高三数学第一轮复习教案：第83课时导数的应用
高三数学第一轮复习 第83课时导数的应用教案
导数的应用一．复习目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题的最大值和最小值．二．知识要点：1．函数的单调性：设函数在某区间内可导，则()0()f x f x '>⇒在该区间上单调递增；()0()f x f x '<⇒在该区间上单调递减．反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）； 若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．2．函数的极值：（1）概念：函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），则称0()f x 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点．（2）求函数极值的一般步骤：①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x 在这个根处取得极大（小）值．3．函数的最值：①求函数()f x 在区间[,]a b 上的极值；②将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．三．课前预习：1．在下列结论中，正确的结论有 （ A ）①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数； ③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调，则原函数也是单调的．()A 0个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个 2．如果函数428y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c = （ B ）()A 1 ()B 2 ()C 1- ()D 2-2．若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是 （ A ） ()A 0b > ()B 0b < ()C 0b ≤ ()D 0b ≥3．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为427，极小值为0． 4．函数32()1f x x ax bx =++-，当1x =时，有极值1，则函数32()g x x ax bx =++的单调减区间为5(1,)3．5．函数321()252f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞．四．例题分析：例1．已知函数()(1)()f x x x x a =--有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数a 的值．解：32()(1)()(1)f x x x x a x a x ax =--=-++，∴2()32(1)f x x a x a '=-++，令()0f x '=，得232(1)0x a x a -++=，由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为,m n ， 则2(1)3m n a +=+，3a mn =， ∴3322()(1)()()f m n m n a m n a m n +=+-++++ 32()3()(1)[()2]()m n mn m n a m n mn a m n =+-+-++-++ 2(1)(2)(21)027a a a =-+--= ∴1a =-或2a =或12a =．例2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？解：设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =， 由3610k =⨯可得3500k =，∴33500Q x =， ∴总费用3231396(96)500500y x x x x=+⋅=+， 2696500y x'=-，令0y '=得20x =， 当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，∴当20x =时，y 取得最小值， ∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．例3．如图，已知曲线1C ：3y x =(0)x ≥与曲线2C ：323y x x =-+(0)x ≥交于点,O A ，直线x t =(01)t <<与曲线1C 、2C 交于点,B D ，（1）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系()S f t =；（2）讨论()f t 的单调性，并求()f t 的最大值．解：（1）由3223y x y x x⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得交点,O A 坐标分别是(0,0)，(1,1)， 3111()|||1||||0|(33)222ABD OBD f t S S BD t BD t t t ∆∆=+=⋅⋅-+⋅⋅-=-+， ∴33()()2f t t t =--(01)t <<．（2）293()22f t t '=-+，令293()022f t t '=-+=，得3t =，当0t <<()0f t '>，此时函数在单调递增；1t <<时，()0f t '<，此时函数在单调递减．所以，当t =时，()f t ．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．设函数3443)(x x x f -=则下列结论中，正确的是 （）()A )(x f 有一个极大值点和一个极小值点 ()B )(x f 只有一个极大值点 ()C )(x f 只有一个极小值点 ()D )(x f 有二个极小值点2．若函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上无极值，则必有（ ） ()A 230b ac -> ()B 230a bc -> ()C 230b ac -<()D 230a bc -<3．已知曲线313y x =上一点8(2,)3P ，则点P 处的切线方程是 ；过点P 的切线方程是 ．答：点P 处的切线方程是1643y x =-，过点P 的切线方程是1643y x =-或23y x =+． 4．抛物线24y x x =+上一点P 处的切线的倾斜角为45 ，切线与,x y 轴的交点分别是,A B ，则AOB ∆的面积为 ． 5．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ．6．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．7．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f .（1）若)(x f 的单调减区间为(0,4)，求k 的值；（2）当k x >时，求证：xx 132->.8．已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--，（1）求()f x '；（2）若(1)0f '-=，求()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围．。
导数在函数中的应用(一轮复习听课导学案)
导数在函数中的应用一、总体要求【学习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】1、利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的最值；2、利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；3、导数与函数、不等式、方程等知识相融合的问题；二、考点梳理知识点一 函数的导数与单调性的关系函数y ＝)(x f 在某个区间内可导, (1)若)(x f '＞0，则()x f 在这个区间内_____________;(2)若)(x f '＜0，则()x f 在这个区间内_____________;(3)若0)(='x f ，则()x f 在这个区间内_____________;知识点 二 函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值____，且f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值____，且f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．3．函数的最值与导数：(1) 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的连续函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值； ② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .三.考点应用 典例解析考点一 利用导数研究函数的单调性例1．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)归纳总结----求单调区间的一般步骤:容易忽视的问题:________________________________________________________ 例2.已知函数()R b a b ax x x f ∈++-=,)(23，若函数()x f 在区间[]2,0上单调递增。
