椭圆知识点总结及练习

椭圆知识点总结及典型方法
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点
P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b
y a x )0(>>b a ，其中2
22b a c -=
2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b
x a y )0(>>b a ，其中2
22b a c -=；
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆：122
22=+b
y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122
22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、
y 同时换成x -、y -、原方程都不变，
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x
≤，
b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，
)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记a
c a c e ==22。

知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 122
22=+b
x a y )0(>>b a 的区别和联系
知识点五: 椭圆的第二定义：
平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

（
e d
PF =|
|） ①焦点在x 轴上：122
22
=+b
y
a x （a ＞
b ＞0）准线方程：
c a x 2±
=
②焦点在y 轴上：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2
±=
知识点六: 椭圆的的内外部
（1）点00(,)P x y 在椭圆
22
221(0)x y
a b a b +=>>的内部2200
221x y a b
⇔+<.
（2）点00(,)P x y 在椭圆
2
2
22
1(0)x y a b a b +=>>的外部2200
221x y a b
⇔+>.
例题组1：
一.椭圆定义： １．方程
()()10222
22
2=+++
+-y x y x 化简的结果是
2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是
3.已知椭圆22
169
x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为
二．利用标准方程确定参数
1.若方程25x k -+2
3
y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .
（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .
2.椭圆2
2
425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,
3．椭圆
22
14x y m
+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

三．待定系数法求椭圆标准方程
1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

2．焦点在坐标轴上，且2
13a =，2
12c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为
4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

四．焦点三角形
1．椭圆
22
1925
x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。

2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？
21F PF ∆的面积的最大值是多少？
3．设点P 是椭圆22
12516
x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．
五．离心率的有关问题
1.椭圆
142
2=+m
y x 的离心率为21，则=m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0
120，则此椭圆的离心率e 为
3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为
4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．
同步测试
1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )
A 圆
B 椭圆
C 线段
D 直线
2、椭圆
22
1169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则∆CDF 1的周长为______ 3已知方程
22
111x y k k
+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k ≥0 D k>1或k<-1
4、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为10，短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)
5、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则⊿ABC 的重心G 的轨迹方程为______________________
6.椭圆22
221(0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。

若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为_________
7、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 椭圆方程为 ___________________.
8已知椭圆的方程为22
143
x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积
例题组2
例1. 椭圆
142
2=+m
y x 的离心率为21，则m =
[巩固]若方程：x 2+ay 2=a 2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a 的允许值的个数是 A 1个 B .2个 C.4个 D.无数个
例2已知椭圆122
22=+b
y a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若
BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。

注：关于a ,b ，c 的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

例3 已知椭圆122
22=+b
y a x （a >0,b >0）的离心率为53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转
2π后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为y =3
16
，则原来椭圆的方程是 。

[巩固1]一椭圆的四个顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。

[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
(A)2 (B)22 (C) 21 (D)4
2。