苏州市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
江苏省苏州市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）] （其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x（km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n 项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【参考答案】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．∁∪A={x|0＜x＜3}【解析】全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A={x|0＜x＜3}，故答案为：{x|0＜x＜3}．2．12【解析】∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3=12．故答案为：12．3．300【解析】高二年级抽取的人数为60﹣30﹣15=15，则该校高二年级学生人数为1200×=300，故答案为：300．4．【解析】集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，∴基本事件总数N=4×3=12，点P在直线x+y=5上包含的基本事件有：（2，3），（3，2），（4，1），共有M=3个，∴点P在直线x+y=5上的概率为：p==．故答案为：．5．【解析】∵cosθ=﹣，θ∈（，π），∴sinθ==，则cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=•（﹣）+•=，故答案为：．6．5【解析】模拟程序的运行，可得i=0，S=0满足条件S＜10，执行循环体，S=0，i=1满足条件S＜10，执行循环体，S=1，i=2满足条件S＜10，执行循环体，S=3，i=3满足条件S＜10，执行循环体，S=6，i=4满足条件S＜10，执行循环体，S=10，i=5不满足条件S＜10，退出循环，输出i的值为5．故答案为：5．7．【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，∴3a2=﹣3，3a5=6，∴a2=﹣1，a5=2．∴3d=a5﹣a2=2﹣（﹣1）=3，解得d=1，∴a1=a2﹣d=﹣2．则S n=﹣2n+×1=．故答案为：．8．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（x）=﹣（x2+x）=﹣x2﹣x，即当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，分2种情况讨论：①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x2﹣x＞x，即x2﹣2x＞0，解可得x＜0或x＞2，则此时不等式的解集为（2，+∞），②当x＜0时，不等式f（x）＞x为﹣x2﹣x＞x，即x2+2x＜0，解可得﹣2＜x＜0，则此时不等式的解集为（﹣2，0），综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．9．【解析】P（2，4）．由几何概型的概率公式可知==，∴曲边三角形OAP面积约为S正方形OAPB==．故答案为：．10．或【解析】△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sin A=3，所以sin A=，所以A=60°或120°；A=60°时，cos A=，BC===；A=120°时，cos A=﹣，BC==；综上，BC的长是或．故答案为：或．11．﹣3【解析】设z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得A（﹣1，1），代入目标函数z=2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3，∴目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣3．故答案为：﹣3．12．【解析】x，y是正实数，则+=+﹣≥2﹣=．当且仅当x=y时，取得最小值．故答案为：．13．1【解析】以O为原点，以AB为x轴建立坐标系，如图所示：则A（﹣2，0），M（﹣1，），B（2，0），C（0，），∴=（1，），=（﹣2，），∴=﹣2+3=1．故答案为：1．14．7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*【解析】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，可得a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=5，a1+3d+b1q3=2，解得a1=6，b1=1，d=q=﹣1，可得a n+b n=6﹣（n﹣1）+（﹣1）n﹣1=7﹣n+（﹣1）n﹣1，故答案为：7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，可得A=（1，8），函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B，当a=4时，可得B={x|﹣（x+4）（x﹣4﹣2）＞0}={x|﹣4＜x＜6}=（﹣4，6），即有A∩B=（1，6）；（2）A⊆B，且B={x|﹣（x+a）（x﹣a﹣2）＞0}={x|﹣a＜x＜a+2}，可得﹣a≤1，且8≤a+2，且a＞0，即有a≥6，则正实数a的取值范围为[6，+∞）．16．解：∵=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），∴f（x）=•=（2cos x，sin x）•（3cos x，﹣2cos x）==6×==．（1）函数f（x）的最小正周期为T=；（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣]，则sin（2x﹣）∈[﹣]．∴f（x）的值域为[，6]．17．解：（1）=（1，﹣3），=（3，2）．==．由平行四边形的性质可得：=，可得=+=（6，3）．∴=（7，1），可得：==5．（2）C（a，b），且，∴=+（3，1）=（a+3，b+1）．∴=（a+4，b﹣1）．=（a﹣2，b﹣4）．∴=（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4=（a+1）2+﹣≥，当且仅当a=﹣1，b=时取等号．18．解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，∴S△AMP==8﹣x，S△DMN==4，S△NCQ==8﹣2y，S△BPQ=，∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），∴8﹣x+4+8﹣2y+xy=4×8﹣15=17，∴y==．令0＜y＜4，即0＜＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．（2）由题意可知0＜x＜3，∴x+y=x+=x+2﹣，令f（x）=x+2﹣，则f′（x）=1﹣，令f′（x）=0得x=4﹣，∴当0＜x时．f′（x）＞0，当4﹣＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，4﹣）上单调递增，在（4﹣，3）上单调递减，∴当x=4﹣时，f（x）取得最大值6﹣2．∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2）=40000（3﹣）km．19．解：（1）∵（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，∴[（n+1）a n+1﹣na n]（a n+1+a n）=0，又a n+1+a n＞0．∴（n+1）a n+1﹣na n=0，解得=．∴a n=••…••a1=••…•×1=．∴a n=．∵数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．n=1时，b1=S1=1﹣b1，解得b1=．∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为．∴b n=．（2）①c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=++…+．∴=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，可得：S n=2﹣．②假设存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列，则2c3=c2+c m，∴=+，化为：2m﹣2=m．m=4时，满足：2m﹣2=m．m≥5时，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m=1++++…﹣m=1+m﹣2+++…﹣m=++…﹣1＞0．∴m≥5时，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m无解．综上只有m=4时，满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列．20．