高考数学第一轮复习教案——导数
高考复习——导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数及解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．5．导数的定义导数定义及求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则及某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数．(3)如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y-∆+=∆；(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)取极限，得导数xyx f x ∆∆=→∆00lim)('。
2013届高考数学一轮复习教案3.3导数的综合应用
§3.3导数的综合应用1.利用导数研究函数单调性的步骤(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间.2.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值(1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：优化问题―→用函数表示数学问题↓优化问题答案用导数解决数学问题5.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.[难点正本疑点清源]1.实际问题常要求解出最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方程f ′(x )＝0在定义域内只有唯一解)，这个解通常就是最值点.但在解答过程中，还需对这一点的左、右函数的单调性加以验证.2.实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段.3.求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题.4.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性.1.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是__________.2.如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是__________ __ cm 2/s.3.若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________.4.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件5.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不 等式f (x 2－6)>1的解集为( )A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－2，2)C.(2,3)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)题型一 利用导数研究函数的零点或方程根的方法 例1 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.探究提高 (1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐 统一.(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对∀x ∈R ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若函数f (x )有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 题型二 利用函数研究恒成立及参数求解问题 例2 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.探究提高 (1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域.(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用.设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围. 题型三 利用导数研究生活中的优化问题例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.2.二审结论会转换试题：(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.审题路线图 求f (x )的极值↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f ′(x )＝0的解，即f (x )的极值点 ↓(转化为求函数值)将极值点代入f (x )求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f (x )在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F (x )＝f (x )－g (x )↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F (x )<0在(1，＋∞)上恒成立. ↓研究函数F (x )在(1，＋∞)上的单调性. 规范解答(1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，[1分]令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， [2分] 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，[3分]当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，[4分]所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.[5分] (2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， [6分] ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.[7分](3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x， [9分]当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，∴在区间(1，＋∞)上，F (x )<0恒成立.即F (x )<g (x )恒成立.[11分]因此，当a ＝1时，在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方.[12分] 点评 (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用.(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题.方法与技巧1.极值与最值的区别与联系.区别：极值是局部概念，只对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有效.联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值(可取到的话)中的最大值或最小值.最值不一定是极值，极值也不一定是最值.2.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 失误与防范1.注意极大值未必大于极小值，极值仅仅体现在x 0处附近函数值的变化情况.2.要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究函数的极值与最值.