青岛高一上学期期末数学试卷
山东省青岛市高一上学期期末数学试卷
山东省青岛市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·赤峰模拟) 设全集为R，集合M={x|x2＞1}，N={x∈Z||x|≤2}，则（∁RM）∩N=（）A . {0}B . {2}C . {﹣1，0，1}D . {﹣2，0，2}2. （2分）点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A .B .C .D .3. （2分）函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）若直线2x+my=2m﹣4与直线mx+2y=m﹣2平行，则m的值为（）A . m=﹣2B . m=±2C . m=0D . m=25. （2分）已知函数的值域为C，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·太原期中) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若方程f（x+1）=|x2+2x﹣3|的实根分别为x1 ， x2 ，…，xn ，则x1+x2+…+xn=（）A . nB . ﹣nC . ﹣2nD . ﹣3n7. （2分）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆相交于A,B两点，则弦AB的长等于（）A .B .C .D . 18. （2分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A . 若m∥α，m∥n，则n∥αB . 若m⊥α，m∥n，则n⊥αC . 若m∥α，n⊊α，则m∥nD . 若m⊥n，n⊊α，则m⊥α9. （2分）已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A .B . 3C .D .11. （2分） (2018高一下·包头期末) 直线关于直线对称的直线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·上饶模拟) 已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A . 0＜a≤5B . a＜5C . 0＜a＜5D . a≥5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是________14. （1分） (2016高二上·汕头期中) 两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y ﹣2=0上，则m+n的值是________．15. （1分） (2016高一上·南京期中) 函数是偶函数，若h（2x﹣1）≤h（b），则x的取值范围是________．16. （1分）(2017·海淀模拟) 已知函数f（x）=|sinx|+cosx，现有如下几个命题：①该函数为偶函数；②该函数最小正周期为；③该函数值域为；④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则该函数单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二上·东至期末) 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于两点，是的中点， .（1）求圆的标准方程；（2）求直线的方程.18. （10分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱CC1上的动点．（1）若E为棱CC1的中点，求证：A1E⊥平面BDE；（2）试确定E点的位置使直线A1C与平面BDE所成角的正弦值是．19. （10分） (2017高一下·牡丹江期末) 在平面直角坐标系中，点 ,圆的半径为2，圆心在直线上（1）若圆心也在圆上，过点作圆的切线，求切线的方程。
山东省青岛市高一上学期数学期末考试试卷
山东省青岛市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若关于x的不等式（1+k）x2+kx+k＜x2+1的解集为空集，则实数k的范围为（）A . [ ，+∞）B . （0，+∞）C . [0，+∞）D . （﹣1，1）2. （2分） (2018高三上·定远期中) 设的三个内角，向量，，若，则 =（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·潮州期末) 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·南开期末) 下列函数中是奇函数的是（）A . y=x+sinxB . y=|x|﹣cosxC . y=xsinxD . y=|x|cosx5. （2分） (2017高一上·南开期末) 已知cosθ＞0，tan（θ+ ）= ，则θ在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2017高一上·南开期末) 函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）7. （2分） (2017高一上·南开期末) 若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . b＜c＜aD . c＜a＜b8. （2分） (2017高一上·南开期末) 如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A . 或B . 或C . 或D . 或9. （2分） (2017高一上·南开期末) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A . 函数f（﹣x）的最小正周期为πB . 函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x= + （k∈Z）C . 函数f（﹣x）图象的对称中心为（ + ，0）（k∈Z）D . 函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）10. （2分） (2017高一上·南开期末) 设函数f（x）= ，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））= ；④若f（f（a））= ，则a≥1．A . ①③B . ②④C . ①②③D . ①③④二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高一上·东城期末) 已知向量| |=2，| |=3，| + |= ，那么| ﹣|=________．12. （1分）已知 sin（x﹣φ）dx= ，则sin2φ=________．13. （1分） (2017高一上·南开期末) 如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g （x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为________．