误差理论与测量平差基础
1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
误差理论与测量平差基础知识点的不完全归纳
第一章绪论1、误差理论与测量平差基础是一门专业、基础、理论、核心课程。
2、测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。
3、任何观测数据总是包含信息和干扰两部分（有效信息和干扰信息）。
采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差。
4、观测数据总是不可避免带有误差。
5、误差即测量值与真值之差。
6、当对某个量进行重复观测时就会发现，这些观测值之间往往存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差。
7、误差来源于观测条件，观测条件包括测量仪器、观测者、外界条件。
8、偶然误差即总是假定含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正。
在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。
9、在测量中产生误差是不可避免的。
10、根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差（Δ）、系统误差和粗差（）三类。
【】11、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而然，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
（如估读不准确）12、系统误差包括常差、规律差、随机性系统误差。
13、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在个过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
（如视准轴与水准管轴不平行、仪器下沉、水准尺下沉、水准尺竖立不垂直）14、系统误差的存在必然影响观测结果，具有一定的累加性，是影响巨大的。
15、粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所能出现的最大误差还要大的误差。
（误差=错误，消除粗差的方法：多余观测进行发现、剔除粗差。
测量数据中一旦发现粗差，需要舍弃或重测）16、属于经典测量平差范畴。
17、如何处理由于多余观测引起观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务（研究路线）。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
L5
v6
ˆCA
ˆCB
arctan
YA Xˆ 2 X A Xˆ 1
arctan
YB Xˆ 2 X B Xˆ 1
L6
v7
ˆ BC
ˆ BD
arctan
Xˆ 4 YB Xˆ 3 X B
arctan
Xˆ 2 YB Xˆ 1 X B
L7
v8
BA
ˆ BD
arctan
YA XA
YB XB
第七章——间接平差
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合的误差方程为：
b、曲面拟v合i aˆ0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将地面视 为一个连续的曲面，则高程可表达为平面坐标的函数，且 可用多项式表达为：
为由：于H观i 测a值0 H有a1误xi 差 ，a2故yi由 上a3式xi2可得a4曲yi2面拟a合5 xi的yi误差方程
式 这点的三矢中必个径：要参的观(数方x测0是位数, 圆角为为y的。t0=圆基所Y)3ˆi+心本以m参确坐。Y数定ˆ标在0 ， 一，圆条RR周ˆ为圆为s上半i曲第n观径线iˆ测，i i 了
n=2m个点的坐标，则r=m-3（ ）。
于是误差方程为：
m3
vxi Xˆ 0 Rˆ cosˆi xi vyi Yˆ0 Rˆ sin ˆi yi
Xˆ 1 Xˆ B , Xˆ 2 YˆB , Xˆ 3 Zˆ B Xˆ 4 Xˆ C , Xˆ 5 YˆC , Xˆ 6 ZˆC Xˆ 7 Xˆ D , Xˆ 8 YˆD , Xˆ 9 Zˆ D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
vX AB Xˆ 1 X A X AB vYAB Xˆ 2 YA YAB vZ AB Xˆ 3 Z A Z AB vX AC Xˆ 4 X A X AC vYAC Xˆ 5 YA YAC vZ AC Xˆ 6 Z A Z AC vX AD Xˆ 7 X A X AD vYAD Xˆ 8 YA YAD vZ AD Xˆ 9 Z A Z AD
误差理论与测量平差基础
0
令
N bb
BT
N
1 aa
B
误差理论与测量平差基础
则
xˆ
N
1 bb
(C
T
K
S
We )
(5)
将(5)式代入(1)式的第二式，得
CN bb1C T K S
CN
W 1
bb e
Wx
0
因为
Ncc
CN
C 1
bb
T
为满秩方阵，所以
KS
N
1 cc
(Wx
CN
W 1
bb e
)
将（6）式代入（5）式，得
（6）
xˆ
(
N
1 bb
N bb1C T
N
cc1CN
1 bb
)We
N bb1C T
N
W 1
cc x
（7）
按（7）式求出参数估值后，将（4）式代入（2）式，得
V
P
1
AT
N
1 aa
(W
Bxˆ)
误差理论与测量平差基础
三、精度评定
LL
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV cus
N
cc1CN
1 bb
B
T
N
1 aa
A
QLL
AT
N
cc1CN
1 bb
B
T
QKS Xˆ
N
cc1CN
1 bb
BT
N
1 aa
AQLL
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》实习报告王驩裕1420501201420050135东华理工大学测绘学院测量系function [V,ZL,SIGMA1,SIGMA2,SIGMA3]=math(B,s,l,L,r) P=diag(1./s);NBB=B'*P*B;W=B'*P*l;x=inv(NBB)*W;V=B*x-l;ZL=L+V;SIGMA=sqrt(V'*P*V/r);E=inv(NBB);SIGMA1=SIGMA*sqrt(E(1));SIGMA2=SIGMA*sqrt(E(2,2));D=B*E*B';SIGMA3=SIGMA*sqrt(D(5,5));end1.按间接平差法完成一导线网的平差计算。
