[推荐]2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(文)(有答案)
北京市西城区2019-2020第一学期高二数学期末试题
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学 2020.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ．BC ．6D ．82．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b < 5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和 平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A . 1-B . 1C .1 或1-D . 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ）A.6m ≥B. 32m ≥ C. 6m ≤ D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离 为__________.12. 不等式01x x <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心 率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元；当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.16. 若1239,,,,x x x x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=. 2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值；（Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”. （Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”； （Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列； D A B CP E（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-，求p 的所有可能值.。
北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学第Ⅰ卷（共40分）本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A. ()3, -+∞ B. (]0,1C. [)1,+∞D. [)1,5【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，由题意知{}3,0A B =-I ，由此可得，01a <≤．【详解】因为集合A B I 有且仅有2个元素，所以{}3,0A B =-I ，即有01a <≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.在ABC V 中,若6,60,75a A B ==︒=︒,则c =（ ）A. 4B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出角C ，再根据正弦定理即可求出边c ． 【详解】因为180756045C =--=o o o o ，所以根据正弦定理知，sin sin a cA C=，即6sin 60sin 45c=o o，解得c = 故选：D ．【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题． 4.设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（ ）A.11x y> B. ln ln x y >C. 22x y --<D. 22x y >【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，若0x y >>，则11x y<，错误； 对B ，当x y >时，取x 1,y 2==-，根据对数函数的单调性可知，ln ln x y <，错误； 对C ，因为x y >，所以x y -<-，根据指数函数的单调性可知，22x y --<，正确；对D ，当x y >时，取x 1,y 2==-，22x y <，错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题． 5.已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为（ ） A. (],0-∞B. [)0,+∞C. [)0,2D.(),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．22220x y x y a ++-+=即为()()22112x y a ++-=-．≤0a ≤．故选：A ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．6.设三个向量,,a b c r r r 互不共线,则 “0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断．【详解】因为三个向量,,a b c r r r 互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设,a AB b BC ==r u u u r r u u u r，而,,a b c r r r互不共线，所以,,A B C 三点不共线．当0a b c ++=r r r r 时，c CA =r u u u r，因为,,A B C 三点不共线， ,,a AB b BC c CA ===r u u u r r u u u r r u u u r ，所以以,,a b c r r r为边长的三角形存在；若以,,a b c r r r 为边长的三角形存在，但是,a AB b BC ==r u u u r r u u u r ，c AC =r u u u r ，0a b c ++≠r r r r ． 故“0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）A. 1003cmB. 3200cmC. 3003cmD. 4003cm【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．【详解】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =． 故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题． 8.已知函数()1f x x k =+,若存在区间[][),1,a b ∈-+∞,使得函数f (x )在区间[],a b 上的值域为[]1,1,a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. ()1,-+∞B. (]1,0-C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，是方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即可知20x x k --=的两个不同非负实根，所以121400k x x k ∆=+>⎧⎨=-≥⎩，解得104k -<≤． 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在()51x -的展开式中,2x 的系数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】()51x -展开式通项为()15rrr T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为()225110C -=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．10.已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r,其中x ∈R ,那么b =r _____________【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求出x ，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．【详解】因为//a b r r，所以4260x --⨯=，解得3x =-．因此b ==r【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题． 11.在公差为() 0d d ≠的等差数列{}n a 中,11a =- ,且2412,,a a a 成等比数列, 则d =______________【答案】3 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，用d 表示出2412,,a a a ，再根据2412,,a a a 成等比数列，列式即可求解． 【详解】因为1(1)1(1)n a a n d n d=+-=-+-，所以24121,13,111a d a d a d =-+=-+=-+，而2412,,a a a 成等比数列，所以13111113d dd d-+-+=-+-+，解得3d =或0d =(舍去)．故答案为：3．【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题． 12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个【答案】3 【解析】 【分析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA 垂直于底面的四棱锥．由三视图可知，2,1PA AD AB BC ====，,AD AB BC AB ⊥⊥． 因为PA ⊥面ABCD ，所以,PAB PAD V V 都是直角三角形．在PBC V 中，222222,1,4419PB BC PC PA AB BC ===++=++=，所以222PB BC PC +=，PBC V 也是直角三角形．在PDC △中，2222448,125PD CD =+==+=，而29PC =，所以PDC △不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个． 故答案为：3【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13.对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．【答案】2211648x y -=,答案不唯一【解析】 【分析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．【详解】若选择①③，所以2,28ce a a===，解得4,8a c ==，所以222228448b c a =-=-=，因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648x y-=．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：2211648x y -=，答案不唯一．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单位:元)与时间120(,t t t N ≤≤∈,单位:天)之间的函数关系式为1104r t =+, 且日销售量y (单位:箱)与时间t 之间的函数关系式为1202y t =- ①第4天的销售利润为__________元;②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) (*m m N ∈元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大,则m 的最小值是__________．