2016北京二十中高一(上)期中数学

2016北京二十中高一（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，5，6}，则集合∁U（A∪B）是（）A．{2，4，6} B．{1，3，4} C．{1，2，3，5，6} D．{4}2．（5分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x3．（5分）下列函数中与函数y=x﹣1表示的是同一函数的是（）A．y=B．y=x﹣x0C．y=D．y=x+log34．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定6．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]=（）A．2 B．3 C．9 D．187．（5分）若a是函数f（x）=3x﹣log x的零点，且f（b）＜0，则（）A．0＜b＜a B．0＜a＜b C．a=b D．a≤b8．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．10．（5分）对于实数a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x﹣1）+3的图象恒过定点P，则定点P的坐标是．11．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x）（x∈R），且该函数的图象与y轴交于点（0，3），在x轴上截得的线段长为2，则该二次函数的解析式为．12．（5分）若函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）= ．14．（5分）设f（x）是（0，+∞）上的增函数，当n∈N+时，f（n）∈N+，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）= ，f （2）= ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）计算下列各式的值：（1）8+（0.01）+（）；（2）21g5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2．16．（13分）记函数f（x）=lg（x2﹣1）的定义域为A，g（x）=（其中a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义证明函数在区间（0，+∞）上是增函数．18．（13分）设二次函数f（x）=﹣x2+2ax+b，集合A={x|x2+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，已知A∩B={0}．（1）求b的值；（2）求此二次函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）是否存在实数a，使f（x）的定义域和值域是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，说明理由；（2）若f（x）在x∈[0，1]上有零点，求实数a的取值范围；（3）对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x）|≤4，求实数a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）满足：①∀s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st；②f（3）=6；③∀x＞0，有f （x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）证明；函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求满足f（2x）+f（2x+1）＜4的x的取值范围．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】∵A={1，3，5}，B={2，5，6}，∴A∪B={1，2，3，4，5，6}又U={1，2，3，4，5，6}，∴C U（A∪B）={4}，故选D2．【解答】对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选A．3．【解答】选项A：定义域为{x|x≠﹣1}，故不同；选项B：定义域为{x|x≠0}，故不同；选项C：y=|x﹣1|，故不同；选项D：相同；故选D．4．【解答】∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故选A．5．【解答】由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选B．6．【解答】∵f（x）=，∴f（2）=，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故选：A．7．【解答】∵y=3x为增函数，y=log x为减函数，故f（x）=3x﹣log x在其定义域（0，+∞）上为增函数，∵a是函数f（x）=3x﹣log x的零点，∴f（a）=0，又∵f（b）＜0，∴0＜b＜a，故选：A．8．【解答】∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．10．【解答】由对数的性质y=log a x，恒过（1，0），即log a1=0，∴令x﹣1=1可得x=2，∴f（2）=log a（2﹣1）+3=3，∴函数图象恒过定点（2，3），故答案为：（2，3）．11．【解答】∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x=2，设f（x）=0的两个零点分别为x1，x2，x1＜x2，则x1+x2=4，又f（x）图象在x轴上截得的线段长为2，∴x2﹣x1=2，解方程组，得x1=1，x2=3，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），∵f（x）图象与y轴交于点（0，3），∴f（0）=3a=3，∴a=1．∴f（x）=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．故答案为：f（x）=x2﹣4x+3．12．【解答】∵函数f（x）=是R上的增函数，∴，求得2＜a≤4，故答案为：（2，4]．13．【解答】∵f（x+6）=f（x），∴T=6，∵当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1；f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=335×1+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=336故答案为：336．14．【解答】由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，故答案为：2；3．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】（1）8+（0.01）+（）=4+10+3=17（2）21g5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2=21g5+2lg2+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=316．【解答】（1）∵函数f（x）=lg（x2﹣1），∴x2﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞1；∴f（x）的定义域为A={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）∵g（x）=（其中a＜1），∴（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0，即（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0，解得2a≤x≤a+1，∴g（x）的定义域为B={x|2a≤x≤a+1}；又B⊆A，当2a≥a+1时，即a≥1，不合题意，舍去；当a＜1时，有a+1＜﹣1或2a＞1，解得a＜﹣2或a＞，所以实数a的取值范围是{a|a＜﹣2或＜a＜1}．17．【解答】（1）∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），使得△x=x2﹣x1＞0，则△y=f（x2）﹣f（x1）=﹣==，∵x2﹣x1＞0，x1x2+1＞0，x1x2＞0，∴△y＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．18．【解答】（1）∵A={0，﹣1}，A∩B={0}，∴0∈B，∴f（0）=b=5由f（﹣1）≠5，得a≠﹣；（2）由（1）可得f（x）=﹣x2+2ax+5，对称轴为x=a．①a≤﹣2，f（x）在[﹣2，4]上为减函数，∴x=﹣2时，f（x）max=﹣4a+1；①﹣2＜a＜4且a≠﹣，x=a时，f（x）max=a2+5；③a≥4时，f（x）在[﹣2，4]上为增函数，∴x=4时，f（x）max=8a﹣11，综上所述，f（x）max=．19．【解答】（1）函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，其中a＞1，当x∈[1，a]时，函数为减函数，当x=1时，函数取最大值6﹣2a，当x=a时，函数取最小值5﹣a2，若存在实数a，使f（x）的定义域和值域是[1，a]，则5﹣a2=1，且6﹣2a=a，解得：a=2；（2）①当a∉[0，1]时，若f（x）在x∈[0，1]上有零点，则f（0）f（1）=5（6﹣2a）≤0，解得：a≥3；②当a∈[0，1]时，△=4a2﹣20＜0，f（x）在x∈[0，1]上没有零点，综上所述：a≥3；（3）若对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x）|≤4，只须﹣4≤f（x）max≤4，且﹣4≤f（x）min≤4，①当a∉[1，a+1]，即0＜a＜1时，f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（1）=6﹣2a，此时不等式组无解，即此时不存在满足条件的a值；②当a∈[1，a+1]，即a≥1时，f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，或f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2，1° 若1≤a≤2，则f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，解得：a∈[，2]，2° 若a＞2，则f（x）max=f（1）=6﹣2a，解得：a∈（2，3]，综上所述：a∈[，3]20．【解答】（1）由于∀s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st，则f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+1=2f（1）+1，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）+2=3f（1）+3，由于f（3）=6，则f（1）=1；（2）证明：令0＜m＜n，则n﹣m＞0，∀x＞0，有f（x）＞0，则有f（n﹣m）＞0，即有f（n）=f（n﹣m+m）=f（n﹣m）+f（m）+（n﹣m）m＞f（m），则有函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）解：令2x=a＞0，则不等式f（2x）+f（2x+1）＜4即为f（a）+f（2a）＜4，即有f（3a）﹣2a2＜4，由于当a=1时，f（3）=2+4=6，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则有3a＜3，即有a＜1，则x＜0，故解集为：（﹣∞，0）．。