高考数学二轮复习滚动训练1文

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2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：阶段滚动练1(对应1～3练) Word版含解析

阶段滚动练1(对应1～3练)(建议时间：60分钟)一、选择题1.已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B 等于( )A.[0，2]B.{0，1，2}C.(－1，2)D.{－1，0，1}答案 B解析 ∵集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{0，1，2}，故选B.2.(2017·山东)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N 等于( )A.(－1，1)B.(－1，2)C.(0，2)D.(1，2) 答案 C解析 ∵M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝{x |0＜x ＜2}∩{x |x ＜2}＝{x |0＜x ＜2}.故选C.3.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1＋3i 2z ＝1－i 3，则||z 等于( )A.12B.22C.24D.216答案 C解析由题意得，z ＝1－i 3()1＋3i 2＝1＋i －2＋23i ⇒||z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i －2＋23i ＝24，故选C. 4.“1x＞1”是“e x －1＜1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 1x＞1⇔x ∈(0，1)，e x －1＜1⇔x ＜1，所以为充分不必要条件，故选A.5.(2017·梅州一检)已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＋12x ＞2，命题q ：∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，则下列命题中为真命题的是( ) A.(綈p )∧(綈q ) B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.p ∧q答案 A解析因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )为真命题，故选A.6.已知z i i －1＝i ＋1，则复数z 在复平面上所对应的点位于( ) A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限答案 B解析由z i i －1＝i ＋1，则z ＝(i ＋1)(i －1)i ＝－2i ＝2i ，所以复数z 在复平面上所对应的点位于虚轴上.7.如果复数2－a i 1＋i(a ∈R )为纯虚数，则a 等于( ) A.－2B.0C.1D.2 答案 D解析 2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－a －(2＋a )i 2，由于复数为纯虚数，故2－a ＝0，a ＝2.8.对任意的实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“－1＜x －y ＜1”是“[x ]＝[y ]”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析取x ＝0.5，y ＝1.2，－1＜x －y ＜1，但不满足“[x ]＝[y ]”，故“－1＜x －y ＜1”不能。

