高一数学导学案7分段函数
分段函数教案
分段函数教案分段函数教案一、引言在数学学科中，分段函数是一个重要的概念。
它在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
本教案将介绍分段函数的概念、性质以及解题方法，帮助学生更好地理解和应用分段函数。
二、概念解释1. 分段函数的定义分段函数是由两个或多个函数组成的函数，每个函数在某个区间内有效。
函数的定义域可以分成多个不相交的区间，每个区间内有一个函数与之对应。
2. 分段函数的表示方式分段函数可以用符号表示，也可以用图像表示。
符号表示通常采用条件表达式，例如：f(x) = { x, x < 0{ x^2, x ≥ 0图像表示则是将每个函数的图像绘制在同一坐标系中，形成一个整体的图像。
三、性质探究1. 连续性分段函数在每个定义域内都是连续的，但在定义域之间可能存在间断点。
学生可以通过观察图像来判断分段函数的连续性。
2. 极值点分段函数的极值点可能出现在每个定义域内的端点，也可能出现在定义域之间的间断点。
学生需要通过求导或观察图像来确定极值点的位置。
3. 零点分段函数的零点是指函数取值为0的点。
学生可以通过求解方程或观察图像来确定分段函数的零点。
四、解题方法1. 确定定义域学生需要根据题目中给出的条件来确定每个函数的定义域，并将定义域整合成一个整体的定义域。
2. 绘制图像学生可以根据每个函数的表达式和定义域来绘制图像。
通过观察图像，学生可以更好地理解分段函数的性质。
3. 求解问题学生需要根据题目中的要求，利用分段函数的性质来解决问题。
例如，求函数的极值、零点和特定取值等。
五、案例分析以下是一个案例分析，帮助学生更好地理解和应用分段函数。
案例：某公司的销售业绩奖金制度如下：- 当销售额不超过100万时，奖金为销售额的5%；- 当销售额超过100万但不超过200万时，奖金为100万的5%加上超出部分的3%；- 当销售额超过200万时，奖金为100万的5%加上100万到200万的3%，再加上超出200万部分的1%。
分段函数教学设计
分段函数教学设计一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握分段函数的概念和性质，理解分段函数的图像表示，能进行相关的运算和求解问题。
2.过程与方法：通过引导学生分析实际问题，从中得出分段函数的数学表示方式，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生的数学思维能力和实际应用问题的解决能力，增强他们学习数学的兴趣和信心。
二、教学重难点1.教学重点：分段函数的概念和性质，图像表示和求解问题的方法。
2.教学难点：将实际问题转化为分段函数的数学表示方式，培养学生的应用问题解决能力。
三、教学过程设计1.导入新知利用一个实际问题引导学生思考，例如：商场的销售员工资规定如下：月销售额不超过500元，销售员的月工资是销售额的10%；月销售额超过500元但不超过1000元，月工资是销售额500元加上超出500元的20%；月销售额超过1000元，月工资是销售额1000元加上超出1000元的30%。
学生分小组，讨论如何将这个问题转化为数学的表示方式。
2.概念讲解通过引导学生的讨论，引出分段函数的概念，并给出分段函数的定义。
3.性质讲解讲解分段函数的性质，如定义域、值域、奇偶性等。
4.图像表示给出几个具体的例子，让学生绘制对应的分段函数图像，并进行解读和分析。
5.运算和求解问题给出一些运算和求解问题的例子，引导学生使用分段函数进行运算和解答问题。
6.拓展和深化引导学生分析更加复杂的实际问题，将其转化为分段函数的数学表示方式，并解答问题。
四、教学方法及学具准备1.教学方法：提问法、探究式教学法、案例分析法。
2.学具准备：板书、投影仪、计算器等。
五、教学评价1.对学生的评价：通过观察学生的参与和解答问题的程度，进行个别和集体评价。
2.对教学效果的评价：结合学生的表现、作业和考试成绩，评估教学效果。
分段函数 学案
学习过程
情境引入：出租汽车的计价是与里程有关系的，其价格与里程的关系需要分段来表示，这种在不同的定义域内需要用不同的函数关系来表达的函数称为分段函数。这节课我们将研究分段函数的求值，求定义域，求值域及与分段函数有关的实际问题。
问题研讨1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(x)= ,求f(0)，f(1),f{f[f(-1)]}
训练.f(x)= ,求f[f(x)].
问题研讨2：
设f(x)= 则f(-2)=_____若f(x0)=8,则x =___函数的值域是---------------
训练：设函数f(x)= 若f(a)>a则实数a的取值_______
训练：ABCD是等腰梯形，底AD=2a,BC=a 直线MN AD于M交折线ABCD于N设AM=x试将梯形ABCD位于MN左侧面积Y表示为x的函数并求定义域
课堂小结
课题
分段函数
学习目标
理解分段函数的概念，会画简单的分段函数图像，会解决与分段函数有关的一些简单问题.
