江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷
等差数列(判定、性质、通项及求和)
考点1 等差数列（判定、性质、通项及求和）1.（15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）已知{}n a 是等差数列，若7523a a -=，则9a 的值是________.【考点】等差数列的性质. 【答案】3【分析】在等差数列{}n a 中，5972a a a +=，7523a a -= ∴7523a a =+ 5953a a a +=+，得93a =.2. （15泰州一模）数列{n a }，{n b }，{n c }满足：12n n n b a a +=﹣，122n n n c a a ++=+﹣2，n ∈N *． （1）若数列{n a }是等差数列，求证：数列{n b }是等差数列；（2）若数列{n b }，{n c }都是等差数列，求证：数列{n a }从第二项起为等差数列；（3）若数列{n b }是等差数列，试判断当1b +3a =0时，数列{n a }是否成等差数列？证明你的结论．【考点】数列递推式；等差关系的确定． 【解】（1）证明：设数列{n a }的公差为d ， ∵12nn n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n nn n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-，∴数列{n b }是公差为﹣d 的等差数列． （2）当n ≥2时，1122n n n c a a +=+﹣﹣，∵12nn n b a a +=-，∴122n n n b c a -++=，∴1112n nn b c a +++=+， ∴11111=2222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-+ ∵数列{n b }，{n c }都是等差数列， ∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列{n b }从第二项起为等差数列．（3）数列{n a }成等差数列． 解法1：设数列{n b }的公差为d'， ∵12n n n b a a +=﹣，∴11222nn n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-，∴11111122...222nn n n n n b b b a a -+-++++=-，设2112122...22n n n nn T b b b b --=++++， ∴211122...22n n n nn T b b b +-=+++，两式相减得：()211122...222n n n n n T b d b -+'-=++++-，即()11124212n n n n T b d b -+'=---+，∴()1111112421'222n n n n n b d b a a -+++---+=-，∴()()111111111222421'22242n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++''=++--=+---，∴()11+11224=2n n n a b d a b d +'+-'--，令n =2，得()111132133224224=22a b d a b d a b d b ''+-+-'--=- ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=， ∴11224'0a b d +=﹣， ∴1(')n n a b d +=--，∴211(')(')'n n n n a a b d b d d +++-=--+-=-，∴数列{n a }（n ≥2）是公差为-'d 的等差数列， ∵12nn n b a a +=-，令n =1，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列{n a }是公差为﹣d'的等差数列．解法2：∵1132,0n n n b a a b a +=-+=，令n =1，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴1122232,2n n n n n n b a a b a a ++++++=-=-，∴12122132(2)2(2)n nn n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列{n b }是等差数列， ∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，∵12320a a a -+=， ∴1220n nn a a a ++--=，∴数列{n a }是等差数列．3．(江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷) 已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________. 【考点】等差数列的性质. 【答案】4-【分析】等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， ∴1617123,50,60a a a d a a d ==+=+<≥ ， ∴23+5d ≥0，且23+6d ＜0， 解得：232356d -<-≤，又d 为整数，∴d =4-.4．(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a ++≤≤，则155a a +的最大值为________. 【考点】等差数列的性质.【答案】200【分析】∵在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >， 又122360,100a a a a ++≤≤，∴11260,23100a d a d ++≤≤，∴151111564(2)(23)(22)(3)a a a d x a d y a d x y a x y d +=+=+++=+++，∴226,34x y x y +=+=，解得51,22x y ==， ∴151151515(2)(23)601002002222a a a d a d +=+++⨯+⨯=≤.5．（江苏2015高考冲刺压轴卷）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对n ∀∈N ﹡有2nS ＝2n n a a +．令111n nn n nb a a a a ++=+，设{}n b 的前n 项和为n T ，则在123100,,T T T T …中有理数的个数为_____________．【考点】本题考查数列求通项公式及其等差数列的通项公式、裂项求和方法． 【答案】9【分析】由2n S =2n n a a +可得12n S -=211n n a a --+ ，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+- 化简得2211n n n n a a a a --+=-，即11n n a a --=，正项数列{}n a 是等差数列，当1n = 时，12a =211a a +解得11a = ，故n a n =；()111n b n n n n=+++1111n n n n =⋅+⋅++11111n n n n n n +-==-+⋅+， 111111111 (1223111)n T n n n n n =-+-++-+-=--++，故当3,8,15,24,35,48,63,80,99n =时前n 项和为n T 为有理数，故在123100,,T T T T …中有理数的个数为9个．6．（徐州市2014届高考信息卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S n +都是公差为(0)d d ≠的等差数列，则1a = ．【考点】等差数列的通项公式，不等式恒成立问题. 【答案】34-【分析】因为{}n S n + 是公差为(0)d d ≠的等差数列，所以11n n S n S n d +++=++对于n ∈*N 始终成立，平方整理得()()()222211112222110d d n d a a d d n a d -+--++-+=对于n ∈*N 始终成立，即1121120221010d a a d d a d -=⎧⎪--+=⎨⎪-+=⎩解得13412a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为134a =- 7．（南通市2015届高三第三次调研）在等差数列{}n a 中，若*246()n n a a n n ++=+∈N ，则该数列的通项公式n a = ． 【考点】考查等差数列，数列的通项公式，考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力.【答案】21n +【分析】设通项公式为1(1)n a a n d =+-，由211(1)(1)46n n a a a n d a n d n ++=+-+++=+，再通过比较系数得出13,2a d ==，则n a 通项公式为n a =21n +.8．（15江苏模拟（三））已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ．【答案】10.2【分析】由条件得953a =，故1791710.2S a ==.9．（15江苏模拟（三））已知数列{n a }、{n b }满足：1121141nn n n nb a a b b a +=+==-，，. （1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立． 【解】（1）11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋ ∵1113,44a b == ∴234456,,567b b b ===． （2）∵11112n nb b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列． ∴14(1)31n n n b =---=---∴12133n n b n n +=-=++．（3）113n n a b n =-=+． ∴12231111114556(3)(4)444(4)n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++， ∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++． 