《弧度制课件(人教A版必修)》课件
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5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册精品教学PPT
根据题意: 1 l R 4 ② 2
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
2 故该扇形的面积的最大值为245cm2，取得最大值时圆心角为 2 rad，弧长为 5 cm.
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
课件弧度制人教A版高中数学必修-册PPT课件_优秀版
，
（3）
．
135 （3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
解：（1）由于67°30′＝ 解：（1）由于67°30′＝
，
（2）－240°；
2 证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图）；
角的 ；
（3）1 200°．
135 π 3π 类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． 所以67°30′＝ rad＝ rad． （1） ；
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
（3）
．
第五章 三角函数
解：（1）由于67°30′＝
，
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
（3）
．
答案：（1） ；
下面证明（2）（3）．
5.1.2 弧度制 其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积． （1）终边在 轴上的角的集合
（（（222）））－2（4；0°；；4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
注意：今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
，
（3）1 200°．
（3）
．
背景 （2） ；
2．金版 P115-P116．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
数学人教A版必修第一册5.1任意角和弧度制课件
角的度量是否也能用不同的单位制？ 能否用十进制的实数来度量角？
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
1.1.2 弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 【完美 课件】
明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
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明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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人教A版必修 第一册 2 5.1.2 弧度制 课件
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
《弧度制》课件(新人教A版)
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
1.1.2
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180