数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论专题-余数问题
数论专题一、带余除法及同余余数的可加性余数的可乘性例1(★)一排吊灯，3个3个地数剩1个，4个4个地数剩1个，6个6个地数剩1个，这排吊灯至少有多少个？例2一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
例3求乘积34×37除以13所得的余数例4 19983除以7余数是多少。
练习1 求33335555+ 55553333被7除的余数。
例5 55555555573⋅⋅⋅÷个的余数是多少？二、位值原理例1、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除例2、有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
例3、某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。
数论综合：1、某校的学生总数是一个三位数，平均每个班有35人，统计员提供的学生总数比实际总数少270人，原来，他在记录时粗心的将这个三位数的百位与十位数字对调了。
这个学校的学生最多是多少人？2、一次数学考试共有20道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答题不得分，小明得了23分，已知他未答题目是偶数，他答错了几道？3、A.B.C.E.F.G七盏灯各自装有拉线开关，开始B.D.F亮着，一个小朋友从A到G再从A 到G，再……的顺序拉开关，一共拉了2000次，问此时哪几盏灯是亮着的。
4、“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”这就是著名的哥德巴赫猜想，例如8=5+3.但是8只有一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示成不同质数之和的形式，那么，能有两种表示成不同质数之和的形式的最小自然数是几？5.有1,2,3,4,5,6,7,8,9,九张牌，甲乙丙各拿了3张，甲说：我的三张牌的积是48:；乙说：我的三张牌的和是15，丙说：我的三张牌的积是63,。
问，他们各拿的是哪三张牌？6、李老师带领同学们去植树，学生们按人数分恰好分成三组，已知他们共种了312棵树，老师和学生每人种的树一样多，且不超过10棵。
数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。
小学奥数题库《数论》余数问题同余5星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-同余-5星题课程目标知识提要同余•定义同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为a≡b（mod m），这个式子叫做同余式，读作：a同余于b，模m．•性质及推论（1）若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
（2）用式子表示为：如果有a≡b（mod m），那么一定有a - b = mk、k是整数，m|（a - b）精选例题同余1. 若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d−r的最大值是．【答案】35【分析】（1）2017−1029=988，1029−725=304，因为2017，1029与725除以d的余数均为r，所以d∣988，d∣304，d是988和304的公约数．（2）988=22×13×19，304=24×19，所以d可以是2，4，19，38，76．（3）经检验2017，1029与725除以76的余数依次为41，41，41；2017，1029与725除以38的余数依次为3，3，3；（2017，1029与725除以2的余数均为1，2017，1029与725除以4的余数均为1，2017，1029与725除以19的余数依次为3，3，3；）（4）d−r的最大值是35．2. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=．【答案】43【分析】n能整除63+91+129−25=258．因为25÷3=8⋯⋯1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．3. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【答案】17【分析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90+164= 254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254−220=34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．4. 20092009的各位数字和为A，A的各位数字和为B，B的各位数字和为C，C的各位数字和为D，D的各位数字和为E，求E．【答案】5【分析】ABCD除以9的余数应该相同．20092009除以9的余数和22009除以9的余数相同，而2的乘方除以9的余数依次为2、4、8、7、5、1、2⋯⋯6个数一循环，故而22009除以9的余数等同于2的5次方除以9，余数为5．20092009小于100002009，所以一定不多于8037位，数字和不会超过72333，故而B小于72333．B最多为5位数，数字和不会超过45，所以C是两位数，故而D不会超过18，E一定是一个1位数．所以E=5．5. 请证明p4≡1(mod240)，其中p是大于5的质数．【答案】见解析【分析】p4−1=(p2+1)(p+1)(p−1)，240=24×3×5，由于p不是3的倍数，则p+1、p−1必有一个3的倍数；由于p的尾数只能是1、3、7、9，则p+1、p−1、P2+1必有一个尾数为0，是5的倍数；p+1、p−1、P2+1都是偶数，其中p+1、p−1是连续偶数，必有一个是4的倍数，所以至少有4个质因数2．6. 我们将具有如下性质的自然数 K 称为“高思数”：如果一个整数 M 能被 K 整除，则把 M 的各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被 K 整除，请求出所有的“高思数”．【答案】 1、3、9、11、33、99【分析】 易知，1 必为“高思数”；因为一个数反序重写数字和不变，所以 3、9 为“高思数”；因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以 11 为“高思数”，由整除规律，33、99 也是“高思数“．除此之外，感觉是没有了，下面给出证明．引理（可以看做是先证明一个小结论）：对于任意的不含 2 或 5 的正整数 n ，形如 1、11、111、1111、…的数中一定有无数个是 n 的倍数．证明：由于 1,11,111,1111,⋯,11⋯1⏟n+1个1这 n +1 个数中一定存在 2 个数关于 n 同余，那么这两个数的差一定是 n 的倍数，而这两个数的差是形如 11⋯1⏟a 个100⋯0⏟b 个0 的数，说明 11⋯1⏟a 个1是 n 的倍数，同理可得这里面有无数个数是 n 的倍数．首先说明“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．因为，“高思数”肯定不是偶数，否则肯定能得到它的某个倍数的首位是 1，那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数．同理，“高思数”的个位数字也不能是 5．所以“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．若 K 是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数 l 使得 K ∣11⋯1⏟l 个1，那么 K ∣77⋯7⏟l 个7，进一步得 K ∣77⋯1⏟l 个700⋯0⏟(l−1)个0+77⋯1⏟l 个7，即 K ∣77⋯7⏟(l−2)个78477⋯7⏟(l−1)个7，利用“高思数”的性质得 K ∣77⋯7⏟(l−1)个74877⋯7⏟(l−2)个7，利用整除的性质得 K ∣77⋯7⏟(l−2)个78477⋯7⏟(l−1)个7−77⋯7⏟(l−1)个74877⋯7⏟(l−2)个7，即 K ∣9900⋯0⏟(l−2)个0．因为“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9，所以“高思数”分解质因数后一定不含质因数 2 和 5，故 K ∣99，所以 K 只可能是 1、3、9、11、33、99，经验证这 6 个都是“高思数”，至此已求出所有的“高思数”．7. 在给定的圆周上有 100 个点．任取一点标上 1；按顺时针方向从标有 1 的点往后数 2 个点，标上 2；从标有 2 的点再往后数 3 个点，标上 3 ……依此类推，直至在圆周上标出 100．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．请问：标有 100 的那个点上标出的数最小是多少？【答案】 75【分析】 标有 100 的那个点是从标有 1 的点开始数（包括标有 1 的这个点）1+2+⋯+100=5050 的点，所以这个点上标的数是符合 1+2+⋯+n ≡5050(mod100) 的点，即 n(n+1)2≡50(mod100)，故 n(n +1)≡0(mod100)，由于 n 和 n +1 互质，要想乘积是 100 的倍数，那么 n 和 n +1 中有一个数要是 25 的倍数，可能的情况有 (24,25)、(25,26)、(49,50)、(50,51)、(74,75)、(75,76)，很明显只有 (24,25) 和 (75,76) 可能符合，经检验，只有 (75,76) 符合，说明这个点上还标有 75，所以标有 100 的那个点上标出的数最小是 75．