Boltzmann统计PPT演示文稿
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《玻耳兹曼统计》PPT课件
第七章 玻耳兹曼统计
可分辨（定域）粒子系统统计
h
1
主要内容
7.1 热力学量的统计表达式 7.2 理想气体的物态方程
基础
7.3 麦克斯韦速度分布率 7.4 能量均分定理 7.5 理想气体的内能和热容量
对理想气 体体系的 应用
7.6 理想气体的熵 7.7 固体热容量的爱因斯坦理论
对固体的 应用
h
§7.1 热力学量的统计表达式
21m(px2py2pz2)
U 3 NkT 2
CV
3 Nk 2
Cp 5 CV 3
P202， 表 7.2
Cp
5 2
Nk
h
B. 双原子分子理想气体
z
r
5 kT 2
刚性连接：r =常量
pr
21M(px2 py2 pz2)21I (p2 si1n2 p2)
21pr2u(r)
p
Mm1m2
m1m2
二、配分函数
21m(px2py2pz2)
d 2m (px 2p2 ypz 2)
Z e 1
xd y xdd yp dzzp d h3
p
h 1 3
p x 2
p 2 y
p z 2
dxd ey 2 m d dxp z e2 m dyp e2 m dzp
Z1 V(2h2m)3/2
h
三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N V[lV n2 3ln2h(2m)]
p NkT V
四、内能
U N lnZ1
N [lV n2 3ln2 h(2 m)]
U 3 NkT 2
h
§7.3 麦克斯韦速度分布率
目的 对气体分子
可分辨（定域）粒子系统统计
h
1
主要内容
7.1 热力学量的统计表达式 7.2 理想气体的物态方程
基础
7.3 麦克斯韦速度分布率 7.4 能量均分定理 7.5 理想气体的内能和热容量
对理想气 体体系的 应用
7.6 理想气体的熵 7.7 固体热容量的爱因斯坦理论
对固体的 应用
h
§7.1 热力学量的统计表达式
21m(px2py2pz2)
U 3 NkT 2
CV
3 Nk 2
Cp 5 CV 3
P202， 表 7.2
Cp
5 2
Nk
h
B. 双原子分子理想气体
z
r
5 kT 2
刚性连接：r =常量
pr
21M(px2 py2 pz2)21I (p2 si1n2 p2)
21pr2u(r)
p
Mm1m2
m1m2
二、配分函数
21m(px2py2pz2)
d 2m (px 2p2 ypz 2)
Z e 1
xd y xdd yp dzzp d h3
p
h 1 3
p x 2
p 2 y
p z 2
dxd ey 2 m d dxp z e2 m dyp e2 m dzp
Z1 V(2h2m)3/2
h
三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N V[lV n2 3ln2h(2m)]
p NkT V
四、内能
U N lnZ1
N [lV n2 3ln2 h(2 m)]
U 3 NkT 2
h
§7.3 麦克斯韦速度分布率
目的 对气体分子
统计获奖示范课课件
g g N1 N2 12
g
N k
k
N! N1!N2! Nk!
t N!
g Ni i
i Ni!
(12)
———定位体系能级有简并度时， 某分布旳微态数
则体系旳总微态数 Ω(U ,V , N ) ti
N!
g Ni i
i Ni!
求和旳限制条件仍为：
Ni N, Ni i U
i
i
仍采用最概然分布处理措施：
lnΩ ln tm
t N!
g Ni i
i Ni!
能够得到
N
i
Ngi ei / kT g e i / kT
i
(13)
——能级有简并度时定位体系 Bolzmann最概然分布公式
采用和上面相同旳处理措施可得到
S定位 kN ln
g ei / kT i
U T
(14)
F定位 NkT ln
g ei / kT i
t i
i
(Ni gi 1)(Ni gi 2)(Ni gi Ni（) gi 1（) gi 2)1 Ni!(gi 1（) gi 2）1
ti
Ni gi i
gi Ni Ni!
