[推荐学习]2018版高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积学案苏教版必修2

1.3.1 空间几何体的表面积1．了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)2．了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)．(易错点)3．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 几种特殊的多面体阅读教材P53的内容，完成下列问题．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱长都相等的长方体是正方体．(√)(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱．(√)(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱．(×)(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱．(√)教材整理2 几种简单几何体的侧面展开图与侧面积阅读教材P54的内容，完成下列问题．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积1．正三棱锥的底面边长为a ，高为33a ，则此棱锥的侧面积为________． 【解析】 如图，在正三棱锥S －ABC 中，过点S 作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连结AO 并延长与BC 相交于点M ，连结SM ，SM 即为斜高h ′，在Rt △SMO 中，h ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2.【答案】154a 22．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于__________．【解析】 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r ＝1，高h ＝1，所以侧面积S ＝2πrh ＝2π.【答案】 2π3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__________．【解析】 S ＝2π×1×2＋2π×12＝6π. 【答案】 6π[小组合作型]棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积.【精彩点拨】 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．【自主解答】 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PE 22＝PE 2，∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12.S 侧＝2S 底＝2×12＝24.∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．[再练一题]1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．【解】 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)．圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积已知圆锥的底面半径为R ，高为3R .若它的内接圆柱的底面半径为34R ，求该圆柱的全面积．【精彩点拨】 作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系． 【自主解答】 设圆柱底面半径为r ，高为h ， 由题意知r ＝34R ，∴h 3R ＝R －r R ，∴h ＝34R ，∴S 圆柱全＝2πr 2＋2πrh ＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫34R 2＋2π⎝ ⎛⎭⎪⎫34R 2＝94πR 2.1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．2．解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．[再练一题]2．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？【解】 如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.[探究共研型]几何体侧面积和全面积的实际应用探究 如图1－3－1(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图1－3－1(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积与正方体的表面积之比为多少？(1) (2)图1－3－1【提示】 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表(2)＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝(2＋2)a 2. S 表(2)∶S 表(1)＝(2＋2)a 2∶6×⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝(2＋2)∶3.用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm ，桶底直径为25 cm ，母线长是27.5 cm ，已知每平方米需要油漆150 g ，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)【精彩点拨】 求水桶的表面积→计算总油漆量．【自主解答】 每个水桶需要涂油漆的面积为S ＝(S 桶底＋S 侧)×2 ＝π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫0.2522＋0.252×0.275＋0.32×0.275×2＝0.182 5π(m 2)，因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)．对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题．[再练一题]3．一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)【解】 圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122≈1.6(m 2)，所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)， 即10.9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．1．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a ，则它的表面积是________． 【解析】 正六棱柱的表面积为6a 2＋33a 2. 【答案】 6a 2＋33a 22．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________． 【解析】 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 【答案】 67π3．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________.【解析】 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR .故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .【答案】 4πS4．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面面积是________．【解析】 底面对角线为92－52＝214和152－52＝102，底面边长为14＋50＝8，所以S 侧＝4×8×5＝160.【答案】 1605．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m ，侧棱长为2.3 m ，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m 2)【解】 如图所示，设SE 是侧面三角形ABS 的高，则SE 就是正四棱锥的斜高． 在Rt △SAE 中，SA ＝2.3 m ，AE ＝1.35 m ， 所以SE ＝ 2.32－1.352≈1.86(m)， 而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)， 所以S 棱锥侧≈12×10.8×1.86≈10.0(m 2)．故需要油毡纸约10.0 m 2.。