8. 任意给定一个正整数 n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数．【答案】 见解析．【分析】 考虑如下 n +1 个数：7，77，777，⋯⋯，77⋯7⏟n 位，77⋯7⏟n+1位，这 n +1 个数除以 n 的余数只能为 0，1，2，⋯⋯，n −1 中之一，共 n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 n 的余数相同，不妨设为 77⋯7⏟p 位和 77⋯7⏟q 位（p >q ），那么 77⋯7⏟p 位−77⋯7⏟q 位=77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位 是 n 的倍数，所以 n 乘以适当的整数，可以得到形式为 77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位的数，即由 0 和 7 组成的数．9. 学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【答案】 17【分析】 设学校一共有 A 个班级，则有：118≡67(modA)≡33(modA)，据同余性质，可知 x 为它们两两差的约数，118−67=51，118−33=85，67−33=34，(51,85,34)=17，所以学校共有 17 个班10. 一个不超过 200 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是 5；如果用六进制表示，那么它的数字之和是 8；如果用八进制表示，那么它的数字之和是 9．如果用十进制表示，那么这个数是多少？【答案】 23【分析】 根据结论：“在 n 进制中，一个自然数与它的数字和模 (n −1) 同余”，所以这个数 {÷3⋯2,÷5⋯3,÷7⋯2, 利用物不知数可以求出符合的答案为 23、128、233、…，符合“不超过 200”的只有 23 和 128，经检验，23=(113)4=(35)6=(27)8，128=(2000)4=(332)6=(200)8，只有 23 符合．11. 求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数．【答案】 见解析．【分析】 1996÷4=499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数．取 500 个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500 个 1）．用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余数 a 1，a 2，a 3，⋯，a 500．由于余数只能取 0，1，2，⋯，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：11⋯100⋯0．又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数．12. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120 整除．这个正整数最小是多少？【答案】 117【分析】 先将 120 分解质因数 120=23×3×5，设这个数为 A ，依题意得后来的两个数分別是 A +75 和 A +48，这两个数相差 (A +75)−(A +48)=27．因为 27 是 3 的倍数，所以 A +75 和 A +48 除以 3 的余数相同；因为 (A +75)(A +48) 是 120 的倍数，所以 A +75 和 A +48 都是 3 的倍数．因为 27 不是 5 的倍数，所以 A +75 和 A +48 中只有 1 个是 5 的倍数；因为 27 和 8 互质，所以 A +75 和 A +48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A +75 和 A +48 都不是 120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的倍数，说明 A +75 和 A +48 中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数．综上，A +75 和 A +48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数．若 A +75 是 15 的倍数．A +48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的倍数，最小是 120；若 A +75 是 24 的倍数，A +48 是 15 的倍数，则 {A ÷24⋯21,A ÷15⋯12,所以 A 最小是 117． 所以这个正整数最小是 117．13. 设 20092009 的各位数字之和为 A ，A 的各位数字之和为 B ，B 的各位数字之和为 C ，C 的各位数字之和为 D ，那么 D =？【答案】 5【分析】 由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以 20092009 与 A 、B 、C 、D 除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 20092009 除以 9 的余数与 22009 除以 9 的余数相同，而 26=64 除以 9 的余数为 1，所以 22009=26×334+5=(26)334×25 除以 9 的余数为 25 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009<100002009=108036，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9×8036=72324，即 A ⩽72324；那么 A 的各位数字之和 B <9×5=45，B 的各位数字之和 C <9×2=18，C 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14，C 的各位数字之和为 5，即 D =5．14. 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3,⋯,12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除．请问：这一家的电话号码是多少？【答案】388089【分析】设第一家住户的电话号码为n+1，则1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,⋯,12∣n+12,由此可知n能被1∼12同时整除，而1∼12的最小公倍数为23×32×5×7×11=27720，则n=27720m，其中m为正整数．由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)，所以m=14时满足条件，这一家的电话号码为27720×14+9=388089．15. 设2n+1是质数，证明：12，22，⋯，n2被2n+1除所得的余数各不相同．【答案】见解析．【分析】假设有两个数a、b，（1⩽b<a⩽n），它们的平方a2，b2被2n+1除余数相同．那么，由同余定理得a2−b2≡0( mod(2n+1))，即(a−b)(a+b)≡0( mod(2n+1))，由于2n+1是质数，所以a+b≡0( mod(2n+1))或a−b≡0( mod(2n+1))，由于a+ b，a−b均小于2n+1且大于0，可知，a+b与2n+1互质，a−b也与2n+1互质，即a+b，a−b都不能被2n+1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．16. 三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理游戏．小强和小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安，小安告诉小强和小花，他将分别把两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）．小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：小花所选的数是多少？【答案】1004【分析】首先小强和小花肯定都没有选0，否则一看就知道2008是和，就能知道对方的数．设这两个数分别为强和花，首先，很明显强∣2008，否则立刻盼断出2008是和，花= 2008−强，此时小强是因为无法确定2008是和还是积导致无法判断出小花的数．同理，花∣2008．此时小花也知道了强∣2008，小花会这样进行推理：如果2008是积，那么与已知的情况都符合；如果2008是和，那么由强∣2008知2008−花∣2008，如果2008−花不能整除2008，小花立刻就知道2008不是和，是积，就能知道小强的数．由于实际上小花无法确定小强的数，说明花∣2008的同时2008−花∣2008．而2008=23×251，枚举出它所有的约数：1、2008、2、1004、4、502、8、251，经检验只有1004符合，所以小花所选的数是1004．17. 在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于．第十一届+华杯赛2006【答案】35【分析】根据弃九法两个加数除以9的余数与他们和除以9的余数相同，因为2006除以9余8，所以第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和除以9的余数为8，再根据加法规则，“第”=1．“届+赛”=6或“届+赛”=16．若“届+赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”十“杯”=10只能“一”、“杯”分别为3或7．此时“十+华”=9，“十”、“华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），但1，2，3，4均已被取，不能再取．所以，“届+赛”=6填不出来，只能是“届+赛”=16，“十+华”+1=10，也就是“一+杯”=9同时“十+华”=9．所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．。
