一元二次不等式及其解法
提示：交点的横坐标为方程的根．
问题 4：观察二次函数图象，x 满足什么条件，图象在 x 轴上 方？
提示：x＞2 或 x＜0.
问题 5：能否利用问题 4 得出不等式 x2－2x＞0，x2－2x＜0 的解集？
提示：能，不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜0}，{x|0＜x＜2}．
[导入新知] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表
[活学活用]
2
1 3．已知方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2.(1)求 a、b 的值； 2 (2)解不等式 ax2＋bx－1＞0.
1 解：(1)∵方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2， 2
2
b 1 － ＋ 2 ＝－ 2 a， 由根与系数的关系，得 －1×2＝2. a 2 解得 a＝－2，b＝3.
高中数学高一年级必修五 第三章 第二节
一元二次不等式及其解法
学习目标
学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函 数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次 函数、一元二次方程的关系。 学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。 掌握一元二次不等式的解法及步骤。 学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一 元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步 骤。
(2)原不等式可化为 x2－7x＋6<0. 解方程 x2－7x＋6＝0 得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－7x＋6 的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0 两根为 2 和－3. 结合二次函数 y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－3 或 x>2}．
[随堂即时演练] 1．不等式 x(2－x)＞0 的解集为( A．{x|x＞0} C．{x|x＞2 或 x＜0} ) B．{x|x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：原不等式化为 x(x－2)＜0，故 0＜x＜2.
答案：D
2．已知集合 M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}， 则 M∩N 为( )
[活学活用] 2．解关于 x 的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为： (ax＋1)(x－1)＜0，当 a＝0 时，x＜1，当 a＞0 －1)＜0 1 ∴－a＜x＜1.当 a＝－1 时，x≠1，
1 时x＋a(x
当－1＜a＜0
1 1 时，x＋a(x－1)＞0，∴x＞－a或
92 (3)原不等式可化为 2x－2 ≤0 ，所以原不等式的解集为 9 x|x＝ . 4
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4 ＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x ＋10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7 ＜0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没 有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
[解]
方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数
y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
答案：A
3．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y＜0 时 x 的取值范围是________．
解析：由 y＜0 得 x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3
答案：(1,3)
4．若不等式 ax ＋bx＋2＞0
2
1 的解集为x|－2＜x＜2 ，则实数
a＝________，实数 b＝________.
1 1 ＝－ 与 x2＝ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根， 2 3
1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1 1 ×－ ＝q， 3 2
2
1 p＝6， 解得 q＝－1 . 6
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1＞0 即为－ x ＋ x＋1＞0，整理得 x2 6 6 －x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集为{x|－2＜x＜3}．
[活学活用] 1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (3)(2－x)(x＋3)<0； (2)－x2＋7x>6. (4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1， x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－1 或 x>6}．
A．{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2 或 3≤x＜7} C．{x|x≤－2 或 x＞3} D．{x|x＜－2 或 x≥3}
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2 或 x＞3} ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7}．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
判别式 Δ＝b2 －4ac 一元二次方程
2
Δ>0 有两相异
Δ＝ 0 有两相等
Δ<0
实根 x1＝x2 没有实数 ax ＋bx＋c＝ 实根 x1， 根 b 0(a>0)的根 x2， (x1＜x2) ＝－ 2a
判别式 Δ＝b2－ 4ac 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 ax ＋bx＋ c>0(a>0) 的解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0) 的解集
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0 可变为－2x2＋3x－1＞0， 1 即 2x －3x＋1＜0，解得 ＜x＜1. 2
2
1 ∴不等式 ax ＋bx－1＞0 的解集为{x| ＜x＜1}． 2
2
5.有关三个“二次”关系的不等式的解法
[ 典例 ] 已知关于 x 的不等式 ax2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集是 ax2－bx＋c＞0 的解集．
1 x|x＜－2或x＞－ ，求 2
[活学活用] 已知一元二次不等式 x ＋px＋q＜0 求不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
2
1 1 的解集为x|－2＜x＜3 ，
解：因为 x ＋px＋q＜0
2
1 1 的解集为x|－2＜x＜3 ，所以 x1
[提出问题] 观察下列不等式： (1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0. 问题 1：以上给出的 3 个不等式，它们含有几个未知数？未 知数的最高次数是多少？
提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是 2. 问题 2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
提示：形如 ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中 a，b，c 为常数， 且 a≠0.