14. （1分） (2017高一上·南开期末) 如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|= ，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=________．15. （1分） (2017高一上·南开期末) 设函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1 ， x2 ， x3 ，且x1+x2+x3=﹣，则a= ________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （10分） (2016高一上·温州期中) 函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m（0＜m≤1）．（1）若x∈[0，m]，证明：f（x）≤ ；（2）求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．17. （10分）(2020·厦门模拟) 已知函数 .（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.18. （10分）(2013·四川理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cosB﹣sin （A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4 ，b=5，求向量在方向上的投影．19. （5分） (2020高一下·北京期中) 在中，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求b的取值范围；（Ⅲ）求的最大值．20. （5分）已知函数，其中 .(I)若对任意都有，求的最小值;(II)若函数在区间上单调递增，求的取值范围·参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、第11 页共11 页。
2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合1{|1216}{|0}6x x A x B x x -=≤=≥-＜，，则R A C B ⋂＝（ ） A ．{x |1＜x ≤4} B ．{x |0＜x ≤6} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |4≤x ≤6}【答案】A【分析】化简集合,A B ，按照补集定义求出R C B ，再按交集定义，即可求解. 【详解】{|1216}{|04}x A x x x =<=<≤≤, 1{|0}{|16x B x x x x -=≥=≤-或6}x >， {|16}R C B x x =<≤，R A C B ⋂4{|}1x x <≤=.故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.2．下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【答案】D【解析】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。
【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞A 选项定义域是R ；B 选项定义域是{}|0x x ≠；C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
故选：D【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。
3．若0a >，0b >，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取4a =，1b =，可得“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；由基本不等式可知由“4a b +≤”可以推出“4ab ≤”，进而可得结果.【详解】因为0a >，0b >，取4a =，1b =，则满足4ab ≤，但是54a b +=>，所以“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；反过来，因为a b ≤+，所以当4a b +≤时，有4，即4ab ≤. 综上可知，“4ab ≤”是“4a b +≤”的必要不充分条件. 故选：B.4．已知幂函数()y f x =的图象经过点，则13log (3)f 的值是（ ）A ．13-B ．1C ．13D ．-1【答案】A 【分析】设()a f x x ，代入点的坐标求得a ，然后再计算函数值．【详解】()a f x x，则由题意和13(3)33a f ===，13a =，∴1311133311log (3)log 3log 333f ===-．故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题． 5．已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】A【分析】根据对数函数的图象和性质可得：1a c >>，然后再比较,b c 的大小关系即可. 【详解】因为2233log 3log 21log 3log 2>==>，所以1a c >>，又因为21cos43b π>==，而3982log 2log 2log 23c ==<=，所以1b c >>， 所以a b c >>， 故选：A .6．函数2sin 2x y x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】令0x =，排除C 、D ；再令=1x -，排除B 即可. 【详解】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令=1x -，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B. 故选：A7．若θ为第二象限角，且()1tan 2θπ-=-1cos 1cos 31sin()1sin()22θθππθθ+---+- ）A ．4B ．-4C ．14D ．14-【答案】B【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.【详解】由()1tan 2θπ-=-得：1tan 2θ=-，而θ为第二象限角，则有sin 0θ>，22221cos 1cos 1cos 1cos (1cos )(1cos )31cos 1cos 1cos 1cos 1sin()1sin()22θθθθθθππθθθθθθ+-+-+--+----+-1cos 1cos 2cos 24sin sin sin tan θθθθθθθ+-=-===- 故选：B8．已知函数()f x 的定义域为R ,图象恒过()1,1点,对任意12x x <,都有()()12121f x f x x x ->--则不等式()()22log 212log 21x xf ⎡⎤-<--⎣⎦的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2,log 3-∞C ．()()2,00,log 3-∞D ．()20,log 3【答案】D【解析】判断出()()R x f x x =+是增函数，又()()()2222log 1log 12(1)1x xf f -+-<=+，求得0<212x -<，从而求得x 的范围。