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+--，a ＝1时，()380f n n =--<恒成立, a >1时，由二次函数的性质知不可能成立．a <l 时，对称轴3231(1)02121a a a --⋅=--<--，f (n )在[)1,+∞为单调递减函数． (1)(1)(36)84150f a a a =-+--=-<， ∴a <1时4n aS b <恒成立．综上知：a ≤1时，4n aS b <恒成立．10．（15江苏高考压轴）已知数列{}n a 中，2a =a (a 为非零常数)，其前n 项和n S 满足1()2n n n a a S -=(n ∈*N )． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若a =2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值； （3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由已知，得1a =1S =111()2a a ⋅-=0，∴2n n na S =， 则有11(1)=2n n n a S +++，∴112()(1)n n n n S S n a na ++-=+-， 即1(1)n n n a na +=－，∴21(1)n n na n a ++=+， 两式相加，得122n n n a a a n *++=+∈N ，， 即211n n n n a a a a n *+++=∈N －－，， 故数列{}n a 是等差数列．又1a =0，2a =a ，∴(1)n a n a =－．（2）若a =2，则2(1)n a n =－，(1)n S n n ∴=-．由21114m n a S -=，得2211(1)n n m -+=-，即224(1)(21)43m n --=－， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43．∵43是质数，2m +2n -3>2m -2n -1，2m +2n -3>0，∴221122343m n m n --=⎧⎨+-=⎩解得m =12，n =11．（3）由n a b p +≤，得(1)a n b p +－≤．若a <0，则+1p bn a -≥，不合题意，舍去； 若a >0，则+1p bn a-≤． ∵不等式n a b p +≤成立的最大正整数解为3p －2， ∴32+131p bp p a---≤＜， 即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b 对任意正整数p 都成立． ∴3a －1=0，解得a =13， 此时，23－b ＜0≤1－b ，解得23＜b ≤1． 故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是a =13，23＜b ≤1． 11．（15南通市直调考）已知无穷数列{}n a 满足：1a =1，22a =1a +3a ，且对于任意n ∈*N ，都有na ＞0，21n a + =2n n a a + +4．（1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 考点： 数列递推式．【解】（1）由条件，∀n ∈*N ，21n a + =2n n a a + +4， 令n =1，得22a =13a a +4．…（2分）又∵22a =1a +3a ，且1a =1，解得2a =3，3a =5．…（4分）再令n =2，得23a =24a a +4，解得4a =7． …（6分） （2）∵21n a + =2n n a a + +4，①∴22n a + =13n n a a ++ +4，②由①－②得，2212n n a a ++- =（2n n a a ++4）－（13n n a a +++4）=2n n a a +－13n n a a ++ …（8分）∴2211322n n n n n n a a a a a a ++++++=+，∴1n a +（1n a ++3n a +）=2n a +（n a +2n a +）， ∴21312n n n n n n a a a a a a +++++++=，∴数列{21n n n a a a +++}为常数数列．…（12分） ∴21n n n a a a +++=132a a a +=2，∴n a +2n a +=21n a +，∴数列{n a }为等差数列． …（14分） 又公差d =2a －1a =2，∴n a =2n －1．…（16分）12. (15江阴市高三上学期月考数学试卷）已知数列{n a }满足122n n n a a a ++=+（n ∈N *），它的前n 项和为n S ，且361072a S ==，．若1302n n b a =-，求数列{n b }的前n 项和的最小值为 ．【考点】数列递推式；数列的求和． 【答案】－225【分析】由题知数列n a 为等差数列，在等差数列{n a }中，由361072a S ==，， 得1121061572a d a d +=+=，， 解得1a =2，d =4， ∴42n a n =-． ∴1302312n n b a n ==--， ∵由n b =2n －31≥0，得n ≥312， ∴{n b }前15项为负值，∴数列{b n }的前n 项和n T 的最小值=15T =－225．13. （15无锡市高三上学期期中试卷）若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为_______． 【考点】等差数列的性质．【答案】24【分析】由题意设一直角三角形的三边长分别为：a 、a +2、a +4，所以222(4)(2)a a a +=++，即24120a a --=，解得，a =6或a =-2（舍去），所以直角三角形的三边长分别为：6、8、10， 所以该直角三角形的周长为24， 故答案为：24．14. （15南京一中等五校联考）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有______项． 【考点】等差数列的通项公式． 【答案】7【分析】222123111...(1)n a a a a a n n a a ++++=++-- =211(1)()a n a n +-+ =211(1)(1)a n a n n +-+-=2211(1)()(1)24n n a n n --++-- =211(1)(31)()3324n n n a --+++≤， 为了使得n 尽量大，故211()02n a -+=， ∴(1)(31)334n n -+≤， ∴（n -1）（3n +1）≤132，当n =6时，5×19＜132， 当n =7时，6×22=132， ∴max 7n =，故答案为7．15. (2015·北京海淀区一模)在等差数列{}n a 中，11a ＝，35a ＝－，则1234a a a a －－－＝________. 【答案】16【分析】在等差数列中，312a a d ＝＋，即512d -＝＋，故3d -＝，则22a -＝，48a -＝，所以1234=16.a a a a ---16. (2015·合肥一模)以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，若2756a a a ＋－＝，则7S ＝________. 【答案】42 【分析】依题意得2755454=()==6a a a a a a a +--＋，17747)7422a a S a +===（.17. (2015·合肥质量检测)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：212n n n a a a ＋＋＝－，534a a ＝－，则7S ＝________.【答案】14【分析】 依题意，数列{}n a 是等差数列，且354a a ＋＝，173577)7()1422a a a a S ++==（＝.18. (2014·海口调研)已知等差数列{}n a ，前n 项和用n S 表示，若579232a a a ＋＋＝14，则13S ＝________. 【答案】26【分析】依题意得7714a ＝，72a ＝，()1131371313262a a S a +=＝＝.19. (2015·银川质量检测)已知数列{}n a 为等差数列，若3170a a ＋＞，且10110a a ＋＜，则使{}n a 的前n 项和n S 有最大值的n 为________．【答案】10【分析】 依题意得1020a ＞，即100a ＞，11100a a -＜＜，因此在等差数列{}n a 中，前10项均为正，从第11 项起以后各项均为负，使数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值的n 为10.20. (2014·荆州质检)公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，且1060S ＝，则20S ＝________. 【答案】320【分析】 由题意可知，2437a a a =，由于{}n a 是等差数列，所以2111(3)(2)(6)a d a d a d ＋＝＋＋，解得132a d -＝ (d ＝0舍去)，又10191010602S a d ⨯+=＝，所以1962a d =＋，从而d ＝2，13a -＝. 所以2012019206020193202S a d ⨯=-+⨯=＝＋.21. (2015·南通模拟)在数列{}n a 中，若221n n a a +-＝p (n ≥1，*n ∈N ，p 为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{(1)n-}是等方差数列； ③若{}n a 是等方差数列，则{kn a }(*k ∈N ，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________． 【答案】①②③【分析】①正确，因为221n n a a p +-=，所以221n n a a p +-=-，于是数列{}2n a 为等差数列．②正确，因为22(1)(1)(1)0nn ---＋＝为常数，于是数列{(1)}n -为等方差数列．③正确，因为()()221k na a+-=+()22()kn kn kn k kn k aa a a +++-+-++-kp =，则{}kn a (*k ∈N ，k 为常数)也是等方差数列．