刘竞琰数论(5)余数问题(1)

教案教师：__王鑫___学生：_刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论(五)余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数性质2：=⨯+被除数除数商余数除数（被除数-余数）商=÷=÷商（被除数-余数）除数性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

⨯除以5的余数等于例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)313⨯=。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于3412⨯=除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n 次方除以一个数的余数时非常的有用。

二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模m 同余，用式子表示为：a≡b (mod m )同余式读作：a 同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b (mod m )，那么一定有a－b＝mk,k 是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。

例如：（1）15365(mod 7)≡，因为36515350750-==⨯（2）5620(mod 9)≡，因为56203694-==⨯（3）900(mod10)≡，因为90090910-==⨯由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod )a m ≡例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod 2)a ≡,表示b为一个奇数，可以写为1(mod 2)b ≡我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。

2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。

）性质1：a≡a（mod m）（反身性）性质2：若a≡b (mod m ),那么b≡a (mod m )（对称性）性质3：若a≡b (mod m )，b ≡c(mod m )，那么a≡c (mod m )（传递性）性质4：a≡b (mod m ),c≡d (mod m ),那么a±c≡b±d (mod m )（可加减性）性质5：若a≡b (mod m )，c≡d (mod m ),那么ac≡bd (mod m )（可乘性）性质6：若a≡b (mod m )，那么a n ≡b n (mod m),（其中n 为自然数）欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270性质7：若ac≡bc(mod m)，（c，m）＝1,那么a≡b(mod m)三.弃九法在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式5678953++++=时，5除以9的余数为5，6除以9的余数为6，7除以9的余数为7，8除以9的余数为8，9除以9的余数为0，余数的和为26，除以9的余数为8，等式右边的和53除以9的余数也为8，虽然余数相同，但是很容易发现5678935++++=，所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理1.中国古代趣题：欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：270321245[3,5,7]233[3,5,7]k k ⨯+⨯+⨯±=-，其中k 是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.【习题精讲】【例1】（难度级别※）一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【例2】（难度级别※）有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

【例3】（难度级别※）求478×296×351除以17的余数。

【例4】（难度级别※）求12644319÷的余数欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270【例5】（难度级别※）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例6】（难度级别※）用弃九法检验乘法算式5483×9117＝49888511是否正确。

【例7】（难度级别※※）已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【例8】（难度级别※※）号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例9】（难度级别※※）一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？【例10】（难度级别※※）一堆糖果，如果每2块分一堆剩1个，每3块分一堆剩1个….每10个分一堆也剩1个，且这堆糖果的个数在99－5000之间，求这堆糖果的个数？【例11】（难度级别※※※）求自然数100101102234++的个位数字。

【例12】（难度级别※※※）自然数672222...21⨯⨯⨯⨯- 个的个位数字是多少?【例13】（难度级别※※※）若有一数介于300与400之间，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。

问此数为何？【例14】（难度级别※※※）有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【例15】（难度级别※※※）一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【例16】（难度级别※※※※）将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【例17】（难度级别※※※※）已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。