新北师大版初中九年级数学下册第二章检测试卷

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北师大版九年级(下)第二章单元测试卷

北师大九下第二单元测试一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0D．当x≥1时，y随x的增大而增大2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②④D．①②③④4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx 的图象大致是图中的（）A．B．C．D．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0D．﹣7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜013．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．414．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．416．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（）A．1B．3C．5D．7二、填空题17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＞0；② 方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③ a+b+c＞0；④当x＞1时，随x值的增大而增大．其中正确的说法有．18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=．19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限．三、解答题21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C 作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）(1)求该抛物线的解析式；(2)求梯形COBD的面积．22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．参考答案与试题解析1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0D．当x≥1时，y随x的增大而增大【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴a，b异号即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0．故选D．【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②④D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．【解答】解：如图，∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0，∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0，所以③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，∴2x1=，即x1=，而﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a，∴2a+c＞0，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质．【专题】选择题【分析】根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣1，x=3；根据图象可得x=1时，y＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；故选B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx 的图象大致是图中的（）A．B．C．D．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；G4：反比例函数的性质．【专题】选择题【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴根据反比例函数的性质可得m＜0；该反比例函数图象经过第二、四象限，∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．∴只有A选项符合．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0D．﹣【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】分别结合图象判定出x=1，﹣1，2时对应y的值，再利用对称轴位置以及抛物线与坐标轴交点得出答案．【解答】解：如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故①a+b+c＜0正确；当x=﹣1时，y=a+b+c＜0，故②a﹣b+c＞0，错误；③∵﹣＞﹣1，∴＜1，∴b＞2a，即2a﹣b＜0，故此选项正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵0＞﹣＞﹣1，∴b＜0，∵抛物线与y轴交与负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，故选项④正确；当x=2时，⑤y=4a+2b+c＜0，故此选项错误，故错误的有2个．故选B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定；②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定；③根据抛物线的对称轴即可判定；④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定．【解答】解：①抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，故①正确；②抛物线与x轴相交于两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=，∴x=﹣=，∴a+b=0，故③正确；④∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴=1，∴4ac﹣b2=4a，故④错误；其中错误的是④．故选D．【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用．9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，y＞0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵b=﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②正确；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选D．【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b 同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．【解答】解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0，则ac＞0，bc＞0，故选C．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c ＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】选择题【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①正确）；∵﹣1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，（故②正确）；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．综上所述，正确的个数有4个；故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（）A．1B．3C．5D．7【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（10，8）到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＞0；② 方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③ a+b+c＞0；④当x＞1时，随x值的增大而增大．其中正确的说法有②③．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】填空题【分析】①由抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，判断a，b与0的关系，得到ab＜0；故①错误；②由抛物线与x轴的交点坐标得到方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；③由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故③正确；④根据对称轴x=1，得到当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＞0∴ab＜0；故①错误；②∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；③当x=1时，a+b+c＞0；故③正确；④∵当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=﹣2．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【专题】填空题【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值．【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：，①+②得：2a+2c=﹣4，则a+c=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．【考点】H7：二次函数的最值；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【专题】填空题【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．，．∴当x=1时，C最大值=6即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】填空题【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．故答案为：四．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C 作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）(1)求该抛物线的解析式；(2)求梯形COBD的面积．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】填空题【分析】(1)将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；(2)抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．【解答】解：(1)将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，解得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；(2)对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，∴CD=1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），即OB=3，==6．则S梯形COBD【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】解答题【分析】(1)根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；(2)因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．【解答】解：(1)由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；(2)∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值．【专题】解答题【分析】(1)将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；。

