3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修5)

a<0 或 Δ<0
；
(4)不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是全体实数(或恒成立)的等
a＝0 b＝0 c≥0 价条件是
a>0 或 Δ≤0
；
(5)f(x)≤a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]max≤a，x∈D； (6)f(x)≥a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]min≥a，x∈D.
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【典型例题】 例1 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
0<x1≤x2
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2.2
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x －k· 1 x2－k>0
Δ≥0 x1＋x2>2k x －k· 1 x2－k>0
fk >0 1 fk2<0 fk3>0
x1、x2∈ (k1，k2)
k1<x1<k2 <x2<k3
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探究点二 数轴穿根法解简单的一元高次不等式 数轴穿根法来源于实数积的符号法则， 例如要解不等式(x －1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下： x 的区间 x－1 x－2 x－3 (x－3)(x－2) · (x－1) 上得： x<1 － － － － 1<x<2 ＋ － － ＋ 2<x<3 ＋ ＋ － － x>3 ＋ ＋ ＋ ＋
∅
∅
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2
2.解分式不等式的同解变形法则： fx g(x)>0 ； (1) >0⇔ f(x)· gx fx (2) ≤0⇔ ； gx fx－agx fx (3) ≥a⇔ ≥0. gx gx
gx≤0 fx· gx≠0
2.2
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2.2
1．一元二次不等式的解集： 判别式 Δ＝b －4ac ax ＋bx＋c>0 (a>0)
2 2
Δ>0 (x1<x2) {x|x<x1
Δ＝ 0 {x|x∈R 且
Δ<0
或 x>x2}
b x≠－2a}
R
ax2＋bx＋c<0 {x|x <x<x } 1 2 (a>0)
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探究点三 一元二次不等式成立问题的关键是转化思想的应用， 一 元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图像来 求解，请把下列结论补充完整： (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒 成立)的等价条件是
a>0 Δ<0
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2.2
问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用． 这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
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探究点一 问题 一元二次方程根的分布 一元二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0 的根的分布范围
2.2
问题．一般从以下三个方面考虑： (1)判别式；(2)区间端点函数值的正负； b (3)对称轴 x＝－ 与区间端点的关系． 2a 设 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的两实数 根，f(x)＝ax2＋bx＋c，则 x1，x2 的分布范围与方程系数 之间的关系如下表所示： 根的分布 图像 等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ Δ≥0 x1＋x2>0 x2>0 x1·
；
(2)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的
a＝0 b＝0 等价条件是 c>0
a>0 或 Δ<0
；
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2.2
(3)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的等
a＝0 b＝0 价条件是 c<0
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2.2
x－2 3．不等式 >0 的解集是 x＋3 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
( C )
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2.2
4．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 没有实数解，则实数 m 的取值
1<m<9 ． 范围是________
Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
k<x1≤x2
Δ≥0 fk>0 － b >k 2a
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Δ>0 x1－k· x2－k<0
2.2
x1<k<x2
f(k)<0
Δ≥0 fk1>0 fk >0 2 k1<－ b 2a <k 2
2.2
把代数式 (x－ 1)(x－ 2)(x－ 3)的符号规律“浓缩”在数轴
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据此，可写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0 的解集是
2.2
{x|1<x<2 或 x>3} ．
一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是： (1)化成形如 p(x)＝(x－x1)(x－x2)„(x－xn)>0 (或<0)的标准 形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点 画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)； (4)根据曲线显现出的 p(x)的符号变化规律， 标出 p(x)的正值 区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．
解析
Δ＝(m－3)2－4m<0，∴1<m<9.
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2.2
[问题情境] 汽车在行驶中， 由于惯性作用， 刹车后还要继续向前滑行 一段距离才能停住， 我们称这段距离为“刹车距离”． 刹 车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速 40 km/h 以内的弯道上， 甲， 乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对， 同时刹车， 但还是相碰了． 事发后现场测得甲车的刹车距 离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m．又知甲、 乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间分别有如 下关系： S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2.