八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试题

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八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题综合模拟测评学能测试

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题综合模拟测评学能测试一、选择题1．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DF 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连解FG ，下列结论：（1）∠AGD ＝112.5°；（2）E 为AB 中点；（3）S △AGD ＝S △OCD ；（4）正边形AEFG 是菱形；（5）BE ＝2OG ，其中正确结论的个是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．A ．③⑤B ．①②④C ．①②③④D ．①②③④⑤4．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．245B ．4C ．5D ．1255．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BECCEFSS=；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使点D 落在AC 边上的D 处，折痕为AH ，则CH 的长为（）A ．52B ．2C ．32D ．17．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm8．下列命题中，真命题的个数有（） ①对角线相等的四边形是矩形； ②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（）A ．（－8，0）B ．（0，8）C ．（0，82）D ．（0，16）10．如图，△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7．点A 2、B 2、C 2分别是边B 1C 1、A 1C 1、A 1B 1的中点；点A 3、B 3、C 3分别是边B 2C 2、A 2C 2、A 2B 2的中点；……；以此类推，则第2019个三角形的周长是（）A ．201412 B ．201512 C ．201612D ．201712二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，DAC 的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．12．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.13．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．14．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________15．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，19．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ． (1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．23．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．24．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．25．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．（1）当t＝1时，求BF的长度；（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．26．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.27．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）28．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试题一、解答题1．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）3．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．4．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．5．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．6．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______；（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．7．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论.（2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .8．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.9．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．10．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意．．取一点F，在线段BC上任意．．取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．图1 图2（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）34；（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【分析】（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；（2）y=12（BN+PA）•OC，即可求解；（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．【详解】（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，即3﹣3t=t，解得：t=34；（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，则y=12(BN+PA)•OC=12(t+t+1)×4=4t+2；（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，故t+1=3﹣3t，解得：t=12，则OM=2t=1，故点M（1，0）；②当∠QMA为直角时，则点M、P重合，则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，故OM=OP=2t=2，故点M（2，0）；综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．2．（1）BC⊥CF，CF+CD=BC；（2）CF⊥BC，CF﹣CD=BC，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，∵∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF =∠ABD =135°，∴∠FCD =135°﹣45°=90°，∴△FCD 是直角三角形．∵OD =OF ，∴DF =2OC =13，∴Rt△CDF中，CD=2222135DF CF-=-=12，∴BC=DC﹣BD=12﹣5=7，∴AB=AC=722，∴S△ABC1727249 24=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD≌△CAF是解本题的关键．3．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．【分析】（1）通过测量可得；（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得结论．【详解】解：（1）△AEF的周长是OA长的2倍，故答案为：2；（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO，在△BCG与△ABO中，GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，CG=BO ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ；（3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，BO=CG ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（1）26 （2）22 （3）2或22或4【分析】（1）由勾股定理可求出答案；（2）延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，设AH ＝DH ＝x ，在Rt △AHD 中，得出x 2+x 2＝42，解方程求出x 即可得出答案；（3）分AF ＝DF ，AF ＝AD ，AD ＝DF 三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：（1）当t ＝1时，AE ＝1，∵四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝FG ＝AE ＝1，∠G ＝90°，∴BF ＝22FG BG +＝2215+＝26，（2）如图1，延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，∵四边形AGFE 是正方形，∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∵DH ⊥AH ，∴∠AHD ＝90°，∠ADH ＝45°＝∠EAF ，∴AH ＝DH ，设AH ＝DH ＝x ，∵在Rt △AHD 中，∠AHD ＝90°，∴x 2+x 2＝42，解得x 1＝﹣22（舍去），x 2＝22，∴D 、F 两点之间的最小距离为22；（3）当AF ＝DF 时，由（2）知，点F 与点H 重合，过H 作HK ⊥AD 于K ，如图2，∵AH ＝DH ，HK ⊥AD ，∴AK ＝2AD ＝2， ∴t ＝2．当AF ＝AD ＝4时，设AE ＝EF ＝x ， ∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，∴x 2+x 2＝42，解得x 1＝﹣2（舍去），x 2＝2，∴AE ＝2，即t ＝2．当AD ＝DF ＝4时，点E 与D 重合，t ＝4，综上所述，t 为2或2或4．【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-，在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（1）m ＝5，n=5；（2）①证明见解析；②5103；（3）MN 的长度不会发生变化，它10．【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题．（2）①作辅助线，构建两个三角形全等，证明△COE ≌△CNQ 和△ECP ≌△QCP ，由PE ＝PQ ＝OE+OP ，得出结论；②作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得▱CSRE 和▱CFGH ，则CE ＝SR ，CF ＝GH ，证明△CEN ≌△CE′O 和△E′CF ≌△ECF ，得EF ＝E′F ，设EN ＝x ，在Rt △MEF 中，根据勾股定理列方程求出EN 的长，再利用勾股定理求CE ，则SR 与CE 相等，所以SR ＝103 ；（3）在（1）的条件下，当P 、Q 在移动过程中线段MN 的长度不会发生变化，求出MN 的长即可；如图4，过P 作PD ∥OQ ，证明△PDF 是等腰三角形，由三线合一得：DM ＝12FD ，证明△PND ≌△QNA ，得DN ＝12AD ，则MN ＝12AF ，求出AF 的长即可解决问题．【详解】解：（1）∵5|5|0n m -+-= ，又∵5n -≥0，|5﹣m|≥0，∴n ﹣5＝0，5﹣m ＝0，∴m ＝5，n=5．（2）①如图1中，在PO 的延长线上取一点E ，使NQ ＝OE ，∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，∴四边形OMNC是正方形，∴CO＝CN，∵∠EOC＝∠N＝90°，∴△COE≌△CNQ（SAS），∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，∵∠PCQ＝45°，∴∠QCN+∠OCP＝90°﹣45°＝45°，∴∠ECP＝∠ECO+∠OCP＝45°，∴∠ECP＝∠PCQ，∵CP＝CP，∴△ECP≌△QCP（SAS），∴EP＝PQ，∵EP＝EO+OP＝NQ+OP，∴PQ＝OP+NQ．②如图2中，过C作CE∥SR，在x轴负半轴上取一点E′，使OE′＝EN，得▱CSRE，且△CEN≌△CE′O，则CE＝SR，过C作CF∥GH交OM于F，连接FE，得▱CFGH，则CF＝GH＝55，∵∠SDG＝135°，∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，∴∠FCE＝∠SDH＝45°，∴∠NCE+∠OCF＝45°，∵△CEN≌△CE′O，∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，∴∠E′CF＝∠FCE，∵CF＝CF，∴△E′CF≌△ECF（SAS），∴E′F＝EF在Rt△COF中，OC＝5，FC＝552，由勾股定理得：OF＝225552⎛⎫-⎪⎪⎝⎭＝52，∴FM＝5﹣52＝52，设EN＝x，则EM＝5﹣x，FE＝E′F＝x+52，则（x+52）2＝（52）2+（5﹣x）2，解得：x＝53，∴EN＝53，由勾股定理得：CE＝2222553CN EN⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭＝510，∴SR＝CE＝5103．故答案为510．（3）当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化．理由：如图3中，过P作PD∥OQ，交AF于D．∵OF＝OA，∴∠OFA＝∠OAF＝∠PDF，∴PF＝PD，∵PF＝AQ，∴PD＝AQ，∵PM⊥AF，∴DM＝12FD，∵PD ∥OQ ，∴∠DPN ＝∠PQA ，∵∠PND ＝∠QNA ，∴△PND ≌△QNA （AAS ），∴DN ＝AN ，∴DN ＝12AD ， ∴MN ＝DM+DN ＝12DF+12AD ＝12AF ， ∵OF ＝OA ＝5，OC ＝3， ∴CF ＝2222534OF OC -=-=，∴BF ＝BC ﹣CF ＝5﹣4＝1，∴AF ＝22221310BF AB +=+=，∴MN ＝12AF ＝10， ∴当P 、Q 在移动过程中线段MN 的长度不会发生变化，它的长度为102．【点睛】本题是四边形与动点问题的综合题，考查了矩形、正方形、全等三角形等图形的性质与判定，灵活运用所学知识是解答本题的关键．7．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）2或42，17.【分析】（1）结论：DM ⊥EM ，DM=EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH=ME ，AH=EF=EC ，推出DH=DE ，因为∠EDH=90°，可得DM ⊥EM ，DM=ME ；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【详解】解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.如图1中，延长EM 交AD 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，∴//AD EF ，∴MAH MFE ∠=∠，∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，∴△AMH ≌△FME ，∴MH ME =，AH EF EC ==，∴DH DE =，∵0EDH 90∠=，∴DM ⊥EM ，DM=ME ．