2022高考数学(文)二轮复习小题专项滚动练一 Word版含答案

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小题专项滚动练一集合、常用规律用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式小题强化练，练就速度和技能，把握高考得分点！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|1≤x<5}，Β={x|x2−3x+2≤0}，则A∩B=( )A.{x|1<x≤2}B.{x|1≤x<5}C.{x|1≤x≤2}D.∅【解析】选C.B={x|x2−3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，所以A∩B={x|1≤x≤2}.2.设i是虚数单位，若复数z1=3+2i，z2=4-mi(m∈R)，且z1·z2为实数，则m的值为( )A.6B.-6C.83D.-83【解析】选C.由于z1·z2=12+2m+(8-3m)i为实数.所以有8-3m=0，解得m=83.【加固训练】设复数z1=1+i，z2=2+bi，若z1z2为纯虚数，则实数b=( )A.-2B.2C.-1D.1【解析】选B.由于z1z2=(1+i)(2+bi)=2-b+(2+b)i为纯虚数，则b-2=0，解得b=2.3.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={3,4,5}，N={1,2,5}，则集合{1,2}可以表示为( )A.M∩NB.(U M)∩NC.M∩(UN) D.(UM)∩(UN)【解析】选B.由题意得：UM={1,2}，UΝ={3,4}，所以M∩Ν={5}，(U M)∩Ν={1,2}，M∩(UN)={3,4}，(UM)∩(UN)=∅.4.“tan x=√33”是“x=2kπ+π6(k∈Z)”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】推断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立.【解析】选B.若tan x=√33，则x=2kπ+π6(k∈Z)或x=2kπ+π+π6(k∈Z)，则充分性不成立，若x=2kπ+π6(k∈Z)，则肯定有tan x=√33，则必要性成立.5.下列说法中，错误的是( )A.命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是假命题B.命题“存在x0∈R，x02-x0>0”的否定是：“任意x∈R，x2-x≤0”C.命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D.已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件【解析】选C.A，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”，当m=0时不成立，所以是假命题，A对；B对；C.命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个是真命题，所以C是假命题；D.已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件.6.若变量x，y满足条件{y≤2x,x+y≤1,y≥−1,则x+2y的取值范围为( )A.[−52,0] B.[0,52] C.[−52,53] D.[−52,52]【解题提示】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得答案.【解析】选C.由约束条件{y ≤2x,x +y ≤1,y ≥−1作出可行域如图，联立{y =−1,y =2x 解得A (−12,−1)；联立{y =2x,y +x =1解得C (13,23).令z=x+2y ，则y=-x2+z2.由图可知，当直线y=-x2+z2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小为-52；当直线y=-x 2+z 2过C 时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大为53.所以x+2y 的取值范围为[−52,53].7.已知向量a =(λ,1)，b =(λ+2,1)，若| a +b |=| a -b |，则实数λ的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】选B.a +b =(2λ+2，2)，a -b =(-2，0)，所以| a +b |=√(2λ+2)2+22，| a -b |=2，由| a +b |=| a -b |，得λ=-1.8.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0-2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A.命题p ∨q 是假命题 B.命题p ∧q 是真命题 C.命题p ∨(q)是假命题 D.命题p ∧(q)是真命题【解析】选D.由图象分析可知，∃x 0∈R ，x 0-2>lg x 0，则命题p 为真，而当x=0时，x 2=0，则命题q 为假，故命题p ∧(q)是真命题.9.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →-4OB →+3OC →=0，则|AB →||BC →|=( )A.3B.4C.5D.6【解析】选A.由于OA →-4OB →+3OC →=0，所以(OA →-OB →)+3(OC →-OB →)=0，即BA →=-3BC →，则|AB →||BC →|=3.10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.经过第一次循环得到S=2，n=1；经过其次次循环得到S=5，n=2；经过第三次循环得到S=10，n=3；经过第四次循环得到S=19，n=4；经过第五次循环得到S=36，n=5；经过第六次循环得到S=69，n=6，所以输出的结果不大于37，所以i 的最大值为5.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a =(1，x)，b =(x 2，2)，则(2a )·b 的最小值为 .【解析】由于(2a )·b =2(1，x)·(x 2，2)=2(x 2+2x)=2(x+1)2-2，所以(2a )·b 的最小值为-2. 答案：-212.执行如图所示的程序框图，假如输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是 .【解析】第一次循环p=1，k<6，k=3；其次次循环p=3，k<6，k=5；第三次循环p=15，k<6，k=7；第四次循环p=105，7>6，输出p=105. 答案：10513.若不等式组{x −y +2≥0,ax +y −2≤0,y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是 .【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S=12×(2a +2)×2=3，解得a=2.答案：2【加固训练】已知二元一次不等式组{x +y −4≥0,x −y −2≤0,x −3y +4≥0所表示的平面区域为M.若M与圆(x-4)2+(y-1)2=a(a>0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是 .【解析】如图，若使以(4，1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x-y-2=0相切时，恰有一个公共点，此时a=(1√2)2=12，当圆的半径增大到恰好过点A(2，2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a=5，故a 的取值范围是12<a ≤5.答案：(12,5]14.执行如图的程序框图，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是 .【解题提示】先由所给的程序框图推断其功能，再由分段函数的函数值推导其对应的自变量的值即可.【解析】由程序框图可知其功能是求分段函数y={x −1,x ≤1,log 2x,x >1的函数值，若x ≤1，则x-1=12，x=32舍去，若x>1，则log 2x=12，x=212=√2，所以x=√2.答案：√215.正偶数列有一个好玩的现象：①2+4=6；②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…依据这样的规律，则2022在第个等式中.【解析】2022是第1008个数，第一个式子3个数，其次个式子5个数……第n 个式子2n+1个数，则第一个式子到第n个式子共有n(3+2n+1)=n(n+2)个数，当n=302时，第一个式子到第30个式子共30×32=960个，当n=31时，第一个式子到第31个式子共31×33=1023个，2022在第31个等式中.答案：31关闭Word文档返回原板块。

