数论知识点之整除与余数

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小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题培训资料

小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

数论的整除性与同余定理

数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。

其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。

本文将围绕这两个概念展开详细讲解。

整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。

如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。

整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。

数的整除性有很多有趣的性质。

首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。

即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。

2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。

3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。

这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。

比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。

这个结论有时被称为“整除与传递”。

它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。

在数论中，同余定理是另一个重要的概念。

同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。

如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。

同余关系也具有一些有趣的性质。

同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。

下面分别进行详细介绍。

1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。

也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。

2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。

也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。

3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。

除法中的整除与余数概念解析知识点总结

除法中的整除与余数概念解析知识点总结除法是数学中的一项基本运算，常用于将一个数与另一个数进行分割。

在除法运算中，有两个重要概念：整除和余数。

本文将对这两个概念进行解析，并总结相关的知识点。

一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数的情况。

常用的符号表示是用“|”表示，例如a能整除b，可以写作a|b。

如果一个数能被另一个数整除，那么被除数就是整数除数的倍数。

例如，4能整除12，可以表示为4|12。

这意味着12是4的倍数，可以用4乘以3得到12。

同样地，一个数也一定能被1整除。

整除的特点：1. 一个数能够被自身整除，例如a|a。

2. 一个数能够整除1，例如1|a。

3. 一个数能够整除0，例如a|0。

注意到0除以任何非零数都是0。

二、余数的概念余数是指在进行除法运算时，被除数中剩下的未被整除的部分。

用符号“%”表示余数。

例如，a除以b的余数可以表示为a%b。

例如，7除以2，商是3，余数是1，可以表示为7÷2=3...1，或者7%2=1。

这意味着7除以2得到的商是3，余数是1。

余数的特点：1. 如果一个数能够整除另一个数，那么余数为0。

例如，4除以2，商是2，余数是0。

2. 余数一定小于除数。

三、整除和余数的应用整除和余数在数学中有着广泛的应用，尤其在代数、数论以及计算机科学领域。

1. 判断整除：通过判断一个数能否被另一个数整除，可以得到结论。

例如，判断一个数能否被2整除，可以观察该数的个位数是否为偶数。

2. 模运算：在计算机科学中，余数的概念常被应用于模运算，即求除法运算的余数。

例如，判断一个数是奇数还是偶数，可以进行模2运算，如果余数为0，则为偶数；如果余数为1，则为奇数。

3. 素数判断：判断一个数是否为素数，可以利用整除的概念。

如果一个数除以2至少有一个整数解，那么该数就不是素数。

4. 重复数字判断：通过整除和余数的概念，可以判断一个数是否存在重复数字。

例如，如果一个三位数能整除10，那么它至少有一位是0，这就是存在重复数字。

初等数论第一章整除

a b
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注：（1）连续n个整数中必有一个数被n整除。可作为一个定理，在证明整除问题时非常有用。（2）注意整数的各种表示。例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数若 5 | a 1或又所以即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3

n2 2

n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数字和的差必能被9整除。

小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题

所以答案为 11．
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….20102011，则这个数除以 9 余数是 1. 无敌乱切，按 1/2/3/4 到 2011 的等差数列求和，看除以 9 的余数；
2.3.3 同余定理
2.3.2.1 同余定义和充要条件
定义: 用给定的正整数 m 分别除整数 a、b，如果所得的余数相等，则称 a、 b 关于模 m 同余或 a 同余于 b 模 m，记作 a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8），式子称为同余式，m 称为该同余式的模。
的余数是多少？
奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115
偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53
115-53=62；62÷11，余 7；
【例】求
被 13 除余数是多少？
解：注意 13|111111，即每连续 6 个 1 是 13 的倍数，且 2012 除以 6 余 2，
2.2.4 三位一截判别法（用以判别能否被 7/11/13 整除）
2.2.4.1 基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被 7、11、13 整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为 372，求两者差看能否被 7 整除，同样，不够减前面加 1 个或多个 7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2 特殊用法 ① 一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数 7 的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看 7 的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看 7 的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减 7 后为 1 到 9 间的自然数，则加或减 7 后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为 5 463925□01234，答案为 1 和 8 ② 特殊求空格数根据整除的因数性，如果 1 个数能被 1001 整除，则这个数能被 7、11、13、

余数知识点总结

余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。

例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。

一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。

二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。

这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。

所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。

所以余数r必然小于b。

2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。

3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。

4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。

5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。

即a^n%m=(a%m)^n%m。

6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。

即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。

三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。

例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。

2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。

在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。

例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。

3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。

余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。

第5讲数论(数的整除)

第5讲数论（数的整除）1、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

整除属于除尽的一种特殊情况。

2、整除的基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（可加性）（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（可乘性）（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除；（传递性）（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。

3、15以内数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

（2）能被5整除的数的特征：个位是0或5。

（3）能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

（对于数位较多的数，可用“奇三位”和减去“偶三位”和。

）例1：（1）判断13574是否是11的倍数；（2）判断1059282是否是7的倍数；（3）判断3546725能否被13整除。

练习：126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有____________________________________________；8的倍数有____________________________。

小奥数论整除和余数知识点总结及例题

1. 数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质整数a 除以整数b （b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

2.2数的整除的判别法各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。

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整除
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个
数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这
个数能被7、11或13整除.
5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则
拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．
性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；
余数
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的
余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的减法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．
二、同余定理
1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711
（）能被3整除．
（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－
b)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；
⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇
数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
奇偶
一、奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
二、两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：对于任意2个整数a ,b ,有a +b 与a -b 同奇或同偶
位值原理
一、位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

二、位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =
a ×100000+
b ×10000+
c ×1000+
d ×100+
e ×10+
f 。

三、解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答
进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数
字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形
式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：
一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）
共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）
进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．
4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
1110110n n n n k n n a a a a a k a k
a k a ---=⨯+⨯++⨯+ （）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ；
二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数
如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.k进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

6.进制间的转换：
一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．。