解：（1）当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[﹣1，]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=∈（，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[，1]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，即有f（a）取得最小值，且为2a．综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．（3）当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=当a∈[0，2]知a﹣=≤0，可得x＜a为增函数；当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=，当a∈[0，2]知a﹣=＞0，可得x≥a为增函数；则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．当a∈[2，4]时，a＞+1＞﹣1，∴y=f（x）在（﹣∞，+1）上单调增，在（+1，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增，∴当f（a）＜tf（a）＜f（+1）时，关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；即2a＜t•2a＜（+1）2，∵a∈[2，4]，∴1＜t＜（1++），设h（a）=（1++），∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证h（a）=（1++）在[2，4]上单调增，∴h（a）max=h（4）=，∴1＜t＜．。
江苏省苏州市2016-2017高一下学期数学期末试卷含答案
2016～2017学年第二学期苏州市高一期末调研测试数 学2017．6注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 6．样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知全集{0}U x x =>，{3}A x x =≥，则UA = ．2． 若数据128,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为3，则数据1282,2,,2x x x ⋅⋅⋅的方差为 ．3．某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人. 则该校高二年级学生人数为 ． 4．集合{1,2,3,4}A =，{1,2,3}B =，点P 的坐标为(),m n ，m A ∈，n B ∈，则点P 在直线5x y +=上的概率为 ．5． 已知3cos 5θ=-，,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，则cos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π ．6． 算法流程图如右图所示，则输出的结果是 ． 7． 已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，4566a a a ++=，则8S = ．8． 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，则不等式()f x x >的解(第6题图)(第9题图)集用区间表示为 ．9．如图，为了探求曲线2y x =，2x =与x 轴围成的曲边三角形OAP 的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB 内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP 面积为 ．10．ABC ∆中，3,4AB AC ==,若ABC ∆的面积为BC 的长是 ．11．若点(),x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内（含边界），则2x y -的最小值为 ．12．已知,x y 是正实数，则223y x x yx y--+的最小值为 ． 13. 如图，等腰梯形AMNB 内接于半圆O ，直径4AB =，2MN =，MN 的中点为C ，则AM BC ⋅的值为 ．14．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足117a b +=， 224a b +=，335a b +=，442a b +=，则n n a b += ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2x y =(03x <<)的值域为A ，函数[]lg ()(2)y x a x a =-+-- (其中0a >)的定义域为B ．（1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆，求正实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知向量a ()2cos x x =，b ()3cos ,2cos x x =-，设函数()f x =a ⋅b ． （1）求()f x 的最小正周期；(第13题图)（2）若0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，求()f x 的值域．17．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，()2,4A ，()1,2B -，,C D 为动点． （1）若()3,1C ，求平行四边形ABCD 的两条对角线的长度； （2）若(,)C a b ，且()3,1CD =，求AC BD ⋅取得最小值时,a b 的值．18．（本小题满分16分）某生态公园的平面图呈长方形(如图)，已知生态公园的长AB =8(km)，宽AD =4(km)，M ，N 分别为长方形ABCD 边AD ，DC 的中点，P ，Q 为长方形ABCD 边AB ，BC (不含端点)上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P -Q -N -M -P ，要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km 2)，设BP =x (km)，BQ =y (km)，（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）若B 为公园入口，P ，Q 为观光车站，观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B 入口至观光车站P ，Q 乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P ，Q 的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（本小题满分16分）已知正项数列{}n a 满足11a =，()221110n n n n n a a a na ++++-=，数列{}n b 的前n 项和为n S 且1n n S b =-.PQCNMBD A(第18题图)（1）求{}n a 和{}n b 的通项； （2）令nn nb c a =， ①求{}n c 的前n 项和n T ；②是否存在正整数m 满足3m >，23,,m c c c 成等差数列？若存在，请求出m ；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数()()2f x x x a x a =-+∈R （1）当4a =时，解不等式()8f x ≥；（2）当[]0,4a ∈时，求()f x 在区间[]3,4上的最小值；（3）若存在[]0,4a ∈，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2016～2017学年苏州市高一期末调研测试数学参考答案 2017．6一、填空题：1．()0,3 2．12 3．300 4．14 5．3106．5 7．12 8．()2,0(2,)-+∞9．8310 11 3- 12．4313．1 14．()171n n --+- 二、解答题： 15．（本小题满分14分）解：（1）{}|18A x x =<<， ……3分 当4a =时，{}{}2|224046B x x x x x =--<=-<<， ……5分{}|16A B x x ∴=<<． ……8分（2）0a >,{}{}()(2)02B x x a x a x a x a ∴=+--<=-<<+， ……10分1,28a A B a -⎧⊆∴⎨+⎩≥，解得6;a ≥ ……13分 当A B ⊆，实数a 的取值范围是[6,)+∞． ……14分16．（本小题满分14分）（1）2()6cos cos f x x b x a x ⋅==- ……2分1+cos2622xx =⨯……4分=3cos223x x +=)36x ++． ……6分∴()f x 的最小正周期为22T ==ππ， ……8分 （2）0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴72666x +πππ， ……10分 ∴1-3cos(2)6x +π ……12分∴()f x 值域为[3- ……14分17．