(17)
——大量粒子非定位体系某分布旳分布数
由(17)式与(12)式对比:
t定位 N!
i
g Ni i
Ni!
α、β—Lagrange系数
据Lagrange乘因子法,选择、使公式中任两个括 号中值为零，则余下全部括号中值也都为零：
( ln t / N1) 1 0 ( ln t / N2 ) 2 0 (6)
┆
( ln t / Ni ) i 0
⑥式中方程形式都相同，以第一种为例求解：
第七章_玻耳兹曼统计 热力学统计物理 ppt课件
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）
N!
M.B{al}
al! l
al l
l
al N , allE ;
l
l
al
e l
l
热统
10
§7.1 热力学量的统计表达式
一、玻耳兹曼分布
al
e l
l
N al
lel
l0
l0
U al l
l lel
l0
l0
令
Z1
e l l
叫配分函数，partition function
4、与经典描述之间的关系
对于宏观大小的容积，是很小的量，量子描述趋近于
经典描述。 以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 xp。
p pp
p
ox
xx L
由于不确定关系， xp。h 即在体积元 h 内的各运动状态， 它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
一个量子态对应粒子相空间的
一个 h 大小的体积元（相格）。
热统
6
几何表示： μ –空间 N 个代表点。
玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。 3、 量子系统的微观状态 粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量
子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。
泡利不相容原理： 自旋半整数的粒子，在一个量子态 不可能有一个以上的粒子。
自旋整数的粒子，不受泡利原理限制－玻色分布、 玻色粒子。
热统
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
统计4波尔兹曼统计
e
e
i i
i
gi e
ln z i Nz e e gi z N . i N e z
i e gi i
• 对比发现，只要取
S' 0
• 就恰好有：.
S k lnWsm ni
F E TS ,
ln z E N .
F NkT ln z.
ln z S Nk ln z ,
N (ln z ) 而 E 和P的计算公式是一样的。 P V .
所以Q可以写成：
凑 成
N
ln z d ln z d
全 微 N ln z 分 d ln z ,
N ln z 上式 Q d ln z
是Q的积分因子，
S k lnWsm ni
• 这个关系称为Boltzmann关系。同时，熵也有 了一个绝对的数值（即有了一个零点）。
W0 1 S0 k ln W0 0.
• Boltzmann关系是对平衡分布推导出来的， 但是“热力学几率”是对任何分布都存在 的，哪怕不是平衡分布。所以我们不妨假 设：对任何分布都有
作业：
• p.257, #5.21 （二维谐振子的能级是
n ( n 1)h
简并度是
gn n 1
（以上结论可以用分离变量法分解成2个一维谐振子 而得到））
• p.258, #5.26。
要点回顾
1. 玻尔兹曼分布
ni gi e
i
第六章玻耳兹曼统计ppt
§6.2 理想气体的物态方程
三、讨论：气体一般满足 e 1 经典极限条件是 e 1 考虑单原子分子气体 N 利用求出的单原子分子配分函数，代入 e Z
V 2 mkT e N h2
32
1
1
对一般气体来说，如果（1）N/V愈小，即气体愈稀 薄；（2）温度愈高；（3）分子质量愈大。经典极 （1）、（2）是理想气体条 限条件愈易得到满足。 件。所以理想气体一般满足 e 1 V 1 h 经典极限条件也往往采用右式表示 N 2 mkT h h 分子的德布罗意波长为 p 2m 若将ε理解为分子热运动的平均能量，并估 3 n 1 计为πkT ,经典极限条件又可表示为
§6.1 热力学量的统计表达式
例如：求以T、V为变量的特性函数的统计表达式 对定域系统
F NkT ln Z1
对满足经典极限条件的玻色（费米）系统
F NkT ln Z1 kT ln N !
玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是：先 求配分函数，再利用热力学量的统计公式求出 热力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子 的能级和能级简并度，利用配分函数的定义式 写出配分函数。
13 12
§6.3 麦克斯韦速度分布律
一、无外场条件下理想气体分子速度分布 分子速度分布情况用在单位体积内，分布在微小速 度区间的分子数反映。表示为 f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z
1. 麦克斯韦速度分布律 对满足经典极限条件的气体系统，在温度为T的平衡 态，在单位体积内，速度在vx —vx +dvx 、 vy—vy +dvy 、 vz —vz +dvz内的分子数为
第六章玻耳兹曼统计pptppt文档
第六章玻耳兹曼统计ppt
第五章指出：定域系统和满足经典极限条件的玻 色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计 思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据 等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概 率最大，其他分布实际上不出现，所以对这两类 系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平 均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的 热力学性质。
kT
上考式虑中到k两应个是互熵为S热的平函衡数的。系下统面合说起明来其总实能k与量熵守S恒无，关
这两个系统必有一个共同的β因子（习题6.5）， 正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，β
只能是温度的函数，不可能与熵有关 。
上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论 用于实际问题（例如理想气体）时得到k值为
本章主要内容
玻耳兹曼统计的热力学量表达式 玻耳兹曼统计的统计公式的应用 理想气体的物态方程，理想气体的内能和热容量， 固体热容量的爱因斯坦理论
玻耳兹曼统计的分布公式的应用 麦克斯韦速度分布律，能量均分定律， 两者的应用
§6.1 热力学量的统计表达式
本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表 达式。要解决的问题：宏观量（如：热力学基 本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏 观量是微观量的统计平均值去寻找联系。
§6.1 热力学量的统计表达式
五、经典统计理论中热力学函数的表达式
配分函数的经典表达式
§6.1 热力学量的统计表达式
由于熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满
足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 S k ln 仍然成立，则系统的微观状态数应换为 M.B. N!
S
Nk ln
Z1
ln
Z1
k
ln
N!
第五章指出：定域系统和满足经典极限条件的玻 色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计 思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据 等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概 率最大，其他分布实际上不出现，所以对这两类 系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平 均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的 热力学性质。
kT
上考式虑中到k两应个是互熵为S热的平函衡数的。系下统面合说起明来其总实能k与量熵守S恒无，关
这两个系统必有一个共同的β因子（习题6.5）， 正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，β
只能是温度的函数，不可能与熵有关 。
上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论 用于实际问题（例如理想气体）时得到k值为
本章主要内容
玻耳兹曼统计的热力学量表达式 玻耳兹曼统计的统计公式的应用 理想气体的物态方程，理想气体的内能和热容量， 固体热容量的爱因斯坦理论
玻耳兹曼统计的分布公式的应用 麦克斯韦速度分布律，能量均分定律， 两者的应用
§6.1 热力学量的统计表达式
本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表 达式。要解决的问题：宏观量（如：热力学基 本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏 观量是微观量的统计平均值去寻找联系。
§6.1 热力学量的统计表达式
五、经典统计理论中热力学函数的表达式
配分函数的经典表达式
§6.1 热力学量的统计表达式
由于熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满
足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 S k ln 仍然成立，则系统的微观状态数应换为 M.B. N!
S
Nk ln
Z1
ln
Z1
k
ln
N!