北师大版初中数学九年级下册第二章综合测试试卷-含答案02

第二章综合测试一、选择题（共10小题）1.下列函数关系中，是二次函数的是（）A .在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B .当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C .等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系D .圆的面积S 与半径R 之间的关系2.二次函数212y x =−的图象的开口方向（） A .向左B .向右C .向上D .向下3.抛物线()2315y x =−−+的顶点坐标是（）A .()15，B .()15−，C .()15−，D .()15−−，4.不论m 取何值时，抛物线21y x mx =−−与x 轴的交点有（） A .0个B .1个C .2个D .3个5.抛物线212y x =−向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（）A .()21112y x =−++B .()21112y x =−+−C .()21112y x =−−+D .()21112y x =−−−6.已知二次函数()2211y a x x a =−−+−图象经过原点，则a 的取值为（） A .1a =±B .1a =C .1a =−D .无法确定7.已知抛物线()23620y kx kx k =−++＞上有三点()13231322y y y ⎫⎫⎛⎛− ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭、、、、、，则（） A .123y y y ＜＜B .132y y y ＜＜C .321y y y ＜＜D .231y y y ＜＜8.已知二次函数22y x x m =−+（m 为常数）的图象与x 轴的一个点为()30，，则关于x 的一元二次方程220x x m −+=的两个实数根是（）A .1213x x =−=，B .1213x x ==，C .1211x x =−=，D .1235x x ==−，9.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）()°°090x <＜≤近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠.如下图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A .33︒B .36︒C .42︒D .49︒10.如下图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点，点P 为抛物线()22y x m m =−−++的顶点（m 为整数），当点P 在正方形OABC 内部或边上时，抛物线下方（包括边界）的整点最少有（）A .3个B .5个C .10个D .15个二、填空题（共10小题） 11.如果函数()232372kk y k x x −+=−++是关于x 的二次函数，那么k 的值是________.12.二次函数2342y x x =++的图象的对称轴为________.13.用配方法把函数224y x x =−化成()2y a x h k =++的形式是y =________. 14.若二次函数2y x x a =++和x 轴有两个交点，则a 的取值范围为________. 15.二次函数()24530y x x x =++−≤≤的最小值是________.16.抛物线()22y a x =−经过点()11−，，则a 的值为________；该抛物线与坐标轴的交点坐标分别为________，________.17.已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是________.18.抛物线248433y x x =−++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，则ABC △的面积为________.19.二次函数()2y a x m n =++的图象如下图，则一次函数y mx n =+的图象不经过第________象限.20.如下图，已知顶点为()36−−，的抛物线2y ax bx c =++经过点()14−−，，下列结论：①24b ac ＞；②26ax bx c ++−≥；③若点()()25m n −−，，，在抛物线上，则m n ＞；④关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=−的两根为5−和1−，其中正确的是________.三、解答题（共7小题）21.已知一条抛物线的图象经过()()()103003A B C −−，、，、，三点，求这条抛物线解析式.22.已知某抛物线与抛物线2325y x x =−+−的形状和开口方向均相同，且过点()()1245A B ，，，. （1）求此抛物线的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标；23.如下图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点()20A −，和点()10B ，，交y 轴于点()02C ，.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 在抛物线上，且2AOM BOC S S ∆∆=，求点M 的坐标.24.已知二次函数2y x bx c =−++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应数值如下表：（1）直接写出二次函数的对称轴是：直线________，此函数图象与x 轴交点有________个；（2）求二次函数的函数表达式；（3）当51x −−＜＜时，请直接写出函数值y 的取值范围：________.25.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y （瓶）与销售单价x （元）满足一次函数关系.所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润=销售单价−进价）（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）该新型饮料每月的总利润为w （元），求w 关于x 的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价.此时超市发现进价提高了a 元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14元时，利润随着x 的增大而增大，求a 的最小值.26.如下图，抛物线2y ax bx c =++经过点()25A −，，与x 轴相交于()()1030B C −，，，两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到BC D '△，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；27.如下图，抛物线213y x bx c =++经过点()A 和点()02B −，.（1）求该抛物线的解析式；（2）若OAB △以每秒2个单位长度的速度沿射线BA 方向运动，设运动时间为t ，点O A B ，，的对应点分别为D E C ，，，直线DE 交抛物线于点M . ①当点M 为DE 的中点时，求t 的值；②连接AD ，当ACD △为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】解：A .关系式为：y kx b =+，故A 错误； B .关系式为st v=，故B 错误； C .关系式为：3C a =，故C 错误； D .2S R π=，故D 正确. 故选：D . 2.【答案】D【解析】解：∵二次函数212y x =−中20−＜，∴图象开口向下，故选：D . 3.【答案】A【解析】解：抛物线()2315y x =−−+的顶点坐标为()15，，故选：A . 4.【答案】C【解析】解：∵抛物线21y x mx =−−，()()22411440m m =−−⨯⨯−=+∴△≥＞，∴不论m 取何值时，抛物线21y x mx =−−与x 轴的交点有2个，故选：C . 5.【答案】B【解析】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线212y x =−向左平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为()21112y x =−+−.故选：B . 6.【答案】C【解析】解：∵二次函数()2211y a x x a =−−+−的图象经过原点，210a −=∴， 1a =±∴，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

北师大版九年级数学下第二章检测卷(含答案)

