一元二次不等式及其解法例题分类

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二次函数与一元二次方程不等式6种常见考法归类(原卷版)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念2一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 4、简单的分式不等式的解法(1)ax ＋bcx ＋d＞0(＜0)∅(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0). (2)ax ＋bcx ＋d ≥0(≤0)∅⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0(≤0)，cx ＋d ≠0. 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解．图示如下：思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 6、利用不等式解决实际问题的一般步骤（1）选取合适的字母表示题目中的未知数．（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．（3）求解所列出的不等式(组)．（4）结合题目的实际意义确定答案． 7、解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 8、解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：∅关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.∅关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ∅关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 9、三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：10、根据一元二次不等式解集求参数已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 11、分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式．特别地，形如y 1y 2＞a (a ≠0)的分式不等式，可同解变形为12y 2＞0，故可转化为解y 2(y 1－ay 2)＞0.12、一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．注：(1)一般地，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0)；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0).(2)在解关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意． 13、解不等式应用题的步骤考点一一元二次不等式的解法考点二含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论（二）对判别式的讨论（三）对两根大小的讨论考点三根据一元二次不等式的解集求参数考点四简单的分式不等式的解法考点五一元二次不等式的恒成立问题考点六一元二次不等式的实际应用考点一一元二次不等式的解法1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合{}|1M x x =>-，{}260N x x x =--<∣，则M N ⋂= ．2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式：（1）22320x x --> （2）2350x x -+> （3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-4．（2023·上海·高一专题练习）二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则y >0的解集为（） A ．{x |2<x <1} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <0或x >3}5．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x 的不等式2230x x --<解集是．考点二含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.7．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.8．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．9．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. （二）对判别式的讨论10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式210x ax ++<． 11．（2023·全国·高一假期作业）解关于x 的不等式2210x mx m -++>. （三）对两根大小的讨论12．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．13．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->14．（2023秋·高一校考单元测试）已知函数2()(21)2f x ax a x =-++. (1)当2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤..15．（2023·全国·高三对口高考）解关于x 的不等式： (1)22(1)40ax a x -++< (2)(1)(2)02a x a x -+->-考点三根据一元二次不等式的解集求参数16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（）A ．10B ．6C ．0D ．217．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式250ax x b -+>的解集是{}32x x -<<-，则a b +的值为（）A ．7-B ．7C ．17-D ．1718．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -19．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-20．【多选】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣ C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭ 21．（2023秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥22．【多选】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（）A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤∣的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么43b =或4b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么4b a -= 23．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数()()2f x x a b x a =-++．(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．24．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．112a <≤ B ．12a << C ．12a ≤< D ．11a -<<25．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四简单的分式不等式的解法26．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式11x<-的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是． 28．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为． 29．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 30．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x 的不等式2340+->x x ；（2）解关于x 的不等式115xx -≥-. 考点五一元二次不等式的恒成立问题31．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．32．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．33．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．34．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .考点六一元二次不等式的实际应用35．（2023秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为元.36．（2023秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为元． 37．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间的关系为：2202200y x x =-+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 .38．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,639．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是．(假设每件衬衫的售价是m )。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法一、知识回顾一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x <<∅∅二、例题讲解⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1 解不等式0)1)(4(<-+x x .例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.2．分式不等式的解法例4 解不等式：073<+-x x .例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x .例6．解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 三、练习【1】设关于x 的不等式x >ax+23的解集为{x 4<x<m}，求实数a 和m 的值。

【2】已知关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是{x x<-2或x>21-}，求ax 2-bx+c>0的解集。

【3】若对x ∈R 恒有n x x x x >++++122322，(n ∈N ＊)，试求n 的值。

高考数学一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)

一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。

2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________；（2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集．变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于（）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（）A 、11a -<或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（）A 、{}23x x <12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为（） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．（3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2；由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<，得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7，又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数，即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ，此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求；当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。