ZD(统计2讲)玻尔兹曼统计
（二）导出Maxwell分布
Maxwell分布着重处理系统按不同力学量（能量、速率、速度等）的分布， 因此在实际工作中，有广泛应用
1. 能量分布函数
总粒子数： N f B ( )( )d
Ae
/ kT
1/ 2
d
f B ( ) e e / kT , 1 V 3/ 2 1/ 2 ( )d (2 m ) d 2 3 4
概率
后来普朗克将其改写现在的形式： S kb .ln
简并度，态数目
玻尔兹曼博士其间的工作是试图从纯力学角度证明热力学第 二定律，结果失败。转而进入麦克斯韦的研究领域，成为欧洲大 陆科学家中第一位接受英国科学家麦克斯韦电磁学理论的人，并 最终成就一个大家。这件事在当时的欧洲有着非常重要的历史意 义：它不仅打破了英国科学家和欧洲科学家之间曾就是微积分是 牛顿还是莱布尼兹[德]发明的问题进行的长达 200年之久的争论而 形成的相互封锁局面，而且架起了英国科学家了解欧洲大陆科学 的研究概况的桥梁。 玻尔兹曼给学生的印象：身材不高，体格健壮，是一位天才 的雄辩者和演讲家，讲课思路简单清晰，从不照本宣读。为人无 拘无束，多愁善感，得到自己的美女学生艾根特拉的垂青而结婚。 妻子常称他为“胖胖的甜心”，因为心地柔软的玻尔兹曼每当不 得不离开她去开会时，总是泪水难抑，可见夫妻生活之美满。 玻尔兹曼理论以分子原子假说为基础（所以有h），受到了同 事马赫和奥斯特瓦尔德等人的强烈攻击。 “假说”<->”实证主义” ? “原子论”<->“唯能论”? 上吊自杀!
d e
dxdydzdpx dp y dpz
h3
2 2 V ( px p2 y p z ) / 2 mkT 3 e dp x dp y dp z h
MaxwellBoltzmann分布律.ppt
费米系统
离域子、粒子不可分辨、处在同一个量子态上的粒子数只限一个； 讨论能级εi 上ni个粒子放在ωi个量子态上的排列数 第1个粒子有 ωi 第2个粒子有 ωi-1 …… 第ni个粒子有 ωi-(ni-1) 种放法： 进一步考虑粒子不可分辨性，排列数为 则分布｛ni｝拥有的微 观状态数为： 宏观状态（N,V,E） 总的微观状态数 种放法： 种放法：
Lagrange不定乘数α,β由守恒条件确定
i N n e i i i i
（ 8）
i E n e ii i i i i
e
N i e i
i
（ 8）
β的数值现阶段还无法直接求解，以后我们会证明
由于δni受到守恒条件(4)(5)式的限制，应用Lagrange不定乘数法，分别用α、 β乘以(4)(5)两式，并减去(6)式
n i n ( i 1 , 2 , . . . ) i
7/2h
5/2h
3/2h
A： B： C：
1/2h
状态1 A: n=0 B: n=0 C: n=4
状态2 A: n=0 B: n=4 C: n=0
状态3 A: n=4 B: n=0 C: n=0
状态4 A: n=0 B: n=3 C: n=1
状态5 A: n=0
状态6 A: n=3 B: n=0 C: n=1
F D i i i i i n i i M B i i i i i i i i
玻色子分布与费米子分布在非简并条件趋向相同，都趋向 于麦-玻分布，显然N！是粒子不可分辨性代入的校正因子
从前面讨论可以看出：微观状态数Ω是宏观状态的状态函数，可以表示为 Ω(N,V,E)，事实上Ω是以N,V,E为特征变量的特性函数
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d ln t ( ln t / N1 )dN1 ( ln t / N 2 )dN2 ( ln t / N i )dNi
t t m
0
(2)
定位独立粒子体系，限制条件：
Φ 1 Ni N 0
或者
dN1 dN2 dNi 0
(3)
Φ2 Ni i U 0
g
Ni i
t C g C
N1 N N1 1
N2 N N1
g C
N2 2
Nk N N1 Nk 1
⑥式中方程形式都相同，以第一个为例求解： 由①式
ln t N ln N N Ni ln Ni Ni 对N1 求偏导：
1 ( ln t / N1 ) ln Ni Ni 1 ln Ni Ni
代入第一个方程
得到
( ln t / N1 ) β 1 0
