数学北师大版九年级下册1.4解直角三角形 学案
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形学案北师大版(new)
1.4解直角三角形一、学习目标初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素。
二、预习要点1、 什么叫解直角三角形？2、 解直角三角形与哪些关系相关？三、预习检测在Rt△ABC 中，∠C ＝90°,根据下列条件解直角三角形;（1）a = 30 , b = 20 ；解:根据勾股定理C ===303tan 1.5202a Ab ==== 56.3A ∠=909056.333.7B A ∠=-∠=-=(2） ∠B ＝72°，c = 14。
sin b B c= sin 14sin 7213.3b c B =⋅=⨯≈cos a B c= cos 14cos 72 4.34a c B =⋅=⨯≈907218A ∠=-=四、合作探究活动内容1：活动1：小组合作定义：解直角三角形.问题:1、解直角三角形需要什么条件？2、解直角三角形的条件可分为哪几类？活动2:探究归纳一般地，直角三角形中，除直角外,共有个元素，即条边和个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，可以求出其余未知元素。
活动内容2:典例精析例1. 如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，2,6==，解这个直角三角形AC BC随堂练习1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°,根据下列条件解直角三角形；∠B＝72°，c = 14.2。
如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝35°，b =20，解这个直角三角形（精确到0。
1）3。
如图,在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC =6,∠BAC 的平分线43AD =，解这个直角三角形.参考答案预习练习（1）解：根据勾股定理222230201013C a b =+=+=303tan 1.5202a Ab ==== 56.3A ∠=909056.333.7B A ∠=-∠=-=（2） 解：sin b B c= sin 14sin 7213.3b c B =⋅=⨯≈cos a B c= cos 14cos 72 4.34a c B =⋅=⨯≈ 907218A ∠=-=随堂练习1.解：sin b B c =，sin 14sin 7213.3b c B ==⨯≈，cos a B c=cos 14cos 72 4.34a c B ==⨯≈907218A ∠=-=2.解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°tan b B a = 202028.6tan tan 350.70b a B ∴==≈≈ sin b Bc =202035.1sin sin 350.57b c B ∴==≈≈3。
北师大版九年级数学下册1.4 ：解直角三角形 教案设计
1.在直角三角形中,由已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝900；
(3)边角之间的关系:
（4）面积公式：
四、例题讲解：
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 6 ,BC = ,解这个直角三角形.
（1）……………
（2）……………
（3）……………
（4）……………
例1.
解：
例2.
解：
教学设 计
学科：数学
教师：
年级：九年级
课题
1.4解直角三角形
授课人
教
学
目
标
1、理解直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，了解确定一个三角形和解直角三角形所需条件的一致性.
2、经历对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程，体会从一般到特殊的思考方法.
3、会解直角三角形；会选择合理的算法.
4、通过师生共同探索，体验独立思考与合作交流的学习过程；渗透分类讨论、化归等数学思想，激发学生探索数学的热情和兴趣.
（2）已知∠A﹣∠B＝30°，b+c＝30，解这个直角三角形.
(3) 已知∠A＝60°,△ABC的面积S= ，解这个三角形.
学生根据自己完成《导学案》内容，并回答，为本课的学习提供理论依据.
通过复习特殊角的三角函数值，为下面解直角三角形提供数据支持
通过学生自主探究，发现直角三角形中除直角外，再至少需要两个元素，才能求出其它元素，并且这两个元素中至少有一条是边.
培养学生自主探究能力和对知识的应用能力
通过对定义的认识，寻找解直角三角形的理论依据，通过这一活动，将新的知识与所学知识有机结合起来.
