数据结构教程第6章 图

第三节 图的遍历
常见的图遍历方式有两种：深度优先遍历和广度优先遍历，这两种 遍历方式对有向图和无向图均适用。
1．深度优先遍历
深度优先遍历的思想类似于树的先序遍历。其遍历过程可以描述 为：从图中某个顶点v出发，访问该顶点，然后依次从v的未被访问的邻 接点出发继续深度优先遍历图中的其余顶点，直至图中所有与v有路径 相通的顶点都被访问完为止。
1．定义
图是由结点的有穷集合V和边的集合E组成。其中，为了与树形结构 加以区别，在图结构中常常将结点称为顶点，边是顶点的有序偶对，若 两个顶点之间存在一条边，就表示这两个顶点具有相邻关系。
在上面两个图结构中，一个是有向图，即每条边都有方向，另一个 是无向图，即每条边都没有方向。 在有向图中，通常将边称作弧，含箭头的一端称为弧头，另一端称 为弧尾，记作<vi,vj>，它表示从顶点vi到顶点vj有一条边。 若有向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)条弧，我们又将具有n(n1)条弧的有向图称作有向完全图。 以顶点v为弧尾的弧的数目称作顶点v的出度，以顶点v为弧头的弧 的数目称作顶点v的入度。
2．图的基本操作
基本操作： （1）创建一个图结构 CreateGraph(G) （2）检索给定顶点 LocateVex(G,elem) （3）获取图中某个顶点 GetVex(G,v) （4）为图中顶点赋值 PutVex(G,v,value) （5）返回第一个邻接点 FirstAdjVex(G,v) （6）返回下一个邻接点 NextAdjVex(G,v,w) （7）插入一个顶点 InsertVex(G,v) （8）删除一个顶点 DeleteVex(G,v) （9）插入一条边 InsertEdge(G,v,w) （10）删除一条边 DeleteEdge(G,v,w) （11）遍历图 Traverse(G,v)
elem是顶点内容，firstedge是指向第一条边或弧结点的指针。 在C语言中，实现邻接表表示法的类型定义如下所示： #define MAX_VERTEX_NUM 30 //最大顶点个数 type struct EdgeLinklist{ //边结点 int adjvex; struct EdgeLinklist *next; } EdgeLinklist; typedef struct VexLinklist{ //顶点结点 Elemtype elem; EdgeLinklist *firstedge; } VexLinklist,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; 创建有向图和无向图邻接表的算法实现： （1） 创建有向图邻接表 void Create_adj(AdjList adj, int n) { for (i=0;i<n;i++){ //初始化顶点数组 scanf(&adj[i].elem); adj[i].firstedge=NULL; } scanf(&i,&j); //输入弧 while (i) { s=(EdgeLinklist*)malloc(sizeof(EdgeLinklist)); //创建新的 弧结点 s->adgvex=j-1; s->next=adj[i-1].firstedge; //将新的弧结点插入到相应的位置 adj[i-1].firstegde=s;
在C 语言中，实现邻接矩阵表示法的类型定义如下所示： #define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct graph{ Elemtype elem[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM]; int n; } Graph;
2． 邻接表
边结点的结构为： adjvex是该边或弧依附的顶点在数组中的下标，next是指向下一条 边或弧结点的指针
第四节 图的几个典型应用问题
本节主要按教材介绍最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径 的概念和相应算法的思路，并要求学生课外上机实现部分算法。时间允 许，则给学生介绍关于最短路径问题的教研论文《变形Floyd算法》 （四川师范学院学报，1998年第3期）
描述为：从图中某个顶点v出发，在访问 该顶点v之后，依次访问v的所有未被访问过的邻接点，然后再访问每个 邻接点的邻接点，且访问顺序应保持先被访问的顶点其邻接点也优先被 访问，直到图中的所有顶点都被访问为止。下面是对一个无向图进行广 度优先遍历的过程。 下面我们讨论一下实现广度优先遍历算法需要考虑的几个问题： （1）在广度优先遍历中，要求先被访问的顶点其邻接点也被优先 访问，因此，必须对每个顶点的访问顺序进行记录，以便后面按此顺序 访问各顶点的邻接点。应利用一个队列结构记录顶点访问顺序，就可以 利用队列结构的操作特点，将访问的每个顶点入队，然后，再依次出 队，并访问它们的邻接点；