第二章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项) 1．下面的函数是二次函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是( )A ．(2，1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(1，2)3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( ) A ．y ＝－3(x －1)2＋3 B ．y ＝3(x －1)2＋3 C ．y ＝－3(x ＋1)2＋3 D ．y ＝3(x ＋1)2＋3第3题图第4题图4．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )A ．5000元B ．8000元C ．9000元D ．10000元6．关于二次函数y ＝x 2－2x ＋1－a 2的图象，以下判断错误的是( ) A ．开口方向确定 B ．对称轴位置确定C ．与y 轴的交点一定在正半轴D ．与x 轴的交点一定有一个在正半轴二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．把二次函数y ＝x 2－12x 化为形如y ＝a (x －h )2＋k 的形式为________________． 8．将抛物线y ＝(x －2)2－8向左平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为________________．9．已知A (4，y 1)，B (－4，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2－2的图象上两点，则y 1________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．10．已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________．11．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，C 点在斜边上．设矩形的一边AB ＝x m ，矩形的面积为y m 2，则y 的最大值为________．第11题图第12题图12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知点(3，0)在抛物线y＝－3x2＋(k＋3)x－k上，求此抛物线的对称轴．14．已知抛物线y＝x2－4x＋c，其图象经过点(0，9)．(1)求c的值；(2)若点A(3，y1)，B(4，y2)在该抛物线上，试比较y1，y2的大小．15．已知二次函数y＝x2＋4x＋k－1.(1)若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；(2)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．16．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)判断点P(3，5)是否在这个二次函数的图象上．17．如图，已知点C(0，2)，D(4，2)，F(4，0)，请仅用无刻度的直尺作出下列抛物线的顶点P.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，BC，求△ABC的面积．19.如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足(x＋2)2＋m＞kx＋b的x的取值范围．20．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1＝a(x－m)2＋4(m＞0)，y1，y2的“生成函数”为y＝x2＋4x＋14；当x＝m时，y2＝15，二次函数y2的图象的顶点坐标为(2，k)．(1)求m的值；(2)求二次函数y1，y2的解析式．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．某小区要用篱笆围成一个四边形花坛，花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，且BC＝2AB.设AB边的长为x米，四边形ABCD的面积为S平方米．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，四边形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？22．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(OA＝1米)弹跳到人梯顶端椅子B 处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高P 点⎝⎛⎭⎫52，194.(1)若其身体(看成一个点)的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式；(2)在一次表演中，已知人梯高BC ＝3.4米，演员弹跳到最高处点P 后落到人梯顶端椅子B 处算表演成功，为了使这次表演成功，人梯离起跳点A 的水平距离OC 是多少米？请说明理由．六、(本大题共12分)23．如图①，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两条抛物线L 1，L 2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有很多条．(1)在图①中，抛物线L 1：y ＝－x 2＋4x －3与L 2：y ＝a (x －4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A 的坐标为__________，a 的值为________；(2)在图②中，已知抛物线L 3：y ＝2x 2－8x ＋4，它的“伴随抛物线”为L 4，若L 3与y 轴交于点C ，点C 关于L 3的对称轴对称的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 4的解析式；(3)若抛物线y ＝a 1(x －m )2＋n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y ＝a 2(x －h )2＋k ，请写出a 1与a 2的关系，并说明理由．参考答案与解析1．B 2.B 3.A 4.B 5.C6．C 解析：由二次函数y ＝x 2－2x ＋1－a 2得图象开口向上，对称轴是x ＝1，故A ，B ，D 三个选项正确．图象与y 轴的交点坐标为(0，1－a 2)，1－a 2无法确定符号，故C 选项错误．故选C.7．y ＝(x －6)2－36 8.y ＝(x ＋1)2－8 9.＞ 10．(1，4) 11.300 12．(1＋7，3)或(2，－3) 解析：∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝23，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．13．解：∵点(3，0)在抛物线y ＝－3x 2＋(k ＋3)x －k 上，∴0＝－3×32＋3(k ＋3)－k ，∴k ＝9.(3分)∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋12x －9，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝－122×（－3）＝2.(6分)14．解：(1)当x ＝0时，y ＝c ＝9，∴c 的值为9.(3分)(2)由(1)可知抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋9.当x ＝3时，y 1＝9－4×3＋9＝6；当x ＝4时，y 2＝16－4×4＋9＝9.(5分)∵6＜9，∴y 1＜y 2.(6分)15．解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋4x ＋k －1的图象与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＝42－4×1×(k －1)＝20－4k ＞0，解得k ＜5，即k 的取值范围为k ＜5.(3分)(2)根据题意得4ac －b 24a ＝4（k －1）－164×1＝0，解得k ＝5.(6分)16．解：(1)设二次函数的顶点式为y ＝a (x －1)2－2，将点(0，0)代入，得a －2＝0，解得a ＝2，(2分)所以二次函数的解析式为y ＝2(x －1)2－2.(3分)(2)当x ＝3时，y ＝2×(3－1)2－2＝6≠5，(5分)所以点P (3，5)不在这个二次函数的图象上．(6分)17．解：抛物线的顶点P 如图所示．(6分)18．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋6，得0＝9＋3b ＋6，解得b ＝－5.(3分)∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x ＋6.(4分)(2)∵抛物线的解析式为y ＝x 2－5x ＋6，令y ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，∴A (2，0)，B (3，0)．令x ＝0，∴y ＝6.∴C (0，6)，∴AB ＝1，OC ＝6.(6分)∴S △ABC ＝12AB ·OC＝12×1×6＝3.(8分) 19．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A (－1，0)，∴0＝1＋m ，∴m ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，(2分)∴点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.又∵点B ，C 关于对称轴对称，∴点B 的坐标为(－4，3)．(4分)∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1.∴一次函数的解析式为y ＝－x －1.(6分)(2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ＞kx ＋b 的x 的取值范围为x ＜－4或x ＞－1.(8分)20．解：(1)∵y 1＝a (x －m )2＋4(m ＞0)，y 1，y 2的“生成函数”为y ＝x 2＋4x ＋14，∴y 2＝x 2＋4x ＋14－a (x －m )2－4＝x 2－a (x －m )2＋4x ＋10.(2分)∵当x ＝m 时，y 2＝15，∴15＝m 2－a (m －m )2＋4m ＋10，解得m 1＝1，m 2＝－5(不合题意，舍去)．(4分)(2)由(1)得y 2＝x 2－a (x －1)2＋4x ＋10＝(1－a )x 2＋(2a ＋4)x －a ＋10.∵二次函数y 2的图象的顶点坐标为(2，k )，∴ －2a ＋42（1－a ）＝2，解得a ＝4.(7分)∴y 1＝4(x －1)2＋4，y 2＝－3x 2＋12x ＋6.(8分)21．解：(1)∵AB ＝x 米，∴BC ＝2AB ＝2x 米，CD ＝(18－3x )米，(2分)∴S ＝12(AB ＋CD )·BC＝12(x ＋18－3x )·2x ＝－2x 2＋18x .(4分) (2)∵S ＝－2x 2＋18x 中a ＝－2＜0，∴S 有最大值．(6分)当x ＝－182×（－2）＝92时，S最大＝4ac －b 24a ＝812.(9分) 22．解：(1)由题意可得抛物线的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫52，194，且图象过A (0，1)，设y ＝a ⎝⎛⎭⎫x －522＋194，(2分)将A (0，1)代入得1＝a ⎝⎛⎭⎫0－522＋194，解得a ＝－35，故y ＝－35⎝⎛⎭⎫x －522＋194＝－35x 2＋3x ＋1.(4分)(2)为了使这次表演成功，人梯离起跳点A 的水平距离OC 是4米．(5分)理由如下：由题意知点B 在抛物线上，且点B 的纵坐标为3.4.(7分)令3.4＝－35x 2＋3x ＋1，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝4，∴点B 的横坐标为4，即OC ＝4米．(9分)23．解：(1)(2，1)(1分) 1(2分)(2)在L 3：y ＝2x 2－8x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4.故点C 的坐标为(0，4)．(4分)又∵L 3：y ＝2x 2－8x ＋4的对称轴为直线x ＝－b2a ＝－－82×2＝2，∴点D 的坐标为(4，4)．(5分)∵L 3的“伴随抛物线”L 4顶点为D (4，4)，∴设L 4的解析式为y ＝t (x －4)2＋4.又∵L 3的顶点为(2，－4)，且与L 4互为“伴随抛物线”，∴y ＝t (x －4)2＋4过点(2，－4)．∴－4＝t (2－4)2＋4，∴t ＝－2，∴L 4的解析式为y ＝－2(x －4)2＋4(或y ＝－2x 2＋16x －28)．(6分)(3)a 1，a 2的关系为a 1＋a 2＝0(或a 1＝－a 2)．(8分)理由如下：由已知抛物线y ＝a 1(x －m )2＋n 的一条“伴随抛物线”的解析式为y ＝a 2(x －h )2＋k ，可知y ＝a 2(x －h )2＋k 过点(m ，n )且y ＝a 1(x －m )2＋n 过点(h ，k )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ，①k ＝a 1（h －m ）2＋n ，②(10分)由①＋②可得(a 1＋a 2)(h －m )2＝0，(11分)．又∵“伴随抛物线”的顶点不重合，∴h ≠m ，∴a 1＋a 2＝0或a 1＝－a 2.(12分)。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)

