2015高考名校热身试卷_甘肃省兰州市2015届高三下学期实战考试数学(理)试题 Word版含答案
甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(理)试题
令()ln21fxxax得ln21xax=-，因为函数()lnfxxxax有两个极值点，所以()ln21fxxax有两个零点，等价于函数lnyx与21yax的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作lnyx的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率01xk，切线方程为110xxy. 切点在切线上，则01000xxy，又切点在曲线lnyx上，则10ln00xx，即切点为（1，0）.切线方程为1yx. 再由直线21yax与曲线lnyx有两个交点，知直线21yax位于两直线0y和1yx之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是1(0,)2. 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sinsin3cosacaCAA， ∴3cossinAA ∴tan3A ∵0A ∴ 3A …………6分 （Ⅱ）由正弦定理得：643sinsinsin3cos3abcABC， ∴43sinbB，43sincC ∴43sin43sinbcBC 43sinsin()43sinsin()3BABBB
C1 D1 z
所以3AC，建立如图空间直角坐标系， 则(3,0,0)A，(0,1,0)B，1(0,0,3)D 设平面11ABCD的一个法向量(,,)nxyzr 由100nABnADuuurruuurr得300yxzx 可得平面11ABCD的一个法向量(1,3,1)nr． 又1(0,0,3)CDuuur为平面ABCD的一个法向量． 因此1115cos,5||||CDnCDnCDnuuurruuurruuurr 所以平面11ABCD和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nCPAC 由对立事件的概率: ()PA=41().5PA 即2261()5nCPAC， 解得 3.n …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，可能取值分别为1,2,3， 23261(1)5CPC 2211233333222266664(2)25CCCCCPCCCC， 16(3)1(1)(2)25PPP (或222111121111333333333333222222226666666616(3)25CCCCCCCCCCCCPCCCCCCCC) 则 的分布列为：
2015高考名校热身试卷_甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学(理)试题
甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。
答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （M N ）=A ．{1,4,6,7}B ．{2,4,6,7}C ．{1，2，4，6，7}D ．{1，3，4，6，7}2．i ．z=1一i （i 为虚数单位），则z=A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是A ．p ∨q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．⌝q 是真命题D ．p 是假命题4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=A ．12B ．一12CD 5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是A ．33x y >B ．sin sin x y >C ．221(1)1(1)n x n y +>+D ．221111x y >++ 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中点的横坐标为A ．32B ．2C ．52D ．37．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是AB ．13C ．29D8．阅读右侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为A ．S=2*i-2B ．S= 2*i-1C ．S=2*iD ．2*i+49．设F1、F2分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是A ．[一2,1）B ．（—2,1）C ．（一2,1]D ．[—2,1]10．已知长方体ABCD – A 1B 1 C l D 1的各个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π且AB ：AD ：AA 11：2，则球O 到平面ABCD 的距离为A ．1B ．CD ．211．函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>与函数g （x ）= cos (2)()2x πϕϕ+<的对称轴完全相同，则ϕ=A ．－4πB ．4πC ．2πD ．－2π 12．已知函数31[0,]32()21(,1]12x x f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，函数()3(0)2a g x ax a =-+>，若对任意1[0,1]x ∈，总存在21[0,]2x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．(,4]-∞-B ．(,6]-∞C ．[4,)-+∞D ．[6,)+∞ 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
甘肃省兰州市高三理综(物理部分)实战考试试题
甘肃省兰州市2015届高三实战考试理科综合能力试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸相应的位置上。
2．本卷满分300分，考试用时150分钟。
3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
4．可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 Ca-40 S-32 Na-23第I 卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.在物理学理论建立的过程中，有许多物理学家做出了杰出的贡献。