青岛高一期末考试卷数学
青岛高一期末考试卷数学1. 解题部分（共10小题，每小题5分，共50分）1. 设$x$是$(-\infty,+\infty)$上的实数，满足$x^2 - 6x + 5 > 0$，求$x$的取值范围。
答：$x<1$或$x>5$2. 若$a+b=8$、$ab=15$，求$(a-5)(b-3)$的值。
答：113. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2}$，求$f'(x)$。
答：$f'(x)=-\frac{2}{x^3}$4. 若$a\%b=b\%a$，且$a<100$，$b<100$，则$a$、$b$的所有可能取值是多少？答：$a=37$，$b=27$或$a=27$，$b=37$5. 若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+2$，求数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式。
答：$S_n=\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$6. 若$y=2x^3-3x^2+4$，求$y$的极值点。
答：$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{29}{9}$7. 已知$\triangle ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，$\angle B=60^\circ$，求$\angle A$的大小。
答：$30^\circ$8. 若$\log_a b + \log_b a = 3$，求$a^2+b^2$。
答：109. 若$A$的年利率为4%，$B$的年利率为3%，若将10000元分别存入$A$、$B$两账户，两年后，$A$的利息比$B$多160元，求$B$的本金是多少？答：6000元10. 若$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$，求$f''(1)$。
答：22. 计算题（共5小题，每小题10分，共50分）1. 已知函数$f(x)=3x^2-4x+2$在区间$[0,2]$上的定积分值为9，求函数$g(x)=f(x+1)$在区间$[a,a+2]$上的定积分值（$a$为实数）。
高中数学 2022-2023学年山东省青岛高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年山东省青岛五十八中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的，线上诚信考试，请将选出的答案标号（A、B、C、D）使用小程序提交.A ．（-∞，e ）B ．（2，e ）C ．（-∞，1）D ．（0，2）1．（5分）已知集合A ={x |2x >4}，B ={x |lnx <1}，则集合A ∩B =（ ）A ．1−k 2kB ．−1−k 2kC ．k1−k 2D ．−k1−k 22．（5分）记cos （-800）=k ,那么tan 100°=（ ）√√√√A ．0<x <12B ．x >1C ．x >2D ．x <03．（5分）使不等式0<1x <1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b4．（5分）已知函数f （x ）=2|x |，记a =f ((14)13)，b =f (log 372)，c =f (log 135)，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．25．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数x +3y =3(x >1，y >13)，则x x −1+3y3y −1的最小值为（ ）A ．4B ．22C ．9D ．26．（5分）已知函数y =log a （x -1）+1（a >0且a ≠1）恒过定点A （x 0，y 0），且满足mx 0+ny 0=1，其中m ,n 是正实数，则2m +1n 的最小值（ ）√√7．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数y =2x −2−x x 3−x的图像大致是（ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.线上诚信考试，请将选出的答案标号（A、B、C、D）使用小程序提交.A ．B ．C ．D ．）A ．11−332B ．11−432C ．9−332D ．9−4328．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2，∠AOB =60°时，s =（ ）⌢⌢⌢√√√√A ．f （x ）=x 与g （x ）=lne x 为同一函数B ．已知a ,b 为非零实数，且a >b ,则1ab2>1a 2b恒成立C ．若等式的左、右两边都有意义，则sin 4α-cos 4α=2sin 2α-1恒成立D ．关于函数f （x ）=3x +x 2-11有两个零点，且其中一个零点在区间（1，2）9．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．a =2B ．a =3C ．m 的值可能是4D ．m 的值可能是610．（5分）已知函数f （x ）是定义在[1-2a ,a +1]上的偶函数．当0≤x ≤a +1时，f (x )=x −3x +1，若f （log 2m ）>1，则（ ）A ．若x 1，x 2为方程f （x ）=-6的两实数根，且x 2x 1+x 1x 2=3，则m =±511．（5分）已知函数f （x ）=x 2+mx -1，则下列说法中正确的是（ ）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处，再拍照上传.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处，再拍照上传.B ．若方程f （x ）=-2的两实数根都在（0，2），则实数m 的取值范围是(−52，−2]C ．若∀x ∈（0，+∞），f （x ）<2x 2，则实数m 的取值范围是（-2，2）D ．若∀x ∈[m ,m +1]，f （x ）<0，则实数m 的取值范围是(−22，0)√A ．-1B ．0C ．1D ．212．（5分）已知函数f (x )=V Y Y YW Y Y Y X x −2，x ∈(−∞，0)lnx ,x ∈(0，1)−x 2+4x −3，x ∈[1，+∞)，若函数g （x ）=f （x ）-m 恰有2个零点，则实数m 可以是（ ）13．（5分）函数y =lg （sinx ）+cosx −12的定义域为．√14．（5分）已知函数f (x )=ln (1+x 2)−11+|x |，若实数a 满足f (log 3a )+f (log 13a )≤2f (1)，则a 的取值范围是．15．（5分）已知f (x )=12sin 2x ，关于该函数有下列四个说法：①f （x ）的最小正周期为2π；②f （x ）在[−π4，π4]上单调递增；③当x ∈[−π6，π3]时，f （x ）的取值范围为[−34，34]；④f （x ）的图象可由g (x )=12sin (2x +π4)的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的有为．