ｕ测＝ε－（Ｉ测＋Ｕ测／Ｒv ）ｒ，整理后得到Ｕ测-Ｉ测的函数关系式如下Ｕ测＝（Ｒv ／（Ｒv ＋ｒ））ε，ε=（Ｒv ｒ／（Ｒv ＋ｒ））Ｉ测．由此函数式知，在由图5电路实验测得的多组Ｕ测、Ｉ测值画出的Ｕ测-Ｉ测图象上，曲线纵截距和斜率大小分别为ε测＝（Ｒv ／（Ｒv ＋ｒ））ε，ｒ测
＝Ｒv ｒ／（Ｒv ＋ｒ）． 由此很容易看出：ε测＜ε，ｒ测＜ｒ．并不难
得出结论：当Ｒv >>ｒ时，采用电流表内接法（如图5）系统误差小。
实际测量结果和真实值的图线如图8。
U=ε
I
U r
U=ε
I
U 图7
采用图6所示电路时，电路引起的系统误差主要是由于电流表的分压作用，使电压表读数小于路端电压．设电流表的内阻为Ｒ
A
，电
压表和电流表的读数分别为Ｕ
测和Ｉ
测
，那么，
由图6电路测出的多组Ｕ
测、Ｉ
测
值画出的Ｕ
测
-Ｉ
测
图象的函数关系式是什么呢？由闭合电
路的欧姆定律有Ｕ
测＝ε－Ｉ
测
ｒ－Ｉ
测
Ｒ
A
，
即Ｕ
测＝ε－（ｒ＋Ｒ
A
）Ｉ
测。
由此函数式知，
在由图6电路实验测得的多组Ｕ
测、Ｉ
测
值画出
的Ｕ
测-Ｉ
测
图象上，曲线纵截距和斜率大小分
别为ε
测＝ε，ｒ
测
＝（ｒ＋Ｒ
A
），可见ε
测
＝ε，ｒ
测
＞ｒ．由此得出结论：当Ｒ
A
→ｒ时，
ｒ
测
→ｒ，即当电流表内阻远小于电池内阻时，采用电流表外接法（如图6）电路引起的系统误差小．实际测量值图线和真实值的图线如图9。
例２“用电压表和电流表测电阻”实验的系统误差分析．
a、图象法处理实验数据的原理
将待测电阻Ｒ
x
按图10或图11所示电路接入电路，通过调节滑动变阻器，测出多
组Ｕ、Ｉ值并作出Ｕ-Ｉ图象．依部分电路欧姆定律，Ｕ-Ｉ图象的斜率即为Ｒ
x
的测量值．
b、误差分析
设电流表内阻为Ｒ
A ，电压表的内阻为Ｒ
v
，电流表的读数为Ｉ
测
，电压表的读数为Ｕ
测
．对
图10电路：因电流表的分压作用，Ｕ
测、Ｉ
测
的数学解
析式为Ｕ
测＝Ｉ
测
（Ｒ
A
＋Ｒ
x
），Ｕ
测
-Ｉ
测
图线的斜率为
ｋ＝Ｒ
A ＋Ｒ
x
＝Ｒ
测
＞Ｒ
x
，如图12中的R
测1
．可见，电
阻的测量值比真实值偏大，并可推知：当Ｒ
x >>Ｒ
A
时，
采用此电路测量引起的系统误差小．对图11电路：由
于电压表的分流作用，Ｕ
测、Ｉ
测
的数学解析式为Ｕ
测
＝
Ｉ
测Ｒ
v
Ｒ
x
／（Ｒ
v
＋Ｒ
x
），Ｕ
测
—Ｉ
测
图象上，图线斜率为
ｋ＝Ｒ
v Ｒ
x
／（Ｒ
v
＋Ｒ
x
）＝Ｒ
测
＜Ｒ
x
，如图12中的R
测
2
．可见，电阻的测量值比真实值偏小，并可推知：当
Ｒ
x <<Ｒ
v
时，采用图11电路系统误差较小．
以上的三种方法还可以在验证机械能守恒定律实验、测玻璃的折射率等实验中应用。
图
10
U=ε
U
I
图9
图8
图12。