#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件：4-2-3 直线与圆的方程的应用
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[答案] 152＜k≤34
[解析] 由A∩B含有四个子集知，A∩B含有两个元素， 结合图象得：152＜k≤34.
5．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中 弦长为整数的共有________条．
[答案] 30
[解析] 圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝132. 由已知得弦长∈[10,26]， 其中弦长为整数的共有30条．
[例3] 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光 线l所在的直线方程l.
[分析] 求出已知圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴的对称 圆的方程，则对称圆与点A(－3,3)发出的光线l相切．
[解析] 由已知可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对 称的C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C′(2，－ 2)．由题知l与圆C′相切，
①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y 轴；
②充分利用图形的对称性； ③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； ④关键点的坐标易于求得．
[例2] 如下图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆 心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E， F.求证：EF平分CD.
[分析] 建立平面直角坐标系，由圆O和圆C的方程得公 共弦EF的方程，转化为证明CD的中点在直线EF上即可．
[分析] 根据光学特性可先将圆关于x轴对称，然后转化 为求点P到新圆的圆心距离问题．
[解析] 依题意，当这束光线从P(－1,1)出发，经x轴反射 后恰好经过圆心C时，它反射到圆上的路程最短，圆心C(2,3) 关于x轴的对称点C′(2，－3)，可求得PC′＝5，所以最短路 程为5－1＝4.
规律总结：(1)点P后求PC′结果一样．
自主预习 阅读教材P130～132，回答下列问题． 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤： 第一步：建立适当的_平__面__直__角__坐__标__系__，用_坐__标__和__方__程__ 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为_代__数__问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“_翻__译___”成几何结论．
[答案] D
[解析] 在不同坐标系下，方程也不同．
2．设直线l过点(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜
率是( )
A．±1
B．±12
C．±
3 3
D．± 3
[答案] C
[解析] 设l斜率为k，方程为y＝k(x＋2)， d＝ 1|2＋k|k2＝r＝1. 解得k＝± 33，故选C.
3．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半 径最小的圆的方程是( )
成才之路·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
圆的方程
第四章
4．2 直线、圆的位置关系
第四章
4．2.3 直线与圆的方程的应用
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
基础巩固训练 能力强化提升
课前自主预习
温故知新 1．解决实际问题的基本步骤如下： (1)阅读理解，认真审题． 做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际 背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述 中的新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析 出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关 系．审题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问 题的转化．
[证明] 以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立 平面直角坐标系，如下图所示，则圆O的方程为x2＋y2＝1. ①
设圆C的圆心为C(x1，y1)， 则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ② ①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0. ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为 (x1，y21)，将H代入③式，得
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
[答案] C
[解析] 由已知结合图形得圆心在直线x＋y＝0上，且在 第四象限，r＝12(|－1－21－4|－ 2)＝ 2，故选C.
4．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋ 4－x2 }，B＝{(x，y)|y＝k(x －2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是 ________．
圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
4|22＋8| 72＝
28 ， 65
而半径r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
用坐标法证明几何问题
学法指导 坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标 系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆 等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得 到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适 当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：
[解析] 如下图所示，以截面半圆的圆心O为坐标原点， 半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆 的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝ 16－2.72 ＝
8.71<3， 即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度．因
此，货车不能驶入这个隧道．
8．如图所示，AB为圆的定直径，CD为另一直径，过D作 AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证直线CP必过 一定点．
思路方法技巧
圆的方程的实际应用 学法指导 解直线与圆的实际应用问题时，一般按如下 步骤：
[例1] 有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相 同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km，顾客选择A地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点 的居民应如何选择购买此商品的地点？
(2)引进数学符号，建立数学模型． 根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相 关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题， 实现问题的数学化，即建立数学模型．如果题目已经告知曲 线是圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为 求解方程或计算作准备． (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果． (4)翻译成具体问题．
6．圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线 kx－y＋4＝0对称，则k＝________.
[答案] 2
[解析]
由题意得直线kx－y＋4＝0经过圆心C(－
1 2
，3)，所以
－2k－3＋4＝0.解得k＝2.
7．如下图所示，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的 货车能不能驶入这个隧道？
2．与对称有关的最值问题． 在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P 必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的 点． 在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P 必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对 称转化为同侧的点． 可以简单记为“异侧和最小，同侧差最大”．
(2)若P是半径为r的圆C外一点，则圆上的点到P点的距离 的最小值为|PC|－r，最大值为|PC|＋r.
