人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(1)(含答案)

3.2一元二次不等式及其解法(一)自主学习知识梳理1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．(1)若a>0，解集为________________；(2)若a<0，解集为________________．2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－Δ>0Δ＝0 Δ<0 4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根ax2＋bx＋c>0R(a>0)的解集ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集自主探究一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间存在怎样的关系，并利用这种关系解决下面的问题：已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2<x<3}，求a、b的值．对点讲练知识点一一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集(1)－2x2－x＋1>0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.总结一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．变式训练1求下列关于x的不等式的解集．(1)－x2＋7x>6；(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.知识点二 二、解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．总结 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．变式训练2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.知识点三 一元二次不等式与一元二次方程的关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．总结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．变式训练3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中0<α<β，a <0，求cx 2＋bx ＋a >0的解集．1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0))的解集为{x |x <x 1或x >x 2}(或{x |x 1<x <x 2} (x 1<x 2))，可得出x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根.课时作业一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32 2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)5．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19C ．559D ．不存在 题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表：x －3 －2 －10 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －40 6 则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________．7．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．10．解关于x 的不等式：ax 2－2x ＋1>0.§3.2 一元二次不等式及其解法(一)知识梳理1．(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a 2．(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠－b 2a} {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅自主探究解 一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．例如本题，方程x 2－ax －b ＝0的根就是2和3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a 2×3＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6. 对点讲练例1 解 (1)由－2x 2－x ＋1>0，得2x 2＋x －1<0，因式分解得(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12. 即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12. (2)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， ∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0.即解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知x 1＝1－52，x 2＝1＋52. ∴x 2－x －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 变式训练1 解 (1)∵－x 2＋7x >6，∴－x 2＋7x －6>0.∴x 2－7x ＋6<0，∴(x －1)(x －6)<0.∴1<x <6，即不等式的解集是{x |1<x <6}．(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0，因式分解得(x －m )[x －(m ＋1)]<0.∵m <m ＋1，∴m <x <m ＋1.即不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．例2 解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1； 当－2<a <0时，2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a. 综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 变式训练2 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．例3 解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2， ∴⎩⎨⎧ －13＋2＝－b a －13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . 所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3. 变式训练3 解 ∵α、β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝c a.∵a <0， ∴cx 2＋bx ＋a >0同解变形为c a x 2＋b ax ＋1<0. 由根与系数关系将α、β代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1<0.即αβ⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0， 由0<α<β，可知1α>1β. 所以不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1β<x <1α. 课时作业1．B2．C [由已知⎩⎨⎧ －2＋1＝1a －2×1＝－c a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2， y ＝f (－x )＝ax 2＋x －c ，即y ＝－x 2＋x ＋2，其图象为C.]3．B4．B5．A [由已知方程有两实数根得：Δ≥0，解得－4≤k ≤－43， 又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.]6．{x |x <－2或x >3}7．{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}8．a >12解析 f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .∴a >0且Δ＝1－4a 2<0，∴a >12. 9．解 ∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根， 由根与系数的关系得⎩⎨⎧13－12＝－p 13×⎝⎛⎭⎫－12＝q ， ∴⎩⎨⎧ p ＝16q ＝－16，∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0， ∴－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．10．解 ①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1>0，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12； ②当a <0时，Δ＝4－4a >0，此时不等式为x 2－2a x ＋1a<0， 由于方程x 2－2a x ＋1a ＝0的两根分别为1－1－a a 、1＋1－a a， 且1－1－a a >1＋1－a a， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎪⎫x |1＋1－a a <x <1－1－a a ； ③当a >0时，若0<a <1，则Δ>0，此时不等式即x 2－2a x ＋1a>0. ∵1－1－a a <1＋1－a a， ∴当0<a <1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－1－a a 或x >1＋1－a a . 若a ＝1，则不等式为(x －1)2>0，∴当a ＝1时，不等式解集为{x |x ∈R 且x ≠1}； 若a >1时，则Δ<0，不等式解集为R .综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＋1－a a <x <1－1－a a ； 当a ＝0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12； 当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1－1－a a 或x >1＋1－a a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{}x | x ∈R 且x ≠1；当a >1时，不等式的解集为R .。