关于物理学家和他们 的贡献，下列说法中正确的是A.笛卡尔首先通过实验测出万有引力常量B ．奥斯特最早发现了电磁感应现象C.安培首先发现了电流的磁效应D.法拉第发现了电磁感应现象15.质量相等的甲乙两物体从离地面相同高度同时由静止开始下落，由于两物体的形状不同， 运动中受到的空气阻力不同。
将释放时刻作为t=0时刻，两物体的v-t 图象如图所示。
则下列判断正确的是A. to 时刻之前，甲物体受到的空气阻力总是大于乙物体受到的空气阻力B ．甲物体在 时刻的速度小于乙物体0-to 时间内的平均速度C. to 时刻甲乙两物体在同一高度D.两物体不可能同时落地16.如图所示，有一自耦变压器接在稳定的交流电源上，V1、V2为理想电压表。
下列说法中正确的是A.若F 不动，滑片P 向上滑动时，Vl 示数变大，V2示数变小B ．若F 不动，滑片P 向上滑动时，灯泡消耗的功率变小C ．若P 不动，滑片F 向下移动时，Vl 示数不变，V2示数增大D.若P 不动，滑片F 向下移动时，灯泡消耗的功率变小17. 1913年美国物理学家密立根设计了著名的油滴实验，首先直接测定了基元电荷的量值。
其模型简化如图，平行板电容器两极板M 、N 相距d ，两极板分别与电压为U 的恒定电源两极连接，极板M 带正电。
甘肃省兰州一中2015届高三数学冲刺模拟试题 理
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M N =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得31()122n i -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143yx +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b 分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ）A. 1180B. 1288C. 1360D. 14809.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ） A. 14B.24 C. 26 D. 21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ） A. 3 B.132+ C. 13 D. 1132+ 11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞D. ()()31,3,2-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ= ，(1)AN AC λ=-，R λ∈，若2BN CM ⋅=-，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点MABCDP的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥ 成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.SD A PCB甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15.1255； 16.()1,+∞ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP =得 OB OA OP OB -=- ，即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分（Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--2sin(2)4πθ=-+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)2,1⎡-⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+222752sincos 2tan 22sin cos tan 15θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；60PA PDPG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面 …………………………………… 5分（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形ABCD 中，由已知可得3BC =， 由 32P ABCD V -=，即311[123]322PG ⋅+⋅⋅=（），得3PG =，而BG=CG=3，DG=1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD 中，2221cos 24PD CD PC PDC PD CD +-==-⋅⋅，∴ 15sin 4PDC =，∴△PCD 的面积151sin 24PDC S PD CD PDC =⋅⋅⋅= ， 设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得2155h =， ∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为215101556h PB=⋅=.…………………………………… 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n PPB PGB ⊂平面AD PB ⎫⇒⊥⎬⎭GABCDP所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=， ∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得2121||1||4NF MF =， ∴11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()xxx a aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分 （Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x x x x---'=-=>，∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=，∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分分别取 1,2,,x n = 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n≥，将以上各式相乘，得：111123!nne en ++++≥ ……………………………… 12分22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =．又BD MB DM SB DS 21,2===，∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， NM SDAP C B∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分（2）由''12x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 223232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分所以当M 为3(1,)2或3(1,)2--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.证明：由已知及均值不等式：33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b c c a abc a b c ++≥++++++3333111(1)(1)(1)33a b c a b c abc a b c =≥+++++++⋅+++⋅31232==⋅ ……………………… 10分。
2015年甘肃省三校生高考模拟试卷-数学
共1页 第1页 12三校生模拟考试试卷《数学》部分1. 设集合M={2，3，5，a}，N={1，3，4，b}，若M ∩N={1，2，3}，则a, b 值分别为A. a=2，b=1B. a=1，b=1C. a=1，b=2D. a=1，b=52.函数y =的定义域是 A.(-3, 2 ] B.[-3，2]C.[-2，3]D.[-2，3）3. 函数y=12x 2+x-3的最小值是 （ ） A .-3 B .-72 C .3 D 724.下列各对向量中互相垂直的是 （ ）A.a =(4,2),b =(-3,5)B.a =(-3,4),b =(4,3)C.a =(5,2),b =(-2,-5)D.a =(2,-3),b =(3,-2) 5. 已知4sin ()52x x ππ=≤≤,那么tanx 的值是 （ ） A .43- B .34 C .- 34 D .436．数列1，3，5，7，9，…的一个通项公式是 （ ）A.21n a n =+B.23n a n =+C.2n a n =D.21n a n =- 7. 在等比数列{n a }中,已知2a =2, 3a =6,则公比q =( )A.1B. 2C.3D. 48.若A （2，-2），B （4，6），则向量AB 的坐标为 （ ）A.（2，-4）B.（2，8）C.（2，-2）D.（2，4）二、填空题（每小题3分，共12分）9. 如果αβ⊥，βγ⊥，则平面α与γ的位置关系是 。
10. 已知两个数的等差中项是10，等比中项是6，则这两个数是11. 求点P (-1,2)到直线l :0102=-+y x 的距离为12.不等式 - x 2-2x+3＞0的解集为三、解答题（共14分）1.求过直线x-2y+1=0与y=x+2交点且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程。
2. 某礼堂共有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排共有70个座位,问礼堂共有多少个座位?。
2015年3月12日兰州市一诊数学(理)试题与解答
2015年高三诊断考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考 生必将自已的姓名、考号填写在答题纸上. 2．本试满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|||1A x x =<，{}|21x B x =>，则A B =∩A .(1,0)-B .(1,1)-C .1(0,)2D .(0,1) 解：因为{}|||1(1,1)A x x ==-<，{}|21(0,)x B x ==+∞>，所以(0,1)∩A B =，选D2.复数11i-（i 是虚数单位）的虚部是 A .1 B .i C .12 D .12i 解：11111(1)(1)22∵i i i i i +==+--+，∴虚部为123.复数||1a = ，||2b = ，且a ，b 夹角3π，则||2|a b +=A .2B .4C .12D .解：1∵a b ⋅= ，222|2|4444412∴a b a a b b +=+⋅+=++= ，|2|∴a b += 4.从数字1 、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为A .15 B .25 C .35D .45解：从1 、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，不同的两位数共有2520A = 个，其中大于40的两位数共有11248C C =，82205∴p == 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =A .18B .36C .54D .72解：4518∵a a =-，4518∴a a +=，又8184()∵S a a =+，818454()4()72∴S a a a a =+=+=6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A .2 B .92C .32D .3 解：如图所示，由三视图知，该几何体是一个四棱锥，底面是直角梯形，高为2，上底是下底的一半，下底为2， 棱锥的高为x ，所以1(12)26V x x =+⨯= 所以3x =.7.如图，程序输出的结果132S =，则判断框中应填A .10i ≥B .11i ≥C .11i ≤D .12i ≥解：因为初值12i =，1s =，所以第一次循环后12s =，11i = 第二次循环后132s =，10i =此时终止循环，输出132s =. 说明条件不成立，故选B8.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥则∥αβ是a b ⊥的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件解：因为∥a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭ ，又因为∥a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊥⎭，故充分不必要，选Ax正视图侧视图俯视图29.已知不等式组11x yx yy+⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域为D，若直线3y kx=-与平面区域D有公共点，则k的取值范围是A.[3,3]-B.11(,]],)33∪-∞-+∞C.(,3]-∞-11]解：如图，设直线3y kx=-过点(1,0)和(1,0)-时的斜率分别为1k和2k因为直线过定点(0,3)-所以13k=，23k=-又因为直线与区域D有公共点，所以3k≥或3k≤-10.在直角坐标系xoy中，设P是曲线C：1(0)xy x=>上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A、B两点，则以下结论正确的是A.