一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
一元二次不等式及其解法
§9.2一元二次不等式及其解法对应学生用书第120页1.一元二次不等式的定义形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0.(2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0( a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0( a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0( a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c >0或{a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c <0或{a <0,Δ<0.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)a>b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.( ) (3)若方程ax 2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( ) (4)不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×【对接教材】2.(北师大版必修5P87习题T4改编)已知不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m 的值为( ).A .2B .-3C .1D .3答案 D解析 因为不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是关于x 的方程x 2-mx+2=0的实数根, 所以m=1+2=3.故选D .【易错自纠】3.关于x 的不等式x 2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax 2+x-3<0的解集为( ).A .(1,2)B .(-1,2)C .(-12,1) D .(-32,1)答案 D解析 由题意知,-3,1是关于x 的方程x 2+ax-3=0的两根,可得-3+1=-a ,解得a=2, 故所求不等式为2x 2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0, 解得-32<x<1,所以不等式的解集为(-32,1). 故选D .4.若关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围为( ).A .(6,7]B .(6,7)C .[6,7)D .(6,+∞)答案 A解析 原不等式可化为(x-2)(x-m )<0, 若m ≤2,则不等式的解是m<x<2,此时不等式的解集中不可能有4个正整数,所以m>2, 所以不等式的解是2<x<m ,所以不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6, 故实数m 的取值范围是(6,7].【真题演练】5.(2019年天津卷)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a(x ≤1),x -alnx(x >1).若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a的取值范围为( ). A .[0,1]B .[0,2]C .[0,e]D .[1,e]答案 C解析 当x ≤1时,f (x )=x 2-2ax+2a ,函数f (x )图象的对称轴为直线x=a ,又f (x )≥0在R 上恒成立, 所以当a ≥1时,f (x )min =f (1)=1>0恒成立, 当a<1时,f (x )min =f (a )=2a-a 2≥0,∴ 0≤a<1. 综上,a ≥0.当x>1时,f (x )=x-a ln x ,所以f (x )≥0在R 上恒成立,即a ≤xlnx恒成立. 设g (x )=xlnx,则g'(x )=lnx -1(lnx)2.令g'(x )=0,得x=e,所以当1<x<e 时,g'(x )<0;当x>e 时,g'(x )>0. 所以g (x )min =g (e)=e,所以a ≤e .综上,a 的取值范围是0≤a ≤e,即[0,e].故选C .对应学生用书第121页一元二次不等式的求解【考向变换】考向1 不含参数的一元二次不等式解不等式:(1)3+2x-x 2≥0;(2)1-2xx+1>0. 解析 (1)原不等式可化为x 2-2x-3≤0,即(x-3)(x+1)≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(1-2x )(x+1)>0,解得-1<x<12,故所求不等式的解集为{x|-1<x <12}.变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判—计算对应方程的判别式求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集【追踪训练1】解不等式:3x -52x -3≤2. 解析 原不等式可化为x -12x -3≥0,即{x -1≥0,2x -3>0或{x -1≤0,2x -3<0,解得x>32或x ≤1.故所求不等式的解集为{x|x >32或x ≤1}.考向2 含参数的一元二次不等式已知函数f (x )=ax 2-(a+1)x+1. (1)当a=-2时,解关于x 的不等式f (x )<0; (2)当a>0时,解关于x 的不等式f (x )>0. 解析 (1)当a=-2时,f (x )=-2x 2+x+1<0, 即2x 2-x-1>0,解得x<-12或x>1,∴不等式的解集为{x|x <-12或x >1}.(2)当a>0时,由f (x )>0,得ax 2-(a+1)x+1>0, 即(ax-1)(x-1)>0,①当1a =1,即a=1时,解得x ≠1;②当1a >1,即0<a<1时,解得x<1或x>1a ; ③当1a <1,即a>1时,解得x<1a 或x>1.综上所述,当a=1时,不等式的解集为{x|x ≠1}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x <1或x >1a}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x <1a或x >1}.点拨 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.【追踪训练2】解关于x 的不等式ax -1x -3>0. 解析 不等式等价于(ax-1)(x-3)>0. 当a<0时,不等式的解集为{x|1a<x <3}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<3};当0<a<13时,不等式的解集为{x|x <3或x >1a}; 当a=13时,不等式的解集为{x|x ≠3};当a>13时,不等式的解集为{x|x >3或x <1a}.一元二次不等式恒成立问题【考向变换】考向1 在实数集R 上恒成立问题若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A .(-3,0]B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0)答案 D解析 因为2kx 2+kx-38<0为一元二次不等式,所以k ≠0.又2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立, 则{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.点拨 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外,问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.【追踪训练3】设a 为常数,对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .(0,4) B .