合或区间的形式.
[提出问题] 已知：一元二次函数 y＝x2－2x，一元二次方程 x2－2x＝0， 一元二次不等式 x2－2x＞0. 问题 1：试求二次函数与 x 轴交点坐标
提示：(0,0)、(2,0)
问题 2：一元二次方程根是什么？
提示：x1＝0，x2＝2.
问题 3：问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系？
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
(4)由原不等式得 8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于 9x2－12x＋4>0. 2 解方程 9x －12x＋4＝0，得 x1＝x2＝ . 3
2
结合二次函数 y＝9x2－12x＋4 的图象知， 原不等式的解集为 2 {x|x≠ }. 3
[例 2]
解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.
[例 1]
解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0； 81 1 2 (3)－4x ＋18x－ ≥0；(4)－ x ＋3x－5＞0； 4 2
2
(5)－2x2＋3x－2＜0.
[解]
(1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程 2x2＋7x
1 ＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－ .又二次函数 y＝2x2 2 1 ＋7x＋3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－ ， 2 或 x＜－3}． (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集 为{x|－1≤x≤5}．
一元二次不等式及其解法
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学点 四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、 韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题？ 实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大 于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方 面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间 端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二） 判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下） （1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实 根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为
a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法1. （1）解不等式：(x+4)(x-1)<0，{x|-4<x<1}（2）解不等式：2x 2-3x-2>0，{x|x<21,或x>2}（3）解不等式：-3x 2+6x>2 }331x 331|x {+<<-（4）解不等式：4x 2-4x+1>0 }21x |R x {≠∈解不等式：)x 4(x )1x 2x 2(42->+- 解：32x x 04x 12x 9212==⇒>+-∴原不等式的解集为}32x |R x {≠∈4．分式不等式 3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0；c有两相等实根(3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f17.（本小题满分6分）已知R U =， 且{}0162<-=x x A ， {}0342≥+-=x x x B ，求（1）A ∪B ； （2）)(A C U ∪)(B C U解：（1）A ∪B=R ；（2）（C U A ）∪（C U B ）={x ∣x ≤-4或1﹤x ﹤3或x ≥4}12. 当0<a 时，关于x 的不等式05422>--a ax x 的解集是BA ．{}a x a x x -<>或5|B ．{}a x a x x -><或5|C ．{}a x a x -<<5|D ．{}a x a x 5|<<-15．不等式2601x x x ---＞的解集为（C ） （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 21.已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（A ）A ．[]11-，B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-，10.设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （A ）（A ）{12}x x -≤< （B ）1{|1}2x x -<≤ （C ）{|2}x x < （D ）{|12}x x ≤<19.已知全集R U =，集合}0)1)(2(|{>-+=x x x A ，}01|{<≤-=x x B ，则)(B C A U 为(C) (A)}12|{>-<x x x 或 (B)}02|{≥-<x x x 或(C)}01|{≥-<x x x 或 (D)}11|{>-<x x x 或 2.若二次不等式ax 2+8ax+21＜0的解集为-7＜x ＜-1，则a 的值为(C)(A) 1 （B ）2 (C)3 (D) 4 5.不等式252(1)x x +-≥的解集是（D ）(A) 132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (B) 132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ，， (D) (]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，11.函数2log (2)y x =++的定义域为(D)(A) (,1)(3,)-∞-+∞ (B) (,1][3,)-∞-+∞ (C) (2,1]-- (D) (2,1][3,)--+∞ 2、（广东5月模拟）不等式(1)(2)0x x +->的解集为（C ） （A ）(,1)(2,)-∞-⋃+∞ （B ） (,2)(1,)-∞-⋃+∞ （C ）(1,2)- （D ） (2,1)- 2、（福建质检）不等式203x x ->+的解集是 （D ）（A ）(2,)+∞ （B ） [2,)+∞ （C ）(,3)-∞- （D ）(,3)(2,)-∞-⋃+∞4、已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或.