学案10 函数的图象

学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于________对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线________对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点________对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴________的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴________的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．(2009·北京)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．(2011·烟台模拟)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于 ( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是 ( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)5．(2011·潍坊模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是 ( )探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象； (2)作函数y ＝x 2－|x |的图象； (3)作函数xy )21( 的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图例2 (1)函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为()变式迁移2(1)(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是()(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．数形结合思想的应用例 (5分)(2010·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，ts 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－14，1B.⎣⎡⎦⎤－14，1C.⎣⎡⎭⎫－12，1D.⎣⎡⎦⎤－12，1 【答题模板】 答案 D解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts<1.综上可知选D.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合ts的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·重庆)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 2．(2010·湖南)用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值．若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为 ( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 3．(2011·北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是 ( )4．(2011·深圳模拟)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为 ( )A ．1B ．－1C.－1－5D.－1＋5题号1 2 3 4 5 答案6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________平移________个单位长度．7．(2011·黄山月考)函数f (x )＝2x －1x ＋1的图象对称中心是________．8．(2011·沈阳调研)如下图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(12分)(2011·三明模拟)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理2．③奇偶性 单调性 周期性 3.(1)左 右 |a| 上 下 |a| (2)a>1 a>1 0<a<1 a (3)①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b) ⑦上方 ⑧右方自我检测1．C [A 项y ＝lg(x ＋3)＋1＝lg[10(x ＋3)]， B 项y ＝lg(x －3)＋1＝lg[10(x －3)]，C 项y ＝lg(x ＋3)－1＝lg x ＋310，D 项y ＝lg(x －3)－1＝lg x －310.]2．C3．C [∵f (－x )＝－1x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．]4．A [作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．]5．B [由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0，∴0<a <1.] 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x>0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x|的图象．变式迁移1 解 定义域是{x|x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（1） A [从f (x )、g (x )的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f (x )·g (x )是奇函数，排除B.又x <0时，g (x )为增函数且为正值,f (x )也是增函数，故f (x )·g (x )为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x →-0（从小于0趋向于0），f (x )·g (x )→+∞，可排除C 、D.］ （2） A ［因为f (1-x )=f （-(x -1)）,故y =f (1-x )的图象可以由y =f (x )的图象按照如下变换得到：先将y =f (x )的图象关于y 轴翻折，得y =f (-x )的图象，然后将y =f (-x ) 的图象向右平移一个单位，即得y =f (-x +1)的图象.］变式迁移2 (1)A [考查函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知： 当x <0时，方程2x －x 2＝0仅有一个零点，且22x x-→－∞；当x >0时，方程2x －x 2＝0有两个零点2和4，且22x x-→＋∞.](2)C [由图象知f (x )为奇函数，排除D ；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故选C.]例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区1．D [f (x )＝2x ＋2－x ，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称．]2.D [令y ＝|x |，y ＝|x ＋t |，在同一坐标系中作出其图象， 如图，所以t ＝1.]3．D [选项A 、B 、C 中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾．] 4．C [函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－f (x )关于x 轴对称，函数y ＝－f (x )的图象向左平移1个单位即得到函数y ＝－f (x ＋1)的图象．]5．B [∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1.]6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(－1,2)解析 ∵f (x )＝2x －1x ＋1＝2(x ＋1)－3x ＋1＝2－3x ＋1，∴函数f (x )图象的对称中心为(－1,2)． 8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(2分)(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(4分)f (x )的图象如右图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)(4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(10分)(5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分) 10.解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，……………………………………………………………(10分)∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分) 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分) 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x 的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分) 方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0……………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分) 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)。