高等数学第20讲_
高等数学第20课直角坐标系下二重积分的计算38
20直角坐标系下二重积分的计算第课课题直角坐标系下二重积分的计算课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握先对y、后对x的二次积分的计算方法；（2）掌握先对x、后对y的二次积分的计算方法；（3）掌握特殊情形下二重积分的计算方法思政育人目标：通过讲解直角坐标系下二重积分的计算，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：先对y、后对x的二次积分，先对x、后对y的二次积分的计算方法教学难点：特殊情形下二重积分的计算方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】讲解先对y、后对x的二次积分的计算，并通过例题讲解其应用如图11-2所示，如果区域D由直线x a x b==，与连续曲线12()()y x y xϕϕ==，围成，则称D为X-型区域，即12{()|()()}D x y a x b x y xϕϕ=，，．学习先对y、后对x的二次积分的计算，先对x、后对y的二次积分的计算。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课直角坐标系下二重积分的计算202图11-2按照二重积分的几何意义，二重积分()dDf x yσ⎰⎰，是以D为底，以曲面()z f x y=，为顶的曲顶柱体体积．下面来计算这个曲顶柱体的体积．如图11-3所示，在区间[]a b，上任意取定一点x，用平面0x x=去截曲顶柱体．设截面面积为()A x，则曲顶柱体的体积为()dbaA x x⎰，所以00()d()dbaDf x y A x xσ=⎰⎰⎰，．图11-3由图11-3可知，()A x是一个曲边梯形的面积．对于固定的x，此曲边梯形的曲边是由方程()z f x y=，确定的y的一元函数曲线，而底边沿着y轴方向从10()xϕ变到20()xϕ．因此，由曲边梯形的面积公式得2010()00()()()dxxA x f x y yϕϕ=⎰，．一般地，过区间[]a b，上任一点x，且平行于面yOz的平面，截曲顶柱体所得截面的面积为20直角坐标系下二重积分的计算 第 课321()()()()d x x A x f x y y ϕϕ=⎰，，于是得曲顶柱体的体积为21()()()d [()d ]d ，b bx aax V A x x f x y y x ϕϕ==⎰⎰⎰．从而21()()()d [()d ]d ，，bx ax Df x y f x y y x ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰．上式右端的积分称为先对y 、后对x 的二次积分（或累次积分），通常写成21()()()d d ()d bx ax Df x y x f x y y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰，，，于是，二重积分的计算就化成了计算两次定积分．第一次计算单积分21()()()()d x x A x f x y yϕϕ=⎰，时，把x 看成常量，y 是积分变量；第二次积分时，x 是积分变量．例1 计算下列二重积分：（1）22()d Dx y σ-⎰⎰，其中{()|0π0sin }D x y x y x =，，；（2）(1)sin d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是以(00)(10)(12)(01)，，，，，，，为顶点的梯形闭区域．解 （1）πsin π222223001()d d ()d (sin sin )d 3x Dx y x x y y x x x x σ-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ ππ2220140sin d (1cos )d(cos )π39x x x x x =+-=-⎰⎰． （2）由题意可知{()|0101}D x y x y x =+，，，所以第课直角坐标系下二重积分的计算204111000(1)sin d d(1)sin d(1)[1cos(1)]dxDx y x x y y x x xσ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰，令1t x=+，则原式213(cos)d cos1sin1cos22sin22t t t t=-=++--⎰．⏹【学生】掌握先对y、后对x的二次积分的计算方法⏹【教师】讲解先对x、后对y的二次积分的计算，并通过例题讲解其应用若积分区域可表示为12{()|()()}D x y y x y c y dψψ=，，，其中，12()()y yψψ，在区间[]c d，上连续，则称D为Y-型区域，如图11-4所示．与上节类似，如图11-5所示，用平行于坐标平面xOz的平面去截以区域D为底、以曲面()z f x y=，为顶的曲顶柱体，则可以得到21()()()d d()dd yc yDf x y y f x y xψψσ=⎰⎰⎰⎰，，，即将二重积分化为先对x、后对y的二次积分．图11-420直角坐标系下二重积分的计算 第 课5图11-5例 2 将二重积分()d Df x y σ⎰⎰，化为二次积分，其中积分区域D 是由抛物线2y x =与直线y x =所围成的闭区域．解 抛物线与直线的交点为(00)(11)，，，，画出积分区域D ，如图11-6所示，它可表示为2{()|01}D x y x x yx =，，，于是21()d d ()d xxDf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰，，；D 也可表示为{()|01}D x y y xy y =，，，于是1()d d ()d y yDf x y y f x y x σ=⎰⎰⎰⎰，，．图11-6⏹ 【学生】掌握先对x 、后对y 的二次积分的计算方法 课堂测验 （10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第课直角坐标系下二重积分的计算206⏹【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解特殊情形下二重积分的计算方法，并通过例题介绍其应用（1）若区域D是一个矩形，即{()|}D x y a x b c y d=，，，则()d d()d d()db d d ba c c aDf x y x f x y y y f x y xσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，．（2）若区域D是一个三角形区域，二重积分()dDf x yσ⎰⎰，的计算见例3．例 3 计算二重积分dDxyσ⎰⎰，其中D是由直线12y x y x===，，所围成的闭区域．解法一求得三条直线的交点分别为(21)(11)(22)，，，，，，若把D看成X-型区域，则{()|121}D x y x y x=，，，于是2 2222342111111111119d d d d d222848xxDxy x xy y xy x x x x x x σ⎡⎤⎛⎫⎡⎤===-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰．解法二求得三条直线的交点分别为(21)(11)(22)，，，，，，若把区域D看成Y-型区域，则{()|212}D x y y x y=，，，于是222222232411111119d d d d2d2288yyDxy y xy x x y y y y y y yσ⎡⎤⎛⎫⎡⎤===-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）若函数12()()()f x y f x f y=，可积，且区域{()|}D x y a x b c y d=，，，则()()12()d()d()db da cDf x y f x x f y yσ=⎰⎰⎰⎰，．例4计算二重积分e sin dxDyσ⎰⎰，其中D是由学习特殊情形下二重积分的计算方法。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