√√16．（5分）已知函数f （x ）=2cos （ωx +φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f （x ）-f （-7π4））（f （x ）-f （4π3））>0的最小正整数x 为 ．17．（10分）完成下列计算，保留应有过程． （1）−2sin 4°−cos 34°sin 34°=？；（2）已知sinαcosα=18，且π4<α<π2，则cosα-sinα=？；（3）计算(x 32−x 12)+2(x 43−x 13)(x 12+2x 13)2⋅(1−x −1)2(x >1)=？√√18．（12分）设x ∈R ，函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0，−π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)=32．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f （x ）在[0，π]上的图像； （3）若f (x )>22，求x 的取值范围．√√19．（12分）已知f （x ）=2x 2+bx +c ,不等式f （x ）<-12的解集是（2，3）． （1）求f （x ）的解析式；（2）不等式组V W X f (x )>0f (x +k )<0的正整数解仅有2个，求实数k 取值范围；（3）若对于任意x ∈[-1，1]，不等式t ⋅f （x ）≤2恒成立，求t 的取值范围．20．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cosA 1+sinA =sin 2B1+cos 2B．（1）若C =2π3，求B ； （2）求a 2+b2c2的最小值．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+2mx -6在区间[-1，2]上是单调函数． （1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出f （x ）在区间[-1，2]上的最大值g （m ）；（3）设h （x ）=x +1，令F （m ）=V W X g (m )，m ∈A h (m )，m ∈∁RA ，若对任意m 1，m 2∈[−72，a ]，总有|F （m 1）-F （m 2）|≤a +3，求a 的取值范围．22．（12分）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人．疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题．【主题一】【科学抗疫，新药研发】（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h-1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为_____（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】（2）为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米（a>0），侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．。
山东省青岛市2022-2023学年度高一第一学期期末数学试题及答案
第1页共4页2022-20232023.01本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1234}{2468}{369}A B C ===，，，，，，，，，，，则()A B C 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．下述正确的是A ．若θ为第四象限角，则sin 0θ>B ．若cos 0θ=，则π2θ=C ．若θ的终边为第三象限平分线，则tan 1θ=-D ．“ππZ4k k θ=+∈”是“sin cos θθ=”的充要条件3．函数()f x =的定义域为A ．[1+∞，B ．(1)+∞，C ．(01]，D ．(0)+∞，4．若函数2()21x f x a =-+为奇函数，则a =A ．0B ．1C ．2D ．35．若110a b<<，则下列不等式中正确的是A ．a b<B ．22a b ab>C ．||a b >-D ．2a b a +<6．已知函数π()sin(26f x x =-，则A ．()f x 的最小正周期为2πB ．点π(0)6，是()f x 图象的一个对称中心C ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴D ．()f x 在ππ(63-，上单调递增第2页共4页7．若定义在R 上的函数()f x 满足：当π||2x ≤时，(sin )2(sin )3sin cos f x f x x x -+=，且(2)()f x f x +=，则36()5f =A ．1225-B ．1225C ．3625-D ．3658．已知函数()f x ，对任意12,(1,)x x ∈+∞且12x x ≠，21121122()()()()x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，且(1)f x +是偶函数，设31(log )2a f =，3(log 4)b f =，13(log 3)c f -=，则a b c ，，的大小关系为A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c<<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023—2024学年山东省青岛市高一上学期(期末)选科测试数学试卷
2023—2024学年山东省青岛市高一上学期(期末)选科测试数学试卷一、单选题1. 函数的定义域为（）A．B．C．D．2. （）A．B．C．D．3. 已知x，y为正实数，则的最小值为（）A．1B．C．2D．4. 人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据边为，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB5. “”是“”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（）A．B．C．D．7. 定义在上的函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．8. 若“，使得”为假命题，则m的最大值为（）A．14B．15C．16D．17二、多选题9. 已知，，则（）A．B．C．D．10. 已知函数，则（）A．点是图象的一个对称B．直线是图象的一条对称轴中心C．在上单调递增D．11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（）A．B．C．是偶函数D．在上单调递增12. 已知函数定义域为R，则（）A．若，，则在上单调递增B．若，，，则是偶函数C．若，，，则是周期函数D．若，，，，则函数在上单调递减三、填空题13. 函数（且）的图象恒过点 __________14. 