【答案】 (1). 1232 (2). 5【解析】 【分析】①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润； ②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】①因为()14410114r =⨯+=，()412024112y =-⨯=，所以该天的销售利润为111121232⨯=；②设捐赠后的利润为W 元，则()()11202104W y r m t t m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭， 化简可得，()2121012001202W t m t m =-+++-．令()W f t =，因为二次函数的开口向下，对称轴为210t m =+，为满足题意所以，()*2102010m f n N +≥⎧⎪>⎨⎪∈⎩，解得5m ≥． 故答案为：①1232；②5．【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【答案】（1）π（2）最大值0．最小值32-. 【解析】 【分析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.（2）由 ,02x π⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出函数()f x 的最大最小值． 【详解】（1）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-2cos cos x x x =-112cos222x x =-- π1sin(2)62x =--所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666t x -≤=-≤-，而sin y t =在7,62ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，而7sin sin 66ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当ππ262t x =-=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-， 当π7π266t x =-=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．16.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; （2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.【答案】（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析【解析】【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k k k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：0 12 1625 825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++ 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++ 因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面 ,ABC ABC V 为正三角形, 侧面11ABB A 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点.（1）求证1://A B 平面1AC D ;（2）求二面角1C AC D --的余弦值;（3）试判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系,并加以证明.【答案】（1）证明见解析（2）15（3）直线11A B 与平面1AC D 相交.证明见解析 【解析】【分析】 （1）根据线面平行的判定定理,在面1AC D 内找一条直线平行于1A B 即可．所以连接1A C 交AC 与点E ，再连接DE ，由中位线定理可得1//DE A B ，即可得证；（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；（3）根据平面1AC D 的法向量与直线11A B 的方向向量的关系，即可判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系．【详解】（1）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．连接1A C ． 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点．连接DE ， 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B ．又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D ．（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．因为V ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥．由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ，即有DF AD ⊥，DF BC ⊥． 分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则3)A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，(0,0,3)DA =u u u r，(1,0,3)CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r ，设平面1AC D 的法向量1111(,,)n x y z =u r， 由10DA n ⋅=u u u r u u r ，110DC n ⋅=u u u u r u u r ，得11130,20,z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n ．设平面1AC C 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ， 由20CA n ⋅=u u u r u u r ，120CC n ⋅=u u u u r u u r ，得22230,20,x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，得2(3,0,1)n =u u r．设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 121215|cos |||||||n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u u r u u r ． 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角，所以二面角1C AC D --的余弦值为155．（3）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交．证明：因为(1,0,3)AB =--u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,3)A B =-u u u u r ．又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)n =-u u r ，且11120A B n ⋅=≠u u u u r u u r ，所以11A B u u u u r 与1n u r 不垂直，因为11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．18.已知椭圆22: 14x W y +=右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.（1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,CD .若ODC △与CMF V 的面积相等,求直线l 的斜率k【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证出；（2）根据线段AB的垂直平分线求出点,C D 的坐标，即可求出ODC △的面积，再表示出CMF V 的面积，由V ODC 与V CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k ．【详解】（1）由题意，得F ，直线(l y k x =：（0k ≠）设11(,)A x y，22(,)B x y ， 联立22(1,4y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=， 显然>0∆，12x x + 则点M 的横坐标122M x x x +==， 因为22041M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧．（2）由（1）得点M 的纵坐标(M M y k x =-即M ．所以线段AB 的垂直平分线方程为：2221()4141y x k k k +=--++．令0x =，得D ；令0y =，得C ．所以V ODC 的面积222222127||||||=241412(41)ODC k k S k k k ∆⋅=⋅⋅+++，V CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+． 因为V ODC 与V CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±所以当V ODC 与V CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19.已知函数()21,2x f x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;（2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值. 【答案】（1）10x y -+=（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.（3）11e+ 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．【详解】（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+， 所以(0)1f =，(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．（2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，由()e 10x f x x '=-+<得，0x <所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立． 设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-．由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--． 因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减． 所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+． 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e +． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．20.设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A =L （2）证明见解析 （3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A =L ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A I L 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A =L ；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题含答案