（2）结论仍成立.如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,∴△AMF ≌△FME(ASA), …∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴=DM EM ，DM ⊥EM.（3）①当E 点在CD 边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2,此时DE EC DC 532=-=-=,所以2DM = ②当E 点在CD 的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2，此时DE DC CE 538=+=+= ，所以42DM = ； ③当E 点在BC 上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME 为等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形, 且点E 在BC 上∴AB//EF ，∴HAM EFM ∠=∠，∵M 为AF 中点，∴AM=MF∵在三角形AHM 与三角形EFM 中：HAM EFM AM MFAMH EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AMH ≌△FME(ASA),∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.∵在三角形AHD 与三角形DCE 中：090AD DC DAH DCE AH EF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△AHD ≌△DCE(SAS),∴ADH CDE ∠=∠,∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,∵在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2，此时在直角三角形DCE 中2222DE DC CE 5334=+=+= ，所以DM=17【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．8．（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．理由见解析；【分析】（1）按照题意，尺规作图即可；（2）连接PE ，先证明PQ 垂直平分BE ，得到PB=PE ，再证明60APE ∠=︒，得到30AEP ∠=︒，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；（3）NQ=2MQ 或NQ=MQ ，分两种情况讨论，作辅助线，证明ABE FQP ∆≅∆，即可解答.【详解】（1）如图1，分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ；图1（2）①连接PE ，如图2，图2点M 是BE 的中点，PQ BE ⊥∴PQ 垂直平分BE ．∴PB PE =，∴90906030PEB PBE AEB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=︒，∴90906030AEP APE ∠=︒∠=︒-︒=︒，∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=︒，∴90906030AEP APE ∠=︒∠=︒-︒=︒，∴2BP EP AP ==．②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．理由如下，分两种情况：I 、如图3所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．图3正方形ABCD 中，AB BC =，∴FQ AB =．在Rt ABE △和Rt FQP 中，BE PQAB FQ =⎧⎨=⎩∴()ABE FQP HL ≌．∴30FQP ABE ∠=∠=︒．又60MGO AEB ∠=∠=︒，∴90GMO ∠=︒， CD AB ．∴30N ABE ∠=∠=︒．∴2NQ MQ =．Ⅱ、如图4所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．图4同理可证ABE FQP ≌．此时60FPQ AEB ∠=∠=︒．又FPQ ABE PMB ∠=∠+∠，30N ABE ∠=∠=︒．∴30EMQ PMB ∠=∠=︒．∴N EMQ ∠=∠，∴NQ MQ =．【点睛】本题为正方形和三角形变化综合题，难度较大，熟练掌握相关性质定理以及分类讨论思想是解答本题的关键.9．（1）①45；②△ADE≌△ECF，理由见解析；（2）5【分析】（1）①根据矩形的性质得到90ABC BCD ∠=∠=︒，根据角平分线的定义得到45EBC ∠=︒，根据三角形内角和定理计算即可；②利用ASA 定理证明ADE ECF ≅；（2）连接HB ，证明四边形NBEH 是矩形，得到NE BH =，根据勾股定理求出BH 即可.【详解】（1）①∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵BE 平分∠ABC，∴∠EBC=45°，∴∠BEC=45°，故答案为45；②△ADE≌△ECF，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC ．∵FE⊥AE，∴∠AEF=90°．∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠FEC=∠EAD，∵BE 平分∠ABC，∴∠BEC=45°．∴∠EBC=∠BEC．∴BC=EC．∴AD=EC．在△ADE 和△ECF 中，DAE CEF AD ECADE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△ECF；（2）连接HB ，如图2，∵FH∥CD，∴∠HFC=180°-∠C=90°．∴四边形HFCD 是矩形．∴DH=CF，∵△ADE≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE．∴∠DHE=∠DEH=45°．∵∠BEC=45°，∴∠HEB=180°-∠DEH -∠BEC=90°．∵NH∥BE，NB∥HE，∴四边形NBEH 是平行四边形．∴四边形NBEH 是矩形．∴NE=BH．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAH=90°．∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，【点睛】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.10．28【分析】（1）利用旋转的旋转即可作出图形；（2）先求出ABC的边长边上的高为12，进而求出DE与BC间的距离为6，再判断出FH最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.【详解】（1）∵DE是△ABC的中位线，1DE BC4,AD BD,AE CE∴====2∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，∴补全图形如图1所示，（2）∵△ABC的面积是48，BC=8，∴点A到BC的距离为12，∵DE是△ABC的中位线，∴平行线DE与BC间的距离为6，由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，∴点H''，A，H'在同一条直线上，由旋转知，∠AEF'=∠CEF，∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，∴点F，E，F'在同一条直线上，同理：点F，D，F''在同一条直线上，即：点F'，F''在直线DE上，由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，∴F'F''=2DE=BC=H'H''，∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，即：FH⊥BC，∴FH=6，∴周长的最小值为16+2×6=28，故答案为28．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形FH H F是平行四边形是解本题的关键.的判断和性质，判断出四边形'''''。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O顺时针旋转30时，则点B的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O顺时针60︒，如图3，在AB边上的上方以AB为边作等边ABC，问：是否存在这样的点D，使得以点A、B、C、D四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．⊥于点P，如图4，若点F是边OB的（3）动点分析：在图3的基础上，过点O作OP AB△为直角三角形时，求OM的长．中点，点M是射线PF上的一个动点，当OMB3．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．5．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．6．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．7．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．8．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．9．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.10．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题．（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大，当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-，故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．2．（1）（32，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得223AB OA -=∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=132OB =∴2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32）故答案为：（3232）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 30）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 32）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O既是AC的中点，也是BD的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴03322 10222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=2232OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM －∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=32在Rt △OBM 中，2=；综上：OM=32或2．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．3．（1）34；（2）y =4t +2；（3）存在，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）．【分析】（1）因为BN ∥MP ，故当BN=MP 时，四边形BNMP 为平行四边形，此时点M 在点P 的左侧，求解即可；（2）y =12（BN +PA ）•OC ，即可求解；（3）①当∠MQA 为直角时，则△MAQ 为等腰直角三角形，则PA =PM ，即可求解；②当∠QMA 为直角时，则NB +OM =BC =3，即可求解．【详解】（1）∵BN ∥MP ，故当BN =MP 时，四边形BNMP 为平行四边形．此时点M 在点P 的左侧时，即0≤t ＜1时，MP =OP ﹣OM =3﹣t ﹣2t =3﹣3t ，BN =t ，即3﹣3t =t ，解得：t =34；（2）由题意得：由点C 的坐标知，OC =4，BN =t ，NC =PO =3﹣t ，PA =4﹣OP =4﹣（3﹣t ）=t +1，则y =12(BN +PA )•OC =12(t +t +1)×4=4t +2；（3）由点A 、C 的坐标知，OA =OC =4，则△COA 为等腰直角三角形，故∠OCA =∠OAC =45°，①当∠MQA 为直角时，∵∠OAC =45°，故△MAQ 为等腰直角三角形，则PA =PM ，而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，故t+1=3﹣3t，解得：t=12，则OM=2t=1，故点M（1，0）；②当∠QMA为直角时，则点M、P重合，则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，故OM=OP=2t=2，故点M（2，0）；综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．4．（1）见解析；（2）HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y33 42x=-．【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠DCG＝∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根据线段间的关系即可得出HG＝HD+DG＝OH+BG；（3）根据（2）的结论即可找出当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标，设H点的坐标为（x，0），由此可得出HO＝x，根据勾股定理即可求出x的值，即可得出点H的坐标，结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式．【详解】（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，∵CG CGCD CB=⎧⎨=⎩，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．（2）由（1）证得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵CH CHCO CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．（3）假设四边形AEBD可为矩形．当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，如图所示．∵G点为AB中点，∴BG＝GA12=AB，由（2）证得：BG＝DG，则BG＝GA＝DG12=AB12=DE＝GE，又AB＝DE，∴四边形AEBD为矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．∵AG12=AB＝3，∴G点的坐标为（6，3）．设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：2063k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：3432kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线DE的解析式为：y3342x=-．故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y3342x=-．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出BG＝DG、OH＝HD；（3）求出点H、G的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．