[0,4)C .(0,+∞)D .(-∞,4)答案 B解析 对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立, 则{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,所以0≤a<4.考向2 在给定区间上恒成立问题(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围. 解析 要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立. (法一)令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3],当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0,所以m<67,则0<m<67; 当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}. (法二)因为x 2-x+1=(x -12)2+34>0, 又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6x 2-x+1.因为函数y=6x 2-x+1=6(x -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}.点拨 解决恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.【追踪训练4】若对任意m ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x 的取值范围. 解析 f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x 2-4x+4, 令g (m )=(x-2)m+x 2-4x+4,由题意知,在[-1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以{g(-1)=(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,g(1)=(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得x<1或x>3.故x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).对应学生用书第122页转化与化归思想在分式不等式中的应用解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商式,另一边为0的形式,再通过等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.注意分母不为零.已知函数f (x )=2ax -bx -1(a ,b ∈R). (1)若关于x 的不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),求f (x )<0的解集; (2)若a=12,求不等式f (x )>0的解集.解析 (1)∵不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),∴a>0,a=b>0,∴f (x )<0,即a(2x -1)x -1<0,∴a (2x-1)(x-1)<0,解得12<x<1, ∴f (x )<0的解集为(12,1).(2)当a=12时,不等式f (x )>0,即f (x )=x -bx -1>0, ∴(x-b )(x-1)>0,当b>1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(b ,+∞); 当b=1时,不等式f (x )>0的解集为{x|x ≠1}; 当b<1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,b )∪(1,+∞).对于分式不等式或高次不等式,常用的方法是穿针引线法,首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.【突破训练】(2021辽宁辽阳模拟)不等式x+61-x ≥0的解集为( ).A .{x|-6≤x ≤1}B .{x|x ≥1或x ≤-6}C .{x|-6≤x<1}D .{x|x>1或x ≤-6}答案 C 解析 不等式x+61-x≥0等价于{(x +6)(1-x)≥0,1-x ≠0,解得-6≤x<1.对应《精练案》第56页1.(2021山东聊城期中)一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为( ).A .{x|x<-2或x>1}B .{x|x<-1或x>2}C .{x|-2<x<1}D .{x|-1<x<2}答案 C解析 (x-1)(x+2)<0, 即{x -1>0,x +2<0或{x -1<0,x +2>0,解得-2<x<1.∴一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为{x|-2<x<1}.故选C .2.(2021山东临沂期中)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,则实数a 的取值范围是( ).A .(-16,0)B .(-16,0]C .(-∞,0)D .(-8,8)答案 D解析 ∵不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a 2-4×4×4<0,解得-8<a<8, ∴实数a 的取值范围是(-8,8).故选D .3.(2021河北沧州模拟)已知不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2],则b+c 的值为( ).A .-1B .1C .-2D .2答案 A解析 因为不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2], 所以关于x 的方程x 2+bx+c=0的实数根为1和2, 所以{1+2=-b,1×2=c,即{b =-3,c =2,所以b+c=-3+2=-1. 故选A .4.(2021福建泉州模拟)设f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集是( ).A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .RC .{x|x ≠1}D .{x|x=1}答案 C解析 ∵f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),∴-b 2=-1+32,解得b=-2.∴f (x )=x 2-2x+1=(x-1)2, ∴f (x )>0的解集为{x|x ≠1}.5.(2021重庆南开检测)已知集合A={x|0≤x ≤1},B={x|x 2-2(m+1)x+m<0},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .[-1,0)D .(-∞,0) 答案 B解析 令f (x )=x 2-2(m+1)x+m , 若要满足A ⊆B ,则需满足{f(0)<0,f(1)<0,即{m <0,1-2(m +1)+m <0,解得-1<m<0.6.(2021陕西延安期中)已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( ).A .{x|-1<x <12} B .{x|x <-1或x >12}C .{x|-2<x<1}D .{x|x<-2或x>1}答案 A解析 ∵不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},∴关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根分别为-1,2,且a<0,即{-1+2=-ba,(-1)×2=2a,解得{a =-1,b =1,则所求不等式可化为2x 2+x-1<0, 解得{x|-1<x <12}. 故选A .7.(2021广东东莞期中)已知函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,则实数a 的取值范围是( ).A .