A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列北京市西城区 2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学 2020.1试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟、选择题：本大题共 10小题，每小题 4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的22xy1．已知椭圆 C: 2 1(a 0)的一个焦点为 (2,0) ,则 a 的值为( ) a4A ． 2 2B ． 6C ．6D ． 82．已知数列 { a n } 满足 a 1 2， a n a n 1 2 (nN , n2) ，则 a 3()A ． 5B ． 6C ． 7D ．83．已知命题 p :x 1, x 21,则 p 为( )A ． x 1, x 2 1B ． x 1, x 2 1C ． x 1, x 2 1D ． x 1, x 2 14．已知 a,b R , 若 a b , 则()A ． a 2bB ． ab b 2C ． 2 a b 2D ． a 3 b5．已知向量 a ( 1,2,1), b(3,x,y),且a//b,那么 |b|()A ． 3 6B ． 6C ． 9D ．186．已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 , 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的(A ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉 . 他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数 f(x) [x] ，其中 [x]表示不超过 x 的最大整数，比如 [ ]=3 . 根据以上定义，当x 3 1 时，数列 x f(x)， f(x)， x ()B ．必要不充分条件C ．充要条件 7. 已知向量 a (1,x, 2) ，(0,1, 2) ， c (1, 0, 0) ，若 a,b,c 共面，则 x 等于A. 1B.C. 1 或 1D. 1 或 0C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列 {a n } ，该数列前 3 项成等比数列，其和为 m ，后 3 项成等差数列，②曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1；③曲线 C 只经过 2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 其中，所有正确结论的序号是（ ）率的值是 _________15．某渔业公司今年初用 100万元购进一艘渔船用于捕捞， 已知第一年捕捞工作需各种费用 4 万元，从第二年开始每年所需费用均比上一年增加 2万元 .若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为 ________ 万元； 当 n ______ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用） .16. 若 x 1,x 2,x 3,K ,x 9 表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；2）灯 x 1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 i {x N |2 x 9} ，要求灯 x i其和为 6. 则实数 m 的取值范围为（)C. m 6A.m 6B.m 3210. 曲线 C : x 33y 3 1 .给出下列结论：D. m 2A. ①②B. ②C. ②③D. ③、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分.22 11. 设 P 是椭圆 x y1上的点 , P 到该椭圆左焦点的距离为25 92，则 P 到右焦点的距离为 _________12. 不等式 x 0 的解集为 _____________x11 13. 能说明“若 a b ，则 a 11b ”为假命题的一组 a 、b 值是 a，b2214．若双曲线 a x 2 b y 2 1(a0,b 0） 的右焦点 F （c,0） 到一条渐近线的距离为23c,则其离心①曲线 C 关于原点对称；的左边有．且．只．有．灯x i 1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 x 4 关闭最少需要 次操作；如果除灯 x 6外，其余 8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作 .三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分 13 分）已知等比数列 { a n }的公比为 2，且 a 3，a 4 4， a 5成等差数列 . Ⅰ）求 {a n } 的通项公式；Ⅱ）设 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n 62，求 n 的值 .18．（本小题满分 13 分）已知函数 f （x ） x 2 ax ， a R .（Ⅰ）若 f （a ） f （1），求 a 的取值范围；（Ⅱ）若 f （x ） 4对 x R 恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）求关于 x 的不等式 f （x ） 0的解集 .Ⅱ）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且20．（本小题满分 14 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 ABP ， BC // AD ， PAB 90o . PA AB 2， AD 3，BC m ，E 是PB 的中点 .19．（本小题满分 13 分）22 已知椭圆 C: x 2 y2 1（a ba 2b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；0） 的右焦点为 F （1,0） ，离心率为2 . 2AFB 90o ，求 AFB 的面积 .Ⅰ）证明： AE ⊥平面 PBC ； （Ⅲ）若 m 2，在线段 AD 上是否存在一点 由.21．（本小题满分 14 分）已知抛物线 C:y 2 2px （p 0） ，抛物线 C 上横坐标为 1的点到焦点 F 的距离为 3. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程；Ⅱ）过 （ 1,0）的直线l 交抛物线 C 于不同的两点 A,B ，交直线 x 4于点E ，直线BF 交直线 x 1于点D . 是 否存在这样的直线 l ，使得 DE // AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线 l 的方程 .22．（本小题满分 13 分）若无穷数列 a 1,a 2,a 3,L 满足：对任意两个正整数 i,j （j i 3），a i1a j1a i a j 与a i1a j 1 a i a j 至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列” .（Ⅰ）求证：若数列 {a n } 为等差数列，则 { a n } 为“和谐数列” ； （Ⅱ）求证：若数列 { a n }为“和谐数列” ，则数列 {a n } 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若 {a n } 是各项均为整数的“和谐数列”，满足 a 1 0，且存在 p N * 使得 a p p ，a 1 a 2 a 3 L a p p ，求 p 的所有可能值Ⅱ）若二面角 C AED 的余弦值是 3 ，求 m 的值；3F ，北京市西城区 2019 — 2020学年度第一学期期末试卷1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B10. C、 填 空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .11. 812. { x 0x 1} 13. 1,1（答案不唯一） 14. 215. n 2 3n 100 ； 10 16. 3 ；21注：13、15、16 题第一个空 2 分， 第二个空 3分.三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分.17．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 {a n } 为公比为 2的等比数列，所以a 3 a 1q24a 1 ， a 4 8a 1 ， a 5 16a 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 依题意得 2(a 4 4) a 3 a 5 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 即 2(8a 1 4) 4a 1 16a 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分整理得 4a 1 8 ， 解得 a 1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n 2n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分18．（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ)由 f (a) f(1)得 a 2 a 2 1 a ，、 选 择题：本大题共10 小题，每小题高二数学参考答案4 分，共 40 分 . 2020.1Ⅱ）依题意Sna1n1q 1q1 2n12n12 2 .所以 2n 1 2 62 ，整理得 2n 1 64 ， 解得 n 5.所以 n 的值是 5 .10分11 分 12分13 分20. （本小题满分 14 分）Ⅰ）证明：因为 AD 平面 PAB ， BC// AD ，2所以椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 1.