5．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC＝3；（3）213【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFP DP FPDPM FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC3．如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵点A B E、、在一条直线上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，GFP HDP FP DPGPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=2222(2)3CG PC PC PC PC-=-=，∴PGPC＝3．（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPFPN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，NK=223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴CN=22CK NK+=213，在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBGND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．6．（1）见详解；（2）四边形ADCF是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．7．（1）见解析；（2；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，==CD ABAD BC ==OA OC x ==，则OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆， ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，ACE CAD ∴∠=∠，OA OC ∴=，OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠，AOC DOE ∠=∠，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，==CD AB AD BC ==由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则OD x =，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +=，解得：4x =，OA ∴=，OAC ∴∆的面积11228OA CD =⨯=；（3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ， AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒，90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒，AB =30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==， G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，3BG AB ==，26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠，AED CDE ∴∠=∠，90AED ∠=︒，90CDE ，//AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上，90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =，32AC AB ∴==，24BC AC ==；综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．8．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，1x =-1+ 【分析】（1）由折叠的性质得到BE=EP ，BF=PF ，得到BE=BF ，根据菱形的性质得到AB ∥CD ∥FG ，BC ∥EH ∥AD ，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE=BF ，AE=FC ，推出△ABC 是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；（3）记AC 与BD 交于点O ，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，S 四边形ABCD AEFCHG 时，得到S △BEF +S △DGH GH 与BD 交于点M ，求得GM=12x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【详解】解:()1折叠后B 落在BD 上， ,BE EP ∴=BF PF = BD 平分,ABC ∠BE BF ∴=，∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴∴四边形AEPG 为平行四边形，AG EP BE ∴==.()2不变.理由如下:由()1得.AG BE =四边形BEPF 为菱形，,.BE BF AE FC ∴==60,BAC ABC ∠=︒为等边三角60B D ∴∠=∠=︒，,,EF BE GH DG ∴==36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.()3记AC 与BD 交于点O .2,60,AB BAC =∠=30,ABD ∴∠=1,AO ∴=3,BO =12332ABC S ∴=⨯=23ABCD S ∴=四边形当六边形AEFCHG 534 53233344DEF DGH S S +==由()1得BE AG =AE DG ∴=DG x =2BE x ∴=-记GH 与BD 交于点,M12GM x ∴=，3DM x = 23DHG S x ∴= 同理()223323344BEF Sx x x =-=+ 223333334x x x +=化简得22410,x x -+= 解得121x =-221x = ∴当212x =-或212+时，六边形AEPCHG 534 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x 表示出相关的线段，是一道基础题目．9．（1）123y x =-+；（2）t=23s 时，四边形ABMN 是平行四边形；（3）存在，点Q 坐标为：618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3, 1)-或( 3,1)-或155,88⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）如图1中，作BH ⊥x 轴于H ．证明△COA ≌△AHB （AAS ），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出点B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）利用平行四边形的性质求出点N 的坐标，再求出AN ，BM ，CM 即可解决问题．（3）如图3中，当OB 为菱形的边时，可得菱形OBQP ，菱形OBP 1Q 1．菱形OBP 3Q 3，当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．∵A（1，0）、C（0，2），∴OA=1，OC=2，∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，∴∠ACO=∠BAH，∵AC=AB，∴△COA≌△AHB（AAS），∴BH=OA=1，AH=OC=2，∴OH=3，∴B（3，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有231 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：1 32kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴123y x=-+；（2）如图2中，∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，∴直线AN的解析式为：1133y x=-+，∴10,3 N⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴10BM AN==，∵B（3，1），C（0，2），∴BC=10，∴2103CM BC BM=-=，∴2102103t=÷=，∴t=23s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）如图3中，如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，连接OQ交BC于E，∵OE⊥BC，∴直线OE的解析式为y=3x，由3123y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：3595xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴E（35，95），∵OE=OQ，∴Q（65，185），∵OQ1∥BC，∴直线OQ1的解析式为y=-13x，∵OQ1，设Q1（m，-1m3），∴m2+19m2=10，∴m=±3，可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，由3513y xy x=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：15858xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴Q2（158，58-）．综上所述，满足条件的点Q坐标为：618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t=；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷一、选择题1．如图，已知平行四边形ABCD ，6AB =，9BC =，120A ∠=︒，点P 是边AB 上一动点，作PE BC ⊥于点E ，作120EPF ∠=︒（PF 在PE 右边）且始终保持33PE PF +=，连接CF 、DF ，设m CF DF =+，则m 满足（）A ．313m ≥B ．63m ≥C ．313937m <+≤D ．3337379m +<<+2．如图，在正方形ABCD 中，CE =MN ，∠MCE =35°，那么∠ANM 等于（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°3．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 4．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕EF 的长度为（）A ．3B ．23C ．10D ．31025．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．A ．③⑤B ．①②④C ．①②③④D ．①②③④⑤6．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（）A ．22B ．24C ．44D ．489．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（）A ．（－8，0）B ．（0，8）C ．（0，2）D ．（0，16）二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．15．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．23．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．24．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．25．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．26．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．27．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．28．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．29．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】设PE=x ，则PB=233x ，PF=33x ，AP=6-233x ，由此先判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.从而求出m 的取值范围.【详解】如上图：设PE=x ，则PB=23x ，PF=33x ，AP=6-23x ∵0030,120BPE EPF ∠=∠=∴030APE ∠=由AP 、PF 的数量关系可知AF PF ⊥，060PAF ∠=如上图，作060BAM ∠=交BC 于M ，所以点F 在AM 上.当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小.此时可求得33,37CF DF ==如上图，当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.此时可求得37,9CF DF == ∴3337379m +<<+故选：D【点睛】此题考查几何图形动点问题，判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大是解题关键.2．C解析：C【分析】过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB ＝∠ANM ，根据正方形的性质得出∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF ＝MN ＝CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE ，推出∠AFB ＝∠ECB 即可．【详解】解：过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB ＝∠ANM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，∴FN ∥BM ，BF ∥MN ，∴四边形BFNM 是平行四边形，∴BF ＝MN ，∵CE ＝MN ，∴CE ＝BF ，在Rt △ABF 和Rt △BCE 中BF CE AB BC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ），∴∠ABF ＝∠MCE ＝35°，∴∠ANM ＝∠AFB ＝55°，故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键.3．D解析：D【解析】【分析】根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S =四边形.【详解】解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.四边形ABCD 为正方形∴EL=EK,EK CD EL BC ⊥⊥∴90ELM EKN ︒∠=∠=90BCD ︒∠=90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=LEM NEK ∴∠=∠ENK ELM ∴∆≅∆2224()39EKCL ENCM S Sa a ∴===四边形故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 4．C解析：C【分析】设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．