△OAB的面积为定值2B.△OAB的面积有最小值3C.△OAB的面积有最大值4D.△OAB的面积的最取值范围是[3,4]解：设1(,)P mm（0m>），1∵xy=，21∴yx'=-，所以切线斜率为21km=-所以切线方程为211()y x mm m-=--，两截距点分别为2(0,)m和(2,0)m所以12222△OABS mm=⨯⨯=，即△OAB的面积为值2；选A.11.已知抛物线1C：22x y=的焦点为F，以F为圆心的圆2C交1C于A、B两点，交1C的准线于C、D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆2CA.221()42x y+-=B.221()42x y-+=C.221()22x y+-=D.221()22x y-+=解：如图，根据题意，圆2C的圆心为1(0,)2因为3)2A，所以22||4r AF==，故圆2C的方程为221()42x y+-=，选A.2y12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A .(2,)-+∞B .(0,)+∞C .(1,)+∞D .(4,)+∞ 解：(2)∵f x +是偶函数，(2)(2)∴f x f x +=-+，()∴f x 关于直线2x =对称， 又(4)1∵f =，(0)1∴f =，令()()xf xg x e =，则2()()()()()x x x xe f x e f x f x f x g x e e''--'== ∵()()f x f x '<，()0∴g x '<，()∴g x 在R 上单调递减，又0(0)(0)1∵f g e== 0∴x >时，()(0)1∴g x g =<，()1∴x f x e<，()∴x f x e <， 即()x f x e <的解集为(0,)+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-=_________________________. 解：(0,)2∵πα∈,4cos 5α=,3sin 5∴α=,3sin()sin 5∴παα-== 14.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为_______________________________.解：2∵x =的焦点为,212∴b =,又12∵e =,224∴a c =,223∴b c =, 24∴c =,216∴a =,故椭圆C 的方程为2211612x y +=. 15.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________________. 解：()(ln )∵f x x x ax =-,()ln 21∴f x x ax '=-+,x >0,令()0∴f x '=,则ln 210x ax -+=ln 12∴x a x +=,令ln 1()x g x x +=,则2ln ()xg x x-'=,(1)0g '= 0∴x <<1时，()0g x '>, ∴x >1时，()0g x '<, max ()(1)1∴g x g ==，又∵x >1时, ()0g x >,021∴a <<时，ln 12x a x+=有两解， 即102a <<时，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点. 16.数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若11010112015b b =，则21a =___.解：1∵n n n a b a +=,11a =,12∴b a =,322a b a =,123b b a =,433∵ab a =,1234∴b b b a =,544∵a b a =12345∴b b b b a =,…, 12341∴n n bb b b b a += ,12342021∴bb b b b a = ,又因为{}n b 为等比数列1101010211234201011()(2015)2015∴a b b b b b b b ==== . 三、解答题：解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、csin cC=（1）求A 的大小；（2）若6a =，求b c +的取值范围. 解 （1）sin c C =,又sin sin ∵a cA C =,sin ∴a A =sin ∴A A =tan ∴A ,3∴A π=.（2）,63∵A a π==,2∴R = 如图当点A在圆弧上运动时，2∴R = 当6b c ==时，max ()12b c += 所以b c +的取值范围是(6,12]ABCa =660°bc解法二：转化为三角函数问题求取值范围.( 23B C π+=) 18.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，∥AB CD ，2AB =，1BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C .（1）求证：1AD BC ⊥；（2）若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦函数值.（1）证明:如图，连结1D C ,则1D C ⊥底面ABCD , 1∴BC DC ⊥, ∵ABCD 是等腰梯形，∥AB CD ，2AB =，1BC CD ==，60∴ABC ∠=,AC =AC BC ⊥∴BC ⊥平面1ACD , 1∵AD ⊂平面1ACD , ∴BC ⊥1AD ,(2) ∵∥CD AB ,又∵1DD 与AB 所成的角为3π,1∴DD 与DC 所成的角为3π, 13∴D DC π∠=,1∵DC =,12∴DD =,1∴CD∵AC =1BC =1∴AD =12BD =,1∴ABD S =V∴ABC S =V 又因为1∵△ABD 在底面ABCD 上的射影为△ABC 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成角为θ,则1cos ABC ABD S S θ==V V , 故平面11ABC D 与平面ABCDABCD1A1B1C 1D19. （本小题满分12分）为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为45. （1）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；（2）用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望.解：（1）设盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数为m 个，记A = {从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”}，则A ={从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”},4()5∵P A =,1()5∴P A = 22615∴m C C =,3)(2)0∴(m m -+=,3∴m = 即盒中印有“兰州马拉松”标志的小球有3个.