7.29新高一数学(衔接班)
高一数学(衔接班专用)
【知识梳理】
知识点一 常用的乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. 知识点二 因式分解的常用方法 (1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数， 即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab 的逆运算进行因式分解. (2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积 形式的方法. (3)求根法：若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是 x1，x2，则二次三项式 ax2＋bx＋c(a≠0)就 可分解为 a(x－x1)(x－x2). (4)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式. 如 2x3－x－1，试根知 x＝1 为 2x3－x－1＝0 的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1 提取公 因式后分解因式.
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【典例精析】
题型一 对集合含义的理解
例 1 考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过 20 的非负数； (2)方程 x2－9＝0 在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4) 3的近似值的全体； (5)中国著名科学家； (6)小于 8 的所有素数； (7)平面直角坐标系内第一象限的一些点； (8)所有小的正数.
D.x1＝－1，x2＝7
新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第01讲集合的概念与集合间的基本关系练习(学生版+解析)
第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩(V enn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子B A集个数为2n －2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( )A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．3-考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( ) A ．8 B ．6C ．7D ．15【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数 为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( ) A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．14.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①①5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．86.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±17.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( ) A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①①6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( ) A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C 2QD ．0∈Z7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．28.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩(Venn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数答案:D解析：对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案:B解析：13是实数,①正确；3是无理数,①错误；－3是整数,①错误；－3是无理数,①正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．1-C ．0D ．3-答案:C解析：由元素的互异性可得22321321a a a a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈答案:AB解析：对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确； 对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 答案:BD解析：由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围解析： (1)①2,B ∈{}1B x a x a =-<<,①12a a -<<,即23a <<, ①实数a 的取值范围为23a <<；(2)①B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,①115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( )A ．8B ．6C ．7D ．15答案:C 解析：{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案:A解析：(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( )A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师答案:B解析：对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案:D解析：①R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,①表示空集,①π①R ,0①Q ,0.7①N ,0①①, ①正确的个数为1 .故选D .4.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①① 答案:A解析：①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 答案:B解析：因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B. 6.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( ) A ．0B ．1C ．－1D ．±1答案:B 解析：因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( )A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解答案:BCD解析：对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合.故选BCD8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．答案:0解析：当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形 答案:C解析：由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案:B解析：{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①①,共2个. 故选B.3.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合{}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3答案:A 解析：因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A4.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<答案:A 解析：当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( )A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①① 答案:D解析：对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于①,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,①正确；对于①,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,①错误； 对于①,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,①正确； 对于①,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,①正确.故选D.6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( )A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z答案:AC解析：A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．2答案:ABC解析：因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 答案:(),3-∞解析：①A C ⊆,①A 和C 如图：①a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 答案:{}|43,N n n k k =+∈解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.解析：(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。
