基于二重极限求解方法的教学探讨

２ 叭 ５ 年 第 ７ ３ 期考 试 周 刊
基 于 二 重 极 限 求 解 方 法 的 教 学 探 讨
刘 利 平
（ 甘肃政法学院 信息工程学院 ， 甘 肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘 要： 二 重极 限是 多元 函数 微 分 学 的 一 个 重要 内容 ， 对 于判 断二 元 函数 的连 续性 起 着 至 关 重 要 的作 用 ． 对 于初 学 者 来说 求 二 元 函数 的极 限存 在 一 定 的 困难． 本 文 给 出 了相 关例 题 。 总 结 了 几种 常 见 的技 巧 和 方 法． 关键 词 ：多元 函 数 二元 函数 二 重 极 限 连 续性
２ ． １ 定 义 法
例３ ：
ｌ ｉ ｍ
，
± 二 ： ｌ ｉ ｍ （
ｘ ｙ （ ｘ ， ｙ ） （ ０ ・ ０ ）
一１ ） （ Ｖ＇ ｘ 一 ｙ ＋ｌ＋ １ ）
一
ｙ ） 一（ ０ ， ０ ）
ｘ ｙ （ 、 ／
＋ １ ）
ｌ ｉ ａ ｒ
１ ２
‘ ” 叫。 ＇ 。 （ Ｎ ／ ￣ ｙ ＋ ｌ ＋ １ ）
１ ） 处连续） ３ ． 二 重极 限存 在 性 判 别 方 法举 例 同样 ， 直 接 利 用 定 义 判 别 二 元 函 数 的 极 限 是 否 存 在 是 非 常 困难 的 ． 然 而， 由二 重 极 限 的定 义 我 们 知 道 ， 二 重极 限 存 在 ，
－
０
例ｌ ： ｌ ｉ ｍ（ ｘ ２ ＋ ｙ ２ ） ｓ ｉ ｎ
＋Ｙ
是指Ｐ 以任 何 方 式 趋 于 Ｐ ｎ 时， 函数 都 无 限 接 近 于 Ａ， 即 如 果 当Ｐ
以两 种 不 同方 式 趋 于 Ｐ ｎ 时， 函数 趋 于 不 同 的值 ， 则 函数 的 极 限 不存在．
２ ２ ２
解： 可 见Ｖ ｅ ＞ Ｏ ， 取 ８ ： ｖ ， 则当 ０ ＜ 、 ／ （ ｘ 一 ０ ） ＋ （ ｙ 一 ０ ） ＜ ８ ，
一
ｘ一 ０ ＿ ＋０
‘
＿＝ ｌ
ｘ 十ｙ
本 文 给 出 了 二 重 极 限计 算 的 几 种 方 法 ，在 二重 极 限 的计 算 中， 按 照极 限 的运 算 法 则 和 步 骤 进 行 计 算 ， 并 且 灵 活运 用 这 些技巧和方法 ， 既可 以提 高 解 题 速 度 ， 又 能 够 提 高 结 果 的 正 确 性． 还 可 以将 二 重 极 限 计 算 简化 ． 参考文献 ： ［ １ ］ 于龙文 ， 等著 ． 高 等 数 学理 论 与 解 题 方 法 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 化 学 工 业 出版 社 。 ２ ０ １ ０ ． ８ ． ［ ２ ］ 赵树螈 ， 主编 ． 微 积 分 第 三版 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 中 国人 民大 学 出版 社 ． ２ ０ ｏ ７ ． ３ ． ［ ３ ］ 同济 大 学 数 学 系 编 ． 高等数 学（ 上、 下册 ） 第 六版［ Ｍ］ ． 北京： 高 等 教 育 出版 社 ， ２ ｏ ０ ６ ． ７ ． ［ ４ ］ 范培 华 ， 主编． 微积分 第一版［ Ｍ］ ． 北京： 中国商业 出 版社． ２ ０ ０ ６ ． ５ ． ［ ５ ］ 林伟初 ， 主编 ． 高等数 学（ 上、 下 册 ）第 二 版 【 Ｍ］ ． 上海 ： 复 旦 大 学 出版 社 。 ２ ０ １ ４ ． ６ ．