数论问题10种题型例题精讲和练习题汇总
数论问题10种题型例题精讲和练习题汇总
小编寄语：数论问题是学习中的难点，华杯赛尤其热衷数论题目，数论问题细分起来可以分为10种题型，他们分别是：数的整除,约数倍数,余数问题,质数合数、分解质因数,奇偶分析,中国剩余定理,位值原理,完全平方数,整数拆分,进位制。
下面是网编辑为您收集的这14种题型的例题精讲以及专项训练，希望对您的学习有帮助。
1、数论问题之数的整除：五年级整除的性质解析（1-5）
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3、数论问题之约数倍数：关于最小公倍数的应用题解析
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5、数论问题之余数问题：定义、性质、定理。
余数问题
整数专题之二：余数问题一、带余除法：除数⨯商=被除数-余数例1：2023被一个数去除，得到余数是23，那么这个数最小是_____；二、尾数问题：1、个位问题：一个数的与另一个数的四则运算，只有它们的个位数字与运算结果的个位有关；形如n a 的个位规律：44411422433,,,n n n n a a a a a a a a +++→→→→；例2：（1）235678⨯345953-2345的个位数字是____；（2）20073的个位数字是_____；（3）20062008的个位数字是_____；（4）a =100！=1⨯2⨯3⨯⋯⨯100，那么a 的末尾有_____个“0”；（5）a =1！+2！+3！+⋯+2008！，那么a 的末两位数是_____；（6）“1+12+123+1234+12341+123412+1234123+⋯+200812341234位”计算结果的末四位数是______；三、同余问题：1、定义1：两个整数a 、b 同被正整数p 来整除，若余数相同，则称a 与b 对模p 同余，记作：a ≡b (modp)，或者p|a-b 。
可见：当a ≡0 (modp)时，p 整除a 。
2、性质：（1）a ≡a (modp) (反身性)（2）若a ≡b (modp)，则b ≡a (modp)（对称性）（3）a ≡b (modp) ，b ≡c(modp), a ≡c (modp) (传递性)（4）a ≡b (modp) c ≡d (modp) 则a ±c ≡b±d (modp)（5） a ≡b (modp) c ≡d (modp) 则ac ≡bd (modp)（6） a ≡b (modp) 则ac ≡bc (modp)（7） a ≡b (modp) 则a n ≡b n (modp)（n 为正整数）（8） n ⨯a ≡n ⨯b (modn ⨯p) 则a ≡b (modp)（n 为正整数）（9）a ≡b (modp)则a ≡b ±kp (modp) (k 为正整数)（10）a ≡b (modp 1),a ≡b (modp 2),…,a ≡b (modp k )则a ≡b (modP) P=[p 1，p 2，…，p k ]例3：（1）“1998⨯3627”的计算结果除以19的余数为______；（2）“216⨯34⨯45+112⨯23-490÷35”的计算结果除以13的余数为______；（3）“20062007+20072006”计算结果的个位数字是______；（3）“20062007+20072006”计算结果被7除余______；（4）“2006555个”除以7的的余数是_____，除以9的余数是_____；（5）“20062006200620062006 个”除以11的余数是______，除以13的余数是______；（6）“19901991…20052006”除以55的余数是______；四、中国剩余定理在中国古代的《孙子算经》里，有这样一个问题：例4：题曰：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰二十三。
小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理2星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-中国剩余定理-2星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少人．【答案】59．【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，凑缺相同，这个班人数为[3、4、5、6]−1=59（人）．2. 一个数，除以11余7，除以13余9，除以19余15，问满足条件的最小自然数是．【答案】2713．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，这样得[11、13、19]−4=2713．3. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】43．【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7]=35，所以这个数就是35+8=43．4. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为．【答案】323．【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323．5. 一个大于100的数，除以9余3，除以11余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】111．【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12，这样我们可以把余数都处理成都余12，所以[9、11]=99，所以这个数就是99+12=111．6. 一个大于2000数，除以11余5，除以13余3，除以17余16，问满足条件的最小自然数为．【答案】2447．【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是11+5=13+3= 16，这样我们可以把余数都处理成都余16，所以[11、13、17]=2431，所以这个数就是2431+16=2447．7. 有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【答案】354【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4，如果增加6块就刚好是8、9、10的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360−6=354(块)．8. 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是．【答案】41【分析】这个自然数除以2、4、5都余1，[2,4,5]=20，所以这个数应满足1+20n，同时除以3余2，所以最小是41．9. 有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少个．【答案】62【分析】设有x个苹果．因为11除以3余2，所以x除以3余2；因为10除以4余2，所以x除以4余2；因为12除以5余2，所以x除以5余2．又因为x大于12，x=[3,4,5]+2=60+2=62（个）．10. 一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为．【答案】1078．【分析】n除以15余13：最小为13，通式为13+15k1；n除以13余12：k1最小为6，则有13+15×6=103，通式为103+[15,13]k2=103+ 195k2．n除以11余0：k2最小为5，则有103+195×5=1078．11. 一个大于3的数，除以7余4，除以9余6，除以11余8，问满足条件的最小自然数是．【答案】690．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除，这样得[7、9、11]−3=690．12. 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是．【答案】103．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这样得[3、5、7]−2=103．13. 小明心里想了一个正整数．并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是．【答案】41【分析】该整数除以14的余数不大于13，除以21余数不大于20，所以这两个余数的和不大于33，而由题有这两个余数的和恰好是33，所以该整数除以14余数是13，除以21余数是20．这个数加上1就是14和21的倍数，而[14,21]=42，所以这个数可以表示成42k−1的形式，被42除的余数是41．14. 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级人数应该是人．