【详解】解：过E 作EG BC ⊥于G ，设AE x =，则9DE BE x ==-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，2223(9)x x ∴+=-解得4x =，4AE ∴=，945BE DE ∴==-=，DEF BFE ∠=∠，DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，5BF BE ∴==，1GF ∴=，Rt EFG ∴中，22223110EF EG GF =+=+=即EF 10，故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．5．B解析：B【分析】由中点的性质可得出//EF CD ，且12EF CD BG ，结合平行即可证得②结论成立，由2BD BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE ，AO EO =，通过证APG EPG 得出AG EG EF 得出①成立，再证GPE FPE 得出④成立，此题得解．【详解】解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图E 、F 分别是OC 、OD 的中点，//EF CD ∴，且12EF CD =，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且AB CD =，//AB EF ∴FEG BGE （两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点， 1122BG AB CD FE ，在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG ，()EFGGBE SAS ，即②成立， EGF GEB ，FE BG ，//GF BE （内错角相等，两直线平行），2BD BC =，点O 为平行四边形对角线交点，12BO BD BC ，E 为OC 中点， BE OC ∴⊥， GP AC ，90APG EPG//GP BE ，G 为AB 中点， P ∴为AE 中点，即AP PE =，且12GPBE ，在APG ∆和EGP ∆中，AP EP APG EPG GP GP ， ()APGEPG SAS ， 12AG EG AB ， EG EF ∴=，即①成立，//EF BG ，//GF BE ，∴四边形BGFE 为平行四边形，GF BE ∴=， 1122GP BE GF ， GP FP ， GF AC ， 90GPEFPE 在GPE 和FPE ∆中，GP FP GPE FPE EP EP ，()GPE FPE SAS ， GEP FEP ，EA ∴平分GEF ∠，即④成立，综上所述，正确的有①②④，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．6．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．故答案为B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．7．D解析：D【分析】根据角平分线性质得出AD=AF ，根据勾股定理求出EF=DC ，求出AB 长，求出BE ，即可求出答案．【详解】∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，∴AF=AD=3.5cm，EF=DE，∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，∵BC=6.5cm，∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm，在Rt△AMB中，由勾股定理得：22AB（cm），435∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．8．C解析：C【分析】根据已知条件得到AB3CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2BAE＝90°，根据勾股定理得到BE22，于是得到结论．AB AE【详解】∵S1＝3，S3＝8∴AB3，CD＝2过A作AE∥CD交BC于E则∠AEB ＝∠DCB∵AD ∥BC∴四边形AECD 是平行四边形∴CE ＝AD ，AE ＝CD ＝22∵∠ABC +∠DCB ＝90°∴∠AEB +∠ABC ＝90°∴∠BAE ＝90°∴BE 3811+=∵BC ＝2AD∴BC ＝2BE ＝211∴S 2＝(21144=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 9．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可．【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．10．D解析：D【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以2，可求出从A 到A 3变化后的坐标，再求出A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，继而得出A 8坐标即可.【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘2， ∵从A 到3A 经过了3次变化，∵45°×3＝135°，1×()32＝22，∴点3A 所在的正方形的边长为22，点3A 位置在第四象限，∴点3A 的坐标是（2，－2），可得出：1A 点坐标为（1，1），2A 点坐标为（0，2），3A 点坐标为（2，－2），4A 点坐标为（0，－4），5A 点坐标为（－4，－4），6A （－8，0），A 7（－8，8），8A （0，16），故选D.【点睛】本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键.二、填空题11．2【分析】过B 点作HE 的平行线交AC 于O 点，延长EG 交AB 于I 点，得到BO=2HE ，其中O 点在线段AC 上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO 的长即可求解．【详解】解：过B 点作HE 的平行线交AC 于O 点，延长EG 交AB 于I 点，如下图所示：∵H 是BG 的中点，且BO 与HE 平行，∴HE 为△BOG 的中位线，且BO=2HE ，故要使得HE 最短，只需要BO 最短即可，当E 点位于C 点时，则O 点与C 点重合，当E 点位于D 点时，则O 点与A 点重合，故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短，∵四边形ABCD 是正方形，∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴42222BC BO , ∴122HE BO ，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332AE AD ==，在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，3BE x =，在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．13．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．14．33或3或572 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点，132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，1322AH AE ∴==，333EH AH =， 233EF EH ∴==当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒， 122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=；当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33357．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFMS S =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，//,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x∠=︒-，3DFE AEF∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．16．6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=12PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=12 PD，∵2PB+ PD=2（PB+12PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=12AB=3，∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.17．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．18．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．19．4【分析】过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．【详解】过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，∴EM 是△AOD 的中位线，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x ，∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC 为等腰直角三角形，∴EF=FC ，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．故答案为：2【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，33，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．22．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，则122AD AC CD t =-=-，∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ， ∵AE t =，DF t =，∴AE DF =，∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴162BC AC cm ==， ∵BE DF ∥，∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形，即6t t -=，解得，3t =，∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形，∴3t =时，四边形EBFD 是矩形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．23．（1）ΔDPM,ΔFPG ；等腰直角；（2）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC ＝3；（3）213【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFP DP FPDPM FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝3．如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵点A B E、、在一条直线上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，GFP HDPFP DPGPF HPD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=2222(2)3CG PC PC PC PC-=-=，∴PGPC＝3．（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPF PN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，NK=223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴CN=22CK NK+=213，在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBGND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．24．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，12x =-或12+ 【分析】（1）由折叠的性质得到BE=EP ，BF=PF ，得到BE=BF ，根据菱形的性质得到AB ∥CD ∥FG ，BC ∥EH ∥AD ，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE=BF ，AE=FC ，推出△ABC 是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；（3）记AC 与BD 交于点O ，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，S 四边形ABCD AEFCHG 时，得到S △BEF +S △DGH GH 与BD 交于点M ，求得GM=12x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【详解】解:()1折叠后B 落在BD 上， ,BE EP ∴=BF PF = BD 平分,ABC ∠BE BF ∴=，∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴∴四边形AEPG 为平行四边形，AG EP BE ∴==.()2不变.理由如下:由()1得.AG BE =四边形BEPF 为菱形，,.BE BF AE FC ∴==60,BAC ABC ∠=︒为等边三角60B D ∴∠=∠=︒，,,EF BE GH DG ∴==36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.()3记AC 与BD 交于点O .。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷一、选择题1．如图，已知直线l //AB ，l 与AB 之间的距离为2．C 、D 是直线l 上两个动点（点C 在D 点的左侧），且AB =CD =5．连接AC 、BC 、BD ，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ．下列说法：①四边形ABDC 的面积始终为10；②当A ′与D 重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A ′与D 不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③2．如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为4的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF//AB ，CK=1．线段KG 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为 ( ).A ．26B ．17C ．17D ．26 3．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，28AD AB ==，点H 、G 分别是边AD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（）A ．2B ．32-C 3D ．434．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．25．在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EFB=2∠AFE=2∠BCE ，CD=9，CE=20，则线段AF 的长为（）．