整理得 2a 2 3 a 1 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分解得{a|a12或a1} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分Ⅱ) f (x)4 对 x R 恒成立， 则 f (x)min4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2所以 a4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分4整理得a 216 0 ，解得 {a| 4 a 4} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分Ⅲ）解 x 2ax 0 ，得 x 1 0,x 2a ，①当 a 0 时，即 a 0 时, x 0 或 x a ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 ②当 a 0 时，即 a 0 时, xa 或 x 0；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 ③当 a 0 时，即 a 0 时, x 0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分综上，当a} ；当 a 0时，不等式的解集为0或xa 0 时，不等式的解集为 {x| x 5分2 x 0Ⅱ）设点 B （x 0, y 0 ） ，因为点 B 在椭圆上，所以 2 y0 x 0 12y 02 1 ⋯①，7分 因为 AFB 90o ，所以 kFA kFB1，得1⋯②，8分由①②消去 y 0 得， 3x 0 4x 0 0 ， 解得 x 0 0舍） ，x 04，310分 代入方程②得 y 013，所以 B(43,13) ，11 分 2所以 |BF | 32 ，又 |AF | 2 ，12 分所以 AFB 的面积 S AFB =1 |AF | |BF |12 2321313 分{x|x a 或 x0} ；当 a 0时， 不等式的解集为 {x|x 0} .19． 本小题满分 13 分）解： Ⅰ）依题意c 1， c a 22 ，a22分 解得 a 2 ， b a 2 b 2 1 ，4分所以BC 平面PAB.1分又因为 AE 平面 PAB ，所以 AE BC .在 PAB 中， PA AB ， E 是 PB 的中点， 所以 AE PB .Ⅱ)解：因为 AD 平面 PAB ， 所以 AD AB ， AD PA . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 又因为 PA AB ，所以 如图建立空间直角坐标系 A xyz.则 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C(0,2, m) ， E (1,1,0) ，P(2,0,0) ， D(0,0,3) ， uuur uuur AC (0,2, m) ， AE (1,1,0). ⋯⋯⋯ 6分即 2y mz 0, 令 x 1，则 y 1 ， z 2 ，x y 0. m于是 n (1, 1,2) .m因为 AD 平面 PAB ，所以 AD PB . 又 PB AE ， 所以 PB 平面 AED. 又因为 uP uB ur( 2, 2, 0) ，所以 取平面 AED 的法向量为 m ( 1,1,0) . 所以 cos n,m n m 3 ，|n| |m| 3即 | 1 1| 3，解得m 2 1.2 2 m 423m又因为 m 0 ，所以 m 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 Ⅲ)结论：不存在 . 理由如下： 证明：设 F (0,0, t ) (0 t 3).当 m 2 时， C(0,2,2) . uuur uuurPF ( 2,0,t) ， CE (1, 1, 2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分uuur uuur由PF CE 知， PF CE 0， 2 2t 0，t 1.这与0 t 3矛盾. ⋯⋯⋯ 13分2分3分 又因为 BCI PBB ，所以 AE 平面 PBC .4分设平面 AEC 的法向量为uuur n AC 0, 则uuur n AE 0,8分9分 10分zD AEPxn (x,y,z). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分3所以，在线段 AD 上不存在点 F ，使得 PF CE . 14 分21. （本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为横坐标为 1的点到焦点的距离为 3 ，所以 1 p3 ，解得 p4 ，22分 所以 y 28x ， 3分 所以准线方程为 x 2 . 4分Ⅱ）显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k （x 1) (k 0)， A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).2 联立得 y y8x, k(x 1), 消去 y 得 k 2x 2 (2k 2 8)xk 2 0.5分由 (2k 2 8)2 4k 4 由韦达定理得 x 1 x 20，解得 2 k 2 . 所以 28 2k2 ， x 1x 2 1. k 2 2 且k 0.7分方法一： 直线 BF 的方程为 又 x D 1 ，所以 y D x 2y22(x 2)， 3y 2 x 2 因为 DE // AF ，所以直线 ，所以 D （ 1, 2 DE 与直线 3y2 ，x 2 2）AF 的斜率相等 .8分 9分又 E( 4, 3k 3k ） ，所以 y 2 32x 2 2y 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 2k 2 k 22k =7 ， 解得 k 2 2.3整理得 化简得所以8y2 ，即 k x 2 2 x 2 1 x 2 2 y1 . x 1 2 k(x 1 1) k(x 2 1) ， 10分 11分，1x 1 2 x 2 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 4 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4，即x 1+x 2 7. 12分 整理得经检验， k 28，9，2 2 符合题意 .3 13 分所以存在这样的直线 l ，直线l 的方程为 y 2 2 (x 1) 或 3 232(x 1).314 分方法二： 因为 DE // AF ，所以 |BA| |BF |，所以 |BE | |BD |8 2k 2 ， 8 k 22k =7 ，整理得 x 1x 2 (x 1 x 2) 8 ，即 整理得 k 2解得 k8. 9.22 2 2，经检验， k 3x 2 x 1 x 2 4x 2 2 x 2 1 10 分 12 分 13 分22 2 2符合题意 . 所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 y 232(x 1) 或22 232(x 1).14 分22.（本小题满分 13 分）Ⅰ）证明：因为数列 {a n } 为等差数列， 所以 对任意两个正整数 i,j （j i 3），有 a i 1 a i a j a j2分所以ai 1aj 1aiaj.所以 数列{a n } 为“和谐数列”4分所以 当i 1, j 4 时，只能 a i 1 a j 1 a ia j 成立, a i 1 a j 1a i a j 不成立 .所以a 2a 3 a 1 a 4，即 a2 a1 a4 a3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分当i 1， j 5,6,7,8,9 L 时，也只能 a i 1 a j1a ia j 成立，a i 1 a j 1 a i a j 不成立 .所以 a 2a 4 a 1 a 5， a2 a5 a1 a6 , a2a 6a 1a 7, L即 a 2a 1 a 5 a 4 a 6 a 5 a 7 a 6 L ，所以a 2a 1 a 4 a 3 a 5 a 4 a 6 a 5 L⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分令a 2a 1d ，则数列 {a n }满足 a n a n 1d(n 4).所以，数列 {a n }从第 3 项起为等差数列 . Ⅱ）证明：因为数列 {a n } 为“和谐数列” 则 a p a 1 1 ，与 a 1 0矛盾，不合题意 .0， a 22， 但a 1a 2 2 2 ，不合题意 . ⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯ 9 分0，a 33， 由 a 1a 2 a 33 ，得 a 2 6 ，0, 6,3, 3, 9,L ，符合题意⋯⋯⋯⋯ 10 分8分Ⅲ）解：①若 p 1 ， ②若 p 2 ，则 a 1 ③若 p 3 ，则 a 1 此时数列 {a n }为：a 1④若 p 4 ，设 a 2则a 1 a 2 L a pd ，d [1p 4(4p 434)d 4]4[4p44(p 2 44)4d]4 L 4 4 [4p 4 d 4] 43p p.(p 2)所以，[1p 4(4p 434)d 4]4[4p 4(4p44)2d]4L 44 (4p 4 d 4) 4 p 4 4(p 4 43d)(p 1)即[( p d) p (p 3)d]( p 1) 0.因为 1 0 ，所以 p (p 3)d 0.11 分所以 所以 4 不合题意 . 2p 2p 8 p48 p412分因为p4p 为整数，所以 8 为整数，所以 p 5,6 ,8 ,12 .p4综上所述，p的所有可能值为3,5,6 ,8 ,12 . 13 分。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为( ) A ．B C ．6 D ．8【答案】A【解析】利用222a b c =+，求得a 的值. 【详解】由于222a b c =+，所以22428,a a =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.2．已知数列{}na 满足12a =,12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ,则3a =( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】利用递推关系式，依次求得23,a a 的值. 【详解】依题意213224,26a a a a =+==+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.3．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为( ) A ．1x ∀≥,21x ≤ B ．1x ∃<,21x > C ．1x ∀<,21x > D ．1x ∃≥,21x >【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项不正确，C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 4．已知,a b ∈R ,若a b <,则( ) A ．2a b < B ．2ab b < C ．22a b < D ．33a b <【答案】D【解析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立. 【详解】对于A 选项，若a b <，如21-<-，但是()122-⨯=-，即2a b =，所以A 选项错误.对于B 选项，若a b <，如21-<-，但是()()()2211-⋅->-，即2ab b >，所以B 选项错误. 对于C选项，若a b <，如21-<-，但是()()2221->-，即22a b >，所以C 选项错误.