写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式 _________ ．①的定义域为；②；③当时，．15. 如图，已知是等腰直角三角形，，，在平面内绕点逆时针旋转到，使C，B，在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 _________ ．16. 设函数，若，则的最小值为 _________ ．四、解答题17. 已知集合，．(1)写出的所有子集；(2)若关于的不等式的解集为，，，求的值．18. 如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点．(1)求，的值；(2)求的值．19. 已知函数的最小正周期为2，的一个零点是．(1)求的解析式；(2)当时，的最小值为，求的取值范围．20. 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记．(1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数，（i）证明：；（ii）求的最大值；(2)求四边形面积的最小值．21. 某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射t ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．(1)若注射药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射a ml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．22. 已知函数，．(1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明；(2)若，解关于的不等式；(3)证明：恰有两个零点m，，且．。
2022-2023学年山东省青岛市青岛高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省青岛市青岛高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合和关系的是（ ）{}1,0,1M =-{}220N x x x =+=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出集合N ，再求出即可得答案.M N ⋂【详解】解：，{}{}2202,0N x x x =+==-故，{}0M N = 故选：A 2．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）4sin 5α=αtan αA ．B ．C ．D ．433443-34-【答案】C【分析】先求得，然后求得.cos αtan α【详解】由于，是第二象限的角，4sin 5α=α所以，3cos 5α==-所以.sin tan s 43co ααα==-故选：C3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所22111121222S lr r α===⨯⨯=l 对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.r α故选：A.4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）21log 2a =212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭122c =a b c A ．B ．b c a <<<<b a c C ．D ． a c b << a b c<<【答案】C【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.a b c 【详解】因为，，，221log log 102a=<=221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭12124c <==<所以. a c b <<故选：C.5．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（ ）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1e t I Kt --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）*t *t A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t K I t e--=+()0.95I t K*=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t KI t e --=+ ()()0.23530.951t K I t Ke**--==+()0.235319t e*-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)bay x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)bay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的2y x bx c =-++20x bx c m -++->()00,2x x +m 值为（ ）A ．B ．C ．D ．14-2-1-【答案】C【分析】根据函数只有一个零点可得，又不等式的2y x bx c =-++240b c ∆=+=20x bx c m -++->解集为，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终()00,2x x +可得，联合即可得的值.2444b c m +-=m 【详解】解：函数只有一个零点，则，2y x bx c =-++240b c ∆=+=不等式的解集为，即的解集为.20x bx c m -++->()00,2x x +20x bx c m --+<()00,2x x +设方程的两根为，则，且，20x bx c m --+=12,x x 1212,x x b x x c m +=⋅=-+212x x -=∴，则，整理得，.22212112()()44x x x x x x -=+-=24()4b c m --+=2444b c m +-=1m ∴=-故选：C.二、多选题9．已知幂函数的图象过点，则（ ）()2()22mf x m m x =--1(2,2A ．()3f x x =B ．()1f x x -=C ．函数在上为减函数()f x (,0)-∞D ．函数在上为增函数()f x (0,)+∞【答案】BC【分析】根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A 错误、故选项B 正确.根1(2,2()1f x x -=据幂函数的单调性可判断C 正确、D 错误.