22. (2014·南京、盐城模拟)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)若1a ＝1，且对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有2n k n k n S S S +-+=成立，求数列{}n a 的通项公式．【解】(1)证明:设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -＝＋，从而112n S n a d n -=+， 所以当2n ≥时，11112()()1222n n S S n n da d a d n n ----=+-+=-， 即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．(2)因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有2n k n k n S S S +-+=成立，所以112n n n S S S +-+=，即数列{n S }是等差数列． 设数列{n S }的公差为1d ，则n S ＝1S ＋(n －1)1d ＝1＋(n －1)1d ，所以21[1(1)]n S n d -＝＋，所以当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝222211111[1(1)][1(2)]232n d n d d n d d ---=-+＋＋，因为{}n a 是等差数列，所以2132a a a a --＝，即222222111111111(432)1(632)(432)d d d d d d d d d -+-=-+--+，所以11d ＝，即21n a n -＝. 又当21n a n -＝时，2n S n ＝，此时2n k n k n S S S +-+=对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立，因此21n a n -＝.。
江苏省淮安市重点中学高三上学期10月联合质量检测 数学
江苏省淮安市重点中学2015届高三联合质量检测数学试卷考试时间：2014.10考生注意:1．本试卷包括填空题(第1题—第14题)、解答题(第15题—第20题)，本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)1．命题“”的否定是 。
2．已知i 为虚数单位，若12(,)1i a bi a b R i+=+∈+，则a +b 的值是 。
3．为了调查城市PM2. 5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，对应的城市数分别为8, 16, 24。
.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为 。
4．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个。
若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 。
5．若集合{{}2|,|2A x y B y y x ====+，则= 。
6．如图所示的流程图中，输出的结果是 。
7．若x >-3，则的最小值为 。
8．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则 。
9．已知双曲线 (a>0,b>0)的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 。
10．数列{}的前n 项和为，且，则{}的通项公式= 。
11．在直角三角形ABC 中，ABAC, AB = AC=1，，则的值等于 。
12．直线的倾斜角为，则的值为 。
13．己知是定义在R 上的奇函数.，且当x0时，，则此函数的值域为 。
14．图为函数的图象，其在点M(t, f (t))处的切线为l ，切线l 与Y 轴和直线y=1分别交于点P, Q ，点N (0，1) ，若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 。
解三角形(与三角形面积、形状有关的问题)
考点9 解三角形（与三角形面积、形状有关的问题）1. (江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷)在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5A =，b =5c . (1)求sin C 的值；(2)求sin(2A +C )的值； (3)若ABC △的面积3sin sin 2S B C =，求a 的值. 【考点】正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数，二倍角的余弦，解三角形. 【解】(1)∵22222242cos 2610185a b c bc A c c c =+-=-⨯=∴32a c = ∵4cos 5A =，0＜A ＜π，∴3sin 5A =. ∵sin sin a c A C =，∴3sin 25sin 1032c c A C a c ⨯===. (2)∵c ＜a ，∴C 为锐角， ∴272cos 1sin 10C C =-=∵3424sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=∴2167cos 22cos 1212525A A =-=⨯-=∴72sin(2)sin 2cos cos 2sin 10A C A C A C +=+=. (3)∵b =5c ，∴sin 5sin B bC c==，sin 5sin B C =. ∴23153sin sin sin 2220B C C ==. 又∵2213335sin 2212205a S bc A c a ====⇒=.2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b cos C +c cos B =2a cos A .(1 )求角A 的大小；(2 )若3AB AC ⋅=，求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理，解三角形.【解】(1 )由正弦定理得sin B cos C +sin C cos B =2sin A cos A ， 即sin(B +C )=2sin A cos A ， 则sin A =2sin A cos A ， 在三角形中，sin A ≠0， ∴cos A =12，即A =π3. (2 )若·3AB AC =， 则AB ·AC cos A =12AB ·AC =3， 即AB ·AC =23，则△ABC 的面积S =12AB ·AC sin A =13323222⨯⨯=. 3. （15江苏模拟（三））三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +=+．（1）若cos A ＝13，求sin C 的值； （2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．【解】（1）由余弦定理，cos B 22222a c b ac ac ac +-===12．又B 为三角形内角，则B ＝π3． 因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3+226．（2）由a ＝3c ，由余弦定理知：2222cos b a c ac B ＝＋－，则222793c c c ＝＋－，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．4．（15江苏高考压轴）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(1sin,1),(1,sin cos )2CC C =--=+m n ，且⊥m n （1）求sin C 的值；（2）若224()8a b a b +=+-，求边c 的长度.【解】（1）∵⊥m n ，∴0⋅=m n ，则1sin(sin cos )02CC C --+=，即21sin2sin cos 12sin 2222C C C C -=+-（*），又π0,22C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin (0,1)2C∈， 故（*）可化简为1cos sin 222C C -=-，（5分）两边平方得11sin 4C -=， ∴3sin 4C =. （2）又224()8a b a b +=+-得22(2)(2)0a b -+-=，∴a =2,b =2， 由（1）知1cossin 0222C C -=-＜，∴ππ,242C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 4C =-，∴在△ABC 中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-=7442224⎛⎫+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭827=+. 故71c =+.5．（15连云港赣榆海头9月调研）已知函数f （x ）=sin2x +cos （2x －π6），x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1，b =13，B 为锐角，且f （B ）=32，求边c 的长． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；余弦定理． 【解】（1）31()sin 2cos 2sin 222f x x x x =++=33sin 2cos 222x x +=π3sin(2)6x +． ∴f （x ）的最小正周期T =2π2=π． （2）∵3π1()sin(2)262f B B =∴+=． 又∵πππ7π(0,),2(,)2666B B ∈∴+∈，∴π5π266B +=，故B =π3．在△ABC 中，由余弦定理，得2b =2a +2c -2a ccos B ， 即21131212c c =+-⨯⨯⨯． ∴2c －c －12=0，解得c =4或c =－3（舍去）．∴c =4．6．