高考复习第7篇第2讲一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习含答案

第2讲一元二次不等式及其解法考点一一元二次不等式的解法【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．解析由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0.且⎩⎪⎨⎪⎧1－ab a ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13，∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12或x ＜－32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞规律方法解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．【训练1】 (2013·江西卷改编)使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是________．解析当x >0时，原不等式可化为x 2＜1＜x 3，解得x ∈∅，当x ＜0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x 2＞1，x 3＜1，解得x ＜－1.答案 (－∞，－1)考点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013·烟台期末)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 【训练2】 (1)(2013·重庆卷改编)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于________． (2)解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.(1)解析法一 ∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4(－8a 2)＝15，又∵a ＞0，∴a ＝52.法二由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a ＞0，∴不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15， ∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 答案 52(2)解由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a ＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考点三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)法一要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＜67. 法二 ∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.【训练3】 (1)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)(2014·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12.综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)∵x ∈(0,2]， ∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞1．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．2．当判别式Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)解集为R ；ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)解集为∅.二者不要混为一谈．3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .思想方法6——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012·福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”；a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析由定义可知：f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ＞0，∴f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x ＞0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1＜x 2＜x 3，易知x 2＞0，且x 2＋x 3＝2×12＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14. 令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x ＜0，解得x ＝1－34或1＋34(舍去)．∴1－34＞x 1＞0，∴3－14＞－x 1＞0， ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116， ∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【自主体验】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1；②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜2－1.答案 (－1，2－1)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．答案 (0,1)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝________.解析依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]．答案 (2,3]2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2013·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为________．解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．答案 {x |x <4}4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)5．(2014·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案 (－2,1)6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________. 解析由于不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根，∴a ＝－2. 答案－27．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin 2 α－cos 2α≤0，即4sin 2 α≤1，所以sin 2 α≤14，即－12≤sin α≤12，因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 8．(2014·福州期末)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________.解析原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3. 答案 [－4,3] 二、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 10．(2014·长沙质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]．法二令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是________．解析不等式2x(x －a )＜1可变形为x －a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a ＜1，所以a ＞－1. 答案 (－1，＋∞)2．(2013·西安二模)在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.答案 323．(2014·铜陵一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0.答案 (－4,0)二、解答题4．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1. }2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2<0，∴不等式的解集为{x |2}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x a x a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