A ．32B ．112C ．19D ．46．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．87．如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（）A ．10B ．8C ．7D ．68．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（）A ．3B ．5C ．6cmD ．5二、填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．12．如图，以Rt ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．14．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．15．如图，直线1l，2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴．OABC的顶点A，C 分别在直线1l和2l上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，三、解答题21．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．22．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32cm 2；（3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．23．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．24．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．25．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．26．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求CP PQ的值． 27．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ． ()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥. （2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.29．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝．30．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC 是菱形； ③连结A′D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD ，AB=CD=A ′B ，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD ≌△A′BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D ∥BC ；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A′CBD =10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【详解】①∵AB=CD=5，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABDC 的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC 是平行四边形，∵A′与D 重合时，∴AC=CD ，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；③连结A′D ，如图，∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，在△A′CD 和△A′BD 中CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩，∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D ∥BC ，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a ，b ，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S △A′CB =S △ABC =12×2×5=5， ∴S 矩形A′CBD =10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a 2+b 2=25，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=45，∴5当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=3，而CD=5，∴（a+b）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为35或7．故④正确．故选A．【点睛】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．2．D解析：D【解析】【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新画出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在Rt△MON中利用勾股定理可求出MN．【详解】如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，∴EO=OD=52，MO=12（EF+CD）=52，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=2，∴ON=OD-ND=52-2=12，在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN=225126 22⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，要学会在以后的解题中利用这种思想．解析：C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝3ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝3∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ， ∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为4323∴EF 的最大值为233∴EF 3故选：C【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD ＝90°，属于中考选择题中的压轴题．4．B【分析】①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；④如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．证明△ABP≌△QBP（AAS），以及△BCH≌△BQH 即可判断；⑤利用特殊位置，判定结论即可；【详解】解：根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH−∠EPB＝∠EBC−∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．，故③正确；∴∠APB＝∠BPH，即PB平分APG如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四边形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP＋∠BEO＝90°，∠BEO＋∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，∵∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正确，如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB＝∠BPH，在△ABP和△QBP中，∠APB＝∠BPH，∠A＝∠BQP，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）．∴AP＝QP，AB＝BQ．又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH≌△BQH（HL）∴QH=HC，∴PH=PQ+QH=AP+HC，故④正确；当点P与A重合时，显然MH＞MF，故⑤错误，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．5．C解析：C【分析】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，进而求出BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，再根据AD∥BC求出EF∥BH，进而得出△EFG和△BGH 均为等腰三角形，则BF=EH=10，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，∵在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，∴△BCE为直角三角形，∵点H为斜边CE的中点，CE=20，∴BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC=3a，∴∠GBH=3a-a=2a=∠EFB，∴EF∥BH，∴∠FEG=∠GHB=∠HBC+∠HCB=2a=∠EFB=∠GBH，∴△EFG和△BGH均为等腰三角形，∴BF=EH=10，∵AB=CD=9，∴2222=-=-=10919AF BF AB故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线.6．D解析：D【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×h CF的值即可．【详解】连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥CD ，∴AM ∥DE ∥CF ，AC ∥FM ，∴四边形ACFM 是平行四边形，∵△BDE 边DE 上的高和△CDE 的边DE 上的高相同，∴△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，同理△ADE 的面积和△AME 的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，是12×CF×h CF ， ∵△ABC 的面积是24，BC ＝3CF∴12BC×h BC ＝12×3CF×h CF ＝24， ∴CF×h CF ＝16，∴阴影部分的面积是12×16＝8，故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.7．D解析：D【分析】延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.【详解】如图，延长AD 、BC 交于点G∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒∴BAD G ∠=∠AB BG ∴=，D 是AG 的中点∵//DE BG∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线∴12,22EF BC BG DE === 又∵2EF DF =∴1DF =∴3DE EF DF =+=∴26BG DE ==∴6AB =故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.8．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可．【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．9．C解析：C【解析】连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分，∵O 为AC 中点，∴BD 也过O 点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中，FO FC BF BF OB BC⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选C．点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键. 10．D解析：D【分析】连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =MN ，即可解决本题．【详解】解：如图，连接DE ．由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45．过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ．连接DE ，交MG 于点I ．由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°，∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等），∴∠NMG ＝∠EDC ．在△MNG 与△DEC 中，90NMG EDC MG CDMGN DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△MNG ≌△DEC （ASA ）．∴MN ＝DE ＝45．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．二、填空题11．2【解析】分析：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，易得四边形OECF 为矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到OA=OP ，∠AOP=90°，则可证明△OAE ≌△OPF ，所以AE=PF ，OE=OF ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO 平分∠ACP ，从而可判断当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP ），然后分别计算P 点在D 点和B 点时OC 的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=12（AC+CP），∴2CE=22（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC=22×（2+1）=322，当AC=2，CP=CB=5时，OC=2×（2+5）72，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长72-3222．故答案为2点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．8【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．13．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键． 14．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．15．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OEBE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．16．