重点
解决分段函数的基本方法：分段处理
难点
授课时间
周星期
授课班级
授课教师
方法、技巧、规律
问题研讨3
画出函数f(x)= 的图像并求出定义域,值域,并求出f(1),ff[f(2)],f{f[f(-5)]的值
训练：已知f(x)图像，则f(x)=________
问题研讨4
在边长为1的正方形ABCD边上有一动点P从点B开始沿折线BCDA运动，设P点移动距离为x, 面积y求y=f(x)解析式并指出定义域
高中数学讲解分段函数教案
高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。
二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。
三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。
2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。
3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。
4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。
四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。
五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。
六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。
高中数学分段方程教案
高中数学分段方程教案
一、教学目标：
1. 掌握分段函数的概念和性质。
2. 能够准确地画出分段函数的图像。
3. 能够解决与分段函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 理解分段函数的定义。
2. 掌握绘制分段函数图像的方法。
三、教学难点：
1. 解决包含分段函数的复杂问题。
2. 熟练运用分段函数的概念。
四、教学准备：
1. 教科书、课件和习题册。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 计算器。
五、教学步骤：
1. 引入分段函数的概念：让学生观察一个简单的分段函数，讨论其性质和特点。
2. 讲解分段函数的定义和性质：讲解分段函数的定义，解释其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：通过几个实例来解释分段函数的应用和特性。
4. 练习：让学生自行计算并绘制几个分段函数的图像。
5. 总结：总结分段函数的性质和应用，强化重点知识。
6. 作业：布置一些与分段函数相关的题目，让学生巩固所学知识。
六、教学反馈：
1. 学生对分段函数的理解和应用情况。
2. 学生解题能力和图像绘制水平。
七、教学延伸：
1. 给学生更多的分段函数练习题，提高他们的解题能力。
2. 引入更多实际问题，让学生更好地理解分段函数的应用。
八、教学评估：
1. 学生解题情况和答题水平。
2. 学生对分段函数的理解和应用情况。
高中数学分段函数总结教案
高中数学分段函数总结教案教学内容分析：分段函数是高中数学中的一个重要内容，通过本课的学习，学生将能够掌握分段函数的定义、性质、图像及求解等知识。
本节课将对分段函数进行总结，让学生加深对分段函数的理解，同时通过解题训练提高学生的分析和解决问题的能力。
教学目标：1. 知识与技能：掌握分段函数的定义、性质及图像等知识，能够准确解析和应用分段函数进行实际问题的求解。
2. 过程与方法：培养学生分析问题的能力，引导学生探索问题解决的方法和思路。
3. 情感态度与价值观：培养学生勤奋学习、积极思考、团结合作的学习态度，促进学生的创新意识和实践能力的提升。
教学重点和难点：重点：分段函数的定义，性质及图像。
难点：分段函数的解析与应用。
教学过程设计：一、导入环节（5分钟）教师引导学生回顾分段函数的定义和性质，提出本节课的学习内容和目标。
二、知识讲解（15分钟）1. 分段函数的定义及性质；2. 分段函数的图像特点；3. 分段函数的求解方法。
三、示例讲解（15分钟）教师通过具体的例题，演示如何解析和应用分段函数进行求解。
四、练习环节（15分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、反馈与讨论（10分钟）教师与学生一起总结学习内容，讨论学习中的问题及解题思路。
六、拓展延伸（5分钟）教师引导学生进行延伸思考，拓展分段函数的应用领域，提高学生的分析与解决问题的能力。
七、作业布置（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对分段函数的定义、性质及图像等知识有了更深入的理解，能够运用所学知识解答实际问题。
同时，学生在课堂练习中也提高了解题的能力。
在以后的教学中，需要引导学生多进行实际问题的应用，提高学生的解决问题的能力及创新思维。
分段函数
编号 10 编制审核审批山东省昌乐及第中学高一数学《分段函数》导学案学习目标1.进一步了解函数的概念和表示方法，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；2.了解简单的分段函数，并能简单应用；3.结合图象研究分段函数的性质，体会数形结合思想的作用.学习重点、难点重点：分段函数及其应用.难点：分段函数及其应用.【课前预习】1.知识链接①试叙述函数的概念，并说出函数的常见表示方法，概括各种表示方法的优缺点.②作出函数y=x的图象.2.自主学习①我们常见的函数如：正比例函数、反比例函数、二次函数等，有一个共同特点：在定义域内的对应法则只有一个.那么存在在不同的取值区间，对应法则不同的函数吗？你能举个例子吗？②自主完成例题：已知一个函数y=f（x）的定义域为区间[0,2],当x∈[0,1]时，对应法则为y=x，当x∈（1,2]时，对应法则为y=2-x，试用解析法与图象法分别表示这个函数.③写出分段函数的定义，并将函数y=x用分段函数的形式表达.3.预习自测（1）写出下列函数的解析表达式并作出函数的图象：班级 姓名 学号 时间 月 日 ①设函数y=f （x ），当x<0时，f （x ）=0；当x 0时，f （x ）=2；②设函数y=f （x ），当x ≤-1时，f(x)=x+1；当-1<x<1时，f （x ）=0；当x ≥1时，f （x ）=x-1.（2）函数y=f （x ）=2-x,10,01,12x x x x x -<<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩的定义域、值域分别是什么，求f(-0.8),f(12),f(32)，并作出该函数的图像。