（本小题满分14分） （1）()2,4A ，()3,1C ，∴()1,3AC =-，10AC =……2分又ABCD 是平行四边形∴AB CD =，()3,2AB =--， 设(),D x y ，又()3,1DC x y =--，所以63x y =⎧⎨=⎩即()6,3D =， ……5分 ()7,1BD =，故52BD =． ……7分（2）(),C a b ，则()3,1D a b ++，∴()2,4AC a b =--，()4,1BD a b =+-，……9分()2222545452541244AC BD a a b b a b ⎛⎫⋅=++--=++--≥- ⎪⎝⎭， ……12分当且仅当51,2a b =-=时AC BD ⋅的最小值为454-． ……14分18．（本小题满分16分） 解：（1）长方形ABCD 中，AB =8，AD =4，M 、N 分别为AD 、DC 的中点，且BP =x ，BQ =y ．∴AP =8-x ，CQ =4-y ． ……1分 则4CMN S ∆= ，2(4)CNQ S y ∆=- ，8AMP S x ∆=- ，12BPQ S xy ∆=． ∴PQMN ABCD =()CMN CNQ AMP BPQ S S S S S S ∆∆∆∆-+++四边形长方形．=1122152x y xy ++-=． ……4分 ∴2(3)4x y x -=-． ……5分又0804x y <<⎧⎨<<⎩，解得：03x <<或58x <<． …… 8分 （2）设游客步行距离之和为l （万千米）． 则l x y =+=2(3)4x x x -+-=26[(4)]4x x--+-． ……11分观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧，∴03x <<，即144x <-<．由基本不等式：2(4)4x x-+-≥4x =． ……13分∴当4x =-2y =max 6l =- ……15分答：应选定P 离入口B 为4km )处，选定Q 离入口B 为2(km )处可使游客步行距离之和最大，最大值为6- ……16分 19．（本小题满分16分）解析：（1）由()221110n n n n n a a a na ++++-=可以得到()()1110n n n n n a na a a +++-+=⎡⎤⎣⎦，10n n a a ++>，∴()110n n n a na ++-=，∴()11n n n a na ++=， ……2分即()1111n n n a na a ++====，∴{}n a 的通项为1n a n=. ……4分 由1n n S a =-可以得到111b b =-也就是112b =且111n n S b ++=-，因此11n n n b b b ++=-，即为112n n b b +=，{}n b 为等比数列，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……6分（2）①12n n n n b c n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，211112222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……8分()211111112222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111122222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ……11分②由题设有313322284m c c =+=⨯=， 所以14m c =， ……12分 当3k ≥时，()1111122kk k k c c k k --⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111122k k k k -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10k k c c --<，所以当3k ≥时，{}k c 为减数列， ……15分又414c =，所以4m =． 所以存在正整数4m =此时234,,c c c 成等差数列 ……16分20．（本小题满分16分）（1）当4a =时，不等式可化为428x x x -+≥．若4x ≥，则2280x x --≥，∴4x ≥； ……2分 若4x <，则2680x x -+，∴24x <． ……4分 综上，不等式解集为[)2,+∞． ……5分（2）2222222222(2)()(2)2222a a x x ax a xx a f x x a xx a a a x x a⎧--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎧--⎪⎝⎭⎝⎭==⎨⎨-++<++⎩⎛⎫⎛⎫⎪--+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩≥≥ ……7分下面比较22,,22a a a -+的大小： ∵[]0,4a ∈， ∴当[]0,2a ∈时，22022a a a ----=<，22022a aa +--=≥∴()f x 在R ∴()f x a ．……9分当(2,4a ∈a -=∴f 为减函数， 若34a <，则()f x 在区间[]3,4上的最小值为()2f a a =． ……12分（3）由（2）知当[]0,2a ∈时，如图1，关于x 的方程()()f x tf a =不可能有3个不相等的实数根． ……13分当(]2,4a ∈时，要存在a ，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，则2()()2a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭有解，∴()max2()2124()a f t a f a +⎛⎫⎪<<< ⎪ ⎪⎝⎭ ……14分x2()142(4)()8a f a f a a+=++，且函数4y a a =+在区间(]2,4上为增函数（不证明单调性扣1分）∴max2()92()8a f f a +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，∴918t <<． ……16分。
江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题解析版
江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期学业质量阳光指标调研试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，，则__________．【答案】【解析】分析：根据交集的定义，即可求出.详解：集合，，.故答案为.点睛：本题考查了交集运算问题，属于基础题.2. 一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于__________．【答案】2【解析】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．考点：方差．3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有__________辆．【答案】80【解析】试题分析：时速在区间内的汽车有考点：频率分布直方图4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于__________．【答案】【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率. 详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为.故答案为.点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5. 设向量，，．若，则实数的值是__________．【答案】4【解析】试题分析：由题意得考点：向量平行6. 如右图所示的算法流程图中，最后的输出值为__________．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下故不成立时，.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为__________尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）【答案】【解析】，分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.详解：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.8. 如图所示，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点，，，均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则__________．【答案】12【解析】分析：设水平向右和竖直向上的单位向量分别为和，用和表示和，再根据公式计算，即可求出答案.详解：设水平向右和竖直向上的单位向量和，则和由图可知，，.故答案为12.点睛：本题考查向量运算在几何中的应用，向量的数量积以及向量的正交分解，考查计算能力以及转化思想，属于中档题.9. 已知角的终边上一点的坐标为，则的值为__________．【答案】【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为，求出的值，利用，将的值代入即可得结果.详解：角的终边上的一点的坐标为，，那么，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.10. 已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且角，，成等差数列，则的值为__________．