()1f x x -=【详解】∵为幂函数，∴，即，()2()22mf x m m x =--2221m m --=2230m m --=∴或，3m =1m =-当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A 错误：3m =()3f x x =(2)8f =1(2,2()3f x x ≠当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B 正确；1m =-()1f x x -=1(2)2f =1(2,2()1f x x -=因为幂函数在上为减函数，故选项C 正确；()1f x x -=(,0)-∞因为幂函数在上为减函数，故选项D 错误.()1f x x -=(0,)+∞故选：BC10．下列各式的值等于1的有（ ）A ．B ．()22sin cos x x-+5πsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()cos 5π-()πcos 2sin 3παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+【答案】AD【分析】根据同角平方关系可判断A ，根据诱导公式可判断BCD.【详解】，选项A 正确；()2222sin cos sin cos 1x x x x -+=+=，选项B 错误；5π3π3πsin sin 4π+sin 1222⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 错误：()()cos 5πcos 6π+πcos π1-=-==-，选项D 正确，()πcos sin 21sin 3πsin αααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-+-故选:AD11．定义在R 上的函数满足：对任意的，有，集合A()f x 12x x ≠()()()1212012f x f x f x x -<=-，}，若“”是“”的充分不必要条件，则集合B 可以是（ ）(){20x x f x =-x A ∈x B ∈A ．B ．{}|0x x <{}|1x x <C ．D ．{}|2x x <{}|3x x <【答案】CD【分析】可先判断出函数在R 上单调递减，结合图象即可得，再由“”是()f x {}|1A x x =<x A ∈“x ∈B ”的充分不必要条件，对应集合是集合的真子集即可求解.A B 【详解】依题意得，函数在R 上单调递减，且图象过点()f x ()1,2()()202x xf x f x ->⇔>在同一坐标系下画出函数与的图象，()y f x =2xy =由图易知不等式的解集为，即，()20x f x ->{}|1x x <{}|1A x x =<因为“”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集．x A ∈A B 可以取满足集合是集合的真子集．{}{}|2,|3B x x B x x =<=<A B 故选：CD.12．若函数对，，不等式成立，则称在()f x ()12,1,x x ∀∈+∞()12x x ≠()()1222121f x f x x x -<-()f x 上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（ ）()1,+∞A ．B ．()21f x x =-+()221f x x x =++C ．D ．()22log f x x x =-()22f x x x x=-+【答案】ACD【解析】令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进2()()g x f x x =-()g x (1,)+∞行判断即可．【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，()f x 1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠122212()()1f x f x x x -<-则，2211221222121212()()()()10()()f x x f x x f x f x x x x x x x ⎡⎤⎣⎡⎤----⎣⎦⎦-=<--+令，因为，则，，且恒成立，2()()g x f x x =-122x x +>1212()()0g x g x x x -<-1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠在上是减函数，2()()g x f x x ∴=-(1,)+∞对于A 选项，，则，对称轴是，开口向下，所以()21f x x =-+22()()12g x f x x x x =--=-+=1x -在递减，故A 正确；()g x (1,)+∞对于B 选项，，则在上单调递增，故B 错；()221f x x x =++2()()21g x f x x x =-=+(1,)+∞对于C 选项，，则在上显然单调递减，故C 正确；()22log f x x x=-22()()log g x f x x x =--=(1,)+∞对于D 选项，，则，因为与在都是减函()22f x x x x =-+22()()g x f x x x x =-=-+y x =-2y x =(1,)+∞数，所以在递减，故D 正确；()g x (1,)+∞故选：ACD【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足122212()()1f x f x x x -<-2()()g x f x x =-上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.()()1212g x g x x x -<-三、填空题13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．【答案】第三象限角【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，则α是第三象限角．【解析】三角函数值的象限符号.14．已知幂函数的图象经过点，则___________．()y f x =(2,4)(2)f -=【答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．【详解】设，则，，即，()af x x =24a=2a =2()f x x =所以．(2)4f -=故答案为：415．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=3log 6a =236b =______________.123ab a b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由题，分别化简的值代入即可.22log 362log 6b ==12,3ab a b +【详解】因为，所以，236b=22log 362log 6b ==所以，66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 22233333332a b=====⨯==所以.1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或 ，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数，()2f x x x =-（1）判断的奇偶性；()f x （2）用定义证明在上为减函数.()f x ()0,∞+【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇()()f x f x -=-()f x函数.