一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根3．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝04．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线23y x =向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（） A ．23(5)1y x =-+ B ．23(-5)1y x =- C ．23(5)1y x =+-D ．23(5)1y x =++6．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．38．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（）A ．2B ．2C ．1D ．239．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（） A ． B ． C ． D ．10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2ba =-；④80a c +>．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x0 1 2 3 y75713则代数式的值为_______．15．若A （m-2，n ），B （m+2，n ）为抛物线2()2020y x h =--+上两点，则n=_______．16．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．17．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．18．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点，与y 轴的交点在y 轴正半轴，它的对称轴为直线1x =．有以下结论：①0abc >，②0a c ->，③若点()11,y -和()22,y 在该图象上，则12y y <，④设1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，若2am bm c p ++=，则()()120p m x m x --≤．其中正确的结论是____________（填入正确结论的序号）．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．三、解答题21．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置；（2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为；当y 1≥y 2时x 的取值范围是．22．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22mm ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．23．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ，E 两点，与x 轴交于B (1，0)，C (2，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，请通过计算写出一个满足条件点P 的坐标．24．一个二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为；（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像；（3）根据图像，写出当y ＞0时，x 的取值范围．25．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值．26．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可．【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-，∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．2．D解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m −n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．4．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵a ＜0，2ba-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴， ∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确； ③∵该函数图象的开口向下， ∴a ＜0；又∵对称轴-1＜x=2ba-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确；④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0，∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确．综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为：y=3（x+5）2；再向下平移1个单位为：y=3（x+5）2-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.7．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确；根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->，解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．【详解】解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，①当点E 在AB 上运动时，y=FC=BE=AB-AE=6-x ，即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；②当点E 在BC 上运动时，如下图，则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEC=∠EAB ，∴∠CFE=∠AEB ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴BE AB CF CE=，即6610x y x -=-，整理得：()2181061063y x x x =-+-<≤，图象为二次函数， ∵106-<，故()2218121086363y x x x =-+-=--+有最大值，最大值为23，即23m =，故选：D ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．B解析：B【分析】当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s 取最大值时，飞机停下来，∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误；当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1，故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．14．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A （h −2n ）B （h ＋2n ）将B （h ＋2n ）代入函数关系式即可求出结果【详解】解：∵A （m-2n解析：2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，再利用m-2+m+2=2h ，解得m=h ，则可得A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），将B （h ＋2，n ）代入函数关系式即可求出结果．【详解】解：∵A （m-2，n ），B （m+2，n ）是抛物线2()2020y x h =--+上两点， ∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，∴m-2+m+2=2h ，解得m=h ，∴A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），当x ＝h ＋2时，n ＝−（h ＋2−h ）2＋2020＝2016，故答案为：2016．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-，画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6，故填254-＜b ＜-6. 【点睛】本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.17．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35，故答案为：35. 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．18．③④【分析】利用数形结合思想从抛物线的开口与坐标轴的交点对称轴等方面着手分析判断即可【详解】解：∵抛物线的开口向下对称轴在原点的右边与y 轴交于正半轴∴a ＜0b ＞0c ＞0∴abc ＜0∴结论①错误；∵抛解析：③④【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0， b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴b=-2a ；∵ c+a+b ＞0，∴c-a ＞0，∴a-c ＜0， ∴结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，∵点()11,y -和()22,y 在该图象上，∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远；∴12y y <，∴结论③正确；∵2am bm c p ++=，1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，当0p a+b+c ＜≤时，12m ≤≤x x ；∴()()120＜--p m x m x ；当p=0时，()()12=0--p m x m x当p＜0时，()()120＜--p m x m x∴()()120p m x m x--≤∴结论④正确；③④故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．20．【分析】当BCP三点共线且C在BP之间时BP最大连接PB此时△OAQ∽△BAP且相似比为1:3由此即可求得求出BP的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP当BCP三点共线且C在BP之间时BP最解析：7 3【分析】当B、C、P三点共线，且C在BP之间时，BP最大，连接PB，此时△OAQ∽△BAP，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP，求出BP的最大值即可求解．【详解】解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大，此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：73．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．三、解答题21．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得： x ··· -3 -2 -1 0 1 ···y .. 0 3 4 3 0 (1)由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．22．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值，（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩，即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．23．（1）213122=-+y x x ；（2）点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2．【分析】（1）根据直线的解析式求得点A （0，1），然后利用待定系数法求得函数解析式；（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E 的坐标．△PAE 是直角三角形，应分点P 为直角顶点，点A 是直角顶点，点E 是直角顶点三种情况探讨．【详解】解：（1）解：（1）∵直线y=12x+1与y 轴交于点A ， ∴A （0，1），将A （0，1），B (1，0)，C (2，0)代入2y ax bx c =++中 10420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12321a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：213122=-+y x x （2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+即E 点的坐标213(,1)22m m m -+，又∵点E 在直线112y x =+上， ∴213111222m m m -+=+解得10m =（舍去），24m =， E ∴的坐标为(4,3)．（Ⅰ）当A 为直角顶点时，过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点，设1(,0)P a 易知D 点坐标为(2,0)-，由Rt AOD Rt ∆∽△1POA 得：DO OA OA OP =，即211a=， 12a ∴=， 11(2P ∴，0)．（Ⅱ）同理，当E 为直角顶点时，过E 作2EP DE ⊥交x 轴于2P 点，由Rt AOD Rt ∆∽△2P ED 得，2DO DE OA EP =，即221=22EP ∴=，2152DP ∴==， 1511222a ∴=-=， 2P 点坐标为11(,0)2．（Ⅲ）当P 为直角顶点时，过E 作EF x ⊥轴于F ，设3(P b ，0)，由90OPA FPE ∠+∠=︒，得OPA FEP ∠=∠，Rt AOP Rt PFE ∆∆∽，由AO OP PF EF =得143b b =-，解得13b =，21b =，∴此时的点3P 的坐标为(1,0)或(3,0)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m的值；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∴x=4和x=0时的函数值相等，∴m=3；故答案为：3；（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，y 时，x＜1或x＞3．（3）观察图象，0【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 25．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）32m = 【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．【详解】解：（1）2230mx mx m --=，∵0m >，方程两边同时除以m 得， 2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=，把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ，抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限，∴43m =∴3m =．【点睛】本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．26．（1）12m =-，25n =；（2）当18x =时，968W =最大．【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值．【详解】解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得 321276m m =-，解得12m =-，当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =，故答案为：12m =-，25n =．（2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +．当120x ≤<时，()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当18x =时，968W =最大．当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+，∵280>，∴W 随x 的增大而增大，∴当30x =时，952W =最大．∵968952>，∴当18x =时，968W =最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．。