【答案】1【解析】分析：由角，，成等差数列，可得，由余弦定理，整理可得：，再将通分化简，即可就得答案.详解：角，，成等差数列，，，由由余弦定理，整理可得：故答案为1.点睛：本题考查了余弦定理和等差数列的性质，属于基本知识的考查.11. 已知关于的方程在上有3个相异实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：将方程问题转换为函数与的图象在上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：方程在上有3个相异实根，函数与的图象在上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点，联立，整理得，，即，解得实数的取值范围为故答案为点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.12. 已知，，且，则的最小值等于__________．【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：，，，，，，当且仅当时取等号..的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.13. 将关于的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列，其，，构成等比数列，则__________．【答案】【解析】分析：根据三角函数图像与性质，建立关于，，的方程组，即可求出的值.详解：方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，，构成等比数列，解得故答案为点评：本题综合考查方程的根与两个函数图象交点的关系，三角函数的图象与性质，等比数列的性质，考查转化思想、数形结合思想和分析解决问题的能力。
2017学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷及参考答案
2016-2017学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a ﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（2cosx，sinx），=（3cosx，﹣2cosx），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N ﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x （km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2016-2017学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=∁∪A={x|0＜x＜3} ．A={x|0＜x＜3}，【解答】解：全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪故答案为：{x|0＜x＜3}．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为12．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3=12．故答案为：12．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为300．【解答】解：高二年级抽取的人数为60﹣30﹣15=15，则该校高二年级学生人数为1200×=300，故答案为：300．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m ∈A，n∈B，∴基本事件总数N=4×3=12，点P在直线x+y=5上包含的基本事件有：（2，3），（3，2），（4，1），共有M=3个，∴点P在直线x+y=5上的概率为：p==．故答案为：．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．【解答】解：∵cosθ=﹣，θ∈（，π），∴sinθ==，则cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=•（﹣）+•=，故答案为：．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是5．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，S=0满足条件S＜10，执行循环体，S=0，i=1满足条件S＜10，执行循环体，S=1，i=2满足条件S＜10，执行循环体，S=3，i=3满足条件S＜10，执行循环体，S=6，i=4满足条件S＜10，执行循环体，S=10，i=5不满足条件S＜10，退出循环，输出i的值为5．故答案为：5．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，∴3a2=﹣3，3a5=6，∴a2=﹣1，a5=2．∴3d=a5﹣a2=2﹣（﹣1）=3，解得d=1，∴a1=a2﹣d=﹣2．则S n=﹣2n+×1=．故答案为：．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（x）=﹣（x2+x）=﹣x2﹣x，即当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，分2种情况讨论：①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x2﹣x＞x，即x2﹣2x＞0，解可得x＜0或x＞2，则此时不等式的解集为（2，+∞），②当x＜0时，不等式f（x）＞x为﹣x2﹣x＞x，即x2+2x＜0，解可得﹣2＜x＜0，则此时不等式的解集为（﹣2，0），综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．【解答】解：P（2，4）．由几何概型的概率公式可知==，==．∴曲边三角形OAP面积约为S正方形OAPB故答案为：．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是或．【解答】解：△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°或120°；A=60°时，cosA=，BC===；A=120°时，cosA=﹣，BC==；综上，BC的长是或．故答案为：或．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：设z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得A（﹣1，1），代入目标函数z=2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3，∴目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．【解答】解：x，y是正实数，则+=+﹣≥2﹣=．当且仅当x=y时，取得最小值．故答案为：．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为1．【解答】解：以O为原点，以AB为x轴建立坐标系，如图所示：则A（﹣2，0），M（﹣1，），B（2，0），C（0，），∴=（1，），=（﹣2，），∴=﹣2+3=1．故答案为：1．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，可得a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=5，a1+3d+b1q3=2，解得a1=6，b1=1，d=q=﹣1，可得a n+b n=6﹣（n﹣1）+（﹣1）n﹣1=7﹣n+（﹣1）n﹣1，故答案为：7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a ﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，可得A=（1，8），函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B，当a=4时，可得B={x|﹣（x+4）（x﹣4﹣2）＞0}={x|﹣4＜x＜6}=（﹣4，6），即有A∩B=（1，6）；（2）A⊆B，且B={x|﹣（x+a）（x﹣a﹣2）＞0}={x|﹣a＜x＜a+2}，可得﹣a≤1，且8≤a+2，且a＞0，即有a≥6，则正实数a的取值范围为[6，+∞）．16．（14分）已知向量=（2cosx，sinx），=（3cosx，﹣2cosx），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．【解答】解：∵=（2cosx，sinx），=（3cosx，﹣2cosx），∴f（x）=•=（2cosx，sinx）•（3cosx，﹣2cosx）==6×==．（1）函数f（x）的最小正周期为T=；（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣]，则sin（2x﹣）∈[﹣]．∴f（x）的值域为[，6]．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．【解答】解：（1）=（1，﹣3），=（3，2）．==．由平行四边形的性质可得：=，可得=+=（6，3）．∴=（7，1），可得：==5．（2）C（a，b），且，∴=+（3，1）=（a+3，b+1）．∴=（a+4，b﹣1）．