【答案】127【分析】根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a，则a÷3⋯⋯1 ①a÷5⋯⋯2 ②a÷7⋯⋯1 ③符合条件①的有1，4，7，10，13，16，⋯．同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+15m均满足①、②；现在来看(7+15m)除以7余1，则15m除以7余1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22．以后每隔[3,5,7]=105即符合．由于该年级有100多名学生，为22+105= 127．15. 某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．【答案】62【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2，因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.16. 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是．【答案】998【分析】观察到11−8＝13−10＝3，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11×13−3＝140,设某数为a，则a＝143m−3m为非零自然数，只需143m−3除以17余12，而143÷17＝8⋯7,只需(7m−3)÷17＝n⋯12,即7m−15是17的倍数所以，m＝7，所以a＝143×7−3＝998.17. —个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是．【答案】104或119【分析】被3除余2，被5除余4，求出3和5的最小公倍数15，估算15的哪一个倍数大于100小于125，经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然数是104或119．18. 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．【答案】157【分析】（解法一）先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4；用剩余定理得5×7×5+5×9×1+7×9×4=472[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−315=157，且也符合除以2余1．（解法二）除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；除以7余3的数有：3，10，17⋯；所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3”的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17（n为自然数）此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70⋯2+17=15719. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【答案】323【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[5,7,9]=315所以这个数最小为315+8=323.20. 红星小学组织学生划船．若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人．如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有人．【答案】142【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成17m+6的形式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么有17m+6=10n+2，化简得17m+4=10n，经分析m的个位只能是8．又学生的人数超过100、不到200，所以m=8，学生的人数是17×8+6=142．21. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．【答案】148【分析】观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5＋3＝7＋1＝8,这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a＝35m＋8,下一步只需要a除以9余4，35÷9＝3⋯8,只需8＋8m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m＝4，因此满足所有条件的最小自然数为8＋35×4＝148.22. 有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数写在这里．【答案】31，94【分析】除以7余3的数有：3，10，17，24，31⋯；除以9余4的数有：4，13，22，31⋯；所以满足“除以7余3，除以9余4”的数的形式为[7,9]n+31=63n+31（n为自然数）按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31，94．23. 在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个．【答案】6【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1．有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89，共6个数．24. 一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小的奇数．【答案】1523．【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．25. 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，则这个数最小是．【答案】419．【分析】分析题意知，这个数加1就能被2,3,4,5,6,7整除，所以这个数为[2、3、4、5、6、7]−1=420−1=419．26. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数．【答案】23．【分析】由中国剩余定理得这个数为23．27. （1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？【答案】（1）3；（2）31【分析】（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3．（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．28. 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩三，问物几何？【答案】59【分析】70×2+21×4+15×3=269；269−105−105=59；29. 小朋友们做游戏，若7人分成一组，则最后余下5人；若9人分成一组，则最后余下5人；若11人分成一组，则最后余下5人．那么一起做游戏的小朋友至少有人．【答案】698【分析】分析题意知，小朋友的人数是7，9，11的公倍数减5，所以做游戏的小朋友的人至少有[7、9、11]+5=698（人）30. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【答案】670．【分析】由题意知，这批数的总数除以24余22，除以28余26，除以32余30，[24、28、32]=672，所以这批书的数量为672k−2，又因为这批图书总数在1000本以内，所以k=1，这本书为670．31. 已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？【答案】1303【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以11余1的数．比较麻烦．实际上，观察可知11+5=9+7=13+3=16,也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小公倍数加上16，为11×9×13+16=1303.32. 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？【答案】11【分析】．简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满足条件的只有17，所以这个自然数是17，所以余数中最大的是130除以17的余数1133. —个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？【答案】11【分析】简答：除以5余4，除以4余3，除以3余2的数最小是59，满足上述条件的100以上的数是59加上若干个60，如119、179等，这些数除以12余11．34. （1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，⋯，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，⋯，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？