[-2,1)B .[-2,-1]C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪[1,+∞)答案 B解析 ∵函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,∴当a 2-1=0时,a=1或a=-1,验证可知a=1时不成立,a=-1时成立;当a 2-1≠0时,{a 2-1>0,Δ=4(a -1)2-12(a 2-1)≥0,解得-2≤a<-1.综上,-2≤a ≤-1,∴实数a 的取值范围是[-2,-1].故选B .8.(2021江苏南通期中)对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0成立的x的范围是( ). A .(32,152) B .[2,8] C .[2,8) D .[2,7]答案 C解析 由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32<[x ]<152, 又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以2≤x<8.9.(2021重庆南开检测)二次不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),若f (x )=cx 2+bx+a ,则( ).A .f (2)>f (0)>f (1)B .f (2)>f (1)>f (0)C .f (0)>f (1)>f (2)D .f (0)>f (2)>f (1)答案 A解析 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞), 所以1和2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两实数解,且a>0, 所以{1+2=-b a,1×2=c a ,解得{b =-3a,c =2a,所以f (x )=cx 2+bx+a=a (2x 2-3x+1),所以f (x )是二次函数,且其图象开口向上,对称轴是直线x=34, 且|1-34|<|0-34|<|2-34|, 所以f (1)<f (0)<f (2). 故选A .10.(2021湖南长沙模拟)定义运算:{x,xy ≥0,y,xy <0.例如=3,(-=4.则函数f (x )=x x-x 2)的最大值为 .答案 4解析 由已知得f (x )=x x-x 2)={x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0={x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4.11.(2021湖北黄冈调考)设A :x x -1<0,B :0<x<m ,若B 是A 成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (1,+∞) 解析 由题意得,xx -1<0,则0<x<1.要使得B 是A 成立的必要不充分条件,则(0,1)⫋(0,m ), 所以m>1.12.(2021江西抚州模拟)若关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,则实数m 的取值范围为( ).A .(-3,+∞)B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,-3) 答案 A解析 因为关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,所以22+2m-4>0或42+4m-4>0, 解得m>0或m>-3,所以实数m 的取值范围是(-3,+∞). 故选A .13.(2021河北张家口模拟)已知使不等式2ax 2+ax-3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ,使不等式mx 2+(m-1)x-m>0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ,则有( ). A .A ⊆(R B )B .A ⊆BC .B ⊆(R A )D .B ⊆A答案 D解析 令f (a )=(2x 2+x )a-3,因为f (a )>0对任意的a ∈[1,3]恒成立,所以{f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=(-∞,-32)∪(1,+∞),又mx 2+(m-1)x-m>0,即m (x 2+x-1)>x.因为当x ∈[1,3]时,x 2+x-1>0,所以m>xx 2+x -1对任意x ∈[1,3]恒成立,又y=xx 2+x -1=1x -1x +1在[1,3]上单调递减,故y max =1,故m>1,即B=(1,+∞).综上,B ⊆A.14.(2021广东佛山模拟)(1)解关于x 的不等式ax 2-3x+2>5-ax (a ∈R).(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,求x 的取值范围.解析 (1)不等式ax 2-3x+2>5-ax 可化为ax 2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}. ②当a ≠0时,方程的两根为-1和3a ,当a>0时,不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}, 当a<0时,a.若3a>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x <3a }; b.若3a<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; c .若3a =-1,即a=-3,原不等式的解集为⌀,综上所得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}; 当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x <3a}; 当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; 当a=-3时,原不等式的解集为⌀.(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,即mx 2-mx+m-6<0恒成立,所以(x 2-x+1)m-6<0恒成立,令函数f (m )=(x 2-x+1)m-6,m ∈[-2,2], 因为(x 2-x+1)=(x -12)2+34>0恒成立, 所以函数f (m )=(x 2-x+1)m-6在m ∈[-2,2]上单调递增, 所以只需要函数的最大值小于0即可, 所以f (2)=(x 2-x+1)×2-6<0,即x 2-x-2<0, 解得-1<x<2,即x 的取值范围是(-1,2).15.(2021思明区校级月考)已知函数f (x )=ax 2+(b-8)x-a-ab ,f (x )>0的解集为(-3,2),(1)求f (x )的解析式;(2)当x>-1时,求y=f(x)-21x+1的最大值; (3)若不等式ax 2+kx-b>0的解集为A ,且(1,4)⊆A ,求实数k 的取值范围.解析 (1)由题可知{a <0,f(-3)=0,f(2)=0,解得{a =-3,b =5. 则f (x )=-3x 2-3x+18.(2)由(1)知,y=f(x)-21x+1=-3x 2-3x -3x+1, 令t=x+1,x>-1,则t>0,y=-3(t +1t -1)≤-3,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立,则x=0, 故y=f(x)-21x+1的最大值为-3. (3)由题可知,不等式ax 2+kx-b>0在x ∈(1,4)上恒成立, 即kx>3x 2+5在x ∈(1,4)上恒成立, 即k>3x+5x 在x ∈(1,4)上恒成立.令g (x )=3x+5x ,则g'(x )=3x 2-5x 2, 令g'(x )=0,解得x=√153, 当x ∈(1,√153)时,g'(x )<0,当x ∈(√153,4)时,g'(x )>0. ∵g (1)=8,g (4)=534,∴g (x )max =g (4)=534,则k ≥534.。
一元二次不等式及含参问题的解法
若a<0呢?