83或4433- 【分析】连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC 交BD 于O ，∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE=BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，=∴BD=AC=4，同理可求BE ，即，若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=4，∴BE'4==；若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''3=，DG''=2HG''3=，∴BG''=BD-DG''=-= ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或4- 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．18．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，19．5【分析】先判断四边形BCEF的形状，再连接FM FC、，利用正方形的性质得出AFG是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC=即可．【详解】∵四边形ABCP是边长为4的正方形，//EF BC，∴四边形BCEF是矩形，∵1PE=，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．三、解答题21．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形；（2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，此时有t=22﹣3t ，解得t=112． ∴当t=112时，四边形ABQP 成为矩形；故答案为112；（2）如图1，当t=112时，四边形ABQP 成为矩形，如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，则16﹣t=3t ，解得：t=4， ∴当t=112或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形；故答案为112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，BP=22AB AP + =228t +=2283+=73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得221622168t vtt t-=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得62t v =⎧⎨=⎩．故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝3DN＝3cm，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE；（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝12AD＝1cm，AN33cm，∴S△ADF＝12×DF×AN＝12×1233∴t＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试一、解答题1．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．2．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．3．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．4．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图25．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.6．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =6=BC OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =AED 是直角三角形时，求BC 的长．7．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题综合模拟测评学能测试试题

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题综合模拟测评学能测试试题一、解答题1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．=，对角线AC，BD交于点O，2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB AD⊥交AB的延长线于点E，连接OE．AC平分BAD∠，过点C作CE AB（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．3．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．4．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．5．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．6．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．8．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．9．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）10．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|2【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠C DG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得2CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出2CF；（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出2；②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得2，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出2DF；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF ，DH=DF ，由SAS证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出AF-CF=2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，HF=2DF ，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出CF-AF=2DF ．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB ，∠BCD=90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴DB=2CB ，当点E 、F 与点B 重合时，则DE=2CF ，故答案为：DE=2CF ；（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ，∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴FG=2CF，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴DE=2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴FG=2CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴DE=2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ， ∴2DF=HF=HA+AF=CF+AF ，即AF+CF=2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴2，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴AF-CF=2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中， AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，2DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH-AF=CF-AF=HF ，∴CF-AF=2DF ，综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：AF+CF=2DF 或|AF-CF|=2DF ，故答案为：AF+CF=2DF 或|AF-CF|=2DF ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）见解析；（2）11【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由AB=AD 可得平行四边形ABCD 是菱形；（2）根据菱形的性质得出OA 的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC ，在Rt ACE ∆应用勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴OAB DCA ∠=∠，∵AC 为DAB ∠的平分线，∴OAB DAC ∠=∠，∴DCA DAC ∠=∠，∴CD AD AB ==，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD AB =，∴ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AO CO =∵CE AB ⊥∴90AEC ∠=︒∴26AC OE ==在Rt ACE ∆中，CE故答案为（2．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．3．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2）6 【分析】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（x ）2，解得x=4，推出BN=4，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-， ∴BN=624+， ∴BG=BN÷cos30°=3266+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．4．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，，，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．5．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =．【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论；（2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+，解得：43x=， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．6．（1）34；（2）y =4t +2；（3）存在，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）．【分析】（1）因为BN ∥MP ，故当BN=MP 时，四边形BNMP 为平行四边形，此时点M 在点P 的左侧，求解即可；（2）y=12（BN+PA）•OC，即可求解；（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．【详解】（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，即3﹣3t=t，解得：t=34；（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，则y=12(BN+PA)•OC=12(t+t+1)×4=4t+2；（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，故t+1=3﹣3t，解得：t=12，则OM=2t=1，故点M（1，0）；②当∠QMA为直角时，则点M、P重合，则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，故OM=OP=2t=2，故点M（2，0）；综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．7．（1）见解析；（2）BE=CD，理由见解析；（3）EF【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF =102105-= 3105．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．8．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25．【分析】（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题；②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，在△DAH 和△DCH 中，DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAH ≌△DCH ，∴∠DAH ＝∠DCH ；∵∠ECG=∠DAH ，∴∠ECG=∠DCH ，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH ⊥CG.②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ；∴∠DFA ＝∠FCG ，又∵∠DFA ＝∠CFG ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∴GF ＝GC ，∴△GFC 是等腰三角形-．（2）BE的长为 4+25或425①如图①当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∴G是EF的中点，∴GM是△DEF的中位线∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝22-＝25，64-＝22DE DC∴BE＝BC+CE＝4+25．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE22DE DC64-5-22∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5综上所述，BE的长为4+54﹣25【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（1）点M 的坐标为(51)，；（2）()44y x =-()04x <<；（3）()224160Q x x ++-，， ()234160Q x x +--，，()24160Q x x +-，，()25160(224)Q x x x --<<，【分析】（1）过点M 作ME OA ⊥，由“AAS ”可证COP PEM ∆≅∆，可得4CO PE ==，1OP ME ==，即可求点M 坐标；（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆,设OP=x ，则可得M 点坐标为（4+x ，x ），由直线OB 解析式可得N （x ，x ），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形BCNM 是平行四边形，进而可求y 与x 的函数关系式；（3）首先画出符合要求的点Q 的图形，共分三种情况，第一种情况：当MN 为底边时，第二种情况：当M 为顶点MN 为腰时，第三种情况：当N 为顶点MN 为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．