新高一数学暑假衔接课程
新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；3．培养学生学习高中数学的自信心.适用对象新高一学生课时安排授课时间：7-8 月，共计 10-15 次课，20 小时（一对一）或 30 小时（班组课）.课程特色以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯的衔接.课程结构第1讲数与式第2讲一元二次方程与韦达定理第3讲一元二次函数与二次不等式第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域第8讲求函数的值域第9讲函数的解析式第10讲函数的表示方法及值域综合复习第11讲函数的单调性（1）第12讲函数的单调性（2）第13讲函数的奇偶性第14讲指数运算第15讲对数运算第1讲数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式．【典型例题】：（1）计算：=___________________________________ （2）计算：=______________________________（3）计算=____________________________(4)=___________________________________ 变式1：利用公式计算（1）=_______________________(2)=________________________变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）（2）（3）（4）【典型例题】（1）（2）已知，求的值．（3）已知，求的值．变式1:计算：变式2:已知，，求的值．知识点二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1)(2)(3)(4)【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：(1)=___________(2)=_____________（3）计算=_______________________ （4）=_______________________(5)=_______________________ （6）设，求=_______________________ 变式1:二次根式成立的条件是( )A．B．C．D．是任意实数变式2:若，则的值是( )A．－３ B．３ C．－９ D．９变式3：计算（1）(2)知识点三、分式【典型例题—1】：1、分式的化简（1）化简（2）化简2、（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数，有．3、分式的运用设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值变式1：对任意的正整数n，______________变式2:选择题：若，则=（）（A）１（B）（C）（D）变式3:计算知识点四、因式分解【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
高中数学衔接班教案模板
一、教学目标1. 知识目标：帮助学生掌握高中数学的基本概念、基本方法和基本技能，为高中数学学习打下坚实基础。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，树立信心，培养良好的学习习惯。
二、教学内容1. 数列的基本概念及性质2. 函数的概念及性质3. 几何图形的基本性质4. 解析几何的基本方法5. 统计与概率的基本概念及方法三、教学过程1. 导入新课（1）回顾初中数学知识，引导学生发现初高中数学的异同。
（2）介绍高中数学的特点，激发学生学习兴趣。
2. 讲解新课（1）数列的基本概念及性质讲解数列的定义、通项公式、求和公式等基本概念，通过实例讲解数列的性质。
（2）函数的概念及性质讲解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性等基本概念，通过实例讲解函数的性质。
（3）几何图形的基本性质讲解点、线、面、体等基本概念，通过实例讲解几何图形的性质。
（4）解析几何的基本方法讲解解析几何的基本方法，如坐标系、方程组、几何图形的方程等。
（5）统计与概率的基本概念及方法讲解统计与概率的基本概念，如平均数、中位数、众数、方差、概率等，通过实例讲解统计与概率的方法。
3. 课堂练习（1）巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。
（2）通过练习，发现学生在学习过程中的问题，及时进行辅导。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，帮助学生梳理知识体系。
（2）提出思考题，引导学生深入思考。
5. 课后作业（1）布置课后作业，巩固所学知识。
（2）要求学生按时完成作业，教师进行批改和辅导。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度、合作能力等。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 定期测试：通过测试，评估学生对所学知识的掌握情况，为教学调整提供依据。
五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教。
准高一数学 暑假初升高衔接班 4份教案
初升高衔接班补充初高中衔接材料（一）恒等式变形：1、因式分解 2、配方 3、分式和根式（二）方程与不等式1、一元二次方程的韦达定理 2、一元二次不等式3、分式不等式，绝对值不等式 （三）二次函数补充一：立方和（差）公式1．公式：（1）()()22b a b a b a -=-+（2）()2222b ab a b a +±=±（3）()()2233b ab a b a b a +-+=+（4）()()2233bab a b a b a ++-=-（5）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（6）()3223333b ab b a a b a +++=+（7）()3223333b ab b a a b a -+-=-例1：计算：（1）()()964322+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2242412121b b a a b a例2：（1）()()()()42422222+++--+a a a a a a （2）()()()11122++---x x x x x（3）()()211x x x ++- （4）()()3211x xx x +++-例3．因式分解（1）66y x - （2）33662n m n m ++（3）()()()116119222+-+-+x x x （4）4323-+x x例4：已知2,2==+xy y x ，求33y x +的值例5：（1）已知2=+b a ，求336b ab a ++的值。
（2）已知31=-x x ，求331xx -的值。
例6： 化简（1）()()2222y xy x y x +-+ （2）()()[]2222z y z y z y ++-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121412141222x x x x x例7：已知0152=++a a ，试求下列各式的值：（1）a a 1+（2）221a a + （3）331a a + （4）441aa +例8：已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．补充二：十字相乘法与分组分解法一、十字相乘法：两个一次二项多项式n mx +与l kx +相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：即 ()()()nl x nk ml mkx l kx n mx +++=++2把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式()nl x nk ml mkx +++2分解因式即()()()l kx n mx nl x nk ml mkx ++=+++2这说明，对于二次三项式()02≠++ac c bx ax ，如果把a 写成c mk ,写成nl 时，b 恰好是nk ml +，那么c bx ax ++2可以分解为()()l kx n mx ++例1：分解因式（十字相乘法）（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（2）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．（5）81032++x x （6）122++-x x（6）6222++-xy y x （8）22592y xy x --例2：分解因式（分组分解法）（1）322333y xy y x x -+- （2）63223-+-x x x（3）32933x x x +++例3：分解因式（1）4324--m m （2）42249374b b a a +-（2）2221b ab a -+- （4）2215x x --（5）21252x x -- （6）2524x x +-（6）233+-x x （8）=-+2675x x（9）()=++-a x a x 12（10）=+-91242m m例4：用因式分解法解下列方程:(1) 04432=--x x (2)()()x x x =-+-22112补充三：根式与分式10)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． 2．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n pmn p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．3、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例5 计算(没有特殊说明，本题中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x≥（3（4）（5）例6设x y==33x y+的值．例7 化简：（1）11xx x x x-+-补充四：一元二次方程的韦达定理对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 用配方法可变形为：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 因右边大于0.所以（1） 当042>-=∆ac b 时，方程有根ab x a b x 2,221∆--=∆+-=（2） 当042=-=∆ac b ，方程有根abx x 221-== （3） 当042<-=∆ac b ，方程没有实数根。