函数： 方程： a＞0 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 的解情况 y 当⊿＞0时， 方程有两不 等的根x1 ， x1 o x2 x x2 当⊿＝0 时， 方程有两相 等的根 X1=X2=x0 当⊿＜0 时， 方程无解 o x y 不等式的解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3 ) 0 , x 1 1, x 2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
0
综上得 {a|0≤a≤4}.
解下列不等式：
(1 ) x 2 x
2
2 3
0 ; ( 2 ) 8 x 1 16 x .
2
含参数的一元二次不等式
例1 解关于 x 的不等式
ax
2
5 ax 6 a 0 a 0
分析: 因为 a 0 且 数的正负.
∴(1)当 a ∴当 a
k x
4
(2)当 k (3)当
8
时,不等式解集为 x 时,不等式解集为
x 2
8 k 0
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x
x 0
例4:解关于
x 的不等式：
ax
2
( a 1) x 1 0 .
{ 解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解 集 为 ：x | x 1} .
一元二次不等式解法
一元二次不等式解法
解一元二次不等式的一般步骤：
1、对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
2、计算相应的判别式；
3、当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
4、根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。
解一元二次不等式应注意的问题：
1、在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数。
2、二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况。
3、解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号。
4、一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同。
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】 例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？ 不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解 不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=， 当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解 对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解 原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解 原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】 课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六 课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法教案
一元二次不等式及其解法教案教学目标1.知识与技能:二次不等式与会解一元二次不等式及含参数的一元二次不等式。
2.过程与方法:通过学案让学生有目的复习，自主预习。
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，进而探究一元二次不等式和含参数不等式的解法;以函数为载体，突破一元二次不等式恒成立问题。
3.情感态度与价值观:培养探究合作的能力和推证能力及解决问题的能力。
2学情分析本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
我班中等程度的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。
学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。
学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。
3重点难点1.重点:会解一元二次不等式及含参数不等式。
2.难点:一元二次不等式恒成立应用问题。
4教学过程4.1复习课教学活动活动1【活动】一元二次不等式及其解法引入：以高考考点及类型复习引入学生复习学案上的高考考点明确高考考点教学过程：一快速起跑——学案总结明确学习目标，总结学生学案的完成情况题。
二完善学案——自主学习总结1、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
一元二次不等式方程的解法
一元二次不等式方程的解法含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a不等于0),其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法有哪几种?1、公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。
求根公式： x=-b±√(b2-4ac)/2a。
2、配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。
3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。
这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”4、一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
等式的基本性质：1、等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。
2、等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式(不为0)。
3、不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;4、不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;5、不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。
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方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
③ 9(2m+3)2 4(2m5)2 = 0
能力拓展 能力
解关于x的方程: 解关于x的方程: ① ②
6 m x + 5 mx 6 = 0
2 2
( 其中 m ≠ 0 )
x x 2=0
2
小结: 小结:
1,
ax2+c=0 ax2+bx=0
====> 直接开平方法
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法(配方法) 公式法(配方法) 2,公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用, 2,公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用, 是最简单的, 但不一定 是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑 能否应用"直接开平方法" 因式分解法" 能否应用"直接开平方法","因式分解法"等简单方 若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法) 法,若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法) 3,方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没有简单 ,方程中有括号时, 方法,若看不出合适的方法时, 方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法. 一般形式再选取合理的方法.