北师大版数学九年级下册：第二章《二次函数》测试卷

新北师大版第二章《二次函数》测试卷一、选择题（每小题3分，满分24分）1．下列函数：y ＝x （8－x ），y ＝1－221x ，y ＝42-x ，y ＝x x 62-，其中以x 为自变量的二次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．在函数2y x=，5y x =+，2y x =的图象中，关于y 轴对称的图形有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．点A （2，3）在函数21y ax x =-+的图象上，则a 等于（）A ．1B ．－1C ．2D ．－24．若抛物线228y x x h =++的顶点在x 轴上，则（）A ．0h =B ．16h =±C ．4h =±D ．4h =5．在同一坐标系中，图象与22x y =的图象关于x 轴对称的函数为（）A ．221x y =B ．221x y -= C ．22x y -= D ．2x y -= 6．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 7．将抛物线22x y =经过平移得到抛物线2=y （4-x ）21-是（）A ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位二、填空题（每小题3分，满分21分）1．抛物线2241y x x =--的开口向；顶点坐标是；对称轴方程为．2．抛物线232y x x =-+不经过第象限.3．若点),1(1y P 、Q 2(1,)y -都在抛物线21y x =+上，则线段P Q 的长为．4．如图所示，二次函数26y x x =--的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则ABC ∆的面积ABC S ∆= ．5．一条抛物线，顶点坐标为(4,2)-，且形状与抛物线22y x =+相同，则它的函数表达式是．6．函数2412x x y -+=的图象与x 轴有个交点；当时，y 值随x 值增大而增大；当=x 时， y 有最值．7．函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则c b a ++ 0，c b a ++24 0．（用“＝”、“＞”或“＜”填空）三、解答题：1．（12分）如图所示，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于(0,2)C ，若90ACB ∠=︒，5BC =，试求：（1）A 、B 两点的坐标；（2）二次函数的表达式．2．（10分）已知一抛物线经过点()2,6-，它与x 轴的两交点间的距离为4，对称轴为直线1x =-，求此抛物线的解析式．解：3．（12分）抛物线2y x bx c =++(0)a ≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．（1）求该抛物线的解析式．（2）一动点P 在（1）中抛物线上滑动且满足10ABP S ∆=，求此时P 点的坐标．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷2022年九年级数学下册单元测试试卷带解析及答案