【答案】（1）23；（2）165【分析】（1）采用逐步满足条件法．满足条件第二个条件的数位1、12、23、⋯发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23．（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．35. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用中国剩余定理求解）【答案】1102【分析】70+21×2+15×3=70+42+45=157，157+105n在1000到1200之间．可以先写成52+105n，105×10+1050，1050+52=1102．36. 已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．【答案】77和78【分析】两个连续的两位数除以5的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以5余2．除以6的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以6余2或余5．除以7的余数之和是1，则可以判断出第一个数除以7余0．满足第一、三两个条件的数有7、42、77，再考虑第二个条件，只有77满足．因此这两个数为77和78．37. 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？【答案】999【分析】这是一道余同的问题．满足条件的数可以表示为[4,6]×n+3，其中n为自然数．要求满足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]×83+3=999．38. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【答案】140．【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11−8=13−10=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143，所以这个数是143−3=140．39. 被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？【答案】31【分析】除1以外，被2除余1的所有整数是：3,5,7,9,11,⋯,27,29,31,33,⋯被3除余1的所有整数是：4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,⋯被5除余1的所有整数是：6,11,16,21,26,31,36,⋯上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数．40. 有5000多根牙签，可按6种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根．如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？【答案】5039【分析】设这包牙签有n根，那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包．所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520，即n+1是2520的倍数，在满足题下只能是2520×2=5040，所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．41. 炒饭老师非常喜欢吃炒饭．有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭．他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗．问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？【答案】62【分析】炒饭老师炒的饭的碗数减去2是3，4，5的公倍数，所以老师炒的饭的最小值为[3,4,5]+2=60+2=62（碗）．42. 被3，5除余2的最小两位数是几？【答案】2【分析】被5除余2的所有整数是：2,7,12,17,22,27,32,37⋯被3除余2的所有整数是：2,5,8,11,14,17⋯所以，被3，5除余2的最小两位数是2．43. 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？【答案】473【分析】先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．44. 刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】467【分析】兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2+ [3,5]×n，其中n为自然数，即2、17、32、47、⋯其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47+[3,5,7]×m，其中m为自然数．m取4时满足条件，为467．45. 一个两位数分别除以7、8、9，所得的余数的和为20．问：这个两位数是多少？【答案】62【分析】余数的和为20，则这个两位数除以7、8、9的余数分别为6、7、7或6、6、8或5、7、8．其中只有6、6、8的情况存在满足条件的两位数为62．46. 有一个自然数，用它去除25，38，43所得到的3个余数之和是18，那么这个自然数是多少？【答案】11【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}25 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\38 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\43 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 25 + 38 + 43 - 18 = 88$ 为x的倍数；②88=2×2×2×11③枚举验证⇒x=11．47. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数．【答案】53．【分析】分析题目，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：3、5的公倍数 3、7的公倍数 5、7的公倍数15 21 3530 42 7045 63 10560 84 140… … …找出除以7余4的 除以5余3 除以3余2．可以找出分别是：60 63 35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内．所以答案为：158−105=53．48. （1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）—个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？【答案】（1）122；（2）104；（3）5649. 有一个整数，用它去除63，90，130所得到的3个余数之和是25，那么这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}63 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\90 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\130 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 63 + 90 + 130 - 25 =258$ 为x的倍数；②258=2×3×43③枚举验证⇒x=43．所以 $\left\{ \begin{gathered}63 \div 43 \cdots 20 \hfill \\90 \div 43 \cdots 4 \hfill \\130 \div 43 \cdots 1 \hfill \\\end{gathered} \right.$，显然这3个余数中最大的一个是20．50. 一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？【答案】59【分析】除以27余5的数有5、32、59、⋯，其中除以7余3的最小的数是59．51. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问这个数是多少？【答案】53【分析】如果用剩余定理相信大家会做了，接下来看逐步满足法．第一个条件，除以3余2，最小是2；先记下2．第二个条件，除以5余3，原来已经有了2，要保持满足第一个条件不变，那么在2的基础上增加3的倍数，这样除以3余2不会变．2+3n的形式．这个数要满足第二个条件，除以5余3．在2+3n中，2已经余2了，3n需要余1，所以n=2即可．这样满足前两个条件的最小的数是8．第三个条件，除以7余4.8+3×5n的形式．3×5n=15n除以7要余4−1=3，15除以7余1，所以n最小是3，这个数是8+45=53满足题意．52. 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？