(3)若P是半径为r的圆C内一点，则过点P的弦中，最长弦 为直径，最短弦为与CP垂直的弦．
基础巩固训练
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方 程是( )
A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化
[解析] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立 直角坐标系(如上图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台 风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对 应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为 (7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为7x ＋4y ＝1，即4x＋7y－28 ＝0.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1与圆(x－3)2＋(y－1)2＝4的公切
线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
[答案] B
[解析] 两圆的圆心分别为(1,2)，(3,1)，连心线的长为 3－12＋1－22 ＝ 5 <3，所以两圆相交．故公切线有两 条．
新课引入
设有半径为3 km的圆形村落，两人同时从村落中心C出 发，A向东，而B向北直进，A出村后不久，改变前进方向，沿 着斜切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A，B两 人的速度都一定，其比为3:1，问A，B两人在何处相遇？带上 这个问题进入本节的学习．
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简 称为“一建二算三译”．
用坐标法证明正方形的对角线互相垂直．
[证明] 如图所示，以边长为a的正方形ABCD的边AB为x 轴，A为原点，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(a,0)，C(a，a)，D(0，a)， 则kAC＝aa－－00＝1，kBD＝a0－－0a＝－1， ∴kACkBD＝－1.∴AC⊥BD. 即正方形的对角线互相垂直．
[解析] 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系，如上图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐 标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元 /km，则从B地运货到P地的运费为a元/km.
若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a x＋52＋y2<a x－52＋y2， 整理得(x＋235)2＋y2<(230)2.
2x
2 1
＋2y1·y21
－1－x
2 1
＝2x
2 1
＋y
2 1
－1－x
2 1
＝x
2 1
＋y
2 1
－1＝0，即
CD的中点H在EF上，
∴EF平分CD.
规律总结：本题证明的思路是：证CD的中点在EF上， 即说明EF平分CD.坐标法可以把一个几何问题转化为代数问题 处理，把图形的推理转化为代数式的运算．
设l：y－3＝k(x＋3)， ∴ |51k＋＋5k2| ＝1， 整理得12k2＋25k＋12＝0， 解得k＝－34或k＝－43，
所以所求直线方程为 y－3＝－34(x＋3)或y－3＝－43(x＋3)， 即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
一光线从点P(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y －3)2＝1上，求最短路程．
探索延拓创新
对称问题
学法指导 1.在对称问题中，点关于直线的对称是最基 本的也是最重要的对称，解决此类问题要抓住两点：一是以 已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知 点与对称点的连线与对称轴垂直．
几种特殊对称： ①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)； ②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)； ③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)； ④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)； ⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方 和．
求证：它们的对角线互相垂直．
[证明] 如图，以CA所在直线为x轴，过点B垂直于AC的 直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a,0)，B(0， b)，C(c,0)，D(x，y)．
∵|AB|2＋|CD|2＝|BC|2＋|AD|2. ∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2， 化简得(a－c)x＝0. ∵a＝c≠0，∴x＝0， ∴D点在y轴上，∴AC⊥BD.
即点P在圆C：(x＋235)2＋y2＝(230)2的内部． 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围是半径 为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[解析] 由A∩B含有四个子集知，A∩B含有两个元素， 结合图象得：152＜k≤34.
5．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中 弦长为整数的共有________条．
[答案] 30
[解析] 圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝132. 由已知得弦长∈[10,26]， 其中弦长为整数的共有30条．
[例3] 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光 线l所在的直线方程l.
[分析] 求出已知圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴的对称 圆的方程，则对称圆与点A(－3,3)发出的光线l相切．
[解析] 由已知可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对 称的C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C′(2，－ 2)．由题知l与圆C′相切，
①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y 轴；
②充分利用图形的对称性； ③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； ④关键点的坐标易于求得．
[例2] 如下图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆 心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E， F.求证：EF平分CD.
[分析] 建立平面直角坐标系，由圆O和圆C的方程得公 共弦EF的方程，转化为证明CD的中点在直线EF上即可．
[分析] 根据光学特性可先将圆关于x轴对称，然后转化 为求点P到新圆的圆心距离问题．
[解析] 依题意，当这束光线从P(－1,1)出发，经x轴反射 后恰好经过圆心C时，它反射到圆上的路程最短，圆心C(2,3) 关于x轴的对称点C′(2，－3)，可求得PC′＝5，所以最短路 程为5－1＝4.
规律总结：(1)点P后求PC′结果一样．
自主预习 阅读教材P130～132，回答下列问题． 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤： 第一步：建立适当的_平__面__直__角__坐__标__系__，用_坐__标__和__方__程__ 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为_代__数__问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“_翻__译___”成几何结论．
[答案] D
[解析] 在不同坐标系下，方程也不同．
2．设直线l过点(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜
率是( )
A．±1
B．±12
C．±
3 3
D．± 3
[答案] C
[解析] 设l斜率为k，方程为y＝k(x＋2)， d＝ 1|2＋k|k2＝r＝1. 解得k＝± 33，故选C.
3．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半 径最小的圆的方程是( )
成才之路·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
圆的方程
第四章
4．2 直线、圆的位置关系
第四章
4．2.3 直线与圆的方程的应用
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
基础巩固训练 能力强化提升
课前自主预习
温故知新 1．解决实际问题的基本步骤如下： (1)阅读理解，认真审题． 做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际 背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述 中的新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析 出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关 系．审题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问 题的转化．
[证明] 以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立 平面直角坐标系，如下图所示，则圆O的方程为x2＋y2＝1. ①
设圆C的圆心为C(x1，y1)， 则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ② ①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0. ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为 (x1，y21)，将H代入③式，得
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
[答案] C
[解析] 由已知结合图形得圆心在直线x＋y＝0上，且在 第四象限，r＝12(|－1－21－4|－ 2)＝ 2，故选C.