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷2022年九年级数学下册单元测试试卷带解析及答案选择题已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有()A. 最小值－3B. 最大值－3C. 最小值2D. 最大值2【答案】B【解析】因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，所以该抛物线有最大值，结合顶点坐标为(2，－3)解答即可.∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，∴该抛物线有最大值，∵顶点坐标为(2，－3)，∴该抛物线有最大值－3.故选B.选择题已知二次函数的、的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为（）A. y轴B. 直线C. 直线x=2D. 直线【答案】D【解析】试题由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x==．故选：D．选择题若二次函数y＝(m－1)x2－mx－m2＋1的图象过原点，则m的值为()A. ±1B. 0C. 1D. －1【答案】D【解析】把原点坐标（0,0）代入二次函数y＝(m－1)x2－mx－m2＋1计算即可.把（0,0）代入y＝(m－1)x2－mx－m2＋1，得－m2＋1=0，∴m=±1,∵m-1≠0,∴m≠1,∴m=-1.故选D.选择题一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）【答案】C.【解析】试题分析：由图可知：，所以，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，排除D，由c＞0，排除A，对称轴＞0，所以，排除B，故答案选C.选择题国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，两次降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为( )A. y＝36(1－x)B. y＝36(1＋x)C. y＝18(1－x)2D. y＝18(1＋x2)【答案】C【解析】第一次降价后为，第二次降价后为.故选C.选择题（3分）如图是二次函数图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，其中正确结论是（）A. ②④B. ①④C. ①③D. ②③【答案】B【解析】试题∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，故①正确由图象可知：对称轴，∴，故②错误；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，由图象可知：当x=1时y=0，∴，故③错误；由图象可知：当x=﹣1时y＞0，∴点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，故④正确．故选B．填空题．函数取得最大值时，____________．【答案】【解析】解：y=(x-2)(3-x)=，∴当x=时，最大值为．故答案为：．填空题将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．【答案】y=2﹣2【解析】试题分析：按照“左加右减，上加下减”的规律可得抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．即可得抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣2．填空题如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为________m.【答案】8【解析】首先根据题意结合，由隧道横截面的最大高度为8米，得到b＝8，进而得到函数解析式；然后现令x=0，得到-x2+8=0，求得x的值，进而得到点A，B的坐标，由此即可求得AB的长.∵隧道横截面的最大高度为8米，∴b=8.令x=0，则-x2+8=0，解得x=±4.∴A（-4，0），B（4，0），∴AB=8米.故答案为：8.选择题如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．【答案】③④【解析】试题①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c 的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．填空题二次函数的图像如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y 轴右侧的图像上，则点C的坐标为.【答案】（，-3）.【解析】试题分析：已知△ABC是等边三角形，且边长为，易求该等边三角形的高为3，又因点C在二次函数上，所以y=±3，代入y=x2﹣2x﹣3中可得±3=x2﹣2x﹣3，解得或x=0或x=2．要使点C 落在该函数y轴右侧的图象上，x必须小于0，所以，即可得点C的坐标为（，-3）.解答题如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD 的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．【答案】(1) y＝－x2＋3x；(2) 当x＝3时，y有最大值，为4.5.【解析】（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点可得四边形EFGH 的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，∴BC＝×12－x＝6－x.∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，即y＝－x2＋3x.(2)y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋4.5，∵a＝－＜0，∴y有最大值，当x＝3时，y有最大值，为4.5.。

北师大版九年级数学下册第二章检测题(含答案)

