一元二次不等式的解法
一元二次不等式解法公式
一元二次不等式解法公式
在解决一元二次不等式时，需要使用一些特定的解法公式。
一元二次不等式是
一个形式为ax^2+bx+c>0（或<0）的不等式，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
解法公式如下：
1. 定义问题：将不等式中的所有项移至一侧，使不等式的形式为ax^2+bx+c >
0（或 < 0）。
2. 因式分解：准确分解左侧的二次项，将不等式转化为(ax + m)(ax + n) > 0
（或 < 0）的形式，其中m和n是实数。
3. 求解根：令(ax + m)(ax + n) = 0，从中可以得到x的两个根，即x = -m/a 和 x = -n/a。
4. 构建数轴：将x的解绘制在数轴上。
5. 数轴测试：在数轴上任选一测试点，代入原不等式中并判断不等式是否成立。
6. 确定解区间：根据数轴测试的结果确定不等式成立的区间。
这些步骤可以协助我们找到不等式的解。
这种方法比较符合问题的要求，同时
可帮助我们理解一元二次不等式的本质。
请在具体的案例中使用这个公式并进行解题，以便更好地理解和应用它。
一元二次不等式公式解法
一元二次不等式公式解法一元二次不等式是指类似于ax+bx+c>0的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。
解一元二次不等式的方法可以分为以下两种公式解法：1.配方法当a>0时，我们可以通过配方法将一元二次不等式转化为(x+m)+n>0的形式。
具体步骤如下：①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≥0的形式。
②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≥0。
③将b/a的一半平方再减去c/a，得到(b/2a)-c/a=m，其中m为实数。
④将式子转化为a[(x+b/2a)-(b/2a)+c/a]≥0。
⑤将式子化简，得到(x+b/2a)+(4ac-b)/4a>0。
⑥将4ac-b表示为n，得到(x+b/2a)+n/4a>0。
⑦由于a>0，所以n>0，而完全平方数加上正数大于0，所以(x+b/2a)+n/4a>0，即(x+m)+n>0。
2.因式分解法当a<0时，我们可以通过因式分解法将一元二次不等式转化为(ax+b)(x+c)<0或(ax+b)(x+c)>0的形式。
具体步骤如下：①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≤0或ax+bx+c≥0的形式。
②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≤0或a(x+bx/a+c/a)≥0。
③将x+bx/a+c/a表示为(x+d)(x+e)的形式，其中d、e为实数。
④当a<0时，(x+d)(x+e)>0；当a>0时，(x+d)(x+e)<0。
⑤当a<0时，解(x+d)(x+e)>0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集；当a>0时，解(x+d)(x+e)<0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集。
以上就是一元二次不等式的两种公式解法。
需要注意的是，在解一元二次不等式时，我们需要根据a的正负性和不等式的形式来选择不同的解法。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式。
解一元二次不等式的方法可以通过图像法、代入法和判别法来实现。
本文将介绍这三种解法，并通过实例来说明其具体步骤。
图像法图像法是解一元二次不等式最直观的方法之一，它通过绘制一元二次函数的图像来找到不等式的解集。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明图像法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以通过求解x的一元二次方程来得到根，即使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
将方程x^2-4x+3=0代入求根公式中，得到x=1和x=3。
其次，在数轴上绘制一元二次函数y=x^2-4x+3的图像。
根据函数的开口方向和图像的凹凸性，我们可以确定函数在x<1和x>3的区间上为正值，即图像在该区间上位于x轴之上。
最后，根据不等式的正号，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
代入法代入法是通过代入特定的数值来判断一元二次不等式的真假。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明代入法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以使用同样的方法得到x=1和x=3。
其次，选择一些特定的数值，代入一元二次不等式中，判断不等式的真假。
例如，选择x=0、x=2和x=4来代入不等式。
计算得到代入x=0时，不等式为3>0，代入x=2时，不等式为-1>0，代入x=4时，不等式为3>0。
根据计算结果，我们可以确定不等式在x<1和x>3的区间上为真。
最后，根据不等式的真假，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
判别法判别法是解一元二次不等式的一种常用方法，它利用一元二次不等式的判别式来确定不等式的解集。
一元二次不等式全部解法
一元二次不等式全部解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。
下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。
方法一：图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。
以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。
如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。
方法二：因式分解法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。
然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。
因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。
方法三：配方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。
2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。
3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。
即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。
方法四：求解判别式对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x<x1或x>x2。
一元二次不等式的解法全
2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
有两个相
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
∆＝b2-4ac ∆>0
y
y∆=0 y ∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
一元二次不等式方程的解法
一元二次不等式方程的解法含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a不等于0),其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法有哪几种?1、公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。
求根公式： x=-b±√(b2-4ac)/2a。
2、配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。
3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。