【答案】5【分析】方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，⋯；它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，⋯；除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，⋯；它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，⋯；一个数除以12的余数是唯一的．上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5．方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余3+2，除以4余4+1，所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a，则a=12m+5，（m为自然数）所以这个数除以12余5．53. （1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）—个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？【答案】（1）17；437（2）106；216【分析】（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,10]+17=437．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]=110，因此这个数最小为110−4=106．第二小的是110×2−4=216．54. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用逐步满足法）【答案】1102【分析】方法1（比较法）：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102.方法2（逐步满足的比较法）：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.方法3（逐步满足法）：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.55. 今有物不知其数，三三数之剩一，四四数之剩三，五五数之剩二，问物几何？【答案】7【分析】40×1+45×3+36×2=247，3×4×5=60，247÷60=4⋯⋯7，最少是7．56. 今有一堆石子，三个三个数余2个，五个五个数余2个，七个七个数余4个，这堆石子最少有多少个？【答案】32【分析】70×2+21×2+15×4=242；244−105−105=32；57. 有一个正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？【答案】85【分析】除以7余1的数至少是1，为满足这一特点每次要加7，加了4个7后首次满足除以8余5；然后每次加56，加了一个后满足除以9余4，此时这个数是85．58. 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【答案】172【分析】法一：仔细分析可以发现3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[3,5,11]=165，所以这个数最小是165+7=172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．59. 一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？【答案】1906．【分析】设这个数为x．x除以8余2：最小为2，通式为2+8k1；x除以9余7：k1最小为4，则有2+8×4=34，通式为34+[8,9]k2=34+72k2．x除以11余3：k2最小为4，则有34+72×4=322．则x=322+[8,9,11]n=322+792n．322+792n−28+322+792n−79+322+792n−311=622 40+99n+35+88n+29+72n=622259n=518n=2x=322+792×2=1906．60. 有一个整数，用它去除53，89，127所得到的3个余数之和是23，那么这个整数是多少？【答案】41【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}53 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\89 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\127 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 53 + 89 + 127 - 23 =246$ 为x的倍数；②246=2×3×41③枚举验证⇒x=41．61. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？【答案】148．【分析】设这个数为n．n除以5余3：最小为3，通式为3+5k1；n除以6余4：k1最小为5，则有3+5×5=28，通式为28+[5,6]k2=28+30k2．n除以7余1：k2最小为4，则有n=28+30×4=148．62. 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【答案】2430，2431，2432．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n+1，n+2．依题意可知：15∣n，17∣(n+1)，19∣(n+2)，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15∣n 17∣(n +1)19∣(n +2)→→→15∣2n 17∣(2n +2)19∣(2n +4)→→→15∣(2n −15)17∣(2n −15)19∣(2n −15)}⇒[15,17,19]∣(2n −15)从上面可以发现 2n −15 应为 15、17、19 的公倍数．由于 [15,17,19]=4845，所以 2n −15=4845(2k −1)（因为 2n −15 是奇数），可得 n =4845k −2415．当 k =1 时 n =2430，n +1=2431，n +2=2432，所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432．63. 有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1．问这个数除以 12 余数是几？【答案】 5【分析】 满足条件的最小值是 5，那么所有满足条件的数肯定具有 [3,4]k +5=12k +5 的形 式，除以 12 —定是余 5 的．64. （1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？【答案】 （1）123；（2）115【分析】 （1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为 [8,12]×n +3，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 5，即 [8,12]×5+3=123．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为 [6,10]×n −5，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 4，即 [6,10]×4−5=115．65. 一个布袋中装有 5000 多个小球，如果 10 个一包，最后还剩 9 个，如果 9 个一包，最后还剩 8 个 ⋯⋯ 如果 5 个一包，最后还剩 4 个，那么如果 13 个一包，最后还剩多少个？【答案】 8 个【分析】 简答：布袋中的小球数除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7⋅⋯，除以 5 余 4，[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5×7×8×9=2520，所以，布袋中球数是 2520−1+2520=5039，5039÷13 余 8．66. （1）—个三位数除以 4 余 2，除以 6 余 2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 6 余 4，那么这个三位数最小是多少？（3）—个数除以 9 余 2，除以 12 余 5，那么这个数最小是多少？【答案】 （1）110；（2）106；（3）29【分析】 简答：（1）[4,6]=12，14+12×8=110；（2）按“差同”计算；（3）按“差同”计算．67. 一个数被5除余3，被7除余4，被9除余5，这个数最小是几？【答案】158【分析】7和9的公倍数9和5的公倍数5和7的公倍数6345351269070135105180140225175210245280⋯⋯⋯在7和9的公倍数中，除以5余1的最小数是126；在5和9的公倍数中，除以7余1的最小数是225；在5和7的公倍数中，除以9余1的最小数是280；那么126×3+225×4+280×5=2678．[5,7,9]=315．所以，最小的数为2678−315×8=158．68. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【答案】1102【分析】方法1：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．方法2：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102．方法3：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．