(2)由（1）知，盒中分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”小球各有3个， 又因为每位嘉宾最多抽奖3次,所以η取值为1,2,3所以23261(1)5C P C η===,232614(2)(1)525C P C η==-=,1416(3)152525P η==--= 所以η的分布列为:η的期望为1235252525E η=⨯+⨯+⨯=.(注：3η=时，分第三次获奖与不获奖两种情形)20. （本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，右焦点F 到直线2a x c=的距离为32.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与曲线C 相交于B 、D 两点，已知(1,0)A ，若1DF BF ⋅=，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.解：（1）由题意知ba =且232a c c -=,222,3,1c b a === 所以双曲线C 的方程为2213y x -= 证明 (2)设11(,)B x y ,22(,)D x y ,BD 中点为00(,)M x y ,直线l 的方程为y x m =+,0m >解方程组2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222230x mx m ---=,12x x m ∴+=, 21232m x x +=-, 123y y m ∴+=, 2212121233()2m y y x x m x x m -=+++=1DF BF ⋅=,(2,0)F ,(1,0)A ,1212(2)(2)1x x y y ∴--+=12121232()0x x x x y y ∴-+++=,12121232()0x x x x y y ∴-+++=220m m ∴-=,0m ∴=(舍) 或2m =,(1,3)M ∴,又(1,0)A ,MA x ∴⊥轴11221212121,)1,)()0AB AD x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-++= （（所以过,,A B D 三点的圆是以BD 为直径的圆，且与x 轴切于A 点.21. （本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x m x =++.（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++ <成立. 解：（1）2()ln(1)f x x m x =++ ,222()211m x x mf x x x x ++'∴=+=++,且(1,)x ∈-+∞ ()f x 是定义域上的单调函数, ∴对(1,)x ∀∈-+∞,222x x m ++≥0恒成立 112m ∴-+≥0,12m ∴≥,所以实数m 的取值范围是1[,)2+∞(2) 1m =- ,2()ln(1)f x x x ∴=-+,令32()ln(1)g x x x x =-++则3232213213(1)()32111x x x x x g x x x x x x +-++-'=-+==+++ 0x > ,()0g x '∴>,()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)0g = ,()0g x ∴> 32ln(1)0x x x ∴-++>,32ln(1)x x x ∴>-+,即3()f x x <.(3)分析：观察要证不等式左边的通项为23n n e -,而（2）中证明的不等式为23ln(1)x x x -<+23ln(1)1xx x e e x -+∴<=+,从而有231nn e n -∴<+,从此想到借助函数不等式的证明.证明： 对(0,)x ∀∈+∞,都有32ln(1)x x x >-+成立，23ln(1)1x x x e e x -+∴<=+231nn e n -∴<+,(*n N ∈)23111(3)(1)(1)22nni i i i n n ei n n n -==+∴<+=++=∑∑ 即21429(1)(3)2n n n n e eee-⨯-⨯-+++++ <成立. 23. （本小题满分12分）选修修4-4：极坐标系与参数方程在直角坐标xoy 中，曲线1C的参数方程为x y siin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.解：（1）因为曲线1C的参数方程为x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以2222cos sin 1y αα+=+=2213x y +=,即曲线1C 普通方程为:2213x y +=.又因为sin()4πρθ+=sin cos 8ρθρθ∴+=,8x y ∴+=即曲线2C 直角坐标方程为：8x y +=(2)设(,)P x y ,则,x y sin αα==,设点P 到2C 上点的距离为d即当()13sin πα+= 时，点P 到2C 上点的距离的最小值为24. （本小题满分12分）选修修4-5：不等式选讲 已函数()|2|f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围.解：（1）()|2|f x x a a =-+ ,()6f x ≤, |2|6x a a ∴-+≤,|2|6x a a ∴-≤- 626a x a a ∴-≤-≤-, 3a x ∴-≤≤3, 32a ∴-=-, 1a ∴= 所以实数a 的值为1.(2)在（1）的条件下1a =,所以()|21|1f x x =-+,若存在实数n ,使()()f n m f n ≤--成立，则()()21212m f n f n n n ≥+-=-+++,又因为212121212n n n n -++≥---=,所以{}min ()()4m f n f n ≥+-=故m 的取值范围是[4,)+∞.2015年高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题7. 解析 ：由题意，S 表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i 的值依次为11，10,由于i 的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B 符合题意11. 解析 ：依题意，抛物线1C ：y x 22=的焦点为1(02F ，1(0)2，∵四边形ABCD 是矩形，且BD 为直径，AC 为直径，F ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，到直线CD 的距离为1p =∴圆2C 的半径2r AF === ∴圆2C 的方程为：221()42x y +-=12. 