=（a﹣2，b﹣4）．∴=（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4=（a+1）2+﹣≥，当且仅当a=﹣1，b=时取等号．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x （km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．【解答】解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，==8﹣x，S△DMN==4，S△NCQ==8﹣2y，S ∴S△AMP=，△BPQ∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），∴8﹣x+4+8﹣2y+xy=4×8﹣15=17，∴y==．令0＜y＜4，即0＜＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．（2）由题意可知0＜x＜3，∴x+y=x+=x+2﹣，令f（x）=x+2﹣，则f′（x）=1﹣，令f′（x）=0得x=4﹣，∴当0＜x时．f′（x）＞0，当4﹣＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，4﹣）上单调递增，在（4﹣，3）上单调递减，∴当x=4﹣时，f（x）取得最大值6﹣2．∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2）=40000（3﹣）km．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，∴[（n+1）a n+1﹣na n]（a n+1+a n）=0，又a n +1+a n＞0．∴（n+1）a n+1﹣na n=0，解得=．∴a n=••…••a1=••…•×1=．∴a n=．∵数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．n=1时，b1=S1=1﹣b1，解得b1=．∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为．∴b n=．（2）①c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=++…+．∴=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，可得：S n=2﹣．②假设存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列，则2c3=c2+c m，∴=+，化为：2m﹣2=m．m=4时，满足：2m﹣2=m．m≥5时，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m=1++++…﹣m=1+m﹣2+++…﹣m=++…﹣1＞0．∴m≥5时，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m无解．综上只有m=4时，满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[﹣1，]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=∈（，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[，1]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，即有f（a）取得最小值，且为2a．综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．（3）当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=当a∈[0，2]知a ﹣=≤0，可得x＜a为增函数；当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=，当a∈[0，2]知a ﹣=＞0，可得x≥a为增函数；则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．当a∈[2，4]时，a ＞+1＞﹣1，∴y=f（x ）在（﹣∞，+1）上单调增，在（+1，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增，∴当f（a）＜tf（a）＜f （+1）时，关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；即2a＜t•2a ＜（+1）2，∵a∈[2，4]，∴1＜t ＜（1++），设h（a）=（1++），∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证h（a）=（1++）在[2，4]上单调增，∴h（a）max=h（4）=，∴1＜t ＜．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
〖数学期末〗2017-2018学年高一下期末考试数学试题含答案
2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ．2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3. ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C.37．378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy = ． 15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()2(3)(2)44cos a a b bb b θ-⋅⨯-+-⨯===- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-= ()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=， 解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷及参考答案与解析
,2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝.2.(5分)函数y＝lg(2﹣x)的定义域是.3.(5分)若α＝240°，则sin(150°﹣α)的值等于.4.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣2，4)，则sinα﹣cosα的值等于.5.(5分)已知向量＝(m，5)，＝(4，n)，＝(7，6)，则m+n的值为.6.(5分)已知函数f(x)＝，则f(f(2))的值为.7.(5分)《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为平方米.8.(5分)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)﹣2的零点个数为.9.(5分)已知函数f(x)＝x2+ax+2(a＞0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则函数y ＝f(x)(x∈[﹣2，1])的值域为.10.(5分)已知函数f(x)＝x2+2x﹣m•2﹣x是定义在R上的偶函数，则实数m的值等于.11.(5分)如图，在梯形ABCD中，＝2，P为线段CD上一点，且＝3，E为BC的中点，若＝λ1+λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1+λ2的值为.12.(5分)已知tan()＝2，则sin(2)的值等于.13.(5分)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图象，若函数y＝f(x)在区间(0，)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为.14.(5分)已知x，y为非零实数，θ∈()，且同时满足：①＝，②＝，则cosθ的值等于.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}.(1)若m＝3，求∁U B和A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.16.(14分)已知函数f(x)＝a+的图象过点(1，).(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若，求实数x的取值范围.17.(14分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；(2)若AC＝AB，cos，＝，求||.18.(16分)某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ.(1)若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.19.(16分)已知＝(2cosx，1)，＝(sinx+cosx，﹣1)，函数f(x)＝.(1)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[]，求cos2x0的值；(3)若函数y＝f(ωx)在区间()上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.20.