69. 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【答案】368．【分析】将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数3852311651057704623302101155693495315……………………除3余2的最小数是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是165 3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678−1155×2=368是符合条件的最小值．70. 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个除数为M，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．63÷M=A⋯⋯aa+b+c=25，则(63+90+130)−(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283−25=258=(A+B+C)×M.所以M是258的约数．258=2×3×43显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2−1)=3,3×(3−1)=6,3×(6−1)=15所以均不满足．而当除数M为43×2，43×3，43×2×3时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数M只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．71. 有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？。
小学三年级下数学余数练习题
小学三年级下数学余数练习题题1：小明有10只篮球，他希望把这些篮球平均分给他的4个朋友，每人分得几只篮球？剩下几只篮球？解析：我们可以使用除法来解决这个问题。
将10除以4，商为2、余数为2。
所以小明的每个朋友可以分到2只篮球，剩下的2只篮球是多余的。
题2：小红有15个橙子，她希望把这些橙子平均分给她的6个同学，每人分到几个橙子？剩下几个橙子？解析：同样地，我们使用除法来解决这个问题。
15除以6，商为2、余数为3。
所以小红的每个同学可以分到2个橙子，剩下的3个橙子是多余的。
题3：小华有20个糖果，她希望把这些糖果平均分给她的5个朋友，每人分到几个糖果？剩下几个糖果？解析：我们继续使用除法。
20除以5，商为4、余数为0。
所以小华的每个朋友可以分到4个糖果，没有剩下任何一个糖果。
题4：小杰有18个饼干，他希望把这些饼干平均分给他的3个朋友，每人分到几个饼干？剩下几个饼干？解析：使用除法，18除以3，商为6、余数为0。
所以小杰的每个朋友可以分到6个饼干，没有剩下任何一个饼干。
题5：小明有30个苹果，他希望把这些苹果平均分给他的8个朋友，问每人最多能分到几个苹果？每人最少能分到几个苹果？解析：同样地，我们使用除法。
30除以8，商为3、余数为6。
所以每个朋友最多能分到3个苹果，最少能分到2个苹果。
总结：余数问题在数学中是非常常见的。
我们可以使用除法来解决余数问题，商表示每人平均能得到的数量，余数表示剩余的部分。
在解决问题时，我们要根据具体的情景来判断商和余数的意义，有时候可能存在多种解答。
熟练掌握余数问题的解决方法对于学习和日常生活都有帮助。
小学奥数题库《数论》余数问题带余除法1星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-带余除法-1星题课程目标知识提要带余除法•定义一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
精选例题带余除法1. 有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是．【答案】17【分析】（1）被除数÷除数=7，因此我们能得到被除数是除数得7倍．（2）如果设除数是1份，那么被除数就是7份，它们的和是136．所以每份量为：136÷8=17．即除数是17．2. 在一个除法算式中，被除数是12，除数小于12，则可能出现的不同的余数之和是．【答案】15【分析】除数小于12且有不同余数，除数可能是11、10、9、8、7．余数分别是1、2、3、4、5．余数之和是1＋2＋3＋4＋5=15.3. 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．【答案】11个【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．4. 买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔支．【答案】8【分析】1元7角相当17角，15元相当于150角．可列出如下算式：150÷17=8⋯14.故最多可以买这样的水彩笔8支．5. 两数相除，商4余8，被除数、除数两数之和等于73，则被除数是．【答案】60【分析】被除数=4×除数+8，被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(73−8)÷(4+1)=13，所以，被除数为13×4+8=60．6. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是．【答案】1968【分析】设除数为a，被除数为17a+13，即可得到(17a+13)+a+17+13=2113,那么除数=115，被除数=115×17+13=1968．7. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数最小是．【答案】152【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为9，那么被除数的最小值为16×9+8=152．8. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数的和最小是．【答案】161【分析】由上题152+9=161．9. （1）34÷4=8⋯⋯2，则[34÷4]=，{34÷4}=；（2）已知a÷125=b⋯⋯10，[a÷125]=6，求{a÷125} = ；（3）已知a÷20=3⋯⋯b，{a÷20}=0.45，求[a÷20] = ，a = ．【答案】（1）8,0.5；（2）0.08；（3）3,69【分析】（1）34÷4的整数部分就是商，因此为8，{34÷4}相当于余数除以4，因此为0.5．（2）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q,{a÷b}=r÷b方法1：b=6，a=6×125+10=760，{760÷125}=0.08；方法2：b=6，{a÷125}=10÷125=0.08．（3）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷20]=3，b=0.45×20=9，a=3×20+9=69．10. 用一个自然数去除另一个自然数，商为5．被除数、除数的和是36，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为30，除数为6．【分析】被除数÷除数=5，所以根据和倍问题可知，除数为36÷(5+1)=6，所以被除数为5×6=30．11. 若a÷b=7⋯⋯9，则a的最小值是多少？【答案】79【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为10，那么a的最小值为7×10+9=79．12. （1）25÷6=4⋯⋯1；34÷6=5⋯⋯4，那么(25+34)÷6=( )⋯⋯( )．（2）45÷7=6⋯⋯3；26÷7=3⋯⋯5，那么(45+26)÷7=( )⋯⋯( )．（3）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（4）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6；c÷8⋯⋯7，那么(a+b+c)÷8⋯⋯( )．【答案】（1）(25+34)÷6=(9)⋯⋯(5)；（2）(45+26)÷7=(10)⋯⋯(1)．（3）(a+b)÷8⋯⋯(3)．（4）(a+b+c)÷8⋯⋯(2)．【分析】（1）(25+34)÷6=9⋯⋯5；（2）(45+26)÷7=10⋯⋯1．（3）所以余数的和为5+6=11，11÷8=1⋯⋯3，余数为3．（4）余数的和为5+6+7=18，18÷8=2⋯⋯2，余数为2．13. 请在下列括号中填上适当的数．（1）a÷8⋯⋯6；b÷8⋯⋯7，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（2）a÷10⋯⋯5；b÷10⋯⋯6；c÷10⋯⋯7，那么(2a+b+c)÷10⋯⋯( )．【答案】（1）5；（2）3【分析】（1）余数的和为6+7=13，13÷8=1⋯⋯5，余数为5．（2）2a+b+c=a+a+b+c，所以余数的和为5+5+6+7=23，23÷10=2⋯⋯3，余数为3．14. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．15. 1013除以一个两位数，余数是12．求出所有符合条件的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．16. 甲、乙两数的和是16，甲数除以乙数商是2余1，求甲数和乙数各是多少？【答案】乙=5，甲=11【分析】设乙数为a，即甲为2a+1，可得到(2a+1)+a=16，那么乙=5，甲=11．17. 