浙江省2015年高考文科数学二轮复习必考题型穿插滚动练5份

目录穿插滚动练(一) ...................................................................................................... 1 穿插滚动练(二) .................................................................................................... 10 穿插滚动练(三) .................................................................................................... 22 穿插滚动练(四) .................................................................................................. 31 穿插滚动练(五) . (40)穿插滚动练(一)1．(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.2．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 B解析方法一 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 方法二因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)} ＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，故可排除C 、D ；取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立，故可排除A ，选B.3．命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3答案 C解析命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．4．(2013·湖南改编)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析由f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象有两个交点．因此方程f (x )－g (x )＝0有两个不相等的实根． 5．已知a ＝5log 23.4.log 5342，b ＝.log 5362，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C 解析 a ＝.log 5342，b ＝.log 5362，c ＝(15).log 5033＝5log 3103，又log 23.4>1，log 43.6<1，log 3103>1，故b <a ，b <c ，又log 23.4>log 3103，因此b <c <a .6．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ，ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.7．函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析将函数零点转化为两函数图象的交点问题来求解．在同一平面直角坐标系内作出y 1＝12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x 只有1个零点． 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 答案 D解析当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，所以f (x ＋1)＝x ＋1. 因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根．令y ＝m (x ＋1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．10．设函数y ＝f (x )在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤MM ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2 B ．1 C. 2 D ．－ 2答案 B解析由题意，当f (x )＝2－x 2≤1，即x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2.当－1<x <1时，f M (x )＝1. ∴f M (0)＝1.11．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时， 13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．12．(2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.13．设函数f (x )＝1＋(－1)x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x2＝1，③正确．14．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.15．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案－1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3. ∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.16．已知点P (x ，y )在曲线y ＝1x 上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM (O 为坐标原点)的周长的最小值为________．答案 2＋ 2解析三角形OPM 的周长为|x |＋1|x |＋x 2＋1x2≥2·|x |·1|x |＋2·x 2·1x2＝2＋ 2(当且仅当|x |＝1|x |时，即|x |＝1时取等号)．17．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________．答案 (34，2)解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2.18．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．19．某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入的函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所得的利润最大？解 (1)利润y 是指生产数量为x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意得，当0≤x ≤5时，产品能全部售出．当x >5时，只能销售500台，所以y ＝⎩⎨⎧5x －12x 2－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，(5×5－12×52)－(0.5＋0.25x )(x >5)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5).∴把利润表示为年产量的函数关系是 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5). (2)当0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5.当x ＝4.75时，y max ＝10.781 25. 当x >5时，y <12－0.25×5＝10.75.∴年产量为475台时，企业所得的利润最大． 20．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．21．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． (1)求该月需用去的费用和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x 批，每批价值为20x 元．由题意得f (x )＝36x ·4＋k ·20x ，由x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)．当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．22．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．x(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴1018≤x ≤16，设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，g (x )在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数， ∴当x ＝1018时⎝⎛⎭⎫此时162x ＝16， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882元． ∴当长为16米，宽为1018米时总造价最低，总造价最低为38 882元．穿插滚动练(二)1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.2．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－8或8 D ．6答案 B解析由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.3．(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16D.13答案 A解析因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23＞4，所以f (2＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124.5．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 6．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S ＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，2x ＋y 的值为( )A ．－1B ．1C ．－32D.32答案 D解析由题意知S 1S ＝λ1＝12，即S 1＝12S .所以S 2＋S 3＝S －S 1＝12S ，两边同除以S ，得S 2＋S 3S ＝12，即λ2＋λ3＝12，所以12＝λ2＋λ3≥2λ2λ3，所以λ2·λ3≤116，当且仅当λ2＝λ3＝14，此时点P 位于EF 的中点，延长AP 交BC 于D ，则D 为BC 的中点，由P A →＋xPB →＋yPC →＝0，得xPB →＋yPC →＝－P A →＝AP →， AP →＝PD →＝12(PB →＋PC →)＝12PB →＋12PC →，所以x ＝12，y ＝12，所以2x ＋y ＝32，选D.7．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0 B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0 C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0 D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 答案 B解析由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)， ∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0， ∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0， ∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.8.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0) 答案 D解析依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA → ＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.9．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2答案 B解析方法一线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25， a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.10．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符合．故选B.11．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．答案－95解析由AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)，得AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α ＝12sin αcos α＝－95.12．(2014·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)．由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.13．(2014·辽宁)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________．答案－1解析由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab . 若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3(2a ＋b 2)2，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c 时取等号．此时1a ＋2b ＋4c ＝2c ＋2c ＋4c >0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b ) ≤c ＋3(－2a －b 2)2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号．此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4(1c －12)2－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立．综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，(1a ＋2b ＋4c)min ＝－1.14．设函数f (x )＝x 2＋2x (x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．答案 3解析令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a ，整理得：g (x )＝1ax (x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解．15．