高一衔接班数学知识点
高一衔接班数学知识点高一是学生们进入高中阶段的重要一年，也是他们步入数学学科新课程的起点。
为了帮助学生更好地适应高中数学的学习，许多学校都设立了高一衔接班，提前学习一些高中数学知识点。
本文将从几个方面介绍高一衔接班的数学知识点。
一、复习初中数学基础高一衔接班的首要任务就是复习和巩固初中数学的基础知识。
这里主要包括代数、几何和函数三个方面。
代数包括线性方程、二次方程、函数关系等内容；几何包括平面几何和空间几何；函数则是高中数学的重中之重，包括函数的概念、函数的性质、函数的运算和函数的图像等。
复习初中数学基础不仅有助于学生回顾已学知识，还能为后续高一数学的学习打下坚实的基础。
通过对基础知识的梳理和复习，学生们能够更好地理解高中数学的新内容。
二、引入高中数学的新概念除了复习初中数学的基础知识，高一衔接班还会引入一些高中数学的新概念，让学生们提前接触和了解。
这些新概念主要包括数列与数学归纳法、排列组合与二项式定理、三角函数与解三角函数的基本方程等。
引入这些新概念的目的在于激发学生们对数学的兴趣，丰富他们的数学知识结构，为高中数学的学习打下坚实的基础。
同时，通过对这些新概念的学习，学生们也能够提前适应高中数学的思维方式和解题方法。
三、提高问题解决能力高一衔接班不仅注重知识的讲解和学习，还注重培养学生的问题解决能力。
通过一些实际问题的讨论和解决，学生们能够发展他们的逻辑思维和分析能力。
同时，学生们还能够学会如何运用所学知识解决实际问题。
培养学生的问题解决能力对其未来的学习和发展至关重要。
高中数学不再是简单的应试训练，而是需要学生们具备独立思考和解决问题的能力。
因此，高一衔接班注重培养学生的问题解决能力，为他们在高中数学学习中更好地展现自己打下基础。
四、提前接触高考数学考试高一衔接班还会提前引导学生们了解高考数学考试的要求和题型。
通过模拟高考试题的训练和答题技巧的掌握，学生们能够更好地适应高考数学的考试压力和题型。
数学高一初高中衔接课教案
数学高一初高中衔接课教案
学科：数学
年级：高一
时间：1课时
教学目标：学生能够了解初中数学和高中数学的衔接关系，理解高中数学的学习内容与初中数学的基础知识之间的联系。
教学重点：初中数学和高中数学的衔接点和基础知识的巩固。
教学难点：高中数学的学习内容与初中数学的基础知识之间的联系。
教学内容及过程安排：
一、引入（5分钟）
通过举例引导学生思考，初中数学中哪些知识点是高中数学的基础，如何进行衔接。
二、解决问题（15分钟）
1. 初中数学和高中数学的主要区别和联系是什么？
2. 举例说明高中数学的学习内容与初中数学的基础知识之间的联系。
三、拓展应用（20分钟）
1. 要怎样巩固初中数学的基础知识，才能更好地学习高中数学？
2. 为什么高中数学的学习如此重要？
四、总结（10分钟）
让学生总结本节课的学习内容，为今后的学习做好铺垫。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固本节课所学内容。
教学安排：板书、讲解、示范、练习
教学手段：教师讲解、学生讨论、小组合作、互动答疑
教学后记：通过本节课的学习，使学生初步了解初中数学和高中数学的衔接关系，为将来的学习打下基础。
高一数学衔接班第3课——因式分解
（初升高）高一数学衔接班第3讲——因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。
3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。
二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲： 1、知识回顾：（1）a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）； （2）a 2±2ab ＋b 2＝（a±b ）2 2、新知探秘：如何将8＋3x 分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）；a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2）.两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。
例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：（1）38x +（2）30.12527b -思路导航：（1）中，382=，（2）中3330.1250.5,27(3)b b ==解：（1）333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ （2）333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。
例2. 因式分解：34381a b b -思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b ，应先提取公因式，再进一步分解；解：3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.仿练：76 a ab -思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看作是3232()()a b -或2323()()a b -。
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§1.1 集合（复习）
1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；
2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
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复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？
A B = ；
A B = ；
U C A = .
复习2：交、并、补有如下性质.
A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ；
A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；
()U A C A = ；()U A C A = ；
()U U C C A = .
你还能写出一些吗？
二、新课导学
※ 典型例题
例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).
小结：
（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；
（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？
例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U = ，A B ≠ ∅，(){1,2}U A C B = ，求集合A 、B .
小结：
列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.
例 3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，
{}
210C x x mx =-+=,A B A A C C == 且，求实数a 、m 的值或取值范围．
变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.
※ 动手试试
练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .
练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。
练3. 设A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2＋2x －8＝0｝．
（1）若A ＝B ，求a 的值；
（2）若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 集合的交、并、补运算.
2. Venn 图示、数轴分析.
※ 知识拓展
集合中元素的个数的研究：
有限集合A 中元素的个数记为()n A ，
则()()()()n A B n A n B n A B =+- .
你能结合V enn 图分析这个结论吗？
能再研究出()n A B C 吗？
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果集合A ={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ）.
A ．0
B ．0 或1
C ．1
D ．不能确定
2. 集合A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={y |y =4k ，k ∈Z }，则A 与B 的关系为（ ）.
A ．A ≠
⊂B B ．A ≠⊃B C ．A =B D ．A ∈B
3. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，集合{3,5}B =，则（ ）.
A ．U A
B = B ． ()U U
C A B =
C ．()U U A C B =
D ．()()U U U C A C B =
4. 满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 .
5. 设集合2{|3}M y y x ==-，2{|21}N y y x ==-，则M N = .
1. 设全集{|5,*}U x x x N =≤∈且，集合
2{|50}A x x x q =-+=，2{|120}B x x px =++=，且(){1,2,3,4,5}U C A B = ，求实数p 、q 的值.
2. 已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.。