【详解】解：（1）如图，过点M 作ME OA ⊥，CP PM ⊥90CPO MPE ∴∠+∠=︒，且90CPO PCO ∠+∠=︒PCO MPE ∴∠=∠，且CP PM =，90COP PEM ∠=∠=︒()COP PEM AAS ∴∆≅∆4CO PE ∴==，1OP ME ==5OE ∴=∴点M 坐标为(5,1)故答案为(5,1)（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆4CO PE ∴==，OP ME x ==∴点M 坐标为(4,)x x +四边形OABC 是边长为4的正方形，∴点(4,4)B∴直线BO 的解析式为：y x =//MN AO ，交BO 于点N ，∴点N 坐标为(,)x x4MN BC ∴==，且//BC MN∴四边形BCNM 是平行四边形4(4)y x ∴=- (04)x <<（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN ∆是等腰三角形，此时点Q 的坐标为：1(2,0)Q x +，22(416Q x x +--，0)，23(416Q x x ++-，240)(16Q x x +-，250)(16Q x x --，0)其中(04)x <<，理由：当（2）可知，(04)OP x x =<<，4MN PE ==，//MN x 轴，所以共分为以下几种请：第一种情况：当MN 为底边时，作MN 的垂直平分线，与x 轴的交点为1Q ，如图2所示111222PQ PE MN ===， 12OQ x ∴=+，1(2,0)Q x ∴+第二种情况：如图3所示，当M 为顶点MN 为腰时，以M 为圆心，MN 的长为半径画弧交x 轴于点2Q 、3Q ，连接2MQ 、3MQ ，则234MQ MQ ==， 2222Q E MQ ME ∴=-，222416OQ OE Q E x x ∴=-=+--，22(416Q x x ∴+--，0)，32Q E Q E =，233416OQ OE Q E x x =+=++-，23(416Q x x ∴++-，0)；第三种情况，当以N 为顶点、MN 为腰时，以N 为圆心，MN 长为半径画圆弧交x 轴正半轴于点4Q ，当022x <<时，如图4所示，则2224416PQ NQ NP x =-=-，24416OQ OP PQ x x ∴=+=+-，即24(16Q x x +-，0)．当22x =时，则4ON =，此时Q 点与O 点重合，舍去；当224x <<时，如图5，以N 为圆心，MN 为半径画弧，与x 轴的交点为4Q ，5Q ．4Q 的坐标为：24(16Q x x -0)．5OQ x =5(Q x ∴0)所以，综上所述，1(2,0)Q x +，2(4Q x +，0)，3(4Q x ++，40)(Q x +50)(Q x ，0)使QMN ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．10．（1）见解析；（2）①43t =；②12a b += 【分析】(1)先证明四边形AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；(2)①分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a 与b 满足的数量关系式.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥∴,CAD ACB AEF CEF ∠=∠∠=∠，∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA OC =，∴AOE COF △≌△，∴OE OF =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF OF ⊥∴四边形AFCE 为菱形，（2）①43t =秒．显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时AC P Q 、、、四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形．∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA = ∴点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，∴5,4124PC t QA CD AD t t ==+-=-，∴5124t t =-，解得43t =∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． ②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=，由题意得，以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P Q 、在互相平行的对应边上，分三种情况：i ）如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CP =，即12a b =-，得12a b +=． ii ）如图2，当P 点在B 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=． iii ）如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AQ CP =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是()120a b ab +=≠．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意分类讨论的思想.。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题测试综合卷学能测试

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题测试综合卷学能测试一、解答题1．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．2．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图23．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．5．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.6．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．7．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？8．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．10．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝517，请直接写出此时DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =．【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论；（2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ，①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形，∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+，解得：43x =， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．2．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．3．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论；（2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．4．（1）见解析；（2）①见解析；②PE =【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到()122EF x =-，由EF AP =，构造方程即可求得23x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，又∵∠DEP=∠CEQ ，∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；（2）①∵PB=PQ ，∴∠PBQ=∠Q ，∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，∵△PDE ≌△QCE ，∴PE=QE ，∵PF=BF ，∴EF 是PBQ ∆的中位线，∴EF ∥BQ ，∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ，∴∠APF=∠PAF ，∴∠PAF=∠EPD ，∴PE ∥AF ，∵EF ∥BQ ∥AD ，∴四边形AFEP 是平行四边形；②设AP x =，则1PD x =-，∴1CQ x =-，∴2BQ x =-，∵EF 是PBQ ∆的中位线， ∴()122EF x =-， ∵EFAP =， ∴()122x x -=， ∴23x =，在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即22221(1)()32PE -+＝，∴PE =．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．5．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.【分析】（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.【详解】解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，∴2DF t =，又∵2AE t =，∴AE DF =，∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.∴当203t =秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）如图2，当90FDE ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形，在Rt AED ∆中，60A ∠=︒，则30ADE ∠=︒，∴2AD AE =，即4044t t -=，解得5t =. 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.6．（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm ，②225cm S 9cm 3≤≤．【分析】（1）由折叠的性质得出PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，由平行线的性质得出∠BPF ＝∠EFP ，证出∠EPF ＝∠EFP ，得出EP ＝EF ，因此BP ＝BF ＝EF ＝EP ，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，由对称的性质得出CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，由勾股定理求出DE ＝4cm ，得出AE ＝AD -DE ＝1cm ；在Rt △APE 中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP ＝53cm 即可； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ；当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ 对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形；（2）①∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，DE ＝22CE -CD ＝4cm ，∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ；在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，∴222EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝53cm ， ∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=53cm ， 2BFEP 5S =BP AE=cm 3⋅四边形，当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ， 2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形，∴菱形的面积范围：225cm S 9cm 3≤≤．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键．7．（1）12；（2）证明见详解；（3）125t s=或t=4s．【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴2222201612AD AB BD=-=-=（cm），（2）如图所示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，∵PQ∥AC，∴∠PQB=∠C，∴∠PBQ=∠PQB，∴PB=PQ；（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，如图2所示：根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，∴MD=AD-AM=12-4t，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=12-4t，时，四边形PQDM是平行四边形，解得：125t=（s）；②当点M在点D的下方时，如图3所示：根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，∴MD=AM-AD=4t-12，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=4t-12时，四边形PQDM是平行四边形，解得：t=4（s）；综上所述，当125t s=或t=4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定方法，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．8．（1）OE OF=;（2）成立.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF.【详解】解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ，∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等），∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等），∴△BOE ≌△AOF （ASA ），∴OE=OF.故答案为：OE=OF ；（2）成立.理由如下：证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90BOE AOF ∠=∠=︒，OB OA =又∵AM BE ⊥，∴90F MBF ∠+∠=︒，90E OBE ∠+∠=︒，又∵MBF OBE ∠=∠∴F E ∠=∠∴BOE AOF ∆≅∆，∴OE OF =【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ∆≅∆解决问题.9．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】（1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形，理由如下：点D 为AB 中点，12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE ∴=，∴平行四边形ADEF 为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，AF DE =，EG DE ，//AF DE ∴，AF GE =，∴四边形AEGF 是平行四边形，AD AG ，EG DE =，AE EG ∴⊥，∴四边形AEGF 是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．10．（1）23）52或152．【分析】（1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；（3）分三种情况：①当点E 在边CD 的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE ≌△BKG （AAS ），BC ＝BK ＝5，根据勾股定理可得KG 的长，即可CE 的长，此种情况不成立；②当点E 在边CD 上；③当点E 在DC 的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG ，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝22+＝22AD DG+＝55，510故答案为：55；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG22+109103（3）（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝517，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝CD=5，∵AG517由勾股定理得：KG22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