解析 ：∵(2)f x +为偶函数，∴(2)f x +的图象关于0x =对称,∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==设()()x f x g x e =（x R ∈）,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== 又∵()()f x f x '<，∴()0g x '<（x R ∈），∴函数()g x 在定义域上单调递减 ∵()()()1x x f x f x e g x e <⇔=<,而0(0)(0)1f g e ==∴()()(0)x f x e g x g <⇔< ∴0x >故选B ． 二、填空题13. 3514.2211612x y += 15. 1(0,)2 16. 2015 15．解析 ：函数()()ln f x x x ax =-，则1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+， 令()ln 21f x x ax '=-+得ln 21x ax =-，因为函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 21f x x ax '=-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ln y x =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是1(0,)2.16．解析 11=，得2121a b a a ==． 2b =32212a b bb ==．3b =433123a b bb b ==．…121...n n a bb b -=．∴211220...a bb b =．∵数列{}n b 为等比数列， ∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ==== 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sin sin c aC A==，sin A A = ∴tan A = ∵0A π<< ∴ 3A π=…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：6sin sin sin3a b cA B Cπ====∴b B=，c C=∴b c B C+=+]sin sin()sin sin()3B A B B Bππ⎤=+--=++⎥⎦12sin()6Bπ=+∵5666Bπππ<+<∴612sin()126Bπ<+≤即：(]6,12b c+∈…………12分18. 解：(Ⅰ)证明:连接1D C,则1D C⊥平面ABCD,∴1D C⊥BC在等腰梯形ABCD中,连接AC∵2AB=,1BC CD==AB∥CD∴BC AC⊥∴BC⊥平面1AD C∴1AD BC⊥…………6分(Ⅱ)解法一:∵AB∥CD∴13D DCπ∠=∵1CD=∴1DC=在底面ABCD中作CM AB⊥,连接1D M,则1D M AB⊥,所以1D MC∠为平面11ABC D与平面ABCD所成角的一个平面角在1Rt D CM∆中,2CM=,1DC=∴1D M==∴1cos D CM∠=即平面11ABC D与平面ABCD所成角(锐角)…………12分解法二:由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直， ∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∴1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，所以AC =则A ，(0,1,0)B，1D 设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nC P A C =由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1,2,3，23261(1)5C P C η===2211233333222266664(2)25C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=， 16(3)1(1)(2)25P P P ηηη==-=-==1(或222111121111333333333333222222226666666616(3)25C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C η==⋅+⋅+⋅+⋅=) 则η 的分布列为：所以1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯= ． …………12分 20.解：（Ⅰ）依题意有ba =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x +=∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+= ∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径 ∵M 点的横坐标为1 ∴MA x ⊥ ∵12MA BD =∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立,即函数()f x 是定义域上的单调地增函数,则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立,由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立,则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立.∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述,实数m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………4分（Ⅱ）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+.令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<, 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=, 即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < ……………8分 （Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知23ln(1)x x x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1x x e x -<+ ((0,)x ∈+∞) ∴2(1)1n n e n -<+ (n N *∈)∴201429(1)(3)234(1)2n n n n e e e e n -⨯-⨯-+++++<+++++=………12分 证法二:设(3)2n n n S +=则11(2)n n n a S S n n -=-=+≥ ∵112a S == ∴1,n a n n N +=+∈ 欲证2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-n n e e e e n n 只需证12)1(+<⨯-n e n n 只需证)1ln()1(2+<⨯-n n n由（Ⅱ）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即)1ln()1(2+<⨯-n n n 。