（2015江苏省南京市高三考前综合）如图，四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，三角形BCD为正三角形． （1）当∠BAD ＝π3时，设AC x AB y AD ＝＋，求x ，y 的值；（2）设∠BAD ＝α，则当α为多少时，四边形ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．JSY48 第6题图【考点】考查平面向量基本定理；考查三角形面积､三角恒等变换及三角函数在给定区间上的最值问题．【解】（1）在△ABD 中，由于AB ＝2，AD ＝1，BAD ∠＝π3， 易得BD ＝3，∠ABD ＝π6，∠ADB ＝π2，∠ABC ＝π2，∠ADC ＝5π6． 下面提供三种解法：法一：如图，过点C 作CE //AD 交AB 于点E ，在△BCE 中，BC ＝3，∠ABC ＝π2，∠BEC ＝π3，则CE ＝2，BE ＝1，则AE ＝1，所以122AC AE EC AB AD =+＝＋，即122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.JSY49 JSY50 第6题图法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系．则13()(20)(23)22D B C ，，，，，，则(23)(20)AC AB ＝，，＝，，13()22AD ＝，，则1222332x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.法三：因为24AC AB xAB yAD AB x y ⋅⋅＝＋＝＋，又2()4AC AB AB BC AB AB BC AB ⋅⋅⋅=＝＋＝＋,则4x ＋y ＝4．因为2AC AD xAB AD yAD x y ⋅⋅＝＋＝＋，又2π53cos62AC AD AD DC AD AD DC AD ⋅+⋅=⋅⨯⨯=＝()+＝1+1，则x ＋y ＝52． 从而4452x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩. （2）在△ABD 中，由余弦定理知，BD ＝54cos α-，则sin ABD S α△＝，BDC S △＝233(54cos )44BD α＝－，则53π53sin 3cos 2sin()434S ααα＝－＋＝－＋，α∈(0，π)，所以max 5324S ＝＋，此时ππ32α－＝，即5π6α＝． 7．（15泰州一模）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B =∠C 且2227a b c ++=43，则△ABC 的面积的最大值为 ． 【考点】 余弦定理；解三角形． 【答案】55【分析】由∠B =∠C 得b =c ，代入2227a b c ++=43得，2272a b +=43， 即222437b a =-,由余弦定理得，cos C =22222a b c aab b+-=，所以sin C =2222483151cos 22b a a C b b---==，则△ABC 的面积S =2118315sin 222a ab C ab b -=⨯222118315(8315)44a a a a =-=- 2211=15(8315)415a a ⨯-≤22111583154215a a +-⨯⨯11543=4515=⨯⨯ 当且仅当152a =83-152a 取等号，此时2a =4315，所以△ABC 的面积的最大值为55. 8．(2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =.(1)求角C 的值； (2)设函数π()sin()cos (0)6f x wx wx w =-->，且()f x 图象上相邻两个最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.【考点】正弦定理与余弦定理，三角函数的图象与性质. 【解】∵2sin 2sin sin C A B =，∴由正弦定理有：22c ab =， 由余弦定理有：22222cos (1cos )a b c ab C c C +=+=+ ① 又2226cos 3cos a b ab C c C +== ② 由①②得1+cos C =3cos C ，∴cos C =12， 又0＜C ＜π，∴C =π3. (2)π33π()sin()cos sin cos 3sin()6223f x wx wx wx wx wx =--=-=- ∵()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T =π∴2πw＝π，∴2w =. ∴π()3sin(2)3f x x =- ∴π()3sin(2)3f A A =-,∵ππ62A <<，∴π2π0233A <-< ∴π0sin(2)13A <-≤ ∴0()3f A <≤.9． （徐州市2014届高考信息卷）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(tan tan ,3)A C =+m ，(tan tan 1,1)A C =-n ，且mn ．（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC △的面积的最大值．【考点】向量共线定理；余弦定理；基本不等式；解三角形. 【解】（1）因为mn ，所以tan tan 3(tan tan 1)A C A C +=-，所以tan tan 31tan tan A C A C+=--，即tan()3A C +=-， ………………………………4分所以tan tan()3B A C =-+=，又(0,π)B ∈，所以π3B =． ………………………………7分（2）在ABC △中，由余弦定理有，2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+，由基本不等式，222a c ac +≥，可得4ac ≤，当且仅当2a c ==时，取等，…12分所以ABC △的面积13sin 4324S ac B =⨯=≤， 故ABC △的面积的最大值为3． ………………………………14分10. （15南京一中等五校联考）已知函数sin f x x ωϕ=+（）（）（00πωϕ＞，＜＜），其图象经过点M π1(,)32，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f （x ）的解析式； （2）在△ABC 中，a =13，f （A ）=35，f （B ）=513，求△ABC 的面积．【考点】由sin y A x ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式；正弦定理．【答案】①依题意T =2π，∴ω=1，∴函数sin f x x ϕ=+（）（）∵1sin 332f ϕππ=+=（）（），且0πϕ＜＜， ∴ππ4π333ϕ+＜＜， π5π36ϕ+=， ∴ϕ=π2．∴f （x ）=sin （x +π2）=cos x②∵f （A ）=cos A =35，f （B ）=cos B =513，∴A ，B ∈（0，π2），∴sin A =45，sin B =1213， ∴sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =5665， ∵在三角形ABC 中， sin sin a bA B=，∴b =15， ∴1156sin 1315842265ABCS ab C ==⨯⨯⨯= 11．在ABC △中，4ABC π∠=，2AB ＝，BC ＝3，则sin BAC ∠＝________.【答案】 31010【分析】第11题图 FGQ77设CD 为AB 边上的高，则由题设知BD ＝CD ＝322， ∴AD ＝322222-=， AC ＝91522+=， ∴323102sin sin()105BAC BAC ∠π-∠=＝＝.12．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22()4a b c -＋＝，且60C ＝，则ab 的值为________． 【答案】43【分析】 ∵22224a b ab c -＋＋＝，2221cos 22a b c C ab +-=＝， ∴42122ab ab -=，∴43ab =.13．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，3cos 4A =，b ＝5，则ABC △的面积为________． 【答案】1574【分析】 3cos 4A =，21cos 2cos 18C A =-=，sin C ＝378，tan C ＝37，第13题图 FGQ78如图，BD 为AC 边上的高，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt DBC △中，73tan 37532BD x C x CD x ==⇒=-=， 解之得：3772BD x ==，115724ABC S BD AC =⋅=△.14．在ABC △中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，C ＝3π，c ＝3，则23c o s s i n a A B +的值为________． 【答案】 4【分析】 由正弦定理，得2sin sin sin a ca A A C=⇒=. 所以4sin()23cos 2sin 23cos 34sin sin sin A a A A A B B Bπ+++===. 15．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝3π且sin 2A ＋sin(A －C )＝sin B ，则ABC △的面积为________． 【答案】3【分析】 ∵sin 2A ＝sin B －sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝sin(A ＋C )－sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝2cos A sin C .∵ABC △是锐角三角形，∴cos A ≠0， ∴sin A ＝sin C ，即A ＝C ＝B ＝3π， ∴1322322ABC S =⨯⨯⨯=△. 16．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3π，a ＝3，则22b c ＋的取值范围为________． 