北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形教学设计
1.通过小组合作、讨论、探究等方式，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
2.通过实际案例分析，让学生学会将实际问题转化为数学问题，提高学生的数学建模能力。
3.引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化，培养学生的直观想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学问题的积极态度，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
4.学生的学习兴趣和积极性：激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，关注学生在学习过程中的情感体验，使他们在愉悦的氛围中学习。
5.学生的个体差异：关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，制定合适的教学策略，让每个学生都能在课堂上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：
（1）理解并掌握解直角三角形的原理和方法，能够熟练运用三角函数求解未知边长和角度。
（2）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高数学建模素养。
2.难点：
（1）学生对三角函数的灵活运用，尤其在解决复杂问题时，能够选择合适的三角函数进行求解。
（2）学生在解决实际问题时，能够准确提炼关键信息，建立数学模型，并进行求解。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，通过展示生活中的实际案例，激发学生学习兴趣，引出本节课的学习内容。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
为了激发学生对解直角三角形的学习兴趣，我设计了一个与学生生活密切相关的情境：假设我们要测量学校旗杆的高度，如何利用一根尺子和一个量角器来完成这个任务？
2.教学过程：
（1）向学生展示旗杆的图片，并提出问题：“同学们，你们知道这根旗杆的高度吗？如何才能测量出来呢？”
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容，它不仅巩固了初中阶段的知识，同时也为高中阶段的数学学习打下了基础。
本节课的主要内容是让学生掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习需求，引导学生主动探索，培养他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生主动探索直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生思考和解决问题，培养学生的思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，提高学生的合作能力和动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际的直角三角形问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量楼房的高度等，引出直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直角三角形的性质，引导学生观察和思考，总结出直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际问题，运用勾股定理和锐角三角函数解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）设置一些练习题，让学生独立完成，检查他们对直角三角形性质的掌握程度。
北师大版数学九年级下册 1.4 解直角三角形1 教案
1.4 解直角三角形1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，ac＝cos B，即c＝acos B＝3632＝243，∴b＝12c＝12×243＝123；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝62，∠A＝∠B＝45°.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型三】在△∠A＝105°，求△ABC的面积．解析：过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理求出BD、AD的长，再根据解直角三角形求出CD的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝22AB＝22×2＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝ADtan30°＝1 3 3＝3，∴S△ABC＝12(CD＋BD)·AD＝12×(3＋1)×1＝3＋1 2.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本类型及其解法3．解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.。
北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形1 教案
1.4 解直角三角形1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，ac＝cos B，即c＝acos B＝3632＝243，∴b＝12c＝12×243＝123；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝62，∠A＝∠B＝45°.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型三】构造直角三角形解决面积问题在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2，∠A ＝105°，求△ABC 的面积．解析：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据勾股定理求出BD 、AD 的长，再根据解直角三角形求出CD 的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ＝22AB ＝22×2＝1.∵∠A ＝105°，∴∠CAD ＝105°－45°＝60°，∴∠C ＝30°，∴CD ＝AD tan30°＝133＝3，∴S △ABC ＝12(CD ＋BD )·AD ＝12×(3＋1)×1＝3＋12.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题三、板书设计解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本类型及其解法 3．解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.。
最新北师大版九年级数学下册教案1.4 解直角三角形1
1.4 解直角三角形1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，ac＝cos B，即c＝acos B＝3632＝243，∴b＝12c＝12×243＝123；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c ＝62，∠A＝∠B＝45°.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BMtan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 构造直角三角形解决面积问题在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝2，∠A ＝105°，求△ABC 的面积．解析：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据勾股定理求出BD 、AD 的长，再根据解直角三角形求出CD 的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ＝22AB ＝22×2＝1.∵∠A ＝105°，∴∠CAD ＝105°－45°＝60°，∴∠C ＝30°，∴CD ＝ADtan30°＝133＝3，∴S △ABC ＝12(CD ＋BD )·AD ＝12×(3＋1)×1＝3＋12. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题三、板书设计解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本类型及其解法 3．解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.。
北师大版九年级下册1.4解直角三角形复习优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握解直角三角形的概念和性质，理解三角函数的含义和应用；
2.使学生能够熟练运用勾股定理解决实际问题，提高他们的数学解决问题的能力；
3.培养学生运用三角函数解决几何问题的技能，提高他们的逻辑思维和空间想象能力。
2.问题导向激发思考：本案例中，教师设计了丰富的问题，如“什么是三角函数？”、“如何运用勾股定理解决实际问题？”等，引导学生深入思考，提高了学生的思维能力。
3.小组合作培养团队精神：在教学过程中，教师组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的学习心得和解题方法，培养了学生的团队合作精神和沟通能力。
4.反思与评价提升自我认知：教师引导学生对自己的学习过程进行反思，组织学生进行互评、自评，让学生在评价中认识到自己的长处和不足，激发了学生的学习动力。
3.总结本节课的学习方法，如合作探究、讨论交流等，让学生养成良好的学习习惯。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生巩固本节课所学的知识，提高他们的实践能力；
2.要求学生在作业中运用所学的解题方法，培养他们的自主学习能力；
3.教师要及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们纠正错误，提高他们的学习效果。
2.鼓励学生提出自己的疑问，充分尊重他们的个性，培养他们敢于质疑、勇于探索的精神；
3.引导学生运用已学知识解决新的问题，让学生在解决问题的过程中，感受到知识的内在联系，提高他们的思维能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享自己的学习心得和解题方法，培养他们的团队合作精神；
2.引导学生相互评价、相互学习，提高他们的评价能力和自我认知能力；
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一、知识回顾
三角函数
角α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1、填一填，记一记：
2、在三角形中共有几个基本元素？
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，除了直角外，还有几个元素？
4、在Rt△ABC中a、b、c，∠A、∠B，这五个元素间有哪些等量关系？
二、探究新知：
想一想：一个直角三角形，已知两个元素（直角除外），它是否唯一确定？
五、课堂小结
1已知两条边：（2.5cm,1.5cm）
2已知两个角：(30°，60°)
3已知一条边和一个角：（30°，2cm）
总结：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，只要再知道条边和第三个元素就可以求出其余的几个元素。
定义：在直角三角形中由已知元素求出的过程就中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，
b,c,且a = ，b = ，求这个三角形的其他元素.
解:
例2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，c＝200，解这个直角三角形。（精确到0.1）
【参考数据：sin 42°6′=0.6691，cos 42 =0.7431，tan 42°=0.9004】
解：
四、拓展提升
1、如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB= ,AC= ,求AB.