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈(－π2，3π2)，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是________．答案 [0,2)解析函数化为f (x )＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈(－π2，π2]，0，x ∈(π2，3π2)，画出f (x )的图象可以看出，要使方程f (x )＝k 至少有两个根，k 应满足0≤k <2.16．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________. 答案 π解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ， |P 2P 4|恰为一个周期的长度π.17．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin (w x ＋φ)(ω>0)图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时PM →·PN →＝0，则ω等于________．答案 π4解析点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时PM →·PN →＝0，此时PM ⊥PN ，如图，△PMN 是等腰直角三角形，由题意可知PQ ＝2，故MQ ＝QN ＝PQ ＝2，由T ＝2MN ＝4PQ ＝8，故ω＝2πT ＝π4，18．(2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .19．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1，即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1，在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.20．云南鲁甸抗震指挥部决定建造一批简易房(房型为长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32 000元以内．(1)设房前后墙的长均为x ，两侧墙的长均为y ，所用材料费为p ，试用x ，y 表示p ； (2)简易房面积S 的最大值是多少？并求当S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？解 (1)p ＝2x ·450＋2y ·200＋xy ·200 ＝900x ＋400y ＋200xy . (2)S ＝x ·y ，且p ≤32 000，由题意，可得p ＝200S ＋900x ＋400y ≥200S ＋2900×400S ⇒200S ＋1 200S ≤p ≤32 000 ⇒(S )2＋6S －160≤0 ⇒0<S ≤10⇒S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧900x ＝400y xy ＝100⇒x ＝203时取最大值．故简易房面积S 的最大值为100平方米，此时前面墙的长度设计为203米．21．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①当a ＝1时，则t ＝－34，不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0，解得a >1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．某厂生产某产品的年固定成本为250 万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80 千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80 千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)由题意可得L (x )＝⎩⎨⎧0.05×1 000x －(13x 2＋10x ＋250)，0<x <80，0.05×1 000x －(51x ＋10 000x－1 450＋250)，x ≥80，即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－(x ＋10 000x)，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．穿插滚动练(三)1．已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 D解析 A ＝{x |0<x <2}，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B . 所以c ≥2，故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)，1x (x <0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－2答案 B解析当a ≥0时，f (a )＝12×a －1＝a ，a ＝－2，不合题意，舍去；当a <0时，f (a )＝1a ＝a ，a＝－1(a ＝1舍去)，故选B.3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 4．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b .则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )(x ∈[－2,2])的最大值等于(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．12答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ∈[－2，1])，x 2－2(x ∈(1，2])，x ＝2时有最大值，所以函数最大值是2.5．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D. 3答案 C解析依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，得－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433，故选C.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x ，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数0<a <1，所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0)的图象关于x 轴对称，函数递增，所以应选D. 8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是()答案 B解析由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.9．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 A解析直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x >m )共有三个根． ∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1， ∴－1≤m <2时满足条件，故选A. 10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为(23，23)，故当x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1，且当0<a ≤1时可行域也为三角形．故0<a ≤1或a ≥43.11．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.13．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [－22，2 2 ]解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．答案是解析由题意2b n ＝22n －1，即b n ＝2n －1，从而S 2n ＝4n 2，S n ＝n 2，S 2nS n＝4(常数)．16．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，②①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.17．已知数列{a n}满足：a 1＝1，a n＝⎩⎨⎧1＋2a n2， n 为偶数，12＋2a n －12， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．答案 b n ＝2n解析由题意，得对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1，∴b n ＋1＝a 2n ＋1，又a 2n ＋1＝(2a 2n2＋1)＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n .18．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB →＝p m ，AC →＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)．∴|AB →|＝214p ，|AC →|＝72q .∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0，∴p ·q ≤p ＋q2.∴p ·q ≤3，∴0<p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.19．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，点(n ，S n )在以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b n }满足b n ＝2a n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x 2＝y ，又点(n ，S n )在抛物线上，所以S n ＝n 2. 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，两式相减，得S n －S n －1＝a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．故b n ＝2a n ＝22n －1(n ∈N *)．(2)由(1)，知c n ＝(2n －1)·22n －1，所以T n ＝1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1，①则4T n ＝1·23＋3·25＋5·27＋…＋(2n －1)·22n ＋1，②①－②，得－3T n ＝21＋2·23＋2·25＋…＋2·22n －1－(2n －1)·22n ＋1＝4n ＋1－103－(2n －1)·22n ＋1＝4·4n －103－(4n －2)·4n＝(10－12n )4n －103，所以T n ＝10＋(12n －10)4n9(n ∈N *)．20．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74，所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.21．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)．(1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列，设b nb n －1＝q (n ≥2)，即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1，qλ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1q ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，q ＝－1. 所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列． (2)由(1)知当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． ∴b n ＝(－1)n ＋1.∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝(－12)n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋(a 222－a 121)＋(a 323－a 222)＋…＋(a n 2n －a n －12n －1)＝12＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n ＝12＋(－12)2[1－(－12)n －1]1－(－12)＝12＋16[1－(－12)n －1]．因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16[1－(－12)n －1](n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]＝13[4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1)] ＝13[(2n ＋2－4)＋(－1)n －12]． 22．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )(x >0)，－f (x )(x <0).若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0， ∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2≤0， ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1(x >0)，－x 2－2x －1(x <0).(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2，或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．穿插滚动练(四)1．设全集U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A 等于( )A ．{x |1≤x <3}B ．{x |1<x ≤3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x ≥1}答案 A解析因为U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A ＝{x |1≤x <3}，选A.2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，所以“θ≠π3”是“cos θ≠12”的必要不充分条件，选B.3．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2 答案 A解析由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n.4．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10D ．a 2 013>10 答案 A解析数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由以上规律知a 2 013＝460＝115.。