九年级第二单元检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是(B) A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1C．y＝1x D．y＝－x2＋12．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(C)A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝23．抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数表达式为(C)A. y＝3x2＋2x－5B. y＝3x2＋2x－4C. y＝3x2＋2x＋3D. y＝3x2＋2x＋44．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(B)A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)5．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝(B)A．1 B．－1 C．－2 D．0,第5题图)6题图) 6．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx 的对称轴为(C)A．直线x＝1 B．直线x＝4C．直线x＝－1 D．直线x＝－47．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是(D)A．a<0 B．b>0C．b2－4ac>0 D．a＋b＋c<08．已知抛物线y＝－16x2＋32x＋6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是(D)A.154 B.92 C.132 D.1529．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)A．当点C是AB的中点时，S最小B．当点C是AB的中点时，S最大C ．当点C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当点C 为AB 的三等分点时，S 最大,第9题图),第10题图)10．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是( A )A B C D二、填空题(每小题4分，共16分)11．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标为__(1，2)__．12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为__8__．132＋bx ＋c 中函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则当y ＜5时，x 的取值范围是__0<x <4__．14．如图，抛物线的对称轴是x ＝1，与x 轴交于A ，B 两点，若点B 的坐标为(3，0)，则点A 的坐标是．三、解答题(共54分)15．(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)y ＝x 2－3x －4； (2)y ＝－4x 2＋3x .解：(1)y ＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254轴为x ＝38，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫38，916.16．(9分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)． (1)求b ，c 的值；(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)在所给坐标系中画出二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象．解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)，(2)∵该二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2.(3)画图略．17．(9分)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4, 1)和(－1, 6)． (1)求二次函数的表达式；(2)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．解：(1)由题意解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝1，故二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋1. (2)∵y ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3，∴顶点坐标是(2，－3)，对称轴是直线x ＝2.18．(9分)心理学家发现，在一定时间范围内，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43(0≤x ≤30)，y 值越大，表示接受能力越强．(1)当x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内学生的接受能力逐步减弱？(2)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y 的值是多少？(3)如果用8分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．解：(1)该函数表达式配方得y ＝－0.1(x －13)2＋59.9(0≤x ≤30)，所以该函数图象的对称轴为x ＝13，开口向下，所以在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，所以在0≤x ≤13时学生的接受能力逐步增强，在13<x ≤30时学生的接受能力逐步减弱．因为57.4＜59，所以学生的接受能力减弱了．19．(9分)已知某种高新技术设备的生产成本不高于50万元/套，售价不低于90万元/套．已知这种设备的月产量x (套)与每套的售价y 1(万元)之间满足关系式y 1＝170－2x ，月产量x (套)与生产总成本y 2(万元)存在如图所示的函数关系．(1)直接写出y 2与x 之间的函数关系式，并求月产量x 的取值范围；(2)当月产量x (套)为多少时，这种设备的利润W (万元)最大？最大利润是多少？解：(1)设函数关系式为y 2＝kx ＋b .把点(30，1 400)，(40，1 700)分别代入关系式， ∴函数关系式为y 2＝30x ＋500.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧500＋30x ≤50x ，170－2x ≥90，则当月产量为35套时，利润最大，最大利润是1 950万元．20．(9分)如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1，0)，B (0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象过点C .求抛物线的表达式．解：如答图所示，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠OAB ＝∠ACD ，∠OBA ＝∠CAD . ∴△AOB ≌△CDA (ASA)，∵点C(3，1)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴b＝－1 2，∴抛物线的表达式为y＝12x2－12x－2.B卷(50分)一、填空题(每小题4分，共20分)21．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图所示，则抛物线的表达式是__y＝－125x2＋85x__．21题图22题图22．如图，已知二次函数y＝－x2＋3x的对称轴与一次函数y＝－2x的图象交于点A，则点A的坐标为________．23．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc>0.其中正确的结论是__①④__．(填写序号)23题图24题图24．如图，已知抛物线y＝x2－k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是__3__．25．如图，抛物线y1＝a(x＋2)2＋m过原点，与抛物线y2＝12(x－3)2＋n交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②当x＝0时，y2＝5；③当x＞3时，y1－y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．其中正确的结论是__①③④__．(填写序号)二、解答题(共30分)26．(10分)音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一表达式为y＝ax2＋bx.(1)若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3 m，求此时a，b的值；(2)若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？(3)若k＝3，a＝－27，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？图12解：当y＝0时，0＝－27x2＋6x，解得x1＝21，x2＝0.∵21 m＞18 m，∴若k＝3，a＝－27，则喷出的抛物线水线能达到岸边．27．(10分)某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．利润＝(销售价－进价)×销售量(2)请你根据表格中的信息求出每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间存在怎样的函数关系，并求y (千克)与x (元)(x >0)的函数关系式；(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)如果以13元/千克的价格销售，每千克利润为13－8＝5(元)，那么每天售出750即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．28．(10分)如图，抛物线经过点A (1，0)，B (5，0)，C ⎝⎛⎭⎫0，103三点．设点E (x ，y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E (x ，y )运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值；(3)是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵抛物线过点A (1，0)，B (5，0)，C ⎝⎛⎭⎫0，103，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，25a ＋5b ＋c ＝0，c ＝103，解得a ＝23，。

2023年春学期北师大版九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷附答案解析

2023年春学期九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是()A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …-2013…y …6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：①<0abc ；②240b ac ->；③0a b c ++=；④21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是_____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．23．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2 ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案：1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．D8．D9．C10．C11．D12．B13．126414．（2，0）15．316．132y y y <<17．1018．﹣3＜x ＜119．420．1.12521．(1)2114y x =-+(2)23(3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）26，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