4．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋ 4－x2 }，B＝{(x，y)|y＝k(x －2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是 ________．
圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
4|22＋8| 72＝
28 ， 65
而半径r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
用坐标法证明几何问题
学法指导 坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标 系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆 等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得 到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适 当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：
[解析] 如下图所示，以截面半圆的圆心O为坐标原点， 半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆 的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝ 16－2.72 ＝
8.71<3， 即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度．因
此，货车不能驶入这个隧道．
8．如图所示，AB为圆的定直径，CD为另一直径，过D作 AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证直线CP必过 一定点．
思路方法技巧
圆的方程的实际应用 学法指导 解直线与圆的实际应用问题时，一般按如下 步骤：
[例1] 有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相 同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km，顾客选择A地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点 的居民应如何选择购买此商品的地点？
(2)引进数学符号，建立数学模型． 根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相 关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题， 实现问题的数学化，即建立数学模型．如果题目已经告知曲 线是圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为 求解方程或计算作准备． (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果． (4)翻译成具体问题．
6．圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线 kx－y＋4＝0对称，则k＝________.
[答案] 2
[解析]
由题意得直线kx－y＋4＝0经过圆心C(－
1 2
，3)，所以
－2k－3＋4＝0.解得k＝2.
7．如下图所示，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的 货车能不能驶入这个隧道？
2．与对称有关的最值问题． 在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P 必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的 点． 在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P 必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对 称转化为同侧的点． 可以简单记为“异侧和最小，同侧差最大”．
(2)若P是半径为r的圆C外一点，则圆上的点到P点的距离 的最小值为|PC|－r，最大值为|PC|＋r.
(3)若P是半径为r的圆C内一点，则过点P的弦中，最长弦 为直径，最短弦为与CP垂直的弦．
基础巩固训练
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方 程是( )
A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化
[解析] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立 直角坐标系(如上图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台 风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对 应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为 (7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为7x ＋4y ＝1，即4x＋7y－28 ＝0.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1与圆(x－3)2＋(y－1)2＝4的公切
线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
[答案] B
[解析] 两圆的圆心分别为(1,2)，(3,1)，连心线的长为 3－12＋1－22 ＝ 5 <3，所以两圆相交．故公切线有两 条．
新课引入
设有半径为3 km的圆形村落，两人同时从村落中心C出 发，A向东，而B向北直进，A出村后不久，改变前进方向，沿 着斜切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A，B两 人的速度都一定，其比为3:1，问A，B两人在何处相遇？带上 这个问题进入本节的学习．
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简 称为“一建二算三译”．
用坐标法证明正方形的对角线互相垂直．
[证明] 如图所示，以边长为a的正方形ABCD的边AB为x 轴，A为原点，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(a,0)，C(a，a)，D(0，a)， 则kAC＝aa－－00＝1，kBD＝a0－－0a＝－1， ∴kACkBD＝－1.∴AC⊥BD. 即正方形的对角线互相垂直．
[解析] 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系，如上图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐 标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元 /km，则从B地运货到P地的运费为a元/km.
若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a x＋52＋y2<a x－52＋y2， 整理得(x＋235)2＋y2<(230)2.
2x
2 1
＋2y1·y21
－1－x
2 1
＝2x
2 1
＋y
2 1
－1－x
2 1
＝x
2 1
＋y
2 1
－1＝0，即
CD的中点H在EF上，
∴EF平分CD.
规律总结：本题证明的思路是：证CD的中点在EF上， 即说明EF平分CD.坐标法可以把一个几何问题转化为代数问题 处理，把图形的推理转化为代数式的运算．
设l：y－3＝k(x＋3)， ∴ |51k＋＋5k2| ＝1， 整理得12k2＋25k＋12＝0， 解得k＝－34或k＝－43，
所以所求直线方程为 y－3＝－34(x＋3)或y－3＝－43(x＋3)， 即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
一光线从点P(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y －3)2＝1上，求最短路程．
探索延拓创新
对称问题
学法指导 1.在对称问题中，点关于直线的对称是最基 本的也是最重要的对称，解决此类问题要抓住两点：一是以 已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知 点与对称点的连线与对称轴垂直．
几种特殊对称： ①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)； ②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)； ③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)； ④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)； ⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方 和．
求证：它们的对角线互相垂直．
[证明] 如图，以CA所在直线为x轴，过点B垂直于AC的 直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a,0)，B(0， b)，C(c,0)，D(x，y)．
∵|AB|2＋|CD|2＝|BC|2＋|AD|2. ∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2， 化简得(a－c)x＝0. ∵a＝c≠0，∴x＝0， ∴D点在y轴上，∴AC⊥BD.
即点P在圆C：(x＋235)2＋y2＝(230)2的内部． 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围是半径 为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？