答案基础自测1.(－∞，0)2.25 000π3.[－1,1]4.C5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞). 当a >0时，由f ′(x )>0， 解得x <－a 或x >a .由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a ). (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f (x )的图象可知： 实数m 的取值范围是(－3,1). 变式训练1 (1)－34 (2)a >52或a <2例2 解 (1)由题意f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2.①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e. (3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数. ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数. g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立. 变式训练2 (1)x ＋y －3＝0 (2)满足条件的最大整数M 为4 (3)a ≥1例3 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设， 每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5. 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.又建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10). (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6. 解得x ＝5，x ＝－253(舍去).当0<x <5时，f ′(x )<0， 当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 变式训练3 (1)2(2)当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大高﹤考じ试!题`库。
高三《导数的应用》说课稿
高三《导数的应用》说课稿以下是作者为大家准备的高三《导数的应用》说课稿（共含4篇），希望对大家有帮助。
篇1：高三《导数的应用》说课稿高三《导数的应用专题》说课稿导数是新课程教材中重要内容，是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想简捷地解决实际问题提供了广阔的前景。
纵观这几年的高考，考察的力度逐年加大，因此在高三复习中必须引起足够的重视。
在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目。
导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年高考数学的一大热点。
另外，导数又具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景很多，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑。
从这个意义上说，高三师生采取什么样的策略复习，复习的重点落在何处？显得至关重要。
1、教材分析与考点分析在教材中，导数处于一种特殊的地位。
一方面它是沟通初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生由有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧；另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如常与函数、数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，并成为解决相关问题的重要工具。
从高考关于导数单元的考查情况来看，以下两个特点非常明显：（1）循序渐进：从总体上看，高考考查导数的有关知识是循序渐进的过程。
导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，分析近几年的高考试题，可以看出高考对导数考查的思路已基本成熟。
考查的基本原则是重点考查导数的概念与应用。
这部分内容的考查一般分为三个层次：第一层次：主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和与实际背景有关的问题（如瞬时速度，边际成本，加速度、切线的斜率）第二层次：主要考查导数的.简单应用，包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
高考数学 一轮复习导的应用教案 苏教版
导 数 的 应 用【复习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
【知识梳理】1. 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，那么)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，那么)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，那么)(x f 为常数；2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3. 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4. 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. 〔1〕求f '〔x 〕.〔2〕确定f '〔x 〕在〔a ，b 〕内符号.〔3〕假设f '〔x 〕>0在〔a ，b 〕上恒成立，那么f 〔x 〕在〔a ，b 〕上是增函数；假设f '〔x 〕<0在〔a ，b 〕上恒成立，那么f 〔x 〕在〔a ，b 〕上是减函数. 【课前预习】1.函数y =x 2〔x －3〕的减区间是A.〔－∞，0〕B.〔2，+∞〕C.〔0，2〕D.〔－2，2〕 C2.函数f 〔x 〕=ax 2－b 在〔－∞，0〕内是减函数，那么a 、b 应满足 A.a <0且b =0 B.a >0且b ∈R C.a <0且b ≠0 D.a <0且b ∈R3.f 〔x 〕=〔x －1〕2+2，g 〔x 〕=x 2－1，那么f ［g 〔x 〕］A.在〔－2，0〕上递增B.在〔0，2〕上递增C.在〔－2，0〕上递增D.在〔0，2〕上递增 4.在〔a ，b 〕内f '〔x 〕>0是f 〔x 〕在〔a ，b 〕内单调递增的________条件.5. 函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.〔2π,2π3〕 B.〔π,2π〕 C.〔2π3, 2π5〕 D.〔2π,3π〕【典型例题】题型一：借助导数处理单调性、极值和最值例1．对于R 上可导的任意函数f 〔x 〕，假设满足〔x －1〕f x '（）≥0，那么必有〔 〕 A ．f 〔0〕＋f 〔2〕<2f 〔1〕 B. f 〔0〕＋f 〔2〕≤2f 〔1〕 C ．f 〔0〕＋f 〔2〕≥2f 〔1〕 D. f 〔0〕＋f 〔2〕>2f 〔1〕例2．〔1〕32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是〔 〕 (A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 例 3．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间； 〔Ⅱ〕讨论f(x)的极值。
高三一轮复习----导数的应用(一)单调性与极值教学设计
高三文科数学一轮复习《导数的应用(一) 函数的单调性》教学设计（一）、教材分析导数是高中数学新增内容，它在解决数学有关问题中起到工具的作用，导数的应用是高考的必考内容。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.利用导数判断单调性起着基础性作用，能够培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力；激发学生独立思考和创新的意识，开发学生的自我潜能。
（二）、高考要求：了解函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）（三）、学习重点：能利用导数求函数的单调区间（四）、学习难点：已知函数的单调性求参数的取值范围（五）、课型：复习课（六）、教法：讲练结合（七）、课时安排：1课时教学设计一、知识梳理1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值____，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．[设计意图]复习函数单调性的求法；函数极值的定义。
