中国矿业大学(徐州)2011,大一下学期,数学分析(2)复习题

数学分析（2）复习题2010-06
第八章 不定积分
1. 利用换元法求下列不定积分 (1)
d 1sin x
x +⎰;
(2)
⎰
; (3)
()x a b <.
2. 利用分部积分法求下列不定积分
(1) ln(x x ⎰
; (2) arcsin d 1x x
+⎰; (3)
arctan 322
d (1)
x xe x x +⎰
.
3. 求不定积分 2
2424
d ,d 11x x I J x x x x x ==++++⎰
⎰. 第九章 定积分 1．求极限])1(cos 2cos cos
1[1
lim n n
x n n x n x n -++++∞→ （R x ∈） 参考：P207习题2
2．用可积准则证明：若)(x f 为],[b a 上的连续函数，则f 在],[b a 上可积
参考：P209-P211可积类的证明
3. 证明Riemann 函数(见P211)是可积的。

参考：P211例3 4．设f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果
0)(=⎰
b
a
dx x f ，则
],[,0)(b a x x f ∈≡。

参考：P217例2
5. 求极限
1
1)1ln(lim
4
sin 0
2-++⎰→x dt
t x x . 参考：P229习题1和3
6. 设f 是连续函数。

证明
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
⎰
⎰
并利用这一结果计算定积=I ⎰π
+02cos 1sin dx x x x . 参考：P230习题7，答案：4
2
π
7. 设)(x f 在],0[a 上可导，且⎰
<=-n a x a n
a f dx x f e n
10
)1
()()(
证明：),0(a ∈ξ∃使0)()(=ξ'+ξf f 8. 若f 在],[b a 上连续增，
⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=⎰a x a f b a x dt t f a x x F x a
),(]
,( ,)(1)(
证明F 为],[b a 上的增函数. 参考：P237习题2 第十章 定积分的应用
9．求心形线(1cos )r a θ=+的全长及它所围图形的面积．
10．求椭球面122
2222=++c z b y a x 所围的椭球体的体积．参见：P244例2
11．求椭圆122
22=+b
y a x 绕y 轴旋转所得的旋转曲面的表面积．参见：P254例1
12． 一根长为l 的均匀细杆，质量为M ，在其中垂线上相距细杆为a 处有一质量
为m 的质点．试求细杆对质点的万有引力．参见：P256例2 第十一章 反常积分 13. 讨论瑕积分
1
(ln )p
dx
x x ⎰
是否收敛？ 参见：P269习题2（8）
14．讨论反常积分1
()1x dx x
αα-+∞
Φ=+⎰
的收敛性．参见：P278例2 15．讨论反常积分0
ln x e x dx +∞
-⎰
的收敛性．参见：P279习题3（8）
16. 计算瑕积分()
1
0ln n
x dx ⎰（其中n 为正整数）的值．参见：P279习题4（1）
17. 设⎰
+∞+=
4
111dx x I ，⎰∞++=042
21dx x x I ，
（1）证明1I 收敛；
（2）证明21I I =，并求1I 的值（提示：)(2
1
211I I I +=
）.
答案：
2
2π
第十二章 至 第十五章 级数 18.判别下面正项级的收敛性
（1）∑∞
=+++13
2)1(sin 3n n n n ；（2）∑∞
=-+2322)1
1ln(n n
n n n ；（3）∑∞
=3)ln )(ln (ln 1n n n n ； 19. 级数
∑∞
=-2
10ln 1)1(n n
n
是条件收敛，还是绝对收敛。

20．设正项数列{}n a 单调减少，且级数∑∞
=-1
)1(n n n
a 发散，证明∑
∞
=+1)
1(1
n n
n a 收敛。

21．讨论级数 +-+-+-
ααα
61
5141312
11（R ∈α）的收敛性。

答案：分情况讨论，只有当1=α时收敛 22．若级数
∑∞
=12
n n
a 收敛，证明∑∞
=1
3n n
a 和)21(1
>∑
∞
=p n a n p
n 都绝对收敛。

23．若级数
∑∞
=1n n
a
与
∑∞
=1
n n
b
都收敛且有),2,1( =≤≤n b c a n
n n ，
证明
∑∞
=1
n n
c
收敛。

参见：P25习题2
24. 求级数
∑∞
=+1)
1(1
n n x n n 的收敛域及其和函数。

25．求级数∑∞
=++-01
21
2)1(n n n x
n 的收敛域及其和函数。

26．把函数
2
21x
x x
-+展开为关于x 的幂级数并指出收敛域。

27．将函数x
x x f -+=11
arctan
)(展开为x 幂级数并指出收敛域。

28．把函数
dt t
t
x sin 0
⎰
展开为关于x 的幂级数并指出收敛域。

29．把函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--<≤-=1,0,11,0)(2
12
1
211x x x x f 展开为Fourier 级数并指出收敛性。

30．把函数)0()(π≤≤=x x x f 展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数
证明85
131112
222π=+++ 。

第十六章 至 第十七章 多元微分学
31．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{}E P n ⊂，0P P n ≠，0lim P P n n =∞
→时，
0P 是E 的聚点。

参见P92习题3
32．讨论二元函数
y
x y x y x y x f +++-=
2
2),( 在点)0,0(的二重极限及两个二次极限。

参见P98例7 33．讨论二元函数
⎩⎨
⎧<<=其它
,00 ,1),(2
x y y x f 在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。

（注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。

）参见P95例4等
34．证明: ⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0
,00,)(),(22222
3
222
2y x y x y x y x y x f
在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。

35．证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(222
22222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在)0,0(可微．
参见：P117习题7
36．设(,)x y u f y z =，其中f 为可微函数，求
,,
u u u
x y z
∂∂∂∂∂∂． 参见：P123习题1
37．设(,)u u x y =可微，在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==下，求
2
2
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u 的表达式。

参见：P120例2 38．设函数(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且(1,1)(1,1)
(1,1)1,
2,3,f f
f x y
∂∂===∂∂
()(,(,))x f x f x x ϕ=，求
3
1
()x d x dx ϕ=． 39. 求旋转抛物面12
2
-+=y x z 在点)4,1,2(P 处的切平面及法线方程。

40．设2
3
(,,)f x y z x y z =++，求f 在点0(1,1,1)P 的梯度及沿方向:(2,2,1
)l -
的方向导数．。