【K12教育学习资料】2018版高中数学第二章函数2.3映射的概念学业分层测评苏教版必修1

2.3 映射的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列从P 到Q 的各对应关系f 中，不是映射的是________．(填序号) ①P ＝N ，Q ＝N *
，f ：x →|x －8|；
②P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5}，f ：x →x (x －4)； ③P ＝N *
，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)x
； ④P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 2
.
【解析】 ①P ＝N 中元素8在Q ＝N *中无对应，所以①不是映射．
②P ＝{1,2,3,4,5,6}中元素6在Q ＝{－4，－3,0,5}中无对应，所以②不是映射．③④符合映射定义．
【答案】 ①② 2．观察数表：
则f [g (3)【解析】 由表中对应数据可知g (3)＝－4，f (－1)＝－1. ∴f [g (3)－f (－1)]＝f (－4＋1)＝f (－3)＝4. 【答案】 4
3．设集合A 中的元素(x ，y )在映射f 下的对应B 中的元素是(2x ＋y ，x －2y )，则在f 下，
B 中元素(2,1)在A 中的对应元素是________．
【解析】 令⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝2，x －2y ＝1，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝0，
因此(2,1)在A 中的对应元素是(1,0)．
【答案】 (1,0)
4．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若5→5，且7→11，若x →20，则
x ＝________.
【解析】 由5→5,7→11，得⎩⎪⎨
⎪⎧
5a ＋b ＝5，
7a ＋b ＝11，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝－10.
若x →20，则3x －10＝20，得x ＝10. 【答案】 10
5．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b
a
，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x
映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为________．
【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
b a
＝0，
a ＝1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝0，
a ＝1.
∴a ＋b ＝1. 【答案】 1
6．如图2­3­1所示为一个从集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的函数的奇偶性是________．(填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”“既不是奇函数也不是偶函数”)
图2­3­1
【解析】 该映射表示定义域为{±1，±2}，值域为{1,3}的函数，定义域关于数“0”对称，且f (1)＝f (－1)＝1，f (2)＝f (－2)＝3，因此这个映射表示的函数为偶函数．
【答案】 偶函数
7．设f ：x →x 2
是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 可能是________．(填序号)
①∅；②∅或{1}；③{1}；④∅或{2}． 【解析】 若x 2＝1，则x ＝±1， 若x 2
＝2，则x ＝±2，
所以A 中最多含有－2，－1,1，2四个元素， 所以A ∩B ＝∅或A ∩B ＝{1}． 【答案】 ②
8．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，从A 到B 建立映射f ，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射共有________个.
【解析】 ∵4＝2＋1＋1，∴a ，b ，c 中有一个对应2，另两个只能对应1，共有三种情况．
【答案】 3 二、解答题
9．已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6}，取适当的对应法则． (1)以集合A 为定义域，B 为值域的函数有多少个？
(2)在所有以集合A 为定义域，B 为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)
的函数有多少个？
【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A 中的元素均可与B 中的两个元素对应，故从A 到B 可建立24
＝16个函数，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B ，应予以排除，所以集合A 为定义域，B 为值域的函数有14个．
(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：
f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f (4)＝6； f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f (4)＝6； f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f (4)＝6.
所以满足条件的函数共有3个．
10．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，对应关系f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．
【解】 ①当a ≥0时，由－2≤x ≤2，得－2a ≤ax ≤2a . 若能够建立从A 到B 的映射， 则[－2a,2a ]⊆[－1,1]，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤1
2
.
②当a <0时，集合A 中元素的象满足2a ≤ax ≤－2a ， 若能建立从A 到B 的映射， 则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ≥－1，－2a ≤1，∴－1
2
≤a <0.
综合①②可知－12≤a ≤1
2
.
[能力提升]
1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列能表示从P 到Q 的映射的是________．(填序号)
①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝2
3x ；
④f ：x →y ＝x .
【解析】 如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应法则f 在Q 中有唯一元素和它对应，③中，当x ＝4时，y ＝23×4＝8
3
∉Q .
【答案】 ①②④
2．若集合A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2
－2x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有________个元素．
【解析】 由A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2
－2x ，分别令x ＝0,1,2， ∴x 2
－2x ＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性， ∴B 中至少有2个元素． 【答案】 2
3．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________.
【解析】 ⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝3，f b ＝0，
f c ＝－3，⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝－3，f b ＝0，f c ＝3，
⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝3，f b ＝－3，f c ＝0，
⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝－3，f b ＝3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝0，f b ＝3，f c ＝－3，
⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝0，f b ＝－3，f c ＝3，
⎩⎪⎨⎪
⎧
f a ＝0，f b ＝0，f c ＝0.
【答案】 7
4．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4
，n 2
＋3n }，其中m ，n ∈N *
.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，
q ，m ，n 的值.
【解】 由f (1)＝4，f (2)＝7，
列方程组：⎩
⎪⎨
⎪⎧
p ＋q ＝4，
2p ＋q ＝7⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
p ＝3，
q ＝1.
故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4
或n 2
＋3n .若n
4
＝10，因为n ∈N *
，不可能成立，所以n 2
＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4
时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2
＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.
故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。