对于D 选项，若a b <，则0a b -<，则()()3322a b a b a ab b -=-++()2213024a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以33a b <.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题. 5．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=,且//a b ,那么||b =( ) A ．B ．6C ．9D ．18【答案】A【解析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得,x y ，从而求得||b .【详解】 由于//a b ，所以3121x y==-，解得6,3x y =-=-，所以()3,6,3b =--，所以(23b =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.7．已知向量(1,,2)a x =,(0,1,2)b =,(1,0,0)c =,若,,a b c 共面,则x 等于( ) A ．1- B ．1C ．1或1-D ．1或0【答案】B【解析】根据,,a b c 列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出x 的值. 【详解】由于,,a b c 共面，所以存在,λμ，使得a b c λμ=+，即()()()()1,,20,,2,0,0,,2x λλμμλλ=+=，所以1,,22x μλλ===，所以1x =.故选：B 【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.8．德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数()[]f x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,比如[]=3π. 根据以上定义,当1x 时,数列()x f x -,()f x ,x ( )A ．是等差数列,也是等比数列B ．是等差数列,不是等比数列C ．是等比数列,不是等差数列D ．不是等差数列,也不是等比数列 【答案】D【解析】求得()x f x -,()f x ,x ，由此判断出正确选项. 【详解】1.732≈，所以()[][][]1.73212.7322f x x ==+==，所以()1x f x -=1,1.而114+=≠，)1124=≠，所以数列()x f x -,()f x ,x 不是等差数列,也不是等比数列故选：D 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.9．设有四个数的数列{}n a ,该数列前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6. 则实数m 的取值范围为( ) A ．6m ≥ B ．32m ≥C ．6m ≤D ．2m ≥【答案】B【解析】设出这4个数，根据已知条件列方程组，由此求得m 表达式，进而求得m 的取值范围. 【详解】设{}n a 的前4项为a b c d ,,,，由于数列{}n a 的前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6，所以2(1)(2)2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，由（3）（4）得36,2c c ==，所以22(1)2(2)4(3)a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩即22(1)(2)24(3)a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得()()24422d d m -+-+=，整理得()21335222m d =-+≥. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．曲线33:1C x y +=.给出下列结论: ①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．② C ．②③ D ．③【答案】C【解析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y 和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题11．设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为__________. 【答案】8【解析】根据椭圆的定义，求得P 到右焦点的距离. 【详解】依题意5a =，而P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为5228⨯-=. 故答案为：8 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12．不等式01xx <-的解集为________【答案】(0,1)【解析】因为01xx <-，所以(1)0(0,1)x x x -<⇒∈，即不等式01xx <-的解集为()0,1.13．能说明“若a b >,则11a b <”为假命题的一组a ､b 值是a =______,b =________.【答案】1 1-(答案不唯一)【解析】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数即可满足题意. 【详解】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数，所以可取1,1a b ==-，此时11a b >. 故答案为：(1). 1 (2). 1-(答案不唯一)【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F，则其离心率的值是________． 【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a =±即0bx ay ±=,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当n =______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用). 【答案】23100n n ++ 10【解析】用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得n 年总花费，总花费除以n 后，利用基本不等式求得当n 为何值时，平均花费最低. 【详解】每年的费用是首项为4，公差为2的等差数列，所以总费用()()214210031002n n S n n n n -=⨯+⨯+=++.平均费用为()1003323S n n n n =++≥=，当且仅当100,10n n n ==时，等号成立，也即10n =时，该渔船年平均花费最低. 故答案为：(1). 23100n n ++(2). 10【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题. 16．若1239,,,,x x x x表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作; (2)灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ,要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x 关闭最少需要_____次操作;如果除灯6x 外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作. 【答案】3 21【解析】（1）利用列举法求得把灯4x 关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前4个灯最少需要的操作次数，然后乘以2再加上1，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.【详解】（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x关闭最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下1011,0011,0010，共3次.（2）①关闭前4个灯最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下：1011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,0000，共10次.②此时前6盏灯的状态如下：000010，操作1次，变为000011，打开6x.③将步骤①倒过来做一遍，打开前4个灯，共10次操作.综上所述，如果除灯6x外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要21次操作故答案为：(1). 3 (2). 21【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.三、解答题17．已知等比数列{}n a的公比为2,且3a,44a+,5a成等差数列. (Ⅰ)求{}n a的通项公式;(Ⅱ)设{}n a的前n项和为n S,且62S=,求n的值.n【答案】(Ⅰ) 2na=. (Ⅱ) n的值是5.n【解析】（I）利用等差中项的性质列方程，并转成1,a q的形式，解方程求得1a的值，进而求得数列{}n a的通项公式.（II ）根据等比数列前n 项和公式求得n S ，令62n S =解方程，求得n 的值. 【详解】(Ⅰ)因为{}n a 为公比为2的等比数列, 所以23114a a q a ==,418a a =,5116a a =, 依题意得4352(4)a a a +=+,即1112(84)416a a a +=+, 整理得148a =, 解得12a =.所以数列{}na 的通项公式为2n n a =.(Ⅱ)依题意111nn q S a q-=⋅-,11222212n n +-=⋅=--.所以12262n +-=,整理得1264n +=, 解得 5.n = 所以n 的值是5. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前n 项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.18．已知函数2()f x x ax =+,a R ∈. (Ⅰ)若()(1)f a f >,求a 的取值范围;(Ⅱ)若()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)求关于x 的不等式()0f x >的解集. 【答案】(Ⅰ)1{|2a a <-或1}a >. (Ⅱ) {|44}a a -≤≤. (Ⅲ)见解析【解析】（I ）由()(1)f a f >列不等式，解一元二次不等式求得a 的取值范围.（II ）将不等式()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立转化为min ()4f x ≥-，结合二次函数的性质列一元二次不等式，解不等式求得a 的取值范围.（III ）对a 分成0,0,0a a a <>=三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式()0f x >的解集. 【详解】 (Ⅰ)由()(1)f a f >得221a a a +>+,整理得2210a a -->, 解得1{|2a a <-或1}a >.(Ⅱ)()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,则min ()4f x ≥-,所以244a -≥-,整理得2160a -≤, 解得{|44}a a -≤≤. (Ⅲ)解20x ax,得120,x x a ==-,①当0a ->时,即0a <时,0x <或 x a >-; ②当0a -<时,即0a >时,x a <-或0x >;③当0a -=时,即0a =时,0x ≠ .