在无向图中，边记作(vi,vj)，它蕴涵着存在< vi,vj>和<vj,vi>两 条弧。若无向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)/2条边，我们又将具有 n(n-1)/2条边的无向图称作无向完全图。 与顶点v相关的边的条数称作顶点v的度。 路径长度是指路径上边或弧的数目。 若第一个顶点和最后一个顶点相同，则这条路径是一条回路。 若路径中顶点没有重复出现，则称这条路径为简单路径。 在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如 果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，将其中的 极大连通子图称为连通分量。 在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都 有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连 通分量。
scanf(&i,&j); //输入下一条弧 } } （2）创建无向图的邻接表 void Create_adj(AdjList adj, int n) { for (i=0;i<n;i++){ //初始化邻接表 scanf(&adj[i].elem); adj[i].firstedge=NULL; } scanf(&i,&j); //输入边 while (i) { s1=(EdgeLinklist*)malloc(sizeof(EdgeLinklist)); s1->adgvex=j-1; s2=(EdgeLinklist*)malloc(sizeof(EdgeLinklist)); s2->adgvex=i-1; s1->next=adj[i-1].firstedge; adj[i-1].firstegde=s1; s2->next=adj[j-1].firstedge; adj[j-1].firstegde=s2; scanf(&i,&j); } } 3．其它存储结构（按教材略讲）
下面我们讨论一下如何实现深度优先算法。 为了便于在算法中区分顶点是否已被访问过，需要创建一个一维数 组visited[0..n-1]（n是图中顶点的数目），用来设置访问标志，其初 始值visited[i]（0≤i≤n-1）为"0"，表示邻接表中下标值为i的顶点 没有被访问过，一旦该顶点被访问，将visited[i]置成"1"。 int visited[0..n-1]={0,0,...0}; void DFS(AdjList adj,int v) {//v是遍历起始点的在邻接表中的下标值，其下标从0开始 visited[v]=1; visite(adj[v].elem); for (w=adj[v].firstedge;w;w=w->next) if (!visited[w->adjvex]) DFS(adj,w->adjvex); } 对于无向图，这个算法可以遍历到v顶点所在的连通分量中的所有 顶点，而与v顶点不在一个连通分量中的所有顶点遍历不到；而对于有 向图可以遍历到起始顶点v能够到达的所有顶点。若希望遍历到图中的 所有顶点，就需要在上述深度优先遍历算法的基础上，增加对每个顶点 访问状态的检测： int visited[0..n-1]={0,0,...0}; void DFSTraverse(AdjList adj) { for (v=0;v<n;v++) if (!visited[v]) DFS(adj,v); }
第6章 图
本章主要介绍下列内容(教材第7章) 1. 图的定义和术语 2. 图的存储结构 3. 图的遍历 4. 图的几个典型应用问题 课时分配：第1、2节两个学时，第3节两个学时，第4节六个学时,上机 六个学时 重点、难点：图的遍历操作、典型应用问题等的算法实现
第1节 图的定义和术语
(由于有离散数学基础，本节略讲)
（2）在广度优先遍历过程中同深度优先遍历一样，为了避免重复 访问某个顶点，也需要创建一个一维数组visited[0..n-1]（n是图中顶 点的数目），用来记录每个顶点是否已经被访问过。 int visited[0..n-1]={0,0,...0}; void BFS(AdjList adj,int v) {//v是遍历起始点在邻接表中的下标，邻接表中下标从0开始 InitQueue(Q); //Q是队列 visited[v]=1; visite(adj[v].elem); EnQueue(Q,v); while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,v); for (w=adj[v].firstedge;w;w=w->next) if (!visited[w->adjvex]) { visited[w->adjvex]=1; visite(adj[w->adjvex].elem); EnQueue(Q,w->adjvex); } } }
第二节 图的存储结构 1．邻接矩阵
（1）有向图的邻接矩阵 具有n个顶点的有向图可以用一个n′n的方形矩阵表示。假设该矩
阵的名称为M，则当<vi,vj>是该有向图中的一条弧时，M[i,j]=1；否则 M[i,j]=0。第i个顶点的出度为矩阵中第i行中"1"的个数；入度为第i列 中"1"的个数，并且有向图弧的条数等于矩阵中"1"的个数。 （2）无向图的邻接矩阵 具有n个顶点的无向图也可以用一个n′n的方形矩阵表示。假设该 矩阵的名称为M，则当（vi,vj）是该无向图中的一条边时， M[i,j]=M[j,i]=1；否则，M[i,j]=M[j,j]=0。第i个顶点的度为矩阵中 第i 行中"1"的个数或第i列中"1"的个数。图中边的数目等于矩阵 中"1"的个数的一半，这是因为每条边在矩阵中描述了两次