求,a b ； 答案：1,2a b ==5、若关于x 的不等式01x a x ->+的解集为(,1)(4,)-∞-⋃+∞，则实数4a =.3、（2010全国卷2理数）不等式2601x x x ---＞的解集为（C ）（A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜例1 解不等式：3124x x -<-．误：去分母，得324x x -<-，即37x >，得73x >，∴原不等式的解集为7|3x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．析：因为分母正负未定，故不等式两边同乘以24x -后不等号方向直接就“定义”不变是不对的．应通过移项、通分解决．正：原不等式变形为3731002424x x x x ---<⇔<--(37)(24)02x x x ⇔-->⇔<或73x >．∴原不等式的解集为7|23x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭，或．第21题. 对任意实数x ，不等式2(2)2(2)40a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．(2)-，∞Ｂ．(]2-，∞Ｃ．(22)-，Ｄ．(]22-，答案：Ｄ．例2．已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．例3．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．解：由题意 23230b ac a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 即560b ac a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩．代入不等式20cx bx a -+>得：2650(0)ax ax a a ++=<．即26510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32x x -<<-．例4．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．解：2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ． 200m ->⎧∴⎨∆<⎩， 即 224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩，解得：226m m >⎧⎨<<⎩ m ∴的取值范围为{|26}m m <<例5．若函数y =中自变量x 的取值范围是一切实数，求k 的取值范围解：y =中自变量x 的取值范围是R ， ∴220x kx k ++≥恒成立．∴2440k k ∆=-≤ ∴01k ≤≤ 故k 的取值范围是{|01}k k ≤≤．例3 (课本第88页)解不等式0322>-+-x x . 解：整理，得0322<+-x x .因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，所以不等式0322<+-x x的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅.8.在R 上定义运算⊙：a ⊙b a ab b ++=2，则满足x ⊙0)2(<-x 的实数x 的取值范围为B （A ）)2,0( （B ）)1,2(-（C ）),1()2,(+∞⋃--∞ （D ）)2,1(-【解析】依题意：x ⊙0)2(<-x (2)220x x x x ⇔-++-<，解得21x -<<。
一元二次不等式及解法
(1)a 0 a 4
1 （2）m m 且m 0 4
深化练习
(1)若对于x 1,3, mx mx 1 m 5
2
恒成立，求m的取值范围.
6 (1)m m 7
(2)已知不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3＞0
延伸训练
解关于x的不等式 ax (a 1) x 1 0, (a R )
2
综上所述： 1 a＜－1 时，解集为{x|－1＜x＜ }； a a＝－1 时，原不等式无解； 1 －1＜a＜0 时， 解集为{x| ＜x＜－1}； a a＝0 时，解集为{x|x＜－1}； 1 a＞0 时，解集为{x|x＜－1 或 x＞ }． a
1 ， 3
(4)a, b均为负值;
a 3, b 2
考点二
解含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式x 2 (a 1) x a 0, (a R)
( x 1)( x a) 0
当a 1时，解集为x a x 1 当a 1时，解集为 当a 1时，解集为x 1 x a 综上所述：
有参变量时，往往需要针对这个系数是否为0进行分类讨论，并且如果对应的一
元二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要再次针对这 两根的大小进行分类讨论．
3．有关一元二次不等式的恒成立问题 此类问题关键提炼出问题有关于一元二次不等式的本质，对变量进行 分类讨论及借助数形结合等方法进行求解计算.
b 4ac
2
0
y
0
y
x1 x2
0
y
y ax bx c
2
x
x1
x2
一元二次不等式及其解法
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的 解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时， 解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时， 解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－ 或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围． 解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或 解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]， 所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}． 答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )． 答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80， 所以实数a 的取值范围是[45,80)． 答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12， 所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。
一元二次不等式及其解法
∵ 32 4 2 2 7 0
∴方程 2x 2 3x 2 0 无实数根 ∴原不等式的解集为 R.