通过复习让学生熟悉单调性和极值的定义，巩固旧知。
二、问题探究1．如何利用导数求单调区间和极值？2. 若函数 f(x)在(a ，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是 f(x)在(a ，b)内单调递增的充要条件？【设计意图】通过这两个问题由“定义”到“通法”，由“感性”到“理性”，总结利用导数求单调区间和极值的通法，启发学生发现问题，并培养学生发现问题的意识。
(完整版)高考数学第一轮复习教案——导数
高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。
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第83课时 课题：导数的应用
高三数学第一轮复习讲义（76）
导数的应用
一．复习目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题的最大值和最小值．
二．知识要点：
1．函数的单调性：
设函数在某区间内可导，则()0()f x f x '>⇒在该区间上单调递增；
()0()f x f x '<⇒在该区间上单调递减．
反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；
若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．
2．函数的极值：
（1）概念：函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），则称0()f x 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点．
（2）求函数极值的一般步骤：
①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x 在这个根处取得极大（小）值．
3．函数的最值：
①求函数()f x 在区间[,]a b 上的极值；②将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
三．课前预习：
1．在下列结论中，正确的结论有 （ A ） ①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数； ③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调，则原函数也是单调的．
()A 0个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个
2．如果函数42
8y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c =
（ B ） ()A 1 ()B 2 ()C 1- ()D 2- 2．若函数343y x bx =-
+有三个单调区间，则b 的取值范围是 （ A ） ()A 0b > ()B 0b <
()C 0b ≤ ()D 0b ≥ 3．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为
427
，极小值为0． 4．函数32()1f x x ax bx =++-，当1x =时，有极值1，则函数32()g x x ax bx =++的单调
减区间为5(1,)3．
5．函数321()252
f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞．
四．例题分析：
例1．已知函数()(1)()f x x x x a =--有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数a 的值．
解：32()(1)()(1)f x x x x a x a x ax =--=-++，
∴2()32(1)f x x a x a '=-++，
令()0f x '=，得232(1)0x a x a -++=，
由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为,m n ， 则2(1)3m n a +=+，3
a mn =， ∴3322()(1)()()f m n m n a m n a m n +=+-++++
32()3()(1)[()2]()m n mn m n a m n mn a m n =+-+-++-++ 2(1)(2)(21)027
a a a =-+--= ∴1a =-或2a =或12
a =．
例2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
解：设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3
Q kx =， 由3
610k =⨯可得3500k =，∴33500
Q x =， ∴总费用3231396(96)500500y x x x x
=+⋅=+， 2
696500y x '=-，令0y '=得20x =， 当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，
当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，
∴当20x =时，y 取得最小值， ∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
例3．如图，已知曲线1C ：3y x =(0)x ≥与曲线2C ：3
23y x x =-+(0)x ≥交于点,O A ，直线x t =(01)t <<与曲线1C 、2C 交于点,B D ，
（1）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系()S f t =；
（2）讨论()f t 的单调性，并求()f t 的最大值．
解：（1）由3223y x y x x
⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得交点,O A 坐标分别是(0,0)，(1,1)， 3111()|||1||||0|(33)222
ABD OBD f t S S BD t BD t t t ∆∆=+=⋅⋅-+⋅⋅-=-+， ∴33()()2
f t t t =--(01)t <<． （2）293()22f t t '=-+，令293()022
f t t '=-+=，得3t =， 当30t <<时，()0f t '>，此时函数在3(0,)单调递增； 当31t <<时，()0f t '<，此时函数在3(0,)单调递减． 所以，当3t =时，()f t 的最大值为3．
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．设函数3443)(x x x f -=则下列结论中，正确的是 （ ）
()A )(x f 有一个极大值点和一个极小值点 ()B )(x f 只有一个极大值点
()C )(x f 只有一个极小值点 ()D )(x f 有二个极小值点
2．若函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上无极值，则必有 （ ）
()A 230b ac -> ()B 230a bc -> ()C 230b ac -< ()D 230a bc -<
3．已知曲线313y x =上一点8(2,)3
P ，则点P 处的切线方程是 ；过点P 的切线方程是 ．
答：点P 处的切线方程是1643y x =-
，过点P 的切线方程是1643y x =-或23
y x =+． 4．抛物线24y x x =+上一点P 处的切线的倾斜角为45，切线与,x y 轴的交点分别是,A B ，
则AOB ∆的面积为 ． 5．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ．
6．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出()
f x 的单调区间．
7．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f .
（1）若)(x f 的单调减区间为(0,4)，求k 的值；
（2）当k x >时，求证：x
x 132-
>.
8．已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--，
（1）求()f x '；
（2）若(1)0f '-=，求()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值；
（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围．。