届高考数学二轮复习滚动训练1文

专题一、二滚动训练(一)(用时40分钟，总分值80分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求)1．(2021·辽宁师大附中测试)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，假设集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(∁UA )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，那么以下结论正确是( )A ．3∉A 且3∉B B ．3∈A 且3∉BC ．3∉A 且3∈BD ．3∈A 且3∈B解析：选B.画出韦恩图，可知B 正确．2．(2021·河南洛阳期中)以下说法正确是( )A ．命题“假设x 2＜1，那么－1＜x ＜1”逆否命题是“假设x 2≥1，那么x ≤－1或x ≥1” B ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”否认是“∀x ∈R ，e x≤0”C ．“a ＞0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(－∞，0)上单调递减〞充要条件D ．假设“p ∨q 〞为真命题，是p ，q 中至少有一个为真命题解析：选D.对于A ，假设“x 2＜1，那么－1＜x ＜1”逆否命题是“假设x ≤－1或x ≥1，那么x 2≥1”；对于B ，“∀x ∈R ，e x＞0”否认是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；a ＝0时函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，所以选项C 错误；D 正确． 3．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，那么2z＋z 2＝( )A ．1＋iB ．2－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A.2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，应选A.4．如图是秦九韶算法一个程序框图，那么输出S 为( )A ．a 1＋x 0[a 3＋x 0(a 0＋a 2x 0)]值B ．a 3＋x 0[a 2＋x 0(a 1＋a 0x 0)]值C ．a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]值D ．a 2＋x 0[a 0＋x 0(a 3＋a 1x 0)]值解析：选C.由程序框图知，输出S ＝a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]，应选C. 5．命题p ：|x ＋1|＞2，命题q ：5x －6＞x 2，那么綈q 是綈p ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根本法：选B.由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，所以綈p ：－3≤x ≤1；由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以綈q ：x ≤2或x ≥3，所以綈q 是綈p 必要不充分条件．速解法：由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以p 是q 必要不充分条件，所以綈q 是綈p 必要不充分条件． 6．为了得到函数y ＝lgx ＋310图象，只需把函数y ＝lg x 图象上所有点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：选C.∵y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴为了得到函数y ＝lgx ＋310图象，只需把函数y ＝lg x 图象上所有点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．7．定义在R 上偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，那么( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3C ．f (sin 1)＜f (cos 1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32 解析：f (x )是定义在R 上周期为2偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0＜cos 1＜sin 1＜1， ∴选C.8．给出以下命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②假设log m 3<log n 3<0，那么0<n <m <1；③假设函数f (x )是奇函数，那么f (x－1)图象关于点A (1,0)对称；④函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2log 3x －1，x >2，那么方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)图象是把y ＝f (x )图象向右平移一个单位得到，由于函数y ＝f (x )图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．应选C.9．(2021·河南伊川测试)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )导函数，那么g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由函数图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 10．(2021·河北唐山一中月考)函数f (x )＝1x －ln x －1，那么y ＝f (x )图象大致为( )解析：g (x )＝x －ln x －1，那么g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，由g ′(x )＞0得x ＞1，即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即函数g (x )在(0,1)上单调递减，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最小值，g (x )min ＝g (1)＝0，于是对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g (x )＞0，故排除B 、D ，因为函数g (x )在(0,1)上单调递减，那么函数f (x )在(0,1)上单调递增，故排除C ，选A.11．(2021·山东莱州一中一检)函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 局部图象如下图，那么函数g (x )＝lnx ＋f ′(x )零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3)解析：选C.由函数图象得，a ＋b ＋1＝0,0＜b ＜1，∴－2＜a ＜－1，∵g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝a ＋2＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋1－ln 2＜0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 12．设0＜a ≤1，函数f (x )＝x ＋ax，g (x )＝x －ln x ，假设对任意x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，那么a 取值范围为( ) A ．(0,1] B ．(0，e －2]C ．[e －2,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1e ，1 解析：选C.f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2，g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∵x ∈ [1，e]，0＜a ≤1，∴f ′(x )≥0，g ′(x )≥0，即f (x )，g (x )在x ∈[1，e]时单调递增，对任意x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，即f (x )min ≥g (x )max ，即f (1)≥g (e)，∴1＋a ≥e－1， ∴a ≥e－2，又0＜a ≤1，得e －2≤a ≤1.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点在区间(a ，a ＋1)(a ∈Z )内，那么a ＝________. 解析：因为函数f (x )＝ln x ＋2x －6定义域为(0，＋∞)，所以a ≥0，函数f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是单调递增函数，f (1)＝－4＜0，f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点在区间(2,3)内，所以a ＝2. 答案：214．(2021·辽宁沈阳高三质检)设x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ≥0x －y ≥－1x ＋y ≤3，假设z ＝x －y ，那么z 最大值为________．解析：不等式组所表示平面区域如图中阴影局部所示，目标函数所在直线在点B (3,0)处取得最大值，即z max ＝3.答案：315．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上动点，那么|PA →＋3PB →|最小值为________．解析：建立平面直角坐标系如下图．设P (0，y )，C (0，b )，那么B (1，b )，A (2,0)，那么PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )． ∴|PA →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )，当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|最小，|PA →＋3PB →|min ＝5. 答案：516．函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x.假设偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，那么m ＋n ＝________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x， ∵h (x )为偶函数， ∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ， ∴h (x )＝m (4x ＋4－x)＋m ， ∵4x＋4－x≥2，∴h (x )min ＝3m ＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：23。