习题 1: 解下列不等式: （1） x 2 5x 6 0 ;
（2） x 2 7x 6 ;
x 2 6x 10 0
（3） 2 xx 3 0 ;
;
当 a 1 ,即 a 1或0 a 1 时,原不等式的解集为 x a x 1 .
原不等式可化为 x 22 0 或 x 22 0 ,所以原不等式的解集为 x x 2或 x x 2;
当 0 ,即 4 a 4 时 方程 x 2 ax 4 0 无实数根,所以原不等式的解集为 R.
例 7. 解不等式 m2 1x 2 4x 1≥0 m R.
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（2）一元二次不等式 ax 2 bx c 0 （≤0）的解集就是二次函数 y ax 2 bx c 0a 0
的图象位于 x 轴下方（包括 x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式 b 2 4ac
解:∵ m 2 ≥0 ∴m2 1 0
42 4m2 1 12 4m2
当 0 ,即
一元二次不等式及其解法
2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。
一元二次不等式及其解法
反思与感悟
解析答案
方法二
当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
1 3 2 2 ∵x －x＋1＝x－2 ＋4>0，
6 又 m(x －x＋1)－6<0，∴m< 2 . x －x＋1
当 a＞0
1 ； x | － ＜ x ＜ 1 时，原不等式的解集是 a
当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；
当－1＜a＜0
当 a＜－1
1 时，原不等式的解集是x|x＜1或x＞－a .
1 . x | x ＜－ 或 x ＞ 1 时，原不等式的解集是 a
反思与感悟
跟踪训练2
解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
解
原不等式可化为
(x－a)(x－a2)＞0
讨论a与a2的大小
(1)当a2＞a即a＞1或a＜0时，
x＞a2或x＜a.
(2)当a2＝a即a＝0或a＝1时，
x≠a.
解析答案
(3)当a2＜a即0＜a＜1时， x＞a或x＜a2. 综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}， 当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}， 当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}.
当a＝0时，x＜1；
当 a＞0
1 ∴－a＜x＜1；
当a＝－1时，x≠1；
当－1＜a＜0
1 时，x＋a(x－1)＞0，
1 ∴x＞－a或 x＜1；
反思与感悟 解析答案
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
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函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。
一元二次不等式及解法
的图像。 画出函数 y = x − x − 6 的图像。
2
注意画二次函数简图的一般过程 y -2 3 x
当x=-2或x=3时，y x=x=3时
＝ ＞
0，即x2 -x-6 ＝ 0。 0，即x2 -x-6 ＞ 0
当x＜-2或x＞3时，y 当-2＜x＜3时，y
＜
0，即x2 -x-6 ＜ 0
方程ax 方程 2＋bx＋c=0（a≠0）；不等式 ＋ （ ax2＋bx＋c <0或ax2＋bx＋c >0 （a≠0） ；与函 ＋ 或 ＋ ） 数y= ax2＋bx＋c （a≠0）的图象有什么关系？ ＋ ）的图象有什么关系？
一、复习一元 一、复习一元二次方程 一元二次方程
一元二次方程:ax 一元二次方程 2+bx+c=0(a≠0) 二次方程
∆ > 0 方程有两个不等的根
∆ = 0 方程有一个根
∆ < 0 方程没有根
求根的方法： 1）公式法 X= 求根的方法： ） （
b 2 4ac − b =0 （2）配方法，化为顶点式 a( x + ) − ）配方法， 2a 4a
1 方程4x 4x＋ =0的解是 解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是 x1 = x2 = , △ =0,方程 2 1 所以, 所以,原不等式的解集是 x | x ≠
2
4x＋ 4x2－4x＋1＜0
无解
四、应用举例
4.解不等式－ 2x－ 4.解不等式－x2 ＋2x－3＞0 解不等式 略解:－ 2x－ 略解 －x2＋2x－3＞0 2x+3＜ x2-2x+3＜0 无解 2x+3＞ x2 -2x+3＞0
四、应用举例
2.解不等式－ 6x＞ 2.解不等式－3x2＋6x＞2 解不等式 略解: 6x＞ 略解 －3x2＋6x＞2 6x＋ 3x2－6x＋2＜0