理科数学 兰州市2015年高三试卷
理科数学兰州市2015年高三试卷理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）1．已知集合A={x||x -|≤}，B={x|y=lg（4x-x2）}，则A∩B等于（）A. （0，2]B. [-1，0）C. [2，4）D. [1，4）2．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知函数f（x）=cos（2x-），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x-a）恒成立，则a的值是（）A.B.C.D.4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n-4的符号是（）A. 正B. 负C. 非负D. 非正5．从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A.B.C.D.6．设f（x）=（1+x）6（1-x）5，则导函数f ′（x）中x2的系数是（）A. 0B. 15C. 12D. -157．设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（）A. 1B.D. 28．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A.B.C.D.9．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A. n>2B. n>3D. n>510．已知双曲线（a>0，b>0），被方向向量为k=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是（）A.B.C.D. 211．函数f（x）=（x-a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，3]∪[4，+∞）B. [3，4]C. （-∞，3]D. [4，+∞）12．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A. 3（2-）B. 4（2-）C. 3（2+）D. 4（2+）填空题（本大题共5小题，每小题____分，共____分。
甘肃省兰州市2015届高三下学期实战考试文综试题及答案
甘肃省兰州市2015届高三实战考试文科综合能力试题注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Il卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸相应的位置上。
2．本卷满分300分，考试用时150分钟。
3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第I卷本卷共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
图1为我国东部沿海某市人口变化率图。
读图完成1-2题。
1．据图可知A．人口总量先升后降B．人口总量持续下降C. 1990年人口总量最大D. 2000年人口增长速度最快2．导致该省人口机械增长率变化的原因可能是A.户籍政策的变化B．高房价及购房政策的变化C.产业结构调整D.自然灾害多发图2为南半球某区域近地面1000百帕等压面上的等高线分布图。
读图完成3-4题．3．对图示区域天气现象的说法，正确的是A,P地的风向为西南风B.N地气流以上升运动为主C．M地为阴雨天气D.M地为高压中心4．影响Q地的天气系统和天气特征分别是A．暖锋晴朗B．冷锋阴雨C.气旋阴雨D.反气旋晴朗“淘宝村”是指大量网商聚集在农村，以淘宝为主要交易平台，网店数量达到当地家庭户数l0% 上、电子商务年交易额达到1 000万元以上的村庄。
2009年我国“淘宝村”数量有3个，2014年增至211个。
图3为我国淘宝村的地理分布示意图。
据此完成5-7题．5．淘宝村的区位选择A.多沿海分布，方便商品进出口B.多分布在经济发达地区C.多分布在工业发达的地区D.多分布在交通便利，基础设施完善的地区6．在图示地区淘宝村快速兴起，得益于①农村土特产多样，资源丰富②电子商务向农村渗透③剩余劳动力多④城市化的推进与辐射带动A.①④B.①②C.②③D.③④7．淘宝村的出现与快速增长，对当地最直接的影响是A.加快农村工业化进程B.增加就业机会C.带动旅游业发展D.导致农业人口减少图4为世界两区域地图。
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甘肃省兰州市 2015届高三实战考试
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的
姓名、考号填写在答题纸上。
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。
答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （M N ）
= A ．{1,4,6,7} B ．{2,4,6,7}
C ．{1，2，4，6，7}
D ．{1，3，4，6，
7}
2．i ．z=1一i （i 为虚数单位），则z= A ．-1+i B ．-1-i
C ．1+i
D ．1-i
3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，
；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是
A ．p ∨q 是真命题
B ．p ∧q 是假命题
C ．⌝q 是真命题
D ．p 是假命题 4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=
A ．
12
B ．一
12
C D 5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是
A ．3
3
x y > B ．