【答案】 (3,6]【分析】 由正弦定理，得2sin sin sin a b cA B C===， b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以22224(sin sin )b c B C ＋＝＋ ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝4－2cos 2B －2cos 2(32π－B ) ＝4＋3sin 2B －cos 2B ＝4＋2sin(2B －6π)． 又0<B <32π， 所以－6π<2B －6π<67π.所以－1<2sin(2B －6π)≤2.所以3<22b c ＋≤6.17．在ABC △中，角A 为锐角，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为3π. (1)求m ·n 的值及角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求ABC △的面积S . 【解】 (1)因为|m |＝22cos sin A A +＝1， |n |＝22cos (sin )A A +-＝1， 所以m ·n ＝|m |·|n |·cos3π＝12. 因为m ·n ＝22cos sin cos 2A A A -=， 所以cos 2A ＝12. 因为0<A <2π，0<2A <π， 所以2A ＝3π，A ＝6π.(2)因为a ＝7，c ＝3，A ＝6π， 及2222cos a b c bc A -＝＋，所以2733b b -＝＋，即2340b b --＝，专业资料 word 完美格式解得1b -＝ (舍去)或4b =. 所以S ＝12bc sin A ＝12×4×3×sin 6π＝3.。
江苏省淮安市淮海中学2015届高三10月月考 数学试卷
淮安市淮海中学2015届高三月考数 学 试 题 2014.10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1.若集合}2,1{-=m A ，且{2}A B =I ，则实数m 的值为 ▲ .2.已知i 为虚数单位，若12(,)1ia bi ab R i+=+∈+，则a b +的值是 ▲ . 3.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 ▲ .4.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是 ▲ .5. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ▲ .6.已知1sin 3θ=-，则cos(2)πθ+的值等于 ▲ .7. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523a a =，若65S a λ=,则λ= ▲ .8．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥A 1—B 1EF 的体积为 ▲ .9. 在直角三角形ABC 中，1,1,2AB AC AB AC BD DC ⊥===,则AD CD ⋅uuu r uu u r的值等于___▲_____.10.直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点，若4AB >，则k 的取值范围是 ___▲_____.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是___▲_____．12．已知数列{}n a 的通项公式为n c a n n=+，若对任意*n N ∈，都有3n a a ≥，则实数c 的取值范围是___▲_____ ．13.已知函数,1,log 31,3)(3⎩⎨⎧≥-<=x x x x f x 若方程|f(x)|=a 有三个零点，则实数a 的取值范围是▲ .(第5题)EADCFP 14．若ABC ∆的内角A 、B ,满足sin 2cos()sin BA B A=+,则tan B 的最大值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B +的值域． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =．求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．17、（本小题满分14分）某园林公司计划在一块以O 为圆心，R (R 为常数，单位为米)为半径的半圆形地上种植花草树木，其中阴影部分区域为观赏样板地，△OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．如图所示．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．(1)设∠COD ＝θ(单位：弧度)，用θ表示阴影部分的面积 S 阴影＝f (θ)；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>> 的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．19．（本题满分16分）（第18题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3123,7,3,3,4n S S a a a =++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中*n N ∈。
江苏省淮安市2015届高三数学第五次模拟考试试题
第5题图淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷数 学 试 题数学Ⅰ 必做题局部〔本局部总分为160分，时间120分钟〕参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：此题共14小题，每一小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．集合{}1,2,3,4A =，集合{}|,B x x a a =∈R ≤，假设(],5A B =-∞，如此a 的值是▲．2．假设复数i1ia ++是实数〔i 为虚数单位〕，如此实数a 的值是 ▲ ． 3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员36人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，42，如此这四个社区驾驶员的总人数N 为 ▲ ．4．假设抛物线28y ax =的焦点与双曲线2221x y a-=的右焦点重合，如此双曲线的离心率为▲．5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．6．某校有,A B 两个学生食堂，假设,,a bc 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，如此三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．CE7．在ABC ∆中，假设2,3a b B π===，如此ABC ∆的面积为▲ ．8．正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，如此该正四棱锥的体积为▲. 9．1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，如此cos2sin()4απα-的值为 ▲ ． 10．函数32()2f x x x mx =-++，假设对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），如此实数m 的取值范围是 ▲ ．11．22:1O x y +=．假设直线2y =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，如此实数k 的最小值为__▲__．12．{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，假设对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=， 如此33a b = ▲ ． 13．正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．假设AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，如此FG 的取值范围为▲．14．二次函数2()(21)2f x ax b x a =++--在区间[3,4]上至少有一个零点，如此22a b +的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分为14分〕函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的局部图象如下列图． 〔1〕求出ϕ与图中0x 的值；〔2〕求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值． 16．〔此题总分为14分〕如图，边长为2的正方形ABCD 是圆柱的中截面，点E 为线段BC第15题图DB OAC第17题图的中点，点S 为圆柱的下底面圆周上异于A ，B 的一个动点． 〔1〕在圆柱的下底面上确定一定点F ，使得//EF 平面ASC ；〔2〕求证：平面ASC ⊥平面BSC ．17．〔本小题总分为14分〕如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．〔1〕现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，如此当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．〔2〕假设要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，如此当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．〔本小题总分为16分〕.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右顶点分别为())122,0,2,0A A ，假设直线3450x y ++=上有且仅有一个点M ，使得1290F MF ︒∠=．⑴求椭圆C 的标准方程；⑵设圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点．点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点．假设0PQ QT ⋅=时,PQ t 的值．19．〔本小题总分为16分〕函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，且当()0,2x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为4-．〔1〕求实数a 的值；〔2〕设0b ≠，函数31()3g x bx bx =-，()1,2x ∈．假设对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围．20．〔本小题总分为16分〕在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．〔1〕求证：{}n n a b +是等比数列； 〔2〕设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷数学试题 2015.5 数学Ⅱ附加题局部须知事项1． 本试卷共2页，均为非选择题〔第21题～第23题，共4题〕。
徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷(纯word)
徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______． 5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____． 6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时，2()log (2)f x x =-， 则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 AD =则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值： (2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CD ⊥PB ，求证：CP ⊥P A ：(2)若过点A 作直线l 上平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD .（1）若AC =4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ).(I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数.(1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12x x +≥附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分∠ABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知,a b R ∈，矩阵 1 3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。
江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学题目
甲组乙组8 90 1 58 2 6 （第3题） 连云港、徐州、淮安、宿迁四市高三年级第一次模拟考试数 学（定稿）参考公式：1．样本数据12,,,n x x x 的方差221()i i s x x n ==-∑，其中1i i x x n ==∑.2．锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．） 1．已知集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B U中元素的个数为 ▲ 个． 2．设复数z 满足()i 432i z -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲ ．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁共4名应聘者中招聘2人，若每个 应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2， 则输出y 的值为 ▲ ． 6．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 7．若)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2()log (2)=-f x x ，则(0)(2)f f +的值为 ▲ ．8．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +9．若实数x ，y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为 ▲ ．10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若（第5题）直线2AB 与直线1B F 的交点恰在该椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 ▲ ． 11．将函数π2sin()(0)4y x ωω=->的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为 ▲ ．12．已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为 ▲ ．13．已知函数()22,0,2,0≥x x f x x x x ⎧-=⎨+<⎩，则不等式(())3f f x ≤的解集为 ▲ ．14．在△ABC 中，已知3AC =，45A ∠=，点D 满足2CD DB =，且13=AD ，则BC 的长为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定．．．．．的区域内作答．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量(1,2sin )θ=a ，π(sin(),1)3θ=+b ，R θ∈． (1) 若⊥a b ，求tan θ的值； (2) 若a ∥b ，且π(0,)2θ∈，求θ的值． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A -，(9,0)B ，若C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点，且满足AC BD =．(1) 若4AC =，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O ）．A PB （第16题）18．（本小题满分16分）如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4km ．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的△BEF 作为健身场所．设点P 到边AD 的距离为t （单位：km ），△BEF 的面积为S （单位：2km ）．(1)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ？并说明理由． 19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知121a a ==，且满足212n n n a a a λ+++=+，*n N ∈，λ为常数．(1)证明：1a ，4a ，5a 成等差数列； (2)设22n na a n c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n S ；(3)当0λ≠时，数列{}1n a -中是否存在三项11s a +-，11t a +-，11p a +-成等比数列，且s ，t ，p 也成等比数列？若存在，求出s ，t ，p 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值；(3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，（第17题）D (第21A 题)求证：1212x x +≥．苏北四市高三年级摸底考试数 学（定稿）数学Ⅱ 附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
江苏省淮安市范集中学2015-2016学年高一10月月考数学试题解析(解析版)
淮安市范集中学2015年10月考高 一 数 学 试 卷2015年10月注意事项:1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡 上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 请保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则A ∪B= ▲ ．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】试题分析：根据并集的定义易得，A ∪B={﹣2，﹣1，0，1} 。
考点：并集定义，即{}B x A x x ∈∈=或B A 。
2.已知集合A={2，3}，则集合A 的非空真子集个数为 ▲_【答案】2【解析】 试题分析：集合A 共有4个子集，分别是：{}{}{}φ，，，，3232，其中是非空真子集的有两个{}{}32，。
考点：一个集合中元素个数为n,则其子集个数为n 2，真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n，非空真子集个数为22-n.3.函数21)(x x f -=的定义域为 ▲【答案】R【解析】试题分析：使函数有意义的自变量x 的取值范围就是定义域，显然为R 。
考点：求定义域。
4.下列四个图象中，表示是函数图象的序号是▲_ ．【答案】（1）、（3）、（4）考点：函数定义。