(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论12,x x ()0,+∞12x x <的符号即可证明函数在上为减函数.()()12f x f x -()f x()0,+∞试题解析：（1）函数的定义域为，()2f x x x =-{|0}x x ≠又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭∴是奇函数.()f x （2）证明：设是上的任意两数，且，12,x x ()0,+∞12x x <则 ()()12f x f x -=121222x x x x --+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵且，120,0x x >>12x x <∴()2112210x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭即.()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x ()0,+∞点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位xOy Ox αβ圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为，.3545（1）求的值；sin α（2）求.αβ+【答案】（1）；（2）.352π【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出cos αsin βcos β()cos αβ+的值.αβ+【详解】（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，P α35将代入，因为是锐角， ，所以， 35y =221x y +=α0x >45x =43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：，3sin 5α=（2）由，是锐角，可得，3sin 5α=α4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为，β45将代入，因为是锐角， ，可得， 45y =221x y +=β0x >35x =34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，4sin 5β=3cos 5β=所以，()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=因为，，所以，02πα<<02βπ<<0αβ<+<π所以.2παβ+=21．设函数，若实数使得对任意恒成立，求()sin 1f x x x =+,,a b c ()()1af x bf x c +-=x ∈R 的值.cos b ca 【答案】1-【分析】整理得，，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可整理得，()()1af x bf x c +-=，据此，列出方程组，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解方程组，可得答案.22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩【详解】解：，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦即，2sin 2sin 133a x b x c a bππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a bπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为：，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭依题意，对任意恒成立，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩由得：，22cos 0a b c +=cos 1b ca =-故答案为：1-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使()y f x =1x 2x成立，则称该函数为“依赖函数”.()()121f x f x =（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；()sin g x x=（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；()12x f x -=[](),0m n m >mn （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.t R ∈()()24h x t s t x ≥-+-+s 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.()0,14112【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范()()1f m f n =2m n +=0n m >>01m <<m 围即可求出的取值范围；mn （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求443a ≤≤4a >()f x 4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到a 2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭0∆≤，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s 最大值.【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，()sin g x x=R 16x π=()22g x =故不是“依赖函数”.()sin g x x=（2）因为在上递增，故，即，，()12x f x -=[],m n ()() 1f m f n =11221m n --=2m n +=由，故，得，0n m >>20n m m =->>01m <<从而在上单调递增，故.