(16分)已知函数f(x)＝x|x﹣a|+bx(a，b∈R).(1)当b＝﹣1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值；(2)当b＝1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有，求a的取值范围；②若a＞0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a).,2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝{0，2} .【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}.故答案为：{0，2}.2.(5分)函数y＝lg(2﹣x)的定义域是(﹣∞，2).【解答】解：由2﹣x＞0，得x＜2.∴函数y＝lg(2﹣x)的定义域是(﹣∞，2).故答案为：(﹣∞，2).3.(5分)若α＝240°，则sin(150°﹣α)的值等于﹣1.【解答】解：∵α＝240°，则sin(150°﹣α)＝sin(﹣90°)＝﹣sin90°＝﹣1，故答案为：﹣1.4.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣2，4)，则sinα﹣cosα的值等于.【解答】解：∵角α的终边经过点P(﹣2，4)，∴x＝﹣2，y＝4，r＝|OP|＝2，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，则sinα﹣cosα＝，故答案为：.5.(5分)已知向量＝(m，5)，＝(4，n)，＝(7，6)，则m+n的值为8.【解答】解：∵向量＝(m，5)，＝(4，n)，＝(7，6)，∴，即(7，6)＝(4﹣m，n﹣5)，∴，解得m＝﹣3，n＝11，∴m+n＝8.故答案为：8.6.(5分)已知函数f(x)＝，则f(f(2))的值为2.【解答】解：∵函数f(x)＝，∴f(2)＝＝1，f(f(2))＝f(1)＝2e1﹣1＝2.故答案为：2.7.(5分)《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为120平方米.【解答】解：由题意可得：弧长l＝20，半径r＝12，扇形面积S＝lr＝×20×12＝120(平方米)，故答案为：120.8.(5分)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)﹣2的零点个数为2.【解答】解：根据题意，函数f(x)＝，g(x)＝f(x)﹣2＝0，即f(x)＝2，当x≤1时，f(x)＝3﹣2x＝2，解可得x＝，即是函数g(x)的1个零点；当x＞1时，f(x)＝x2＝2，解可得x＝或﹣(舍)，即是函数g(x)的1个零点；综合可得：函数g(x)共有2个零点，即和；故答案为：2.9.(5分)已知函数f(x)＝x2+ax+2(a＞0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则函数y ＝f(x)(x∈[﹣2，1])的值域为[，4] .【解答】解：∵数f(x)＝x2+ax+2(a＞0)的开口向上，∴f(x)＝x2+ax+2(a＞0)在区间[0，2]上的最大值为max{f(0，f(2)}，∵f(0)＝2，f(2)＝6+2a，且f(x)区间[0，2]上的最大值等于8，∴f(2)＝6+2a＝8，解得a＝1，∴f(x)＝x2+x+2＝(x+)2+，当x＝﹣时，f(x)有最小值，最小值为，当x＝﹣2时，f(x)有最大值，最小值为4，∴函数y＝f(x)(x∈[﹣2，1])的值域为[，4]，故答案为：[[，4].10.(5分)已知函数f(x)＝x2+2x﹣m•2﹣x是定义在R上的偶函数，则实数m的值等于﹣1.【解答】解：函数f(x)＝x2+2x﹣m•2﹣x是定义在R上的偶函数，可得f(﹣x)＝f(x)，即为x2+2﹣x﹣m•2x＝x2+2x﹣m•2﹣x，即有(m+1)(2x﹣2﹣x)＝0，由x∈R，可得m+1＝0，即m＝﹣1，故答案为：﹣1.11.(5分)如图，在梯形ABCD中，＝2，P为线段CD上一点，且＝3，E为BC的中点，若＝λ1+λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1+λ2的值为.【解答】解：＝＝＝﹣.∴，λ1+λ2＝.故答案为：.12.(5分)已知tan()＝2，则sin(2)的值等于.【解答】解：由tan()＝2，得，即，解得tanα＝﹣3.∴sin(2)＝sin2αcos cos2αsin＝＝＝＝.故答案为：.13.(5分)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图象，若函数y＝f(x)在区间(0，)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为(，] .【解答】解：将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin(x+)的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)＝sin(ωx+)的图象，若函数y＝f(x)在区间(0，)上有且仅有一个零点，∵ω•0+＝，∴ω•+∈( π，2π]，∴ω∈(，]，故答案为：(，].14.(5分)已知x，y为非零实数，θ∈()，且同时满足：①＝，②＝，则cosθ的值等于.【解答】解：由＝，得，由＝，得，即，则，即，解得tanθ＝3或tanθ＝.∵θ∈()，∴tanθ＝3.联立，解得cosθ＝.故答案为：.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}.(1)若m＝3，求∁U B和A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)当m＝3时，B＝{x|3≤x≤5}，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，…(2分)∴C U B＝{x|x＜3或x＞5}，…(4分)A∪B＝{x|0≤x≤5}.…(6分)(2)∵集合A{x|0≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m+2}，B⊆A，∴，…(8分)解得0≤m≤2.∴实数m的取值范围[0，2].…(10分)(3)∵集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m+2}.A∩B＝∅，∴m+2＜0或m＞4，…(12分)解得m＜﹣2或m＞4.∴实数m的取值范围(﹣∞，﹣2)∪(4，+∞).…(14分) 16.(14分)已知函数f(x)＝a+的图象过点(1，).(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若，求实数x的取值范围.【解答】解：(1)因为f(x)的图象过点(1，)，所以a+＝﹣，解得a＝﹣，所以f(x)＝﹣＝，f(x)的定义域为R.因为f(﹣x)＝＝＝﹣f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)因为，所以﹣≤﹣≤0，即≤≤，可得2≤4x+1≤3，即1≤4x≤2，解得0≤x≤.17.(14分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；(2)若AC＝AB，cos，＝，求||.【解答】解：(1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°.又AD＝2AB，所以AD＝2BC，因为E是CD的中点，所以：＝，＝.又，所以，＝.＝，＝11.(2)因为AB＝AC，AB＝2，所以：AC＝2.因为：，所以：.所以：.又＝4.所以：.所以：＝.故：.18.(16分)某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ.(1)若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.【解答】(本题满分为14分)解：(1)在Rt△PON中，PN＝200sinθ，ON＝200cosθ，在Rt△OQM中，QM＝PN＝200sinθ，…(2分)OM＝＝＝，所以MN＝0N﹣OM＝200cosθ﹣，…(4分)因为矩形MNPQ是正方形，∴MN＝PN，所以200cosθ﹣＝200sinθ，…(6分)所以(200+)sinθ＝200cosθ，所以tanθ＝＝＝. …(8分)(2)因为∠POM＝θ，所以∠POQ＝60°﹣θ，∴PS+PT＝200sinθ+200sin(60°﹣θ)＝200(sinθ+cosθsinθ) …(10分)＝200(sinθ+cosθ)＝200sin(θ+60°)，0°＜θ＜60°. …(12分)所以θ+60°＝90°，即θ＝30°时，PS+PT最大，此时P是的中点. …(14分)19.(16分)已知＝(2cosx，1)，＝(sinx+cosx，﹣1)，函数f(x)＝.(1)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[]，求cos2x0的值；(3)若函数y＝f(ωx)在区间()上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【解答】解：(1)f(x)＝＝2cosx(sinx+cosx)﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin(2x+)因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，所以≤2sin(2x+)≤1，所以f(x)max＝2，f(x)min＝1.