高等数学知识点归纳
六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. y " 表格; ( f "(x0 ) 0 )
2. 应用: (1)泰勒估计; (2) f ' 单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
(1)区别: *单变量与双变量?
* x [a,b] 与 x [a, ), x (, ) ?
(2)类型: * f ' 0, f (a) 0 ;
* f ' 0, f (b) 0
5
* f " 0, f (a), f (b) 0 ; * f "(x) 0, f '(x0) 0, f (x0) 0
(5)隐式(方程): F (x, y) 0
x x(t)
(6)参式(数一,二):
y
y (t )
(7)变限积分函数:
F(x)
x
f (x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三): S (x) anxn, x n0
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); ( f (x) 单调 x0 , (x x0 )( f (x) f (x0 )) 定号)
f
(x)
;
f
'(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
(1) f '(0) lim f (x) f (0) (注: lim f (x) A( f 连续) f (0) 0, f '(0) A )
x0
x
x0 x
(2)左右导:
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
考研数学第20讲
第20讲第20讲. 论证不能想当然微积分的基本概念“连续”，“可导”，都是逐点定义的，微局部意义的。
一元微分学讨论问题最讲究条件分析，目的在于夯实基础。
定义是最基本的游戏规则。
要揣测摩其微局部意义，尽可能深入理解定义，按定义思考，用定义推理。
切记不能想当然。
较简单而又较深刻的一个题目含于第9讲例46，值得重复一下.问题1 下两命题”谁是谁非？（A）函数f（x）在任意区间（0，b）连续，则f（x）在（0，+∞）连续。
（B）函数f（x）在任意区间（0，b）有界，则f（x）在（0，+∞）有界。
分析连续是逐点定义的。
“每点连续，区间连续。
区间连续则逐点连续。
”要证f（x）在（0，+∞）连续，必须且只需证明，在其内任取一点，f（x）连续。
在（0，+∞）内任取一点x 0 ，它必在某个区间（0，b）内。
（A）对。
“有界”的背景是区间。
不是微局部意义的概念。
虽然函数f（x）在任意区间（0，b）有界，但对于不同的b，相应的“界”可以不同。
显然，随着b的增大，“界”可能会越来越大。
（决不会减小。
）“问题连无穷，主动想极限。
”这就生成一个新的数列极限问题。
有可能没有极限，是无穷大。
例 199已知函数f（x）在x≥b 时连续，且当 x → +∞ 时f（x）有极限A ，试证明此函数有界。
分析用综合法走一步：本题即证，∣f（x）∣≤ C大家只学过，“闭区间上连续的函数一定有界。
”随便选一个充分大的数x 0，函数在有限（长）的 [b，x 0]上有界。
在那无穷的尾巴上，怎么估计函数的绝对值呢？已知条件表明，需要从数值上体念极限。
（高级动作！）x → +∞ 时函数有极限A ，即x → +∞ 时，函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。
这就是说，我们可以取到充分大的数x 0 ，使x＞x 0 时，恒有∣f（x）∣≤∣A∣ + 1 （潜台词：没什么理论！只需捉摸，体验“无限靠近”。
）在闭区间 [b，x 0] 上函数有最大值M，最小值m ，三个正数，∣A∣ + 1，∣M∣，∣m∣中，最大的那个就是我们需要的C（画外音：啊，我们“构造”出了函数的一个上界。
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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲 等差数列初步
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -“数列”就是一列数，也就是一些数排成一列．“等差”，就是差相等，也就是相邻两数的差都相等．特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，…和1，0，1，0，1，0，…的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况．在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，……依此类推． 我们把等差数列第1项称为首项，最后1项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，而相邻两项的的差则被称为公差．在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系．请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？ 第5项比第2项大几个公差呢？ 第7项比第1项大几个公差呢？ 第17项比第9项大几个公差呢？在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔m n -个公差．首项 第2项 第3项 第4项 第5项 +公差+公差+公差+公差+公差末项…… 第二十讲 等差数列初步如下图所示：更重要的是，首项其实就是第1项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于()1-项数．由此，我们就知道末项减去首项等于()1-项数个公差的和，因此()1=+-⨯末项首项项数公差由此可以得到等差数列的通项公式：()1=+-⨯末项首项项数公差同时我们还可以得到以下这些公式：()1=--⨯首项末项项数公差 ()()1=-÷-公差末项首项项数 ()1=-÷+项数末项首项公差在运用这些公式时，有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数．抓住这个关键点，很多问题便能迎刃而解．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1（1）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？ （2）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？ 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？练习1一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？例题2（1）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？ （2）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？ 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？…第m 项… …第n 项…第1项末项相隔m n -个公差练习2一个等差数列共有12项．每一项都比它的前一项小4，并且末项为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61差了几？相当于几个公差？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？练习4已知等差数列2、9、16、23、30，……那么709是其中的第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？与第19项呢？305又与200差了几？相当于几个公差？例题6下面的各算式是按规律排列的：11，23，35，17，29，311，113，215，317，……请写出其中所有结果为98的算式．分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98个数是几？课堂内外高斯生平高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称．18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法．通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果．在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）．其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用．高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上．高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日－1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉．1792年，15岁的高斯进入布伦瑞克（Braunschweig）学院．在那里，高斯开始对高等数学作研究．独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理（prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)．1795年高斯进入哥廷根大学．1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世．作业1.一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是几？2.一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是几？3.一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差为几？第20项为几？4.一个等差数列的第5项为47，第15项为87，这个等差数列的公差等于几？63是第几项？5.如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，……．按照这个规律，第19层有多少块砖？第二十讲 等差数列初步1. 例题1答案：（1）57；（2）9 详解：如下图：2. 例题2 答案：（1）62；（2）188 详解：如下图：3. 例题3答案：（1）6；（2）9 详解：如下：4. 例题4答案：（1）12；（2）13 详解：如下：5. 例题5答案：21；389；15 详解：如下图：总差：93588-= 公差数：88811÷= 项数：11112+= 总差：1305080-= 公差数：80810÷= 项数：101213++=总差：61754-=公差数：1019-=（个） 公差：5496÷= 总差：61754-=公差数：1046-=（个） 公差：5469÷=_62_，……， 125 ① ⑩_188_，……， 125 ① ⑩差1019-=（个）公差9763⨯= 12563188+=差1019-=（个）公差9763⨯= 1256362-= 33， 35， 37，……，_57_ ① ○13差13112-=个公差12224⨯=332457+=33， 31， 29，……，_9_ ① ○13差13112-=（个）公差12224⨯=33249-=6. 例题6答案：197+；395+详解：可能是1___98+=，2___98+=，3___98+=，则等差数列中可能是97、96、95，排除96，若为95，应是等差数列1、3、5……中的第48项，对应的周期数列1、2、3、1、2、3、……第48个数为3，395+等于98，所以这个算式395+．若为97，也满足，是197+． 7. 练习1答案：30简答：如下图：8. 练习2答案：100简答：如下图：9. 练习3 答案：6简答：如下：10. 练习4答案：102简答：项数=()709271102-÷+=． 11. 作业1答案：57总差：912566-=公差数：16511-=（个） 公差：66116÷= __， ……， 56 ① ○12差12111-=（个）公差11444⨯=5644100+=21， 22， 23，……，_30_ ① ○21 差1019-=（个）公差919⨯= 21930+=第1项到第10项：1019-=（个）公差 总差：20011189-= 公差：189921÷=总差：30511294-= 公差数：2942114÷=（个） 14115+=（个）200 ，……， ____ ⑩ ○19 差19109-=（个）公差921189⨯= 200189389+=简答：公差为2，首项与末项相差1019-=个公差，首项为759257-⨯=． 12.作业2 答案：93简答：首项与末项相差1019-=个公差，首项为759293+⨯=． 13.作业3答案：2；51简答：第9项与首项相差918-=个公差，公差为(2913)82-÷=．第20项为13(201)251+-⨯=． 14.作业4答案：4，9简答：第15项与第5项相差10个公差，公差为(8747)104-÷=．(6347)44-÷=，63与第5项差4个公差，所以是第9项． 15.作业5 答案：73简答：每层的砖数构成一个等差数列，首项是1，公差是4．第19项为118473+⨯=．。
高等数学讲义及答案
专题二 导数与微分........................................................................................ 11
一、导数................................................................................................................................. 11 1、函数在一点的导数.................................................................................................... 11 2、导函数........................................................................................................................ 12 3、高阶导数.................................................................................................................... 13 4、可导与连续................................................................................................................ 13