5.函数f（x）=x2+2x，x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是▲【答案】{0，﹣1，3}【解析】试题分析：函数的值域是所有函数值的集合，将定义域内的每个变量分别代入函数解析式得函数值分别为：0，-1，0，3.所以函数的值域为{0，﹣1，3}。
考点：求函数值及值域。
6.已知A={a，a2}，B={1，b}．A=B，则a= ▲【答案】-1【解析】试题分析：由集合相等得，a2=1且a=b且a≠a2，解得a=-1.考点：集合相等同时考查集合中元素的互异性。
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江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷一、填空题：（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x||x|＞1}，则集合A∩B=．2．（5分）函数y=4sin2xcos2x的最小正周期是．3．（5分）已知集合M⊆{4，7，8}，且M中最多有一个偶数，则这样的集合M共有个．4．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（5，k），若（﹣）∥，则k=．5．（5分）函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点．6．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的取值范围是．7．（5分）已知在等差数列{a n}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为．8．（5分）设向量=（1，2），=（2，1），若向量λ+与向量=（﹣3，3）垂直，则λ=．9．（5分）在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=，则最大内角的余弦值为．10．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（18）的值为．11．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1）的定义域和值域都是，则实数a的值为．12．（5分）若函数f（x）=x2•lga﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是．13．（5分）若数列{a n}满足a n﹣1=，且a1=，则a2010=．14．（5分）给定正整数n（n≥2）按图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依此类推，最后一行（第n行）只有一个数．例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一行的数是．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知y=2x，x∈的值域为集合A，y=log2定义域为集合B，其中m≠1．（Ⅰ）当m=4，求A∩B；（Ⅱ）设全集为R，若A⊆C R B，求实数m的取值范围．16．（15分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=5c．（1）求sinC的值；（2）求sin（2A+C）的值；（3）若△ABC的面积，求a的值．18．（15分）某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如表：时间（将第x天记为x）1 1011 18单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式y=f（x）；（2）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？（结果精确到1元）19．（15分）f（x）是R上的函数，对于任意和实数a，b，都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．（1）求f（1），f（）的值；（2）令b n=f（2﹣n），求证：{2n b n}为等差数列；（3）求{b n}的通项公式．20．（16分）设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x||x|＞1}，则集合A∩B={x|1＜x≤2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即A={x|1≤x≤2}；由B中方程解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，则A∩B={x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）函数y=4sin2xcos2x的最小正周期是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：分析：先根据二倍角公式对函数进行化简后可直接得到其最大值，再由T=可求出最小正周期．解答：解：y=4sin2xcos2x=2sin4x∴T==故答案为：．点评：本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．3．（5分）已知集合M⊆{4，7，8}，且M中最多有一个偶数，则这样的集合M共有6个．考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：由题知集合M为{4，7，8}的子集，则列举出集合M，根据M中最多有一个偶数，用列举法得到集合M个数即可．解答：解：由于集合M为{4，7，8}的子集，则M可以为{4，7，8}，{4}，{7}，{8}，{4，7}，{4，8}，{7，8}，∅；又因为M中最多有一个偶数即有一个或没有偶数的有{4}，{7}，{8}，{4，7}，{7，8}，∅共有6个．故答案为6点评：考查学生求集合子集个数的能力．以及考查学生列举法及考虑问题全面的能力．4．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（5，k），若（﹣）∥，则k=7．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：求出﹣，利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．解答：解：向量=（3，1），=（1，3），=（5，k），﹣=（﹣2，1﹣k），（﹣）∥，∴1﹣k=﹣6，∴k=7．故答案为：7．点评：本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．5．（5分）函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，2）．考点：指数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：由题意令x﹣2=0，解得x=2，再代入函数解析式求出y的值为2，即可得所求的定点．解答：解：令x﹣2=0，解得x=2，则x=2时，函数y=a0+1=2，即函数图象恒过一个定点（2，2）．故答案为：（2，2）．点评：本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．6．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的取值范围是．考点：余弦函数的图象；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出|MN|的取值范围．解答：解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N （a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|，∵sin（a﹣）∈，∴|sin（a﹣）|∈，故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象与性质，两角差的正弦公式，正弦函数的有界性，属于基础题．7．（5分）已知在等差数列{a n}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为﹣4．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可得关于d的不等式组，解之可得到d的范围，找出取值范围中的整数，即可得到d的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，∴a1=23，且a6=a1+5d≥0，a7=a1+6d＜0，∴23+5d≥0，且23+6d＜0，解得：﹣≤d＜﹣，又d为整数，∴d=﹣4故答案为：﹣4．点评：本题题考查等差数列的通项公式，及不等式组的解法，属基础题．8．（5分）设向量=（1，2），=（2，1），若向量λ+与向量=（﹣3，3）垂直，则λ=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意，先求出向量λ+的坐标，再由垂直的条件得到λ的方程，解方程求值即可．解答：解：∵=（1，2），=（2，1），∴λ+=（λ+2，2λ+1），又向量λ+与向量=（﹣3，3）垂直，∴﹣3λ﹣6+6λ+3=0，解得λ=1．故答案为：1．点评：本题考查数量积的运算，向量坐标表示的运算，向量垂直的条件，属于向量基础题，必会型．9．（5分）在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=，则最大内角的余弦值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosC的值代入求出c的值，再利用余弦定理确定出最大内角的余弦值即可．解答：解：∵在△ABC中，a=7，b=8，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=49+64﹣88=25，即c=5，∴最大内角为B，则cosB===．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（18）的值为﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：计算题．