【课内探究】探究一 实际问题中的分段函数例1. 在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，以此类推，每封xg （0<x ≤100）的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.练习 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是（1）乘坐5km 以内，票价2元；（2）乘坐5km 以上，每增加5km ，票价增加1元（不足5km 的按5km 计算）。
分段函数教案
分段函数教案一、教学目标1. 知识与技能：了解和理解分段函数的概念和性质，掌握绘制分段函数图像的方法。
2. 过程与方法：通过讲解、示例和练习，帮助学生从实际问题中抽象出分段函数，并正确绘制其图像。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学思维的兴趣和探索精神，增进对分段函数在实际问题中应用的认识和理解。
二、教学重难点1. 教学重点：分段函数的概念和性质，分段函数图像的绘制方法。
2. 教学难点：从实际问题中抽象分段函数，正确绘制分段函数图像。
三、教学过程1. 导入新知识：通过一个实际问题引入分段函数的概念。
例如：小明买东西总共花费了60元，如果货物单价小于等于10元，他要支付的运费是5元；如果货物单价大于10元，他要支付的运费是2元。
那么买货物的单价x和小明支付的总费用y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
2. 介绍分段函数的定义和表示方法。
例如：一个分段函数可以写成f(x) = {x^2, x ≥ 0； 1/x, x < 0}。
3. 结合具体的实例，让学生通过思考和讨论，从实际问题中抽象出分段函数的定义和表示方法。
例如：一个池塘里有鱼，如果鱼的数量小于等于50条，鸟儿每天吃10条鱼；如果鱼的数量大于50条，鸟儿每天吃20条鱼。
那么鱼的数量x和鸟儿每天吃的鱼的数量y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
4. 讲解分段函数图像的绘制方法。
例如：对于一个分段函数f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}，可以先分别绘制两个子函数的图像，然后将两个子函数的图像连接起来，形成整个分段函数的图像。
5. 示例演练：给出一个分段函数的例子，让学生根据定义和绘图方法，绘制出该函数的图像。
例如：f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}。
6. 课堂练习：让学生根据实际问题，抽象出分段函数，并正确绘制出该函数的图像。
7. 总结与拓展：对学生进行总结回顾，巩固已学知识。
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即墨一中高一数学导学案
必修一第一章分段函数
编写：王莎莎 审核：史鑫
【课前预习导读】
一、学习目标：
1、通过图像了解分段函数及其解析式。
2、会求分段函数定义域、值域，分段函数的不等式。
3、使学生感受到数形结合的重要性。
二、学习重点难点：分段函数定义域、值域，不等式。
三、学习方法：通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 。
四、自主预习
阅读课本21页，学习例题5、6，回答什么是分段函数？特点是什么？画它们的图像的步骤是 ，要注意问题 。
分段函数：如果函数(),y f x x A =∈，根据自变量在不同的取值范围内有着 ，称这样的函数为分段函数。
五、基础自测
1、已知()x f y =的图像如下图所示，则()x f 的解析式为
2、某城市“招手即停”公共汽车的票价按下列规定制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价为2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式。
【课堂自主导学】
一、问题探究
例1 已知函数
22(1)()(12)
2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
（1）求 )]1([),2
1(),2(-f f f f ； （2）若()3f a =,求a 的值；
(3)若,3)a (>f 求实数a 的取值范围；
规律总结：
巩固练习：
已知函数 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+=，2,12,22,22,2,1)(x x x x x x x x f (1)求])2([),3(),5(---f f f f 的值。
(2)若3)(=a f ,求实数a 的值。
(3)若,)(m m f >求实数m 的取值范围。
例2 画分段函数()⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x f 168
2 ()()()
128,84,40≤<≤<≤≤x x x 图像，求定义域和值域。
规律总结：
巩固练习：画x 1++=x y 的图像，并求值域。
二、知识梳理
课堂检测
1、函数()⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f 222- ()()()
1,11-,1-≥<<≤x x x 的最小值为 。
2、已知函数()⎩⎨⎧+-+=,3,1x x x f ()()11>≤x x ，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f = ； 若()0,10x x f 则== 。
【课后自主导学】
1、函数()⎩⎨⎧++-=,
6642x x x x f ()()00<≥x x 求不等式)1()(f x f >的解集。
2、已知()()⎩
⎨⎧+-=25x f x x f ()()66<≥x x 其中的值求(3),f N x ∈。
3、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧
++=,
232x ax
x x f ()()11<≥x x 若((0))4,f f a =求实数a 的值。
4、 求函数()⎪⎩⎪⎨⎧
+=,
11
-2x x x x f ()()11>≤x x 值域。
5、画出函数1+=x y +|x-2 | 的图象并求定义域值域。
课后反思。