③配方
(配上一次项系数一半的 配上一次项系数一半的 平方) 平方
5 x 6
2
49 = . 36
49 . 36
开平方, 开平方,得: x 5 = ±
④写成(x+m)2 =k(k≥0) ) 的形式 ⑤开平方 ⑥写出方程的两个解
6
1 ∴ x1 = 2 , x 2 = . 3
用公式法解
b ± b2 4ac x= 2a
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握 要作为一种基本技能来掌握. 要方法 要作为一种基本技能来掌握
一元二次方程也是刻画现实世界的有 效数学模型. 效数学模型
一元二次不 等式解法
三个"二次"的关系 三个"二次"
一元二次不等式, 一元二次不等式,一元二次方程与二次函数 的关系: 为例. 的关系:以 a>0为例. 为例
当二次项系数含有参数时,一定要注意对参 小结 当二次项系数含有参数时 一定要注意对参 数的讨论(讨论依据 二次项系数是否等于0). 讨论依据:二次项系数是否等于 数的讨论 讨论依据 二次项系数是否等于
a 2 1 < 0 (1) a 2 1 = 0; ( 2 ) < 0.
一元二次不等式ax 小结 一元二次不等式 2+bx+c<0(a>0)的解集就是 的解集就是 二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)位于 轴下方的 的图象( 二次函数 的图象 抛物线)位于x轴下方的 点所对应的x值的集合 值的集合. 点所对应的 值的集合.
ax2+bx+c=0 + = (a>0) > =b2-4ac y=ax2+bx+c = + (a>0) >
两个不等实根x 两个相等的实 两个不等实根 1, x2,(x1<x2) 根x1=x2, > 0 = 0
无实根 < 0
x1
x2
x
x1 =x2 x
x R
ax2+bx+c>0解 解 {x|x>x2或x<x1} 集 ax2+bx+c<0解 解 集 {x|x1<x<x2}
小结: 小结:本节我们学习了一元 二次不等式, 二次不等式,以及可以转化 为一元二次不等式的不等式 的解法, 的解法,注意三个二次之间 的关系. 的关系.
�
2
方法1 方法1 方法2 方法2 方法3 方法3
用因式分解法解
3x 5x = 2
2
解题步骤
①方程右边为零 ②方程左边因式分解 B=0的形式 成A.B=0的形式 ③A=0或B=0 或 ④写出方程的两个根
移项,得 解:移项 得
3x2 5x 2 = 0
方程左边因式分解,得 方程左边因式分解 得
(x2)(3x+1) =0
解一元二次不等式的一般步骤: 小结 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将二次项系数变为大于 的标准形式 将二次项系数变为大于0的标准形式 将二次项系数变为大于 的标准形式; (2)解方程,画出二次函数的草图; 解方程,画出二次函数的草图; 解方程 (3)观察图像,利用"大于取两边,小于取中间"得出不等式解 观察图像,利用"大于取两边,小于取中间" 观察图像 集.
3x 5 x = 2
2
解题步骤
①将方程化成一般式, 将方程化成一般式 并写出a,b,c 并写出
移项,得 解:移项 得 3x2 5x 2 = 0 这里a=3,b=-5,c=-2 这里
2
∴ b 2 4ac = ( 5) 4 × 3 × (2) ②求出 2-4ac的值 求出b 的值
=49
(特别注意 2-4ac<0) 特别注意b < 特别注意 ③代入求根公式 ④写出方程的两个根
(5) ± 49 5 ± 7 = ∴x = 2×3 6
1 ∴ x1 = 2 , x 2 = . 3
例1.选择适当的方法解下列方程: 1.选择适当的方法解下列方程: 选择适当的方法解下列方程
① ( x 2) ②
2
2
=9
t 4t = 5
先考虑开平方法, 先考虑开平方法, 再用因式分解法; 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法. 最后才用公式法和配方法.
{x|x≠x1}
不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是 的解集是{x|-3<x<1}, 例5 不等式 的解集是 求实数a的范围 的范围. 求实数 的范围 分析:由题意得 是方程(1-a)x2-4x+6=0 分析:由题意得x1=-3,x2=1是方程 是方程 的两根. 的两根
变式练习1 不等式(a 变式练习 不等式 2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是 的解集是 R,求实数 的范围. 求实数a的范围 求实数 的范围