分析：由已知可得f（x+4）=f（x），由已知函数为奇函数可得，f（）=f（﹣log218）=f（4﹣log218）=f（），代入可求解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x）∴f（x+4）=f（x）∵f（﹣x）=﹣f（x）∵x∈（0，1），f（x）=2x当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x=﹣∴f（）=f（﹣log218）=f（4﹣log218）=f（）=﹣故答案为：点评：本题主要考查了函数的周期性、函数的奇偶性，对数运算性质的应用，属于函数知识的综合应用．11．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1）的定义域和值域都是，则实数a的值为．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质得到题中函数在上是单调函数，结合f（0）=log a1=0可得f（x）是增函数且f（2）=2．由此建立关于a的方程，解之即可得出实数a的值．解答：解：根据对数函数的性质，可得函数f（x）=log a（x+1）在上是单调函数，∵函数f（x）=log a（x+1）满足f（0）=log a1=0，∴由函数的定义域和值域都是，得函数f（x）是增函数且f（2）=2．即log a（2+1）=2，a2=3，解得a=（舍负）．故答案为：．点评：本题给出对数型函数，在函数的定义域和值域都是的情况下求参数a值．着重考查了对数函数的性质和对数的运算法则等知识，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=x2•lga﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）=x2•lga ﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点的条件，转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．解答：解：由题意可知：函数f（x）=x2•lga﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，当a=1时，函数f（x）=﹣2x+2在区间（1，2）内没有且零点．当a≠1时，由于函数的对称轴为x=，当≤1或≥2时，此时函数在区间（1，2）内单调∴只需有f（1）•f（2）＜0，即lga•（4lga﹣2）＜0，解得，即．当，即时，△=4﹣8lga=0，无解．综上，．故答案为．点评：此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、问题转化的思想以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．13．（5分）若数列{a n}满足a n﹣1=，且a1=，则a2010=．考点：数列的函数特性．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：本题可通过递推公式由首项a1求出数列的前6项，从而确定数列周期为5，再由数列周期可知列，a2010=a5，从而可求解答：解：由题意可得，a1=，∴a2=，a3=，a4=，a5=，a6=∴可知数列是周期为5的周期数列，a2010=a5=．故答案为：．点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属于基础题．14．（5分）给定正整数n（n≥2）按图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依此类推，最后一行（第n行）只有一个数．例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一行的数是2011×22008．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，观察图表中每一行的第一个数，依次为1、3、8、20、48、…，结合数列的知识，可得变化的规律，进而可得答案．解答：解：根据题意，观察图表可得，n=1时，最后一行的数是1，有（1+1）×21﹣2=2×=1成立，n=2时，最后一行的数（即图表第2行第1个数）是3，有（2+1）×22﹣2=3×1=3成立，n=3时，最后一行的数（即图表第3行第1个数）是8，有（3+1）×23﹣2=4×2=8成立，n=4时，最后一行的数（即图表第4行第1个数）是20，有（4+1）×24﹣2=5×4=20成立，n=5时，最后一行的数（即图表第5行第1个数）是48，有（5+1）×25﹣2=6×8=48成立，…以此类推，当n=k时最后一行的数是（k+1）×2k﹣2，当n=2010时最后一行的数是×22010﹣2=2011×22008，故答案为2011×22008．点评：本题考查归纳推理的运用，类似与归纳数列的通项公式，解题时注意结合常见数列的性质来分析．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知y=2x，x∈的值域为集合A，y=log2定义域为集合B，其中m≠1．（Ⅰ）当m=4，求A∩B；（Ⅱ）设全集为R，若A⊆C R B，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：（1）欲求A∩B，先分别求出集合A，B，再求它们的交集即可；（2）由题目中条件：“A⊆C R B，”得集合A是C R B={x|x≤2或x≥m+1}的子集，结合端点处的不等关系，可得m的取值范围．解答：解：（1）∵y=2x，x∈的值域为A=，当m=4，由﹣x2+7x﹣10＞0，解得B=（2，5），∴A∩B=（2）∵c＜a，∴C为锐角，∴．∵，，∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC==；（3）∵b=5c，∴，sinB=5sinC．∴．又∵S=，∴，∴．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．涉及了三角形面积公式，三角函数中基本公式，考查了学生对知识的综合把握．18．（15分）某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如表：时间（将第x天记为x）1 1011 18单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式y=f（x）；（2）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？（结果精确到1元）考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：①前10天每天单价呈直线下降趋势后10天呈直线上升，所以单价是天数的分段函数且两段都是直线，利用两点式写出函数②销售收入等于单价乘以销售量，将收入表示成时间的函数，利用基本不等式求销售收入最值解答：解：（1），，x∈，x∈N*，∴．（2）∵，∴当且仅当（x﹣10）2=100﹣（x﹣10）2，即时，y有最大值．∵x∈N*，∴取x=3或17时，（元），此时，p=7（元）．答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好．点评：本题考查将实际问题转化成数学问题，利用基本不等式求最值时，注意等号的取的时自变量是否在定义域内．19．（15分）f（x）是R上的函数，对于任意和实数a，b，都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．（1）求f（1），f（）的值；（2）令b n=f（2﹣n），求证：{2n b n}为等差数列；（3）求{b n}的通项公式．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先对a，b赋值1求出f（1），在利用f（1）=f（2×）即可求出f（）的值；（2）先利用条件找到2n f（2﹣n）=2n﹣1f（21﹣n）﹣2﹣1．再利用结论构造出一个等差数列，问题得以证明，（3）利用（2）的结论求出等差数列的通项进而求出{b n}的解析式．解答：解：（1）令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，再令a=2，b=，则f（1）=2f（）+f（2），∵f（2）=1．∴f（）=﹣，（2）f（2﹣n）=f（2﹣1•21﹣n）=2﹣1f（21﹣n）+21﹣n f（2﹣1），∴2n f（2﹣n）=2n﹣1f（21﹣n）﹣2﹣1．令c n=2n f（2﹣n），∴c n=c n﹣1﹣2﹣1，∴c n﹣c n﹣1=，∴{2n b n}为等差数列（3）由（2）知，∴数列{2n b n}是以公差d=﹣，首项为2b1=2f（）=﹣的等差数列，∴2n b n=2b1+（n﹣1）•（﹣），∴b n=﹣．点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项．20．（16分）设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．考点：复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）∴，=，（2分）∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）∴，令g'（x）=0，得x=2，（4分）列表如下：∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1﹣ln2）+2a，∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，∴g（2）＞0证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0故f（x）在（0，+∞）上是增函数证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0∴x＞ln2x﹣2alnx+1故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1点评：考查用导数法求最值，本题三个小题后一个以前一个的结论为基础做题，在遇到这一类题时，即使前一问的结论没有证出来，也可以依据前一问的结论为论据求解后一问的问题，请读者注意这个经验．。