sin sin x y
>
C ．221(1)1(1)n x n y +>+
D ．
22
11
11
x y >++ 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中
点的横坐标为 A ．
32
B ．2
C ．
5
2
D ．3
7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是
A B ．13
C ．29
D
8．阅读右侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为 A ．S=2*i-2 B ．S= 2*i-1 C ．S=2*i D ．2*i+4
9．设F1、F2分别是椭圆2
214
x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是
A ．[一2,1）
B ．（—2,1）
C ．（一2,1]
D ．[—2,1] 10．已知长方体ABCD – A 1B 1 C l D 1的各个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π且
AB ：AD ：AA 1
1：2，则球O 到平面ABCD 的距离为 A ．1
B ．
C
D ．2
11．函数()2sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>与函数g （x ）= cos (2)()2
x π
ϕϕ+<
的对称轴完全
相同，则ϕ=
A ．－
4
π
B ．
4
π C ．
2
π D ．－
2
π 12．已知函数31[0,]32
()21(,1]
1
2x x f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，函数()3(0)2a g x ax a =-+>，若对任意1[0,1]x ∈，
总存在21[0,]2
x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是
A ．(,4]-∞-
B ．(,6]-∞
C ．[4,)-+∞
D ．[6,)+∞
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第
22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向2(1,2),(,1)a x x b x =-+=，a ∥b ，则x= 。
14．三名学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为 。
15．已知实数x ，y ，满足约束条件200,0x y x y z x y y k +≥⎧⎪
-≤=+⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最大值为12，则z 的最小
值为 。
16．已知数列{a n }中1
1*122
1
222,1,(),42
n n n n n n n
a a a a a a n N S a a ++++⎧≥⎪⎪===∈⎨⎪<⎪⎩ 是数列{a n }的前n 项和，则S 2015= 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分l2分） 在△ABC 中，a 、b ．c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且有（2c 一a ）cosB=bcosA 。
（I ）求角B 的值：
（Ⅱ）若△ABC 的面积为
b=7，求a+c 的值
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 、F 分别是BB1、AA 1、AC 的中点
，
11
,2
AC BC AA AB ==
= （Ⅰ）求证：CD ∥平面BEF （Ⅱ）求平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角的大小 19．（本小题满分12分）
据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的
学生就
其上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图。
（I ）为减轻学生负担，学校规定上学路上所需 时间不少于1小时的学生可申请在校内住 宿，请根据抽样数据估计该校600名新生 中有多少学生可以申请在校内住宿；
（II ）从新入校的学生中任选4名学生，以频率 分布直方图中的频率作为概率，这4名学 生中上学所需时间少于20分钟的人数记为 X ，求X 的分布列和期望． 20．（本小题满分12分）
已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F （1，0）为定点，且满足
1
0,.02
PN NM PM PE +
== （I ）求动点N 的轨迹E 的方程；
（II ）过点F 且斜率为k 的直线，与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，
使得2
2
2
CA CB AB +=成立，请说明理由，
21． （本小题满分12分） 已知函数()1(1)2
m
f x n x x =+++ （I ）当函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m 的值；
（Ⅱ）若0x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：*11
1
1(1)()35
(1)
n x n N n n +>
+++
∈+
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，在正△ABC 中，点D ．E 分别在边BC, AC 上，且BD =13BC,CE=1
3
CA ，AD ，BE 相交于点P ．
求证： （I ）四点P 、D 、C 、E 共圆； （II ）AP ⊥CP ． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy 中，曲线C l 方程为cos (1sin x y α
αα
=⎧⎨
=+⎩为参数，以O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系．C 2的极坐标方程为(cos sin )50ρθθ-+=． （I ）求曲线C l 的普通方程和C 2的直角坐标系方程；
（II ）设P 为曲线C l 上的任意一点，M 为C 2上的任意一点，求|PM|的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a R =-+-∈ （I ）当a=4时，求不等式()f x ≥5的解集；
（II ）若()f x ）≥4对a ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．。