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第二十讲高阶导数
高阶导数的定义
1. 高阶导数的定义
在变速直线运动中，不但需要了解物体运动的速度v （t ）=ds dt
，有时还需要了解速度的变化，即物体运动的加速度，从变化率的角度看，就是速度关于时间的变化率，即a （t ）=dv dt =()d ds dt dt
.这就是说，对一个可导函数求导之后，还需研究其导函数的导函数。
定义2 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍是x 的可导函数时，则称y '=f '(x )的导数为做函数y =f (x )的二阶导数, 记作
y ''， f ''(x ) 或
22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dx dy dx d dx y d =.或22()()()d f x d df x dx dx dx
= 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数. 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n
n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.
y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅, y (n )都称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义，当质点作变速直线运动时，位移函数s=s （t ）的一阶导数,()s t 是瞬时速度v （t ）对时间t 的变化率，等于,()v t ，即位移函数s （t ）的二阶导数,,()s t 为变速直线运动的加速度a(t).
2. 高阶导数的运算
由高阶导数的定义可知，求函数的高阶导数只要连续运用求导的方法逐次求导即可，无须建立新的运算法则.
例1．y =ax +b , 求y ''.
解: y '=a , y ''=0.
例2．s =sin ω t , 求s ''.
解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .
例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.
证明: 因为2
2212222x x x x x x y --=--=',
22222222)
1(2x x x x x x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.
例4．求函数y =e x 的n 阶导数.
解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,
一般地, 可得
y ( n )=e x ,
即 (e x )(n )=e x .
例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.
解: y =sin x ,
)2
s i n (c o s π+=='x x y , )2
2s i n ()2 2 s i n ()2 c o s (ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )2
3s i n ()2 2 2s i n ()2 2c o s (ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )2
4sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得
)2 sin()(π⋅+=n x y n , 即)2
sin()(sin )(π⋅+=n x x n . 用类似方法, 可得)2
cos()(cos )(π⋅+=n x x n . 例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数
解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,
y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4,
一般地, 可得
y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(-n +1)(1+x )-n n
n x n )1()!1()1(1+--=-, 即 n
n n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.
解: y '=μx μ-1,
y ''=μ(μ-1)x μ-2,
y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,
y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,
一般地, 可得
y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,
即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .
当μ=n 时, 得到
(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .
而 (x n )( n +1)=0 .
如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处
具有n 阶导数, 且
(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .
(uv )'=u 'v +uv '
(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',
(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' , 用数学归纳法可以证明
∑=-=n
k k k n k n
n v u C uv 0)()()()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.
例8．y =x 2e 2x , 求y (20).
解: 设u =e 2x , v =x 2, 则
(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),
v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ , 20), 代入莱布尼茨公式, 得
y (20)=(u v )(20)=u (20)⋅v +C 201u (19)⋅v '+C 202u (18)⋅v '' =220e 2x ⋅ x 2+20 ⋅ 219e 2x ⋅ 2x !21920⋅+218e 2x ⋅ 2 =220e 2x (x 2+20x +95).。