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第二章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)1．下面的函数是二次函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2x C ．y ＝x 2 D ．y ＝2x2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是( ) A ．(2，1) B ．(0，1) C ．(1，0) D ．(1，2)3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( ) A ．y ＝－3(x －1)2＋3 B ．y ＝3(x －1)2＋3 C ．y ＝－3(x ＋1)2＋3 D ．y ＝3(x ＋1)2＋3第3题图第4题图4．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( ) A．5000元B．8000元C．9000元D．10000元6．关于二次函数y＝x2－2x＋1－a2的图象，以下判断错误的是( )A．开口方向确定B．对称轴位置确定C．与y轴的交点一定在正半轴D．与x轴的交点一定有一个在正半轴二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式为________________．8．将抛物线y＝(x－2)2－8向左平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为________________．9．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2的图象上两点，则y________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．110．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．11．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为________．第11题图第12题图12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB 为23个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知点(3，0)在抛物线y＝－3x2＋(k＋3)x－k上，求此抛物线的对称轴．14．已知抛物线y＝x2－4x＋c，其图象经过点(0，9)．(1)求c的值；(2)若点A(3，y1)，B(4，y2)在该抛物线上，试比较y1，y2的大小．15．已知二次函数y＝x2＋4x＋k－1.(1)若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；(2)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．16．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)判断点P(3，5)是否在这个二次函数的图象上．17．如图，已知点C(0，2)，D(4，2)，F(4，0)，请仅用无刻度的直尺作出下列抛物线的顶点P.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，BC，求△ABC的面积．19.如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足(x＋2)2＋m＞kx＋b的x的取值范围．20．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1＝a(x－m)2＋4(m ＞0)，y1，y2的“生成函数”为y＝x2＋4x＋14；当x＝m时，y2＝15，二次函数y2的图象的顶点坐标为(2，k)．(1)求m的值；(2)求二次函数y1，y2的解析式．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．某小区要用篱笆围成一个四边形花坛，花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD ，其中∠ABC ＝∠BCD ＝90°，且BC ＝2AB .设AB 边的长为x 米，四边形ABCD 的面积为S 平方米．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，四边形ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？22．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处(OA ＝1米)弹跳到人梯顶端椅子B 处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，194.(1)若其身体(看成一个点)的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式； (2)在一次表演中，已知人梯高BC ＝3.4米，演员弹跳到最高处点P 后落到人梯顶端椅子B 处算表演成功，为了使这次表演成功，人梯离起跳点A 的水平距离OC 是多少米？请说明理由．六、(本大题共12分)23．如图①，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两条抛物线L 1，L 2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有很多条．(1)在图①中，抛物线L 1：y ＝－x 2＋4x －3与L 2：y ＝a (x －4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A 的坐标为__________，a 的值为________；(2)在图②中，已知抛物线L 3：y ＝2x 2－8x ＋4，它的“伴随抛物线”为L 4，若L 3与y 轴交于点C ，点C 关于L 3的对称轴对称的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 4的解析式；(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x －h)2＋k，请写出a1与a2的关系，并说明理由．参考答案与解析1．B 2.B 3.A 4.B 5.C6．C 解析：由二次函数y＝x2－2x＋1－a2得图象开口向上，对称轴是x＝1，故A，B，D三个选项正确．图象与y轴的交点坐标为(0，1－a2)，1－a2无法确定符号，故C选项错误．故选C.7．y＝(x－6)2－36 8.y＝(x＋1)2－8 9.＞10．(1，4) 11.30012．(1＋7，3)或(2，－3) 解析：∵△ABC是等边三角形，且AB＝23，∴AB边上的高为3.又∵点C在二次函数图象上，∴点C的纵坐标为±3.将y＝±3代入y＝x2－2x－3，得x＝1±7或0或2.∵点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x＝1＋7或2，∴点C的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．13．解：∵点(3，0)在抛物线y＝－3x2＋(k＋3)x－k上，∴0＝－3×32＋3(k ＋3)－k，∴k＝9.(3分)∴抛物线的解析式为y＝－3x2＋12x－9，∴此抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－122×（－3）＝2.(6分)14．解：(1)当x＝0时，y＝c＝9，∴c的值为9.(3分)(2)由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－4x＋9.当x＝3时，y1＝9－4×3＋9＝6；当x＝4时，y2＝16－4×4＋9＝9.(5分)∵6＜9，∴y1＜y2.(6分)15．解：(1)∵二次函数y＝x2＋4x＋k－1的图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＝42－4×1×(k－1)＝20－4k＞0，解得k＜5，即k的取值范围为k＜5.(3分)(2)根据题意得4ac－b24a＝4（k－1）－164×1＝0，解得k＝5.(6分)16．解：(1)设二次函数的顶点式为y＝a(x－1)2－2，将点(0，0)代入，得a－2＝0，解得a＝2，(2分)所以二次函数的解析式为y＝2(x－1)2－2.(3分)(2)当x＝3时，y＝2×(3－1)2－2＝6≠5，(5分)所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．(6分)17．解：抛物线的顶点P如图所示．(6分)18．解：(1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋6，得0＝9＋3b＋6，解得b＝－5.(3分)∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6.(4分)(2)∵抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6，令y＝0，即x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，∴A(2，0)，B(3，0)．令x＝0，∴y＝6.∴C(0，6)，∴AB＝1，OC＝6.(6分)∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝12×1×6＝3.(8分) 19．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A (－1，0)，∴0＝1＋m ，∴m ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，(2分)∴点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.又∵点B ，C 关于对称轴对称，∴点B 的坐标为(－4，3)．(4分)∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1.∴一次函数的解析式为y ＝－x －1.(6分)(2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ＞kx ＋b 的x 的取值范围为x ＜－4或x ＞－1.(8分)20．解：(1)∵y 1＝a (x －m )2＋4(m ＞0)，y 1，y 2的“生成函数”为y ＝x 2＋4x ＋14，∴y 2＝x 2＋4x ＋14－a (x －m )2－4＝x 2－a (x －m )2＋4x ＋10.(2分)∵当x ＝m 时，y 2＝15，∴15＝m 2－a (m －m )2＋4m ＋10，解得m 1＝1，m 2＝－5(不合题意，舍去)．(4分)(2)由(1)得y 2＝x 2－a (x －1)2＋4x ＋10＝(1－a )x 2＋(2a ＋4)x －a ＋10.∵二次函数y 2的图象的顶点坐标为(2，k )，∴ －2a ＋42（1－a ）＝2，解得a ＝4.(7分)∴y 1＝4(x －1)2＋4，y 2＝－3x 2＋12x ＋6.(8分) 21．解：(1)∵AB ＝x 米，∴BC ＝2AB ＝2x 米，CD ＝(18－3x )米，(2分)∴S ＝12(AB ＋CD )·BC ＝12(x ＋18－3x )·2x ＝－2x 2＋18x .(4分) (2)∵S ＝－2x 2＋18x 中a ＝－2＜0，∴S 有最大值．(6分)当x ＝－182×（－2）＝92时，S 最大＝4ac －b 24a ＝812.(9分) 22．解：(1)由题意可得抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，194，且图象过A (0，1)，设y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194，(2分)将A (0，1)代入得1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－522＋194，解得a ＝－35，故y ＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194＝－35x 2＋3x ＋1.(4分) (2)为了使这次表演成功，人梯离起跳点A 的水平距离OC 是4米．(5分)理由如下：由题意知点B 在抛物线上，且点B 的纵坐标为3.4.(7分)令3.4＝－35x 2＋3x ＋1，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝4，∴点B 的横坐标为4，即OC ＝4米．(9分)23．解：(1)(2，1)(1分) 1(2分)(2)在L 3：y ＝2x 2－8x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4.故点C 的坐标为(0，4)．(4分)又∵L 3：y ＝2x 2－8x ＋4的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－－82×2＝2，∴点D 的坐标为(4，4)．(5分)∵L 3的“伴