2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：解答题滚动练1(A) Word版含解析

解答题滚动练解答题滚动练1(A)1.如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E ，F 分别在三边AB ，BC 和CA 上，且D 为AB 的中点，∠EDF ＝90°，∠BDE ＝θ(0°<θ<90°).(1)当tan ∠DEF ＝32时，求θ的大小； (2)求△DEF 的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值.解 (1)在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60°sin (120°－θ)＝32sin (60°＋θ)，在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60°sin (30°＋θ)＝32sin (30°＋θ). 由tan ∠DEF ＝32，得sin (60°＋θ)sin (30°＋θ)＝32，整理得tan θ＝3，所以θ＝60°.(2)S ＝12DE ·DF ＝38sin (60°＋θ)sin (30°＋θ)＝32(3cos θ＋sin θ)(cos θ＋3sin θ) ＝32[3(cos 2θ＋sin 2θ)＋4sin θcos θ]＝32(3＋2sin 2θ). 当θ＝45°时，S 取最小值32(3＋2)＝6－332. 2.(2018·四川省南充高级中学考前模拟)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是56，45，34，23，女生闯过一至四关的概率依次是45，34，23，12. (1)求男生闯过四关的概率；(2)设ξ表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量ξ的分布列和期望.解 (1)记男生四关都闯过为事件A ，则P (A )＝56×45×34×23＝13. (2)记女生四关都闯过为事件B ，则P (B )＝45×34×23×12＝15，因为P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫452＝64225，P (ξ＝1)＝C 12×13×23×⎝⎛⎭⎫452＋C 12×15×45×⎝⎛⎭⎫232＝96225， P (ξ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫452＋C 22×⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫232＋C 12×13×23×C 12×15×45＝52225， P (ξ＝3)＝C 12×13×23×⎝⎛⎭⎫152＋C 12×15×45×⎝⎛⎭⎫132＝12225， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫152＝1225，所以ξ的分布列如下：E (ξ)＝0×64225＋1×96225＋2×52225＋3×12225＋4×1225＝240225＝1615. 3.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R ).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，。

2021年高考数学二轮复习规范滚动训练(I)

2021年高考数学二轮复习规范滚动训练(I)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－4π3＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－2π3＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0. 综上，当n ＝3m －2(m ∈N *)sin S n ＝－32当n ＝3m －1，(m ∈N *)sin S n ＝32当n ＝3m ，(m ∈N *)sin S n ＝0.2．为了迎接国家卫生城市复审，创设干净整洁的城市环境，某高中要从高一、高二、高三三个年级推出的班级中分别选1个，组成“巩卫”小组，利用周末进行义务创城活动．其中高一推出3个班且标号分别为A 1，A 2，A 3，高二推出2个班且标号分别为B 1，B 2，高三推出2个班且标号分别为C 1，C 2. (1)求A 1被选中的概率；(2)求A 1和C 2不全被选中的概率．解：通解：组成“巩卫”小组的所有结果如下：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，共12种．(1)记“A 1被选中”为事件E ，则E 包含的结果有：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，共4种，所以P (E )＝412＝13.(2)记事件M 表示“A 1和C 2不全被选中”，则其对立事件M 表示“A 1和C 2全被选中”．由于事件M 包含(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 2)，共2种结果，所以P (M )＝212＝16. 由对立事件的概率计算公式得P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56.故A 1和C 2不全被选中的概率为56.3．如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，∠ABC ＝60°，四边形BEFD 是矩形，且BE ＝BA ，平面BEFD ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ⊥CF ；(2)若AB ＝1，求该几何体的表面积．解：(1)法一：连接AC ，记EC ，EF ，BD 的中点分别为G ，M ，N ，连接GM ，GN ，MN ，则GM ∥FC ，GN ∥AE ，如图1.由题意，易证BE ⊥AB ，不妨设AB ＝1，则GM ＝GN ＝22，MN ＝BE ＝1，由勾股定理的逆定理知GM ⊥GN . 故AE ⊥CF .法二：如图2，将原几何体补成直四棱柱，则依题意，其侧面ABEG 为正方形，对角线AE ，BG 显然垂直，故AE ⊥CF .(2)连接AC ，根据题意易证AB ⊥AC ，BE ⊥平面ABCD ，易知BE ＝AB ＝CD ＝DF ＝1，BC ＝AD ＝2，AE ＝CF ＝2，CE ＝AF ＝5，EF ＝BD ＝7，从而CE ⊥CF ，AE ⊥AF . 所以所求几何体的表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＋12×1×2＋12×2×5＋2×1×32＝3＋10＋ 3. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e 为12，过F 1的直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝0.过点O 作直线l 2的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：(1)由题意知4a ＝8，∴a ＝2. ∵e ＝12，∴c ＝1，b 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB .①若直线l 2的斜率不存在，则点Q 在x 轴上．设点Q 的坐标为(x 0,0)，则A (x 0，x 0)，B (x 0，－x 0)．又∵A ，B 两点在椭圆C 上，∴x 204＋x 203＝1，x 20＝127.∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±127，0，即|OQ |＝127. ②若直线l 2的斜率存在，设直线l 2的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由Δ＞0得，m 2＜3＋4k 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0.整理得7m 2＝12(k 2＋1)，满足m 2＜3＋4k 2.又由已知可得过原点O 与直线l 2垂直的直线方程为y ＝－1kx ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y ＝kx ＋m ，得点Q 的横坐标与纵坐标分别为x ＝－kk 2＋1m ，y ＝1k 2＋1m ， ∴x 2＋y 2＝k 2k 2＋12m 2＋1k 2＋12m 2＝m 2k 2＋1＝127，即|OQ |＝127. 综合(1)(2)可知，点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为127的一个圆，且该圆的方程为x 2＋y 2＝127.23707 5C9B 岛537633 9301 錁 21921 55A1 喡M28172 6E0C 渌33084 813C 脼20135 4EA7 产f-24685 606D 恭f38080 94C0 铀m。

