高三概率与统计专题复习

高三《概率与统计》专题复习
一、常用知识点回顾 1、概率：古典概型n
m
=
p （枚举法、列表法）；几何概型。

2、特征数：众数、中位数、平均数、方差的概念及其求法。

3、频率分布直方图、茎叶图。

（1）在频率分布直方图中，各小组的频率等于小长方形的面积，且各小长形的面积之和等于1；（2）在频率分布直方图中，求众数、中位数、平均数的方法；
频率频数样本容量，样本容量频率，频数样本容量
频数
）频率（÷=⨯==
3
4、回归分析。

（1）回归直线必过样本中心点),(y x ;(2)求回归直线方程。

（3）求相关系数，判断拟合效果。

5、独立性检验。

填写22⨯列联表，并根据22⨯列联表求随机变量K 2
，判断“两个随机变量有关”可能性大小。

二、题型训练 【例1】、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
【练习1】、某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
次
消费次第第1次第2次第3次第4次5
收费比例10.950.900.850.80
该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下:
消费次第第1次第2次第3次第4次第5次
频数60201055
假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率;
（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中,公司获得的平均利润;
(3)设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出8人,再从这8人中抽出2人发放纪念品,求抽出2人中恰有1人消费两次的概率.
【练习2】、2017年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。

交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图4所示：
(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率.
【例2】某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．
（1）求直方图中x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？
【练习1】甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
【练习2】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
[来源:学优高考网]
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
【练习3】某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
【练习1】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据： （1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a =+；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
x 3
4 5 6
y
2.5
3
4
4.5
例3
【练习2】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：
7
1
9.32i
i y
==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑7
2
1
()
0.55i
i y y =-=∑，7≈2.646.
参考公式：1
2
2
1
1
()()
()(y
y)n
i
i
i n n
i i
i i t t y y r t t ===--=
--∑∑∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=
-∑∑，a y bt =-
【例4】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：
（1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

附： P （）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ．
【练习1】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式 第二种生产方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2
0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．
【练习2】在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进 频数
15
x
5
频数
15
3
y
（Ⅱ）由表中统计数据填写右边22⨯列联表，并判
断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
参考数据与公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20()P K k > 0.10 0.05 0.01 0k
2.706
3.841
6.635。