二次函数与一元二次方程不等式5题型分类(原卷版)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式5题型分类一、一元二次不等式1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．二、二次函数图象、方程及不等式的关系{x|x＜x_或x＞x} {x|x＜x＜x}R三、常用数集及表示符号x2－y2>0是一元二次不等式吗？此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则0,140,aa>⎧⎨+<⎩解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.四、不等式解法1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式（一）一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边.2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系.(3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.题型1：解不含参数的一元二次不等式11．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（）A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >12．（2023秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考阶段练习）已知集合{}()()1,0,1,2,3,4,{140}A B xx x =-=+-<∣，则A B =（）A ．{}1,0,1,2,3,4-B ．{}0,1,2,3C ．()1,4-D ．()0,313．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设集合{}2|560,{|20}A x x x B x x =-++=-<，则A B =（）A ．[1,2)-B ．[3,2)-C ．[2,2)-D ．(2,6]14．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（）A ．210x x -+>B ．2210x x -++>C ．225x x ->D ．22x x +<-15．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集： (1)(2)(3)0x x +->； (2)23710x x -≤； (3)2440x x -+-<； (4)2104x x -+≤； (5)223x x -+≤-； (6)2340x x -+>.16．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式： (1)2450x x -++< (2)20252x x ≤-+ (3)2690x x -+≤ (4)290x -≤题型2：解含有参数的一元二次不等式21．（2023·全国·高一专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（）A ．2{|1}x x a ≤≤ B ．1{|1}x x a ≤≤C ．2{|1}x x x a≤≥或 D ．2{|1}x x x a≤≥或22．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.23．（2023秋·高一课时练习）解关于x 的不等式：2(1)10(R)ax a x a ---<∈．24．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤． 25．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->26．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x的不等式()0f x ≥的解集.27．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）设集合{}25A x x =-≤≤，22{3210}B x x mx m m =-+--<.(1)当x N ∈时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A B B =，求实数m 的取值范围.（二）三个“二次”之间的关系及应用三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．(3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系.（三）分式不等式的解法（1）解分式不等式的策略:对于形如()()()00f x g x ><的不等式可等价转化为()()()00f x g x ><来解决;对于形如:()()()00f x g x ≥≤的不等式可等价转化为()()()00f x g x ≥≤来解决.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．（四）不等式恒成立问题1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，0,0,a >⎧⎨∆<⎩一、单选题1．（2023秋·高一课时练习）不等式201x x -≥-的解集是（） A ．{}2x x ≥B ．{1x x ≤或}2x >C ．{}1x x <D ．{1x x <或}2x ≥2．（2023秋·高一课时练习）若01t <<，则不等式()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或C ．1|x x x t t ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D ．1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3．（2023秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则a b +=（） A ．3B ．5C ．1-D ．3-4．（2023·全国·高一专题练习）关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有2个整数，则a 的取值范围是（） A ．{}|23a a <≤B ．{}|34a a <≤C ．{|32a a -≤<-或23}a <≤D ．{|32a a -≤<-或34}a <≤5．（2023·全国·高一专题练习）已知一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{13}xx -<<∣，则1b c a-+的最大值为（） A ．2B ．1C ．1D ．26．（2023秋·高一单元测试）已知函数2()f x x tx t =+-（0t <），若集合{|()0,}A x f x x =<∈Z 有且只有一个元素，则实数t 的取值范围是（） A ．(,4]-∞-B ．[9,4]--C ．9[,4)2--D ．9(,4]2--7．（2023秋·吉林长春·高一校考期中）如图是函数2y ax bx c =++的图象，则不等式20ax bx c ++>的解集为（） A ．{}2x x >B ．{}2x x >-C ．{|2x x <-或}2x >D ．{}22x x -<<8．（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式240x x m --≥对任意的x ∈R 恒成立，则m 的最大值为（） A ．2B ．2-C ．4-D ．49．（2023·全国·高一专题练习）若命题“R x ∃∈，使得2210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．11a -<二、多选题10．（2023秋·高一单元测试）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的值可以是（）A ．2B ．1C ．3D ．511．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或3}x >，则下列结论正确的是（）A ．0a C ．0c >D ．20cx bx a -+<的解集为1{|3x x <-或1}x >12．（2023秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x 的不等式()240x a x a +-+<的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（）A ．0B ．34C ．1D ．4313．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）下列结论正确的是（）A ．不等式(2)03x x x +<-的解集为<2x -或03x < C ．不等式1611x x <--的解集为3x <-或15x << D ．不等式1611x x <--的解集为31x -<<或5x > 14．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式230ax ax -+<的解集为∅，则实数a 可能是（）A ．0B ．2C ．9D ．13三、填空题15．（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式282x x ->的解集是 .16．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式()200ax bx c a ++<≠的解是{2x x <或}3x >，不等式20bx ax c ++>的解集为 .17．（2023·全国·高一专题练习）对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是．18．（2023·全国·高一课堂例题）当1x >时，不等式290x ax ++>恒成立，则实数a 的取值范围为 . 19．（2023秋·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）不等式212x x ≤-的解集为 . 20．（2023秋·全国·高一专题练习）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 .四、解答题21．（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）解下列不等式：(1)260x x --+> (2)512x ≤- 22．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）解下列不等式：(1)22320x x -->(2)2350x x -+>(3)2620x x --+≥(4)2414x x -≥-23．（2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤； (3)5132x x +≤-； (4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>；(8)23520x x +-->；(9)22730x x ++>；(10)221x x <-.24．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式：20x x a ++<（R a ∈）；25．（2023秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于x 的不等式: 2(21)20ax a x -++<.26．（2023秋·广东东莞·高一校联考期中）设()()212f x x a x a =--+-.(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()0R f x a <∈.。