ｘ 十Ｙ
ｘ ＋Ｋ ｘ ｌ＋ｋ
— ｋ ． ｙ 来自 ， Ｂ （ ｘ ＋ ｉ ｎ
＿＋ ｏ
其值随ｋ 的不 同 而 不 同 ． 故极限不存在．
叶 。 ｙ
４ ． 结 语
２ ． ２ 换 元 法
对例ｌ 用 换元 法 ， 令 ｕ： ｘ ＋ ｙ ， 则ｌ ｉ ｍ（ ｘ ２ ＋ ｙ ） ｓ ｉ ｎ
ｌ ｆ Ｏ Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ∈Ｄｎ （ ０ ， ８ ） 时， 总 有 ２ ２ ） ｓ ｉ ｎ ＿ ＿ 三 一 ０
Ｉ Ｘ＋ｙ
ｌ ≤ ２ ＋
Ｉ
例 ５ ＿ ｌ ｘ ｉ — ｍ － ｓ ｉ ｎ 姜‘ ， 取 ｙ ＝ ｋ ｘ ２ ， 则 原 式 ＝ ｌ ｘ ｉ － ａ ｒ — ０ ｓ ｉ ｎ ｘ ￣ １ ｋ ｚ ｘ ｑ ＝ ＿ ． ， １
一
２ ． ５ 连 续 函 数 的 性 质
切 二元 初 等 函 数 在其 定 义 域 内 是 连 续 的 ，因 而 若 要 计
算 某 个 二 元初 等 函 数 在 其 定 义 域 内 一 点 的 极 限 。只 要 算 出 函
数 在 该 点 的 函 数值 即可 ．
例 ４ ： ｌ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 鲁 ＝ — ｝＝ 一 １ （ 因 为 函 数 导 在 （ ０ ， ｘ ＋ ｖ ＋２ ０＋１ ＋ ２ ３ ｘ ＋ｖ ２ ＋２
１ ． 引言
２ ． ４消 去 Ｏ因 子
在多元函数微分学 的学 习中 ． 大 部 分 的 教 材 都 主 要 针 对 的 是 二元 函 数 ． 虽 然 二元 函 数 的 极 限与 一 元 函 数 的 极 限 具 有 相 同 的性 质 和 运 算 法 则 ．但 是 二 元 函数 极 限 的存 在 性 判 别 和 计 算 困难 得 多 ． 因 为 不 能 够 事 先 预 测 函 数 极 限 存 在 与否 ， 即使 函数 的极 限 存 在 ． 有 的 时候 也 很 难 得 出 函数 的极 限 值 ． 而 且 大 部 分 教 材 中没 有 直 接 给 出二 元 函数 极 限 的 求解 方 法 ．根 据 定 义求 解 二 重 极 限 比较 繁 琐 。所 以有 必 要 引 入 其 他 相 关 的技 巧 方 法． 对 于 二 元 函数 极 限 。 若通过换元 ， 把 求 二 元 函数 的 极 限 变 成 一 元 函数 极 限 的 求 解 问 题 ，则 所 有 一 元 函数 求 极 限 的方 法都 可 以 用 ， 如两个重要极 限 、 等 价无 穷 小 量 代 换 法 、 洛 必 达 法 则 及 无 穷 小 的相 关 性 质 等 ． 当然 ， 上 述 解 题 方 法 在 实 际 运 用 中并 不 是 孤 立 的 ． 有时需要几种 方法相互结合运用． 接 下 来 通 过 相 关 例 题 探 讨 并 总 结 二 重 极 限 计 算 几 种 常 见 的 技 巧 和 方 法 ．对 初 学 者 快 速 地 掌 握 二 重 极 限 的 求 解 起 到 一 定 的帮 助 作 用． ２ ． 二 重 极 限 求 解 方 法 举例