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八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试题一、解答题1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．2．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．3．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC 等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．5．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ．（1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．6．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．7．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==．动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．8．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．9．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝．10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）DE 2CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝2DF 或|AF －CF |2【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出2CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得CF=HA ，即可得出；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出DF ．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB ，∠BCD=90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CB ，当点E 、F 与点B 重合时，则CF ，故答案为：CF ；（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ，∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴2，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴DE=2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴2，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴DE=2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ，2，即2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴2，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，2DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH-AF=CF-AF=HF ，∴DF ，综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：DF 或DF ，故答案为：DF 或DF ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2）6 【分析】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（x ）2，解得x=4，推出BN=4，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x2+（x ）2，解得x=624-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=326+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．3．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析；【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形∵∠B ＝90°，∠A ＝60°∴∠C=30°，CD=2DF ，又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，∴CD=2AE∴AE=DF ．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形．当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形∵AC ＝60cm ，DF=12CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t 为152时，△DEF 为直角三角形，理由如下；由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中，∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t∴AD=4t ，又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，∴AD+CD=AC ，8t=60，∴t=152．即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．4．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ====，∴OC OD∴四边形OCFD为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.5．（1）四边形AGFP是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP的周长为：2【分析】（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形AGFP是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，∵PF⊥BD，PA＝PF，∴∠PBA＝∠PBF，∵AE⊥BD，∴∠PBF+∠BGE＝90°，∵∠BAP＝90°，∴∠PBA+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠BGE，∵∠AGP＝∠BGE，∴∠APB＝∠AGP，∴AP＝AG，∵PA＝PF，∴AG＝PF，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴AE∥PF，∴四边形AGFP是平行四边形，∵PA＝PF，∴平行四边形AGFP是菱形；（2）在Rt△ABP和Rt△FBP中，∵PB＝PB，PA＝PF，∴Rt△ABP≌Rt△FBP（HL），∴AB＝FB＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∴BD=设PA＝x，则PF＝x，PD＝2﹣x，PF1，在Rt △DPF 中，DF 2+PF 2＝PD 2， ∴222(51)(2)x x -+=-解得：x ＝51-， ∴四边形AGFP 的周长为：4x ＝4×51252-=-．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．6．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=︒，见解析；（2）5．【分析】（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=︒，∴135PAC ∠=︒45APB ∠=︒，∴+180APB PAC ∠∠=︒，∴//PB AC∴四边形APBC 是平行四边形；②四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=︒，90ADC QDT ∠=∠=︒，∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=︒∠=∠，AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=︒，AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=︒；（3）CH=5，理由如下：如图3所示：延长EH 交BC 于点G ；四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，90D ∠=︒，又EH=3，FH=1，EH ⊥AD ，∴EH//CD ，∴90HGC ∠=︒设AE=x ，1,3AE CF BC CF ==，∴AB=BC=CF=EG=3x ， ∴CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1 在Rt HGC △中，()()22222243331CG HG CH x x x +=+-=-即，解得121,2x x ==当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)；当x=2时，AB=6，∴CH=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．7．（1）8-2t ，8-t ；（2）83或74 【分析】（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．【详解】解：（1）由题意可得：DP=2t ，AQ=t ，∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，故答案为：8-2t ，8-t ；（2）当PQ=PB 时，如图①，QH=BH ，则t+2t=8，解得，t=83，当PQ=BQ 时，（2t-t ）2+62=（8-t ）2，解得，t=74，当BP=BQ时，（8-2t）2+62=（8-t）2，方程无解；∴当t=8 3或74时，△BPQ为等腰三角形．【点睛】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．8．（1）①见解析；②GFC是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25．【分析】（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；②只要证明∠CFG=∠FCG，即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．分别求出EC即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，DA DCADH CDHDH DH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAH≌△DCH，∴∠DAH＝∠DCH；∵∠ECG=∠DAH，∴∠ECG=∠DCH，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH⊥CG.②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形-．（2）BE的长为 4+25或425①如图①当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∴G是EF的中点，∴GM是△DEF的中位线∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝22DE DC64-＝25，-＝22∴BE＝BC+CE＝4+25．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE2264-5-22DE DC∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5综上所述，BE的长为4+25或4﹣25．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（1）14；（2）mbAGa；（3）53【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到14mb＝14AG•a，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON 的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOG（SAS），∴△BOE≌△AOG，∴S△BOE＝S△AOG，又∵S△AOB＝14S四边形ABCD，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．10．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），②∵△BEG ≌△DCG∴BG=DG ，∠BGE=∠DGC ，∴∠BGD=∠CGE ，∵CG=GE=CE ，∴△CEG 是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG ，∴△BDG 是等边三角形，∴∠BDG=60°；（3）连接BM ，MC ，∵∠ABC=90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG 为正方形．∵∠BAF=∠DAF ，∴BE=AB=DC ，∵M 为EF 中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME 和△DMC 中，BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△DMC （SAS ），∴MB=MD ，∠DMC=∠BME ．∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，∴△BMD 是等腰直角三角形．∵AB=8，AD=14，∴652DM BD ∴==【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。

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