一元二次不等式解法

一元二次不等式解法一．基础知识一元二次不等式解法：1.二次项系数化为正2.求根（先因式分解再求根公式）3.结合不等号方向写出解集二．典型例题例1.解下列不等式：()1260x x --< ()223100x x -++< (3)－x 2＋2x －23>0(4)01272>+-x x (5)0122<+-x x (6) 0222<+-x x(7) 0322≥+--x x例2．解关于x 的不等式：x 2＋（m －m 2）x －m 3＞0.例3．解关于x 的不等式ax 2－2（a ＋1）x ＋4＞0.例4.①二次不等式220ax bx ++>的解集是{}1123x x -<<，则a b +的值是.A 10 .B 10- .C 14 .D 14-②已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为例5.已知2()2(2)4f x x a x =+-+， ()1如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； ()2如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．三．课堂练习1. 不等式x 2＞2x 的解集是( )A. (－∞，0)B. (0,2)C. (2，＋∞)D. (－∞，0)∪(2，＋∞)2. 已知集合M ＝{x|x 2＜4}，N ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 为( )A. {x|x ＜2}B. {x|x ＞3}C. {x|－1＜x ＜2}D. {x|2＜x ＜3}3、当a 0<时，关于x 的不等式22x 4ax 5a 0-->的解集是 ( )（A ){}a x a x x -<>或5| (B ){}a x a x x -><或5|(C ){}a x a x 5|<<- (D ){}a x a x -<<5|4、若关于x 的不等式22(m 3)x 5x 20-+->的解集是1x |x 22⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则实数m 的取值是（） (A )1 (B )1- (C )1或1- (D )05.若不等式a x 2+5x+b ＞0的解集为{x|31＜x ＜21}，则a 、b 的值分别是__________.6、关于x 的不等式012>++ax ax 恒成立，则a 的取值范围是__________.7.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的范围是__________.8.若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a 的范围是__________.9. 解下列不等式x x x 25)3)(11-<--）（（ 2)1(3)11()2(+≥+x x x )2(3)3)(12)32+>-+x x x （（22231334x x x ->+-）（））（1(31152->+-x x x x10．解关于x 的不等式：22ax -≥2x ax -()a R ∈11.解不等式：02)12(2<++-x a ax。

一元二次不等式的解法

考题五在给定区间上的恒成立问题【例 5】 (一题多解)设函数 f(x)＝mx2－mx－1.若对于 x∈[1，3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
考题六给定参数范围的恒成立问题【例 6】对任意 m∈[－1，1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，求 x 的取值范围．
(4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( ) (5)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)解不等式时，变形必须等价；
2x＋1
2．不等式
x－5
≥－1
A
的解集为________．
E
3．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
考题四在 R 上的恒成立问题
【例 4】若不等式 2kx2＋kx－38<0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为(
)
A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0]
角度二含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
【解】若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1.
若 a<0，原不等式等价于 x－a1(x－1)>0，
解得 x<1a或 x>1.
若 a>0，原不等式等价于 x－a1(x－1)<0.
①当 a＝1 时，1a＝1，x－1a(x－1)<0 无解；

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一对一个性化辅导教案
一元二次不等式及其解法
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：
250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为
{}2
1
x x x x x ><或，不等式2
0ax
bx c ++<的解集为{}21x x x x <<
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照
0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或
20ax bx c ++<(0)a >的解集.
二次函数
c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实
根
)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
的解集
)0(02>>++a c bx ax
{}
2
1
x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅ ∅
要点诠释：
（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：
①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0∆=时，求根a
b
x x 221-
==；
③0
∆<时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法例1. 解下列一元二次不等式
（1）250x x -<；（2）2440x x -+>；（3）2450x x -+->
举一反三：
【变式1】已知函数222,0,
()2,0
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解关于x 的不等式：ax 2-x+1>0
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：
【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1
(2≠<++-a x a
a x
【变式2】求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． .
例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0；
类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.
举一反三：
【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.
【变式2】已知220ax x c ++>的解为11
32x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.
【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.
类型四：不等式的恒成立问题
例5．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，数m 的取值围.
举一反三：
【变式1】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值围.
【变式2】已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，数a 的取值围．。