(2)因为f(x0)＝，所以2sin(2x0+)＝，所以sin(2x0+)＝，因为x0∈[]，所以≤2x0+≤，所以cos(2x0+)＝﹣＝﹣，所以cos2x0＝cos[(2x0+)﹣]＝cos(2x0+)+sin(2x0+)＝×(﹣)+×＝.(3)f(ωx)＝sin(2ωx+)令2kπ≤2ωx+≤2kπ+，k∈Z，得﹣≤x≤+，因为函数函数y＝f(ωx)在区间()上是单调递增函数，所以存在k0∈Z，使得()⊆(﹣，+)所以有即，因为ω＞0所以k0＞﹣又因为﹣≤﹣，所以0＜ω≤，所以k0，从而有﹣＜k0≤，所以k0＝0，所以0＜ω≤.20.(16分)已知函数f(x)＝x|x﹣a|+bx(a，b∈R).(1)当b＝﹣1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值；(2)当b＝1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有，求a的取值范围；②若a＞0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a).【解答】解：(1)当b＝﹣1时，f(x)＝x|x﹣a|﹣x＝x(|x﹣a|﹣1)，由f(x)＝0，解得x＝0或|x﹣a|＝1，由|x﹣a|＝1，解得x＝a+1或x＝a﹣1.∵f(x)恰有两个不同的零点且a+1≠a﹣1，∴a+1＝0或a﹣1＝0，得a＝±1；(2)当b＝1时，f(x)＝x|x﹣a|+x，①∵对于任意x∈[1，3]，恒有，即，即|x﹣a|，∵x∈[1，3]时，，∴，即恒有，令t＝，当x∈[1，3]时，t∈[]，x＝t2﹣1.∴，∴，综上，a的取值范围是[0，]；②＝.当0＜a≤1时，，，这时y＝f(x)在[0，2]上单调递增，此时g(a)＝f(2)＝6﹣2a；当1＜a＜2时，0＜＜a＜2，f＝f(x)在[0，]上单调递增，在[，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，∴g(a)＝max{f()，f(2)}，，f(2)＝6﹣2a，而，当1＜a＜时，g(a)＝f(2)＝6﹣2a；当≤a＜2时，g(a)＝f()＝；当2≤a＜3时，＜2≤a，这时y＝f(x)在[0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，此时g(a)＝f()＝；当a≥3时，≥2，y＝f(x)在[0，2]上单调递增，此时g(a)＝f(2)＝2a﹣2.综上所述，x∈[0，2]时，.。
2017-2018年高一下学期期末考试数学试题及答案
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１ ７
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的
一
个
通
项
公
式an
＝
A．(－１)n ２n１＋１
B．(－１)n＋１２n１－１
C．(－１)n ２n１－３
４．已知向量a,b 满足|a|＝１,a⊥(２a＋b),则a������b＝
D．(－１)n＋１２n１＋３
A．２
B．０
C．－２
D．－４
５．在等差数列{an}中,a１＋２a３＋a５＝１２,则３a４－a６ 的值为
算 步 骤 ．)
１９．(本 小 题 满 分 １３ 分 )
已 知 向 量a＝ (３,－１),b＝ (１ ２ ,２３)．
(Ⅰ)求‹a,b›;
(Ⅱ)求(a＋b)������b 的值;
(Ⅲ )求|２a＋３b|的 值 ．
２０．(本 小 题 满 分 １３ 分 )
在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足２caos－Bb＝cocsC．
２ 分 ,有 选 错 的 得 ０ 分 ．)
１．在平行四边形 ABCD 中,A→B＋D→A－C→B等于
A．B→C
B．D→C
C．B→A
D．A→C
２．设 ０＜a＜b＜１,c∈R,则 下 列 不 等 式 成 立 的 是
A．a３＞b３
B．a１ ＜b１
C．ac＞bc
D．(a－b)c２≤０
３．数
列
１,－
１ ３
,１ ５
(Ⅰ)求角 C 的值;
(Ⅱ)若
sin(θ＋C)＝
４(π ５６
＜θ＜２３π),求
cosθ
的值
．
高 一 数 学 试 题 第 ３ 页 (共 ４ 页 )
江苏省重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标检测数学试题含解析
江苏省重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若4a c C π===，则角A 的大小为（ ） A ．4π或34π B ．3π或23π C ．3π D ．4π 【答案】B【解析】【分析】通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.【详解】sin 4π=，sin A =，∵c a <， ∴A 为锐角或钝角，∴3A π=或23π．故选B ． 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍. 2．数列{}n a 满足“对任意正整数n ，都有312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列C ．2{}n a 是等差数列D ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等 【答案】D【解析】【分析】将312n n n n a a a a ++++=+变形为422n n n n a a a a +++-=-和5331n n n n a a a a ++++-=-，根据等差数列的定义即可得出21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等，反过来，利用等差数列的定义得到312n n n n a a a a +++-=-，变形即可得出312n n n n a a a a ++++=+，从而得到“312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”.【详解】由312n n n n a a a a ++++=+故 “312n n n n a a a a ++++=+”是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”的充分条件反之，21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等必有312n n n n a a a a +++-=-成立变形得：312n n n n a a a a ++++=+故“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”是“312n n n n a a a a ++++=+”的必要条件综上，“312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的判断，考查了充分必要条件的判断，属于中等题.3．在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =（ ） A．B．CD．【答案】A【解析】【分析】先求出45,A =再利用正弦定理求解即可.【详解】 30B =︒，105C =︒，45A ∴=， 由正弦定理可得4sin 45sin 30b =，解得142b ⨯== 故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.4．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B=A∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C【答案】B由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可．【详解】由题B ⊆A ，∵A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊆C ，则B 不一定等于A∩C ，A 不一定是C 的真子集，三集合不一定相等，故选：B ．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题5．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ）A B C ．5-D ． 【答案】B【解析】由三角函数的定义知，x ＝－1，y ＝2，r ∴sin α＝y r . 6．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a--的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．4433⎡--+⎢⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6633⎡-⎢⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y b k x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=， P ∴在圆()2211x y -+=上， (),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上， 则PQ y b k x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+， 则2211343411k m k k m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，2222111k mk k k ++==++，化为23830k k ++=，47k -±= 即4747AB CD k k ---+==， 474733PQ y b k x a ---+∴≤=≤-， y b x a --的取值范围474733⎡---⎢，故选B.