2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？【答案】78【分析】这个两位数是2025−75=1950的约数，其中比75大的只有78．18. 一个数除以另一个数，商是3，余数是3．如果除数和被除数都扩大10倍，那么被除数、除数、商、余数的和是263，求这2个自然数各是多少？【答案】5、18【分析】设除数为a，被除数为3a+3，即可得到10(3a+3)+10a+3+30=263,那么除数=5，被除数=5×3+3=18．19. 甲、乙两数的差是113，甲数除以乙数商7余5，则甲数和乙数各是多少？【答案】乙=18，甲=131【分析】设乙数为a，即甲为7a+5，可得到(7a+5)−a=113，那么乙=18，甲= 131．20. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【答案】324【分析】设被除数和除数分别为x，y，可以得到\[ \begin{cases} x = 4y + 8\hfill \\ x + y + 4 + 8= 415 \hfill \\ \end{cases} \]解方程组得\[ \left\{ \begin{gathered} x = 324 \hfill\\ y = 79 \hfill\\ \end{gathered} \right. \]即被除数为324．21. 78除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是3，求除数和余数．【答案】除数为9，余数为6．【分析】78÷除数=8⋯⋯(余数−3)，81÷除数=9⋯⋯0被除数加上除数与余数的差3的和刚好是除数的9倍，则除数为(78+3)÷9=9，余数为6．22. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【答案】a=43，r=14【分析】由1992是a的46倍还多r，得到1992÷46=43......14，得1992=46×43+ 14，所以a=43，r=14．23. 甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．【答案】乙=24，甲=65【分析】设乙数为a，即甲为2a+17，可得到10a÷(2a+17)=3⋯⋯45，整理为10a= 3(2a+17)+45，那么乙=24，甲=65．24. 一个三位数除以43，商是a余数是b，求a+b的最大值．【答案】64【分析】试除法：999÷43=23⋯⋯10；999−10−1=988；988÷43=22⋯⋯42．余数最大为42，所以a+b的最大值为42+22=64．25. （1）82÷6=13⋯⋯4；50÷6=8⋯⋯2，那么(82−50)÷6=( )⋯⋯( )．（2）74÷6=12⋯⋯2；22÷6=3⋯⋯4，那么(74−22)÷6=( )⋯⋯( )．（3）a÷6余5；b÷6余1，那么(a−b)÷6余几呢？（4）a÷6余3；b÷6余5，那么(a−b)÷6余几呢？【答案】（1）(82−50)÷6=(5)⋯⋯(2)．（2）(74−22)÷6=(8)⋯⋯(4)．（3）余4．（4）余4．【分析】（1）(82−50)÷6=5⋯⋯2．（2）(74−22)÷6=8⋯⋯4．（3）余数的差是4，所以余数是4．（4）余数不够减时借1当6用来减，3+6=9，9−5=4，所以余数是4．26. 用一个自然数去除另一个自然数，商为8，余数是3．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为43，除数为5．【分析】因为被除数减去3后使除数的8倍，所以根据和倍问题可知，除数为(48−3)÷(8+1)=5，所以被除数为5×8+3=43．27. 50除以一个一位数，余数是2．求出符合条件的一位数．【答案】3，4，6，8【分析】50÷除数=商⋯⋯2，50−2=48，48=除数×商，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因为“余数小于除数且除数是一位数“那么符合条件的所有的数有3，4，6，8．28. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【答案】39；91【分析】本题为余数问题基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题．方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数．本题中310−37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的两位数有39，91．29. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【答案】83【分析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于78，并且小于13×(6+1)=91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78+5=83．30. 43除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为5，余数为3．【分析】43=8×除数+余数，被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的9倍，则除数为(43+2)÷(8+1)=5，余数为3．31. 用一个自然数去除另一个自然数，商为7．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】除数为6，被除数为42．【分析】被除数÷除数=7，所以根据和倍问题可知，除数为48÷(7+1)=6，所以被除数为6×7=42．32. 计算：（1）已知a÷25=b⋯⋯5，[a÷20]=4，求a=；（2）已知a÷10=7⋯⋯b，{a÷10}=0.5，求[a÷10]=，a=．【答案】（1）105；（2）7,75【分析】（1）b =4，a=4×25+5=105（2）a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷10]=7，b=0.5×10=5，a=7×10+5=75．33. 46除以一个一位数，余数是1．求出符合条件的一位数．【答案】3，5，9【分析】46÷除数=商⋯⋯1，46−1=45，45÷除数=商⋯⋯0，45=除数×商，45=3×15=5×9，因为“余数小于除数且除数是一位数”那么符合条件的所有的一位数有3，5，9．34. 博士要给小朋友们分糖，一共128块，如果每人分5块，最多可以分给几个小朋友？【答案】25【分析】128÷5=25⋯⋯3，最多分给25个小朋友，还剩3块．35. 128除以一个数得到的商是9，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为13，余数为11．【分析】128÷除数=9⋯⋯(余数−2)，130÷除数=10⋯⋯0被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的10倍，则除数为(128+2)÷10=13，余数为11．36. 有一个整数，39，51，147被它除所得的余数都是3，求这个数．【答案】4；6；12【分析】方法一：39−3=36，147−3=144，(36,144)=12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4，6，12．方法二：由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51−39=12，147−39=108，(12,108)=12，所以这个数是4，6，12．37. 一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等．若被除数是47，则除数是多少？【答案】46【分析】设除数为b，商和余数都是c，这个算式就可以表示为：47÷b=c⋯⋯c，即b×c+c=47；c×(b+1)=47，所以c一定是47的因数，47的因数只有1和47；c为47肯定不符合条件，所以c=1，即除数是46，余数是1．38. 已知2012被一些正整数去除，得到的余数为10，则这样的正整数共有多少个？【答案】13个【分析】2012−10=2002一定能被这些数整除，2002=2×7×11×13．因为2002中一共有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，排除小于10的因数1、2、7，满足条件的正整数共有16−3=13个．39. 188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【答案】8；11．【分析】根据等差数列求和列式：188＋288＋388＋…＋2088=22760，所以22760÷9⋯⋯8；22760÷11⋯1．40. 著名的斐波那契数列是这样的：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【答案】0【分析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将斐波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，⋯，第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以斐波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数为0．。
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数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。