北京第十八中学高三数学第一轮复习 50 平面向量的概念与几何运算(2)教案(学生版)
(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案
平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。
高三数学第一轮复习 50 平面向量的概念与几何运算(2)教学案(教师版)
教案50 平面向量的概念与几何运算（2）一、课前检测1.（2010辽宁文8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积=（ C ）A.C.解析：111||||sin ,||||||222OABS a b a b a b a b ∆=<>==2.（2010四川理）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣= （ C ）A.8B.4C. 2D.1解析：由2BC ＝16，得|BC|＝4AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=|| ＝4而AB AC AM ∣+∣=2∣∣ 故AM ∣∣= 2二、知识梳理1．平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi y j =+ ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x,y)，其中x 叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。
(1) 若a xi y j =+ ,则||a = (2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则2121(,)AB x x y y =--,||AB =表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同. (3) 向量相等 坐标相同。
解读：2．平面向量的坐标运算(1) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则()2121,y y x x b a ±±=± (2) 若=(x,y)，则λ=(λx, λy)(3) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅解读：3．设()()2211,,,y x b y x a ==则向量共线:1221//0a b x y x y ⇔-=向量垂直:b a ⊥，⇔ 02121=⋅+⋅y y x x解读：三、典型例题分析【例1】平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ；（2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ； （3）若d 满足()()b a c d +-//5=-，求d解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）设(,)d x y =则()()4,2,1,4=+--=-y x由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x , (3,1)(5,3)d =-或◆方法提炼：1.利用平面向量基本定理,2.利用共线向量定理.变式训练设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是___________答案：（11,6）小结与拓展：【例2】（2006全国Ⅱ）已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<。
届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析
第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。
了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。
规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。
中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。
错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。
北京第十八中学高三数学一轮复习教案52向量的平行与垂直
教案52 向量的平行与垂直一、课前检测1.已知(3,2),(1,0)a b =-=-，向量2a b a b λ+-与垂直，则实数λ的值为（ B ）A ．17B ．17-C ．16-D ．162.已知向量(1,),(,)(0,0)a n b m n m m n ==+>>，若1a b ⋅=，则m n +的最小值为（ C ） AB1 C1- D二、知识梳理1.两个向量平行的充要条件向量语言：若→a ∥→b ，→a ≠→0，则→a =λ→b坐标语言：设→a =（x 1,y 1），→b =(x 2,y 2)，则→a ∥→b ⇔(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)，即⎩⎨⎧λ=λ=2121y y x x ，或x 1y 2-x 2y 1=0注：实数λ是唯一存在的，当→a 与→b 同向时，λ>0；当→a 与→b 异向时，λ<0。
|λ|=|b ||a |→→，λ的大小由→a 及→b 的大小确定。
因此，当→a ，→b 确定时，λ的符号与大小就确定了。
这就是实数乘向量中λ的几何意义。
解读：2.两个向量垂直的充要条件向量语言：→a ⊥→b ⇔→a ·→b =0坐标语言：设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 解读：三、典型例题分析例1 已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件求实数λ的值。
（1）m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n =。
解：()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=（1）m n ⊥()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ952-=⇒λ； （2）//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ；(3)m n =()()088458723422222=--⇒+=-++⇒λλλλ51122±=⇒λ。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
高三数学一轮复习教案――平面向量(附高考分类汇编)
高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。
a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。
北京第十八中学高三数学第一轮复习 51 平面向量的数量积(或内积)教学案(教师版)
教案51 平面向量的数量积（或内积）一、课前检测1.(北京市东城区08年高三)已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的 值等于 . 答案：－25。
2.(湖北省荆门市08届上期末)如图，在△ABC 中，→→=DC 21BD ，→→=ED 3AE ，若→→=a AB ，→→=b AC ，则=→BE （ ）A ．1133a b+ B ．1124a b -+ C ．1124a b + D ．1133a b -+二、知识梳理1.向量的夹角：如下图，已知两个非零向量→a 和→b ，作→→=a OA ，→→=b OB ，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量→a 与→b 的夹角，记作〈→a ，→b 〉］，［π0∈。
Bb O θD A a注意：必须把两向量平移到共起点。
解读：2.数量积的定义：已知两个非零向量→a 和→b ，它们的夹角为θ，则数量|→a ||→b |cos θ叫做a 与b 的数量积，记作→a ·→b ，即→a ·→b =|→a ||→b |cos θ. 零向量与任一向量的数量积为0． 注意：00=⋅→→a ，→→=⋅00a ，0)(=-+a a 。
解读：C3.数量积的几何意义：①|→a |cos 〈→a ，→b 〉叫做→a 在→b 方向上的投影；|→b |cos 〈→a ，→b 〉叫做→b 在→a 方向上的投影；②→a ·→b 的几何意义：→a ·→b 等于|→a |与→b 在→a 方向上的投影|→b |cos 〈→a ，→b 〉乘积或等于|→b |与→a 在→b 方向上的投影|→a |cos 〈→a ，→b 〉乘积。
解读：4.数量积的性质：设→e 是单位向量，〈→a ，→b 〉=θ.1）→e ·→a =→a ·→e =|→a |cos θ.与→a 同向的单位向量的求法：→→→=aa e 。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
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教案50 平面向量的概念与几何运算（2）
一、课前检测
1.（2010辽宁文8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b == ,则OAB ∆的面积=（ ）
2.（2010四川理）设点M 是线段BC 的中点，点
A 在直线BC 外，216,
B
C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣= （ ）
A.8
B.4
C. 2
D.1
二、知识梳理
1．平面向量的坐标表示：
(1)
(2)
(3)
解读：
2．平面向量的坐标运算
(1)
(2)
(3)
解读：
3．设()()2211,,,y x b y x a ==则
向量共线:
向量垂直:
解读：
三、典型例题分析
【例1】平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==，回答下列问题：
（1）求满足c n b m a +=的实数m,n ；
（2）若()()
a b c k a -+2//，求实数k ；
（3）若d 满足()()b a c d +-//5=-，求d
变式训练设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→
--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是___________
小结与拓展：
【例2】（2006全国Ⅱ）已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-
<<。
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b +的最大值。
变式训练 已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ,向量m 与b a 23-平行,︱m ︱=4137则向量
m 的坐标是_____________
小结与拓展：
【例3】已知ABC ∆中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC 边上的高为AD ，求。
变式训练 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 ( )
A.1
B.2
C.5
D.6
小结与拓展：
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：。