()2mn m m =-()0,1m ∈()0,1mn ∈（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；443a ≤≤()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x ②若，故在上单调递减，4a >()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦从而，解得(舍)或，()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭1a =133a =从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t R ∈()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭即恒成立，2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭由，得.22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭由，可得，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭又在单调递减，故当时，，53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦43x =max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭从而，解得，26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4112s ≤综上，故实数的最大值为.s 4112【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；()a f x ≥()maxa f x ≥()a f x ≤()mina f x ≤② 数形结合( 图象在 上方即可)；()y f x =()y g x =③ 讨论最值或恒成立.()min 0f x ≥()max 0f x ≤。
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数学试卷 2015．1
第I 卷（选择题 共50分）
一选择题
1 为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ） A ．40 B. 30 C. 20 D. 12
2．设集合{}|23,S x x =->{}|8,T x a x a S T R =<<+= ，则a 的取值范围是（ ） (A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a (C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 3. 从装有m 个红球，n 个白球(m ，n ≥2)的袋中任取2个球，则互为对立事件的是( )
A ．至少有1个白球和至多有1个白球
B ．至少有1个白球和至少有1个白球
C ．恰有1个白球与恰有2个白球
D ．至少有1个白球与都是红球 4．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（ ）
A. 15±
B.
±
C. D. 12±
5．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差( )
A.
65 B.6
5
C. 2 D ．2 6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)
的一组数据：
由散点图可知，用水量y y ＝－0.7x ＋a ，则a ＝( )
A ．10.5
B ．5.15
C ．5.2
D ．5.25
7．设函数3y x =与2
12x y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ） A ．(01)，
B ．(12)，
C ．(23)，
D ．(34)，
8．右图是求x 1,x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）
(A)S =S*(n +1)（B ）S =S *x n +1 (C)S =S *n (D)S =S *x n 9、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是 减函数的是（ ）
1
.A y x
=
3.,B y x x R =∈ .,C y x x R =∈ 22,0
.,0x x D y x x ⎧-≥=⎨<⎩
10．已知函数f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)，f(x)是奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2-x+a ，若函数g(x)=f(x)-x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是
A. a ＜0
B. a≤0 C . a≤1 D. a≤0或a=1
第Ⅱ卷（综合题 共100分）
二填空题
11. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积 ___________________
12．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 . 13．如果执行右面的程序框图，输入6,4n m ==，那么
输出的p 等于_____________
14．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点M ，则点M 与A 的距离不小于1且使∠CMD 为锐角的概率是________
15．对任意a ∈[－1,1]，
函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是______________________． 三解答题
16.（本题满分12
分）
（1）计算3log 238616
1
32(log 4)(log 27)log 82log 3--+（2）已知34tan -=α，求α
απααααπ4
42sin cos )2tan(31
cos sin 3)2(sin 4-+--+-+的值
17（本题满分12分）
已知关于x 的方程2x 2-）x+m=0的两根sin cos 02θθθπ∈，，（，），
求 ： (1)1tan sin .tan -θθθ+θθ
tan 1cos -的值；
(2)m 的值； (3)方程的两根及此时θ的值．
18. （本题满分12分）设关于x 的一元二次方程为x 2+2ax+b 2=0，
(1)设a 是0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0，3]中任取的一个数，b 是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
19．（本题满分12分）某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图．
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
20. （本小题满分13分）设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数 （1）求()f x 的最小值()g a 的解析式;
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
21、（本题满分14分）已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且对于任意的实数,x y 有()()()f xy f x f y =+，当1x >时，()0f x >. （1）求证：()f x 在()0,+∞上是增函数
（2）若(2)1f =，对任意的实数t ，不等式22(1)(1)2f t f t kt +--+≤恒成立，求实数k 的取值范围。