function [ZX,v,J,H]=nc(s,X,l,beta)L=dms2degrees(beta);alpha0=dms2degrees([226 44 59]);alpha1=alpha0+L(1)-180;alpha2=alpha1+L(2)-180;alpha3=alpha2+L(3)-180;alpha4=alpha3+L(4)-180;alpha=[alpha1;alpha2;alpha3];e=alpha;c=180*3600*sind(e)/(pi*100);d=-180*3600*cosd(e)/(pi*100);a=c./s;b=d./s;f=cosd(e);g=sind(e);B=[a(1) b(1) 0 0;a(2) b(2) -a(1) -b(1);a(3) b(3) -a(2) -b(2);0 0 -a(3) -b(3);f(1) g(1) 0 0;-f(1) -g(1) f(2) g(2);0 0 -f(3) -g(3)]; P1=diag([1 1 1 1]);SIGMA0=5;SIGMAS=0.5*sqrt(s);D=1./SIGMAS;T=(SIGMA0*D).^2;P2=diag(T);P=blkdiag(P1,P2);NBB=B'*P*B;W=B'*P*l;x=inv(NBB)*W;ZX=X+x;v=B*x-l;ZL=[L;s]+v/3600;J=degrees2dms(ZL(1:4,:));H=ZL(5:7,:);end2.求各导线点的坐标平差值极其点位中误差。
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。
测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。
误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。
若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。
因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。
为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。
此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。
误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。
正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案)一、名词解释（每题2分，共10分）1、偶然误差——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。
即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。
这种误差称为偶然误差。
2、函数模型线性化——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。
在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。
这一转换过程，称之为函数模型的线性化。
3、点位误差椭圆——以点位差的极大值方向为横轴轴方向，以位差的极值分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。
4、协方差传播律——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。
如，若观测向量的协方差阵为，则按协方差传播律，应有。
5、权——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，。
二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分）参考答案：X √X √X X X √√X三、选择题（每题3分，共15分）参考答案：CCDCC四．填空题（每空3分，共15分）参考答案：1. 6个2. 13个3.1/n4. 0.45. ,其中五、问答题（每题4分，共12分）1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分）⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。
实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，X F E 、0K KL Z +=LL D T LL ZZ K KD D =220ii P σσ=0)()()()(4320020=''+∆+∆+-''+-''-W y SX X x SY Y C ACA C C ACA C ρρABAC AC X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。
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《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
◆教学要求与主要环节教学要求：教师教学中既要注重理论知识的讲授是否有利于学生理解掌握，又要突出对学生实践能力的培养。
教学主要环节：教学主要环节包括理论教学、习题训练、实践教学，以及理论教学和实践教学的考核等环节。
理论教学使学生掌握平差的基本理论、基本知识，习题训练使学生掌握分析问题、解决问题的方法，实践教学使学生提高解决实际应用问题的实践能力，教学考核是为了督促学生对学习知识全面总结和加深理解，对教师教学质量和学生学习质量进行检验。
◆考核要求1．理论课程教学：平时30分，期末考试70分。
2．实习：完成教学大纲和实习任务书规定的实习任务，按优、良、中、及格、不及格打分◆课程主要内容与学时分配理论：56学时实习：1周◆主要参考书①於宗俦，于正林. 测量平差原理.武汉：武汉测绘科技大学出版社，1984②王新洲.测量平差.北京：水利电力出版社，1990③陶本藻.测量数据统计分析.北京：测绘出版社，1992④崔希璋，於宗俦等.广义测量平差. 北京：测绘出版社，1992⑤黄维彬.近代平差理论及其应用. 北京：解放军出版社，1992⑥高士纯，于正林.测量平差基础习题集，测绘出版社，1983⑦黑志坚，周秋生等.测量平差.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，1999⑧黑志坚，周秋生等.测量平差习题集.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，2004⑨《测绘工程》、《东北测绘》、《测绘通报》、《测绘学报》等期刊杂志◆相关网站国家测绘局、国家测绘局各相关网站、中国测绘报、南方测绘、测绘论坛、国土资源部、国家地理信息中心、武汉中地科技公司、国家空间基础设施等网站。
第一章绪论 2学时◆教学目的：明确观测误差产生的原因, 掌握误差分类及其处理方法；了解测量平差发展概况。
◆重点、难点：误差分类及其处理方法◆讲授内容纲要提出问题：刚刚结束的测量数字化实习数据采集双观测成果过程中发现了什么问题？产生测量差异的原因是什么？观测值中为什么存在观测误差？观测误差如何计算？观测误差如何处理？第一节观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
结合刚刚结束的测绘数字化实习，与学生一起总结出什么是观测条件，观测条件与观测误差的关系。
得出有观测就有误差的结论。
二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。
三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。