2021年高考数学二轮复习滚动训练(I)

2021年高考数学二轮复习滚动训练(I)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |log 2(x 2－x )＜1}，B ＝(－1,2)，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩∁R B ＝∅ C ．A ∪∁R B ＝RD ．A ∩B ＝∅解析：选B.A ＝{x |log 2(x 2－x )＜1}＝{x |0＜x 2－x ＜2}＝{x |－1＜x ＜0或1＜x ＜2}，所以A 是B 的真子集，所以A ∩∁R B ＝∅，故选B.2．复数z 满足z (1＋i)＝3－i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( ) A ．2 B ．－2 C ．2iD ．－2i 解析：选A.因为z ＝3－i1＋i ＝3－i1－i2＝2－4i2＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，所以z 的虚部为2，故选A.3．已知过点(－1,2)的直线l 与直线4x －2y －1＝0平行，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．4 C ．－2D ．3解析：选C.由已知可得所求直线的斜率为2，所以所求直线方程为y ＝2x ＋4，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 在x 轴上的截距为－2.故选C.4．下列函数中，与函数y ＝x 3的奇偶性、单调性均相同的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝2x－12xC ．y ＝ln|x |D ．y ＝tan x解析：选B.因为y ＝x 3为奇函数，在R 上单调递增，y ＝2x－12x 也是奇函数，在R 上单调递增，所以只有B 正确．y ＝e x为非奇非偶函数，y ＝ln|x |为偶函数，y ＝tan x 为奇函数，但定义域不为R .故选B.5．如图所示的程序框图，若输入a ＝2，则输出的i 的值为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.a＝2，i＝1得，m＝2,2＜18；i＝2，得m＝5,5＜18；i＝3，得m＝8＋log23,8＋log23＜18；i＝4，得m＝18，输出i＝4.故选C.6．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,21－x＞0B．∀x∈(0，＋∞)，2x＞xC．∃a∈R，函数y＝x a的图象经过第四象限D．∃α∈R，使函数y＝xα的图象关于y轴对称解析：选C.对于A，B，由指数函数性质可知是真命题．对C，当x＞0时，y＝x a＞0恒成立，从而图象不过第四象限，所以为假命题．对D，当a＝2时，y＝x2的图象关于y轴对称．7．函数f(x)＝－cos x lg|x|的部分图象是( )解析：选A.函数f(x)＝－cos x lg|x|为偶函数，所以图象关于y轴对称，所以排除B，D；当x→0时，f(x)＞0，排除C，故选A.8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为7，则a等于( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选B.由三视图知几何体是正方体削去一个角，如图： ∴几何体体积V ＝23－13×12×a ×2×2＝8－2a 3＝7，解得a ＝32.9．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于( ) A ．9 B ．3 C.13D.19解析：选D.因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到焦点的距离为5，所以1＋p2＝5，所以p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16，所以m ＝4，所以M (1,4)．因为双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A (－a ，0)，所以直线AM 的斜率为41＋a ，所以41＋a ＝1a，所以a ＝13，所以a ＝19，故选D.10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若椭圆C 2：x 24＋y 2m＝1的右焦点到双曲线C 1的渐近线的距离是32，则椭圆C 2的方程是( )A.x 24＋y 27＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选D.因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，所以双曲线的渐近线为y ＝±b a x ＝±3x .设椭圆C 2：x 24＋y 2m＝1的右焦点为(c,0)，所以|3×c |3＋1＝3c 2＝32，所以c ＝3，则4－m ＝3，所以m ＝1，所以椭圆C 2的方程是x 24＋y 2＝1.故选D.11．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1解析：选C.f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2， a ＝f (lg 5)＝12＋12sin(2lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 15＝f (－lg 5)＝12＋12sin(－2lg 5)＝12－12sin(2lg 5)，∴a ＋b ＝1.故选C.12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y 的最大值为8，其中a ，b 均大于0，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选C.由z ＝abx ＋y 得y ＝－abx ＋z ，所以直线的斜率为－ab ＜0，作出可行域如图阴影部分所示，由图象可知当目标函数经过点B 时，直线的截距最大，此时z ＝abx ＋y ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，即B (1,4)，代入z ＝abx ＋y ＝8，得ab ＝4，所以a ＋b ≥2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a ＋b 的最小值为4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝6，a 5＝12a 3，则S n 的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，因为a 5＝12a 3，所以a 1＋4d ＝12(a 1＋2d )，所以d ＝－1，所以a n ＝6＋(n －1)(－1)＝－n ＋7，由a n ≥0得n ≤7.所以S n 的最大值为S 6＝S 7＝6a 1＋6×52d ＝6×6＋6×52×(－1)＝21.答案：2114．已知函数f (x )＝mx ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在圆(x －a ＋1)2＋(y＋b －2)2＝25的内部(含边界)，则a ＋b 的最大值是________．解析：由函数f (x )＝mx ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过定点A ，知A 点坐标为(－1,2)，又点A 在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部(含边界)，所以a 2＋b 2≤25，又因为a ＋b22≤a2＋b 2，所以(a ＋b )2≤50，即a ＋b 的最大值是52，当且仅当a ＝b ＝522时取等号．15．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析：∵等边三角形的边长为23， ∴如图，建立直角坐标系，∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)， ∴CM →＝16CB →＋23CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52.∴OM →＝OC →＋CM → ＝(0,3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12＝－2.答案：－216．设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x )，f ′(x )＜f (x )．则下列三个数：e f (2)，f (3)，e 2f (－1)从小到大依次排列为________．(e 为自然对数的底数) 解析：构造函数g (x )＝f xex，g ′(x )＝[f ′x －f x ]e xe2x＜0，所以g (x )在R 上为减函数，所以g(1)＞g(2)＞g(3)，即f1e＞f2e2＞f3e3，得e2f(1)＞e f(2) ＞f(3)，又f(－1)＝f(1)，所以f(3)＜e f(2)＜e2f(－1)．答案：f(3)＜e f(2)＜e2f(－1)39723 9B2B 鬫 C{ *~^LEjOz4。