综上,当0a <时,不等式的解集为{|0x x <或}x a >-;当0a >时,不等式的解集为{|x x a <-或0}x >;当0a =时,不等式的解集为{|0}x x ≠.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ,离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点A 为椭圆C 的上顶点,点B 在椭圆上且位于第一象限,且90AFB ∠=,求AFB ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)2212x y += (Ⅱ) 13【解析】（I ）根据焦点坐标、离心率以及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程.（II ）利用椭圆方程和90AFB ∠=，求得B 点的坐标，由此求得AFB ∆的面积. 【详解】(Ⅰ)依题意 1c =,c a =, 222a b c =+解得a =1b ,所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(Ⅱ)设点00(,)B x y ,因为点B 在椭圆上,所以220012x y +=…①, 因为90AFB ∠=,所以1FA FB k k ⋅=-,得0011yx =-…②,由①②消去0y 得,200340x x -=,解得00x =(舍),043x =, 代入方程②得013y =,所以41(,)33B ,所以||BF =又||AF =所以AFB ∆的面积111=||||2233AFB S AF BF ∆⨯⨯=⨯本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.20．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD ,90PAB ∠=.2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ; (Ⅱ)若二面角C AE D --的余弦值是33,求m 的值;(Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE . 若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)1m =. (Ⅲ)不存在，见解析【解析】（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得AE ⊥平面PBC . （II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值.（III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅=列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在. 【详解】(Ⅰ)证明:因为 AD ⊥平面PAB ,//BC AD , 所以BC ⊥平面PAB .又因为 AE ⊂平面PAB ,所以 AE BC⊥. 在PAB ∆中,PA AB =,E是PB 的中点, 所以AE PB ⊥.又因为BCPB B =,所以 AE ⊥平面PBC .(Ⅱ)解:因为 AD ⊥平面PAB , 所以AD AB ⊥,AD PA ⊥. 又因为PA AB ⊥,所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,(0,2,)AC m =,(1,1,0)AE =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =. 则 0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩令1x =,则1y =-,2z m =,于是2(1,1,)n m =-.因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥, 所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =-,所以 取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =-. 所以 3cos ,3n m n m n m⋅〈〉==⋅,=解得21m =.又因为0m >,所以1m =. (Ⅲ)结论:不存在.理由如下: 证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤. 当2m =时,(0,2,2)C .(2,0,)PF t =-,(1,1,2)CE =--.由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾. 所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>,抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ,交直线4x =-于点E ,直线BF 交直线1x =-于点D .是否存在这样的直线l ,使得//DE AF ? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线l 的方程.【答案】(Ⅰ)28y x =，2x =-. (Ⅱ)存在，1)3y x =+或1)y x =+. 【解析】（I ）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（II ）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等（或者转化为||||||||BA BF BE BD =），由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】(Ⅰ)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =所以准线方程为2x =-.(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28,(1),y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <<.所以k <<且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=,121=x x .方法一:直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--, 又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2y D x ---,因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x yx -+-=--.整理得121222y y k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+方法二: 因为//DE AF ,所以||||||||BA BF BE BD =,所以21222241x x x x x --=++.整理得1212()8x x x x ++=,即2282=7k k -,整理得289k =.解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 22．若无穷数列123,,,a a a 满足:对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.(Ⅰ)求证:若数列{}na 为等差数列,则{}na 为“和谐数列”;(Ⅱ)求证:若数列{}na 为“和谐数列”,则数列{}na 从第3项起为等差数列;(Ⅲ)若{}na 是各项均为整数的“和谐数列”,满足10a =,且存在*∈p N 使得p a p =，123p a a a a p ++++=-,求p 的所有可能值.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ)3,5,6,8,12.【解析】（I ）利用等差数列的定义，证得等差数列{}na 为“和谐数列”.（II ）利用等差数列的定义，通过证明1(4)nn a a d n --=≥，证得数列{}na 从第3项起为等差数列.（III ）对1,2,3p =依次进行验证，当4p ≥时，结合（II ）的结论和等差数列前n 项和公式进行列式，求得p 的可能取值. 【详解】(Ⅰ)证明:因为数列{}n a 为等差数列, 所以对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,有 11i i j j a a a a d +--=-=,所以11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}na 为“和谐数列”.(Ⅱ)证明:因为数列{}n a 为“和谐数列”, 所以 当1i =,4j =时,只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以2314a a a a +=+,即2143a a a a -=-.当1i =,5,6,7,8,9j =时,也只能11i j i j a a a a +-+=+成立,11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以 2415a a a a +=+,2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,即21546576aa a a a a a a -=-=-=-=,第 21 页 共 21 页 所以21435465a a a a a a a a -=-=-=-=. 令21a a d -=,则数列{}n a 满足1(4)n n aa d n --=≥. 所以,数列{}n a 从第3项起为等差数列.(Ⅲ)解:①若1p =,则11p aa ==,与10a =矛盾,不合题意. ②若2p =,则10a =,22a =,但1222a a +=≠-,不合题意③若3p =,则10a =,33a =,由1233a a a ++=-,得26a =-, 此时数列{}n a 为:0,6,3,3,9,---,符合题意.④若4p ≥,设21a a d -=,则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-.所以,(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++= 即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=. 因为10p -≠,所以(3)0p d p p d ++--=.所以4p =不合题意. 所以228882444p p d p p p -+===+---.因为p 为整数,所以84p -为整数,所以5,6,8,12p =. 综上所述,p 的所有可能值为3,5,6,8,12.【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等差数列的定义，考查等差数列前n 项和公式，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
2020-2021学年北京市西城区高二数学上学期期末考试数学试题含解析
A.外离B.外切C.内含D.内切
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
求出圆心距 的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
〖详 解〗由两圆的标准方程可得 ， ， ， ；
则 ，所以两圆不可能内含.