结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。
2、处理和学生一起总结出粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。
四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。
第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。
举例说明。
第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。
２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。
二、平差计算方法的发展１、手算阶段２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段结合教师的亲身经历的几十年测量数据采集手段和测量数据处理方法的不断变化，以及测绘生产实例，讲解上述三个阶段的发展，让学生了解平差计算方法发展的全过程。
第四节本课程的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。
二、内容课本各章的内容。
小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。
作业：第一章习题1，2，3，4，8，11，13，15◆采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。
◆实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。
◆教学手段：多媒体教学。
第二章误差分布与精度指标 4学时第一节正态分布：第二节偶然误差的规律性2学时◆授课目的要求：了解偶然误差的分布规律;熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念◆重点、难点：偶然误差的三个特性和两个重要概念◆讲授内容纲要：提出问题：偶然误差是“从表面上看无规律可循的一组观测误差”，如果其真的无规律可循，如何对其进行处理？研究其分布规律有何意义？第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
（界限性） (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
（对称性）三、两个重要概念(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。
作业：第二章习题1，2，3，4，5，6，7，8◆采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。
◆实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。
◆教学手段：多媒体教学。
第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度2学时◆授课目的要求: 熟记衡量精度的指标，掌握精密度计算的方法，了解测量不确定度的概念◆重点、难点: 精密度指标及其计算◆讲授内容纲要：提出问题：如何衡量、评定测量成果的精度？精度指标如何确定？一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。
2、几种常用的精密度指标（1）方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例(2) 极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式(3) 相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。
(4) 平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。
（二）观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。
2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。
二、准确度和精确度指标分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意义。
三、测量不确定度给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方法，不可测不确定度的估计方法。
小结：精度指标分为精密度指标、准确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。
作业：第二章习题9，10，11，12，13，19，22，23，27，29，30，32。
◆采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。
◆实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。
◆教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。
第三章协方差传播律及权 11学时第一节数学期望的传播律；第二节协方差传播律 2学时◆授课目的要求：熟记协方差传播律的基本公式，掌握传播律公式的应用方法 ◆重 点、难 点：协方差传播律公式的应用 ◆讲授内容纲要：提出问题：已知测量成果的精度，如何衡量观测成果函数的精度？如已知观测高差的精度，如何衡量利用观测高差求得的高程的精度？第一节 数学期望的传播律;)(C C E =);()(X CE CX E =);()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ 当X i 相互独立时（i =1,2, …,n ）,)()()(),,,(2121n n X E X E X E X X X E =第二节 协方差传播律协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
一 误差的传递1、线性函数误差的传递02211...f x f x f x f Y n n ++++=n x n x x Y f f f ∆++∆+∆=∆ (2121)推导上述公式，讲解式中符号的含义 2、非线性函数误差的传递()n x x x f Y ...21=n x n x x Y f f f ∆++∆+∆=∆ (2121)推导上述公式，讲解式中符号的含义 3、函数向量误差的传递Y=FX+F 0 Y=F(X) ΔY =F ΔX讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式 二、协方差的传递 1、基本公式 函数向量Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为ΔY =F ΔX ΔZ =K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====FD K DK D F D K D K D FD F D T XZYT X YZ T X ZTX Y 证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。