2021高考数学二轮专题训练阶段滚动过关练一课件

【解析】选D.根据T=4×( 7 = )π,
12 3
所以ω= 2 =2,由于函数的图象过 ( 7 ,, 1 )
12
所以2× 7 +φ=2kπ+ 3 ,k∈Z,
12
2
由于|φ|< ,解得φ= ,
2
3
故f(x)=sin ( 2 x , )
3
先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍,纵坐标不变,再将所得函数
2
因为b<c,所以B<C,所以角B为锐角,
所以cos B= 1sin2B,12=3 a2+ （ -23×）2 a× × ,解3 得a=31或a=2.
2
2
当a=1时,△ABC的面积
S= 1 acsin B= 1 ×1×
2
2
×3
= 1;
2
3 4
当a=2时,△ABC的面积S=1
2
acsin B= 1 ×2×
则当x≤0时,函数f(x)的最小值为f(0)=a2,
要使f(0)是f(x)的最小值,则f(0)=a2≤2,即0≤a≤ ,即2 实数a的取值范围是
[0, ]2 . 答案:(1) 1
4
(2)[0, ] 2
四、解答题(每小题10分,共30分)
13.已知f(x)=
3
sin ( x
) 3
-cos
x.
(1)写出f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值;
2
10.(2020·中卫二模)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东
45°,与观测站A距离20 2 海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ= 4 ,已知A,C两

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专题一、二滚动训练(一)
(用时40分钟，满分80分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·辽宁师大附中测试)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，若集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )
A ．3∉A 且3∉
B B ．3∈A 且3∉B
C ．3∉A 且3∈B
D ．3∈A 且3∈B
解析：选B.画出韦恩图，可知B 正确．
2．(2016·河南洛阳期中)下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≤－1或x ≥1”
B ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，e x ≤0”
C ．“a ＞0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(－∞，0)上单调递减”的充要条件
D ．若“p ∨q ”为真命题，是p ，q 中至少有一个为真命题
解析：选D.对于A ，若“x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是“若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1”；对于B ，“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；a ＝0时函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，所以选项C 错误；D 正确．
3．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z
＋z 2＝( ) A ．1＋i B ．2－i
C ．－1－i
D ．－1＋i
解析：选A.2z ＋z 2＝21＋i
＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 4．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为( )
A ．a 1＋x 0[a 3＋x 0(a 0＋a 2x 0)]的值
B ．a 3＋x 0[a 2＋x 0(a 1＋a 0x 0)]的值
C ．a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]的值
D ．a 2＋x 0[a 0＋x 0(a 3＋a 1x 0)]的值
解析：选C.由程序框图知，输出的S ＝a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]，故选C.
5．已知命题p ：|x ＋1|＞2，命题q ：5x －6＞x 2，则綈q 是綈p 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：基本法：选B.由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，所以綈p ：－3≤x ≤1；由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以綈q ：x ≤2或x ≥3，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件．
速解法：由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以p 是q 的必要不充分条件，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件．
6．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：选C.∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y
＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝
⎛⎭⎪⎫cos 12 B ．f ⎝
⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)＜f (cos 1)。