故选：C.
10.点 在直线 上，若椭圆 上存在两点 ，使得 是等腰三角形，则称椭圆 具有性质 ．下列结论中正确的是（）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
求出 的值，结合双曲线的定义可求得 的值.
〖详 解〗在双曲线 中， ， ，
因为双曲线 的离心率为 ， ， ，
由双曲线的性质可知 ，由双曲线的定义可得 ，
解得 或 .
故选：A.
〖点 睛〗关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得 ，得出n的值.
〖详 解〗在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项 项的二项式系数最大，即 ，解得：
故选：C．
〖点 睛〗结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在 的展开式中，若n是偶数时，中间项 项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项 与 项的二项式系数相等且最大．
（1）双曲线定义的集合语言： 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
（2）利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
8.在正三棱锥 中， ， ，则直线 与平面 所成角的大小为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
(附加20套期末模拟试卷)北京市西城区2019-2020学年高二第一学期期末考试数学(文)试卷(含答案)
北京市西城区2019-2020学年高二第一学期期末考试数学（文）试卷（含答案）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.命题“对任意x 1x >”的否定是（） m β=，则（（D ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为_____.10. 经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为_____. 11. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为_____. 12. 在ABC ∆中，3AB =，4BC =，AB BC ⊥. 以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为_____.13. 若双曲线C 的一个焦点在直线43+20=0l x y -：上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则双曲线C 的标准方程为_____；离心率为_____.14. 在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点(1,0)A 和点(1,0)B -的距离之积等于2的所有点组成的. 对于曲线C ，有下列四个结论：○1 曲线C 是轴对称图形； ○2 曲线C 是中心对称图形；○3 曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； ○4 曲线C 上所有的点的纵坐标11[,]22y ∈-. 其中，所有正确结论的序号是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中,D 为AB 的中点. （Ⅰ） 求证：CD ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ） 求证：1//BC 平面1A CD .16．（本小题满分13分） 已知圆22680C x y x y m +--+=：，其中m ∈R .（Ⅰ）如果圆C 与圆221x y +=相外切，求m 的值；（Ⅱ）如果直线30x y +-=与圆C相交所得的弦长为m 的值.17．（本小题满分13分）侧(左)视图正(主)视图 俯视图如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥， 1AD CD ==，12AA AB ==，E 为1AA 的中点.（Ⅰ）求四棱锥1C AEB B -的体积； （Ⅱ）求证：1BC C E ⊥；（Ⅲ）判断线段1B C 上是否存在一点M (与点C 不重合)，使得,,,C D E M 四点共面? （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设F 为抛物线22C y x =：的焦点，,A B 是抛物线C 上的两个动点. （Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求||AB ； （Ⅱ）若直线40l x y -+=：，求点A 到直线l 的距离的最小值.19．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD. （Ⅰ）求证：平面ACF ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）若过直线BD 的一个平面与线段AE 和AF 分别相交于点G 和H （点G 与点,A E 均不重合），求证：//EF GH ；（Ⅲ）判断线段CE 上是否存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ？若存在，求EMEC的值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆2222 1 (0)x y C a b a b+=>>：的一个焦点为0)，离心率为3. 点P 为圆22 13M x y +=：上任意一点，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；F B CGEAH D（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. B2. C3. A4. D5. B6. A7. C8. D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若a b ≠，则220a b -≠ 10. 350x y +-=11. 1 12. 15π13. 221916x y -=，5314. ○1○2注：第13题第一空3分，第二空2分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，1AA ⊥底面ABC . …………………1分 又因为CD ⊂底面ABC ，所以1AA CD ⊥. …………………3分 又因为1AA AB A =，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A . …………………6分 (Ⅱ)证明：连接1AC ，设11AC AC O =，连接OD ， …………………7分由正三棱柱111ABC A B C -，得1AO OC =， 又因为在1ABC ∆中，AD DB =，所以1//OD BC ， …………………10分 又因为1BC ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .…………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：将圆C 的方程配方，得22(3)(4)25x y m -+-=-， …………………1分所以圆C 的圆心为(3,4)，半径(25)r m =<. …………………3分因为圆C 与圆221x y +=相外切，1= ………5分 解得9m =.…………………7分 （Ⅱ）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==. ………………9分因为直线30x y +-=与圆C相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得222252)7)r m =-=+， …………………11分解得10m =. …………………13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AD ⊥. 又因为AB AD ⊥，1AA AB A =，所以AD ⊥平面11ABB A . …………………1分 因为//AB CD ，所以四棱锥1C A E B B -的体积1113C A E B BA EB B V S A D -=⋅⋅四边形…………………2分 11[(12)2]1132=⨯⨯+⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）证明：在底面ABCD 中，因为//AB CD ，AB AD ⊥，1AD CD ==，2AB =，所以AC =BC =所以222A B A C B C =+，即B C A C⊥. …………………6分 因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1CC BC ⊥， 又因为1CC AC C =，所以BC ⊥平面1CAEC ， …………………8分 又因为1C E ⊂平面1CAEC ，所以1BC C E ⊥. …………………10分 （Ⅲ）答：对于线段1B C 上任意一点M (与点C 不重合)，,,,C D E M 四点都不共面.…………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得1(,0)2F ，则直线AB 的方程为12()2y x =-. …………………2分由2212(),2,y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩=-= 消去y ，得24610x x -+=. …………………3分设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则0∆>，且1232x x +=，1214x x =， …………………5分所以125|||2AB x x -. …………………7分 （Ⅱ）解：设00(,)A x y ，则点A 到直线l距离d …………………8分由A 是抛物线C 上的动点，得202y x =， …………………9分所以220001|4|(1)7|2d y y y =-+=-+， …………………11分 所以当01y =时，m i n d =即点A 到直线l. …………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. ……………… 1分 又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 3分 又因为AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BDEF . ……………… 5分 （Ⅱ）证明：由题意，//EF BD ，EF ⊄平面BDGH ，BD ⊂平面BDGH ，所以//EF 平面B D G H ， ……………… 7分又因为EF ⊂平面AEF ，平面AEF平面BDGH GH =，所以//EF GH . ……………… 9分 （Ⅲ）答：线段CE 上存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ，此时12EM EC =. ……10分 以下给出证明过程.证明：设CE 的中点为M ，连接DM ，BM ， 因为//BD EF ，BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//BD 平面AEF . ……………… 11分设AC BD O =，连接OM ，在ACE ∆中，因为OA OC =，EM MC =， 所以//OM AE ，又因为OM ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//OM 平面AEF . 13分 又因为OMBD O =，,OM BD ⊂平面BDM ，所以平面//BDM 平面AEF . ………………14分20.（本小题满分14分）F B CM EAHD OG（Ⅰ）解：由题意，知c =，3c a=， …………………1分所以3a =，2b ==， …………………3分所以椭圆C 的标准方程为22 1 94x y +=. …………………4分（Ⅱ）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径，所以P A P B ⊥. …………………5分 当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±，显然直线PB 与椭圆C 相切.同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切. …………………7分 当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点00(),P x y ，直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k-，所以直线PA ：00()y y k x x -=-，直线PB ：00()1y y x x k-=--， …………9分 由0022(),1,94y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 消去y ，得2220000(94)18()9()360k x y k x k xy k x++-+--=.