本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.7．已知实数,x y 满足约束条件12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为( )A ．3-B ．1-C ．1D ．5【答案】A【解析】【分析】 作出不等式组12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：先作出不等式组12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，如图所示，由图可知目标函数2z x y =-所对应的直线过点()1,2M 时目标函数2z x y =-取最小值，则min 1223z =-⨯=-，故选：A.本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.8．函数ln x y x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】利用函数的性质逐个排除即可求解.【详解】函数ln x y x=的定义域为{}0x R x ∈≠，故排除A 、B. 令()ln x y f x x== 又()()ln ln x x f x f x x x--==-=--，即函数为奇函数， 所以函数的图像关于原点对称，排除D故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题.9．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A ．2800B ．3000C ．3200D ．3400先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2200090009÷=， 高二年级交稿数占总交稿数的14423605=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545--=，所以高三年级交稿数为179000340045⨯=． 故选D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：显然y 与x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为 ( ) A ．ˆ0.7 5.25y x =+ B ．ˆ0.6 5.25y x =-+ C ．ˆ0.7 6.25yx =-+ D ．ˆ0.7 5.25yx =-+ 【答案】D【解析】【分析】 求出样本数据的中心57(,)22，代入选项可得D 是正确的.【详解】 12345 4.543 2.57,4242x y ++++++====，所以这组数据的中心为57(,)22， 对选项逐个验证，可知只有ˆ0.7 5.25yx =-+过样本点中心. 【点睛】本题没有提供最小二乘法的公式，所以试题的意图不是考查公式计算，而是要考查回归直线过样本点中心这一概念.11．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立．在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立； 在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项.【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．12．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ）A ．45B ．34C ．18D ．7 【答案】B【解析】【分析】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值.【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =， 即2cos b C c =，即222b a bc c ab+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =，本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.二、填空题：本题共4小题13．已知1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是______. 【答案】13【解析】【分析】根据两角差的正切公式即可求解【详解】1tan tan 1142tan 1431tan tan 142παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭++ 故答案为：13 【点睛】本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，有以下结论： ①若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π-=∈；②()f x 在区间73,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数； ③()f x 的图象与()22cos 23g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭图象关于x 轴对称； ④设函数()()2h x f x x =-，当12πθ=时，()()()222h h h πθθθ-+++=-．其中正确的结论为__________．【答案】②③④【解析】【分析】 首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.【详解】①当()()12f x f x =时，函数的周期为π，∴12,x x k k Z π=+∈，或121222266,223x x k x x k k Z ππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⇒+=+∈ ，所以①不正确； ②73,84x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2352,6123x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦32,2ππ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，所以是增函数，②正确； ③函数还可以化简为()22cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()g x 与()f x 关于x 轴对称，正确； ④()2sin 226h x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当6πθ=时， ()22sin 22222sin 44126126f ππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()22sin 22222sin 442sin 441261266f πππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=----=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2sin 22126126f ππππθ⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭()()()222f f f πθθθ∴-+++=-，④正确 故选②③④【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.15．球的内接圆柱的表面积为20π，侧面积为12π，则该球的表面积为_______【答案】25π【解析】【分析】设底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据圆柱求得r 和h 的值，进而利用圆柱的轴截面求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设底面半径为r ，圆柱的高为h ， 则圆柱的底面面积为21(2012)42S r πππ==-=，解得2r ，侧面积212S rh ππ==，解得3h =，所以外接球的半径为52，所以球的表面积为2425S R ππ==． 【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和侧面积公式的应用，以及球的表面积公式应用，其中解答中正确理解空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题． 16．若0x >，则函数()123f x x x=+的最小值是_________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】0x，由基本不等式得()121232312f x x x x x=+≥⋅=，当且仅当2x =时，等号成立， 因此，当0x >时，函数()123f x x x=+的最小值是12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。