则简并度
g 3
当能级有简并时定位体系的Bolzmann最概然分 布的分布数： 能级 简并度 粒子数
Є1 Є2 …… Єi
g1 N1
g2 …… gi N2 …… Ni
假设：每个量子态上分布的粒子数不受限制 则简并度为gi 的i能级上,每个粒子都有gi 个状态 可选，则Ni 个粒子的总微态数为： ∴ 某种分布的微态数为
α、β—Lagrange系数
据Lagrange乘因子法,选择、使公式中任两个括 号中值为零，则余下所有括号中值也都为零：
( ln t / N1 ) 1 0 ( ln t / N 2 ) 2 0
┆
(6)
( ln t / Ni ) i 0
2 h t 2 2 2 ( nx n y nz ) 2/3 8m V
nx、ny、nz—
分别是x、y、z轴向的平动量子数 取值为1，2，3…正整数 能级
h 6 2/3 8m V
t
2
nx ,ny,nz 可以取值：
(1,2,1)、(1,1,2)、(2,1,1)
能量相同的三种取值,有三种不同的微观状态,
tm Ω ntm
∴
n —求和项数
ln tm lnΩ ln n ln tm
对于由大量粒子组成的体系,据摘取最大项原理:
ln tm ln n
∴
则
lnΩ ln tm
S k lnΩ k ln tm
问题： tm = ？
解决方法：
N! 求ti极值 ti t m Ni !
k N ln N N U
S k[ N ln N N ln N N ln ei U ]
N 由e i e
ln N ln e
i
kN ln e
i
kU
1 kT
(10)
S kN ln e
i / kT
1 ln N1
∴
类推得通式：
N e
* 1
1
N e
* i
* i
i
i
（7）
∵
∴ ∴
N
* i
N e
i
e
e
i
e N / e
Ne N i e
i
i
（8）
用数学方法可证明:
1 kT
k—Boltzmann常数
i / kT
∴
Ne N i / kT e
* i
(9)
——Boltzmann最概然分布公式
∴ S k lnΩ k ln tm
N! k ln Ni !
i
N! tm Ni !
i
k[ln N!ln N !]
i
i i
Stirling公式
i
∴
就一种分布而言，分布的微态数
N! ti Ni !
i
N — 总粒子数 Ni — 分布于各能级上的粒子数 ∴ 体系总的微态数为
N! Ω ti Ni !
i
对于由大量粒子组成的体系, =
Boltzmann认为，在所有求和项中，有一项最大，用tm 表
示，(若只有一种分布时tm =Ω）则
或者ห้องสมุดไป่ตู้
1 dN1 2 dN2 i dNi 0 (4)
(3)α+(4)β+(2)=(5)
[( ln t / N1 ) 1 ]dN1 [( ln t / N 2 ) 2 ]dN 2
(5)
[( ln t / Ni ) i ]dN i 0
i
对式
N! ti Ni !
i
两边取对数：
ln t ln N! ln N i !
ln N ! N ln N N
N ln N N N i ln N i N i
∵
N ln N N [ N i ln N i N i ]
(1)
t 是粒子数的函数，对㏑t 求全微分
U T
由 F U TS U / kT U TkN ln e T T (11) ∴ F NkT ln ei / kT
i
二、Boltzmann公式的讨论 1. 简并度 量子力学中，每个能级可能由若干不同的量子 态,称同一能级（能量相同）的不同量子态数目为简 并度,用g表示。 比如气体分子的平动能:
k[ N ln N N N ln N N ]
k[ N ln N N ln N ]
i i
i N* e i
k[ N ln N N ( i )]
i
k[ N ln N Ni Ni i ]
§6-2
Boltzmann统计
一、定位体系的最概然分布 最概然分布： 热力学概率最大的分布或微观状态 数最多的一种分布。
例
4个不同粒子（可分辨）,在不同能级上分布，体
系总能量3h，分布如下：
3 3h 2 2h 1 h 0 0
t1 = C41 t2 = C43 t3 = C41 C31 =4!/(1!3!) =4!/(3!1!) = 4!/(2!1!1!) =4 =4 =12