…………………11分因为直线PA 与椭圆C 相切，所以22210000[18()]4(94)[9()36]0y k x k k y k x∆=--+--=， 整理，得22210000144[(9)24]0x k x y k y ∆=---+-=.（1） ……………12分 同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得2220000211144[(9)24]x x y y k k∆=--++-. （2） 因为点P 为圆22 13M x y +=：上任意一点，所以220013x y +=，即220013y x =-.代入（1）式，得2220000(9)2(9)0x k x y k x --+-=，代入（2）式，得222200002144[(9)2(4)]x x y k y k k∆=--++- 22200002144[(9)2(9)]x x y k x k k=--++- 22200002144[(9)2(9)]x k x y k x k=--+- 0=. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切.综上，直线PB 与椭圆C 相切. …………………14分2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，则m =（ ） Ａ. 3Ｂ. 3-Ｃ.5Ｄ. 1-2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ） A ．33R B．36R C．324R D ．316R π 3．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ） A ．58B ．2C ．511D ．57 4．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱 的长度是（ ）Ａ.13 B.22 C.5 D.295．若焦距为4A ．B ．4C ．6．已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos ,2m n <>=-，则l 与α所成的角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1507．设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m n B. 若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβ C ．若,,m αβα⊥⊂则m β⊥ D. 若,,,m m αββα⊥⊥⊄则//m α8．如果实数x y ，满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是A． BCD ．129．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上 有两个动点E F 、，且21=EF ，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．BE AC ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．三棱锥BEF A -的体积为定值 D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等10．双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若21l PF ⊥，22//l PF ，则双曲线的离心率是（ ）AB ．2 CD第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．对于任意实数a ，直线32y ax a =-+所经过的定点是 ；12．若圆221:1O x y +=与圆2222:(3)(0)O x y r r -+=>相交，则r 的范围为_______；13．抛物线x y 122=上与其焦点的距离等于9的点的坐标是 ； 14．如图，在一个︒60的二面角的棱上，有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且4AB cm =，cm AC 6=，cm BD 8=， 则CD 的长为 ；15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A ，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥，则动点M 的轨迹C 的方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=，1AB BC BB ==，M 是11A B 的中点，N是1AC 与1A C 的交点．（Ⅰ）求证：//MN 平面11BCC B ； （Ⅱ）求证：MN ⊥平面1ABC ．AC1B 1A B1CM NEBD1B1C1DF CA1AABCDαA βAγA17．（本题满分12分）已知椭圆E )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为12F F 、，点在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点(2,1)P 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点，若AB 的中点恰好为点P ，求直线l 的方程． 18．（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点， 234A E D B A A ===,现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE ． （Ⅰ）求证：平面PBE ⊥平面PEF ； （Ⅱ）求四棱锥P BCFE -的体积．19．（本题满分12分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；（Ⅲ）已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程．ABCDEBCD EFP20．（本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， 060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BC AF ⊥；（Ⅱ）若二面角D AF C --为045，求CE 的长．21．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(1,0)-，(1,0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线G ，直线:1m x =与曲线G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求曲线G 的方程；（Ⅱ）已知A 为曲线G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与曲线G 相交于,B C 两点.判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分。
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷及答案
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35 B . 45 C . 34 D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A .(4,5)-，开口向上B .(4,5)-，开口向下C .(4,5)--，开口向上D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线 顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标 22y x x =-+ (1,1) (0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高图1 图2度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20 … （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b=+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。
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北京市西城区高二数学上学期期末考试试题文试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC =. 将ACD △沿AC所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证EF⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.ABCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E . (Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程．19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA ,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证平面APM ⊥平面11BB C C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证//CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ， 依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分 所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分ABCDPE O所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分 综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点， 所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCD ABCD V S EF -=⋅=. ……………9分 (Ⅲ)结论 直线//AG 平面BCE . 证明 取CE 的中点H ，连结,GH BH ，因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分DABCGFHE18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分 2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分 又因为11//BB AA ，且1AA ⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BB C C .所以平面AMP ⊥平面11BB C C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.NAMPCB A 1C 1B 1 Q所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM B C B ∠=∠， 所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ====，解得x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分 （Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分所以212222k x x k ++=，121x x =. ……………6分①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k -=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22RR y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-， 解得211y =，11y =±. ……………13分 当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =. 所以2k =±. ……………14分。