《一元二次不等式及其解法》(人教版必修)

x1 4, x2 4.A {x | 4 x 4} x2 4x 3 0,即（x 3)( x 1) 0
x1 3, x2 1. B {x | x 1或x 3}
故A B R
【典例剖析】
(1)(2013·南充模拟)已知不等式 x2－2x－3<0 的解集 为 A，不等式 x2＋x－6<0 的解集为 B，不等式 x2＋ax＋b<0 的解
在这个实际问题中，x>0,所以这辆车刹车的车速至少为 79.94km/h。
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条
流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的
关系:
y = -2 x2 + 220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,
那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
提示某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车车速x(千 米/小时)有如下关系 s 1 x 1 x2，在一次交通事故中，测
20 180
得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆车刹车前的车速
至少是多少？(精确到0.01km/h)
解：设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h，根据
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
=(2x-1)2≥0
x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
题3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,
得到
-2x2 + 220x > 6000
移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0.
因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根
x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象,
得不等式的解为50<x<60.
【典例剖析】 (1)若 0<a<1，则不等式(a－x)x－1a>0 的解集是
__________． (2)解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
【典例剖析】 (1)若 0<a<1，则不等式(a－x)x－1a>0 的解集是
__________． (1)解析：原不等式即为(x－a)x－1a<0， 由 0<a<1，得 a<1a， ∴a<x<1a， ∴不等式的解集为{x|a<x<1a}. 答案：{x|a<x<1a}
因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂
能够获得6000元以上的收益.
习题3.2 A组 第4题
已知集合 A {x|x2 16 0}, B {x | x2 4x 3 0},
求A B
解： x2 16 0,即（x 4)(x 4) 0.
题意，我们得到 1 x 1 x2 39.5
移项整理，得
20 180
x2 9x 7110 0
Q 0,方程x2 9x 7110 0有2个实根，
即：x1 88.94, x2 79.94
由方程x2 9x 7110 0的图像，可得不等式的解集为
{x | x 88.94,或x 79.94}
否
方程ax2+bx+c=0 无实根
是
x1=x2 ？
否
原不等式的解 集为 {x | x b }
—————2—a
原不等式的解集为
{x | x <—x—1或——x>——x2}(x1<x2)
原不等式 的解集为R
结束
题2：解不等式4x2-4x +1>0
解： 因为△= 16 -16 =0
另解:由于4x2-4x+1
分析：开口向下，且与x轴无交点 。
解：由题目条件知：
(1) a ＜ 0，且△ ＜ 0.
因此a ＜ -1/3。
（2）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0
不符合题意。
综上所述：a的取值范围是
a
|
a
1
3
1．不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R的条 件是什么？
提示：a>0且Δ＝b2－4ac<0. 2．不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)对一切实数恒成 立的条件是什么？
集为 A∩B，则 a＋b 等于
A．－3 B．1
C．－1 D．3
解析：由题意知 A＝{x|－1<x<3}，
B＝{x|－1<x<2}，
∴A∩B＝{x|－1<x<2}，
∴方程 x2＋ax＋b＝0 的两根为－1,2.
∴－－11＋×22＝＝－b. a，
∴ab＝＝－－12，， ∴a＋b＝－3.
答案：A
解关于x不等式x2 ax 2a2 0.
所以原不等式的解集为ф
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号，
并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.
不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数 x∈R都成立，求a的取值范围.
方程x2 ax 2a2 0.的判别式 a2 8a2 9a2 0 得方程的两根为 x1 2a, x2 a. (1)若a 0,则 a x 2a (2)若a 0,则原不等式为 x2 0,此时解为 (3)若a 0,则2a x a.
综上所述，原不等式的解集为：(1)当a 0时,{x | a x 2a}； (2)当a 0时,；(3)当a 0时,{x | 2a x a}.
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
求解一元二次
开始
不等式
ax2 bx
c
将0 原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
(a 0)
△=b2－ 4ac
的程序框图:
△≥0 ？
--------------
是
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2