这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”4、一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
等式的基本性质：1、等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。
2、等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式(不为0)。
3、不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;4、不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;5、不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。
这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。
解法一：使用因式分解法。
对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。
解法二：使用它的图像解法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
解法三：使用开平方法。
对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。
首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。
解法四：使用代数求解法。
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。
求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。
解法五：使用数轴法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。
解法六：使用区间法。
将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。
在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。
一元二次不等式解法
提高题：
3．若a＜0 ，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的
｛x︳x＞－a或x＜5a 解是____________________ ｝
将a＜0改成a∈R,则不 等式的解集是 ______________
变式题： x2－4ax－4＜0的解集是_______; x∈
x∈R (1)若 a＜0 ，则关于x的不等式 x2－4ax－4＞0的解是_____；
△>0 y x1 O
y>0
△=0
y
y>0
△<0
y
y>0
x2 x
y<0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
O x1
x
O
没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 {x|x<x1或 x>x2} (y>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x < x <x } 1 2 (y<0)的解集
解关于x的不等式 变式1: 变式2:
2a 1) 0(a 0)
ax (2a 1)x 2 0(a 0)
2
变式3: 已知不等式 ax2 bx c 0(a 0)的解是 求不等式 bx2 ax c 0 的解． x 2, 或 x 3
一元二次不等式的解法 （一）
一元二次不等式 1、定义：
含有一个未知数且未知数的最高次数为2次 的不等式叫做一元二次不等式; 它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a≠0),(其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式 )
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- 2 - 一元二次不等式的解法
一、选择题
1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3}
2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．∅
3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R
4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2}
5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
13
＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6
6.已知集合M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＋3
x －1＜0，N ＝{}
x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )
7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若
每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是
( )．
A ．100台
B ．120台
C ．150台
D ．180台
8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是 ( )．
A ．{a |0＜a ＜4}
B ．{a |0≤a ＜4}
C ．{a |0＜a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
9．关于x 的不等式a －x
x ＋b
＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )．
A ．{x |x ＞a }
B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a }
C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b }
D ．{x |－b ＜x ＜a }
10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )．
A ．－1＜a ＜1
B ．0＜a ＜2
C ．－12＜a ＜32
D ．－32＜a ＜1
2
11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.
12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________．
14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________．
15、不等式(3x －4)(2x ＋1)
(x －1)2
<0的解集为________．
三、解答题
16、解不等式1）－2x 2＋103x －1
3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1.
17、已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}．
(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2＋bn＜(an＋b)x.
18、已知不等式x2＋x－6＜0的解集为A，不等式x2－2x－3＜0的解集为B.
(1)求A∩B.
(2)若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3＜0的解集．
19、国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附
加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k 应怎样确定？
20、解关于x的不等式
1
x－1
＞a.
21、已知1
)
1
(
)
(2+
+
-
=x
a
a
x
x
f，
（1）当
2
1
=
a时，解不等式0
)
(≤
x
f；
（2）若0
>
a，解关于x的不等式0
)
(≤
x
f
- 2 -。