最新2.2谓词公式与解释
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
10
【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
第2节逻辑代数(下)：谓词演算
第2章逻辑代数（下）：谓词演算谓词演算大体概念2.1.1 个体谓词演算中把一切讨论对象都称为个体(individuals)，它们能够是客观世界中的具体客体，也能够是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确信的个体经常使用a，b，c等小写字母或字母串表示。
a，b，c等小写字母或字母串称为个体常元(constants)。
不确信的个体经常使用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为个体变元，或变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全部称为个体域(domain of individuals)，经常使用字母D表示，并约定个体域都是非空的集合。
当讨论对象未作具体指定，而是泛指一切客体时，个体域特称为全总域(universe)，用字母U表示。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确信的成员，而变元那么能够取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上运算的运算符与常元、变元可组成所谓个体项(terms)。
例如，数学中的代数式a2+b，x2c等。
由于在咱们讨论的谓词演算中，其变元只能取值个体对象，不能取值函数、命题或谓词，因此，它又常被叫做一阶谓词演算。
2.1.2 谓词2.1.3 量词谓词演算中的量词(quantifiers)指数学中经常使用的数量词“所有的”（或“每一个”）和“有”（或“存在”），用符号和来表示，别离称为全称量词和存在量词。
为了用全称量词表示个体域中所有（每一个）个体知足一元谓词P，用存在量词表示有（存在）个体知足一元谓词P，还需利用变元：xP(x) 读作“所有（任意，每一个）x知足P(x)”，表示个体域中所有的个体知足谓词P(x)。
x P(x) 读作“有（存在，至少有一个）x知足P(x)”，表示个体域中至少有一个体知足谓词P(x)。
当量词用于一谓词填式或复合的谓词表达式时，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domains of quantifiers)。
因此，量词的辖域或是紧邻其右边的那个谓词；或是其右边第一对括号内的表达式。
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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谓词公式与翻译(精)
xP(x)→x Q(x)) ┒(x)P(x) ⋁x Q(x)
定义2:
设A为谓词公式，若在任何解释下，A的真值都为真，则 称A为永真式；
若至少存在一种解释，使A的真值为真，则称A为可满足 式；
若在任何解释下，A的真值都为假，则称A为矛盾式，矛 盾式也称不可满足式。
2019/6显/3 然，永真式是可满足式。
2019/6/3
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 定义 谓词公式的一个解释I，由下面4部分组成 1）非空的论域U； 2）U中的特定的个体常项； 3）U上特定的函数； 4）U上特定的谓词。
若将谓词公式中的个体常项，函数和谓词分别指定 为U中的特定个体常项，U上特定的函数和U上特定的谓 词，即为该公式在解释I下的真值。
彐x(P(z)∧R(x,z)) 但是彐x(P(x)∧R(x,x))与彐x(P(z)∧R(x,y))这两种代入都是与
规则不符的。
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2.5谓词公式的等价与蕴涵
1、谓词逻辑中常见的等价与蕴含关系 谓词公式的赋值:
在谓词公式中常包含命题变元和客体变元，当客体 变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题 所取代时，就称作对谓词公式的赋值。一个谓词公 式经过赋值以后，就成为具有确定真值T或F的命 题。
17
(1)命题逻辑中等价和蕴含的推广
在命题演算中，任一永真公式，其中同一命题变元， 用同一公式取代时，其结果也是永真公式。我们可以 把这个情况推广到谓词公式之中，当谓词演算中的公 式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公 式即为有效公式，故命题演算中的等价公式表和蕴含 式表都可推广到谓词演算中使用。
例题 2 对x(P(x)→R(x,y))∧Q(x,y)换名。 解 可换名为： z(P(z)→R(z,y))∧Q(x,y)， 但不能改名为： y(P(y)→R(y,y))∧Q(x,y) 以及 z(P(z)→R(x,y))∧Q(x,y)。
2.2--谓词逻辑表示法
29
人工智能
7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
《应用离散数学》方景龙版-2.2 谓词公式及其解释
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀（2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀ （2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
谓词公式的分类与解释
第二节 谓词公式的分类与解释为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：（1） 个体常项和个体变项是项；（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：（1） 原子公式是合式公式；（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。
其中x 为任意的个体变项；（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。
合式公式的最外层括号可以省去。
定义2.4（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→∃的辖域为)),,()((z y x L y G ∧x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。
x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。
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四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
2.2谓词公式与解释
一、合式公式的定义：
原子公式： f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真（或者为假）来证明该公式是永真式
（或矛盾式）。
3. 要证明一个公式是可满足式，只要找到一个 解释，使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式，只要找一个解释，使得该 公式的真值为假即可。
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
大
学 解：1、F(a) x F(x)是非永真的可满足式；
①设D={2}，a=2，F(x):x=2，显然此时为 真；
②设D=R，a=2，F(x):x=2，显然此时为假；
2、F(a) x F(x)是永真式。
则公式为： x y (x>y) y x(x>y)
学 =10=0，从而公式不是永真式；
2) 取解释I2为：D=R,F(x,y):x.y=0 则公式为：xy(x•y=0)yx(x•y=0) =11=1从而公式不是永假式；
可知，公式是非永真的可满足式。
思考题：
1、F(a) x F(x)
西 华
2、F(a) x F(x)
替换实例。容易知道P (Q P )
是永真式，从而x F(x) (x
yG(x,y) x F(x) )是永真式。
2) x F(x) x F(x)
设在任意的解释I下，
西 1） x F(x) 为真，则 a，使得 F(a)为真，使
华 大
得 x F(x)为真， 在这种情况下，x F(x)
学 x F(x)为真；
大 学
A1,
A2,
…,
An是一现所得到的一阶逻辑公式
A称为命题逻辑公式A0的替换实例。
定理：命题逻辑中的永真式的任意替换实例在一
阶逻辑中都是永真式；命题逻辑中的矛盾式的任
意替换实例在一阶逻辑中都是矛盾式 。
1、永真式和永假式的代入实例是永真、永假式；
解释举例1
给定解释I如下：
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
西 华 大 学
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
2） x F(x) 为假，x F(x) x F(x)为真。
从而，在蕴涵式的前件x F(x) 为1或0的情况， 蕴涵式都为真。
又由解释I的任意性，知公式x F(x) x F(x)永真。
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
西 1）取解释I1为：D=R,F(x,y):x>y
华 大
公式类型举例
西 判断下列公式的类型：
华
大 学
1)
x
F(x)
(x
yG(x,y)
x
F(x)
)
2) x F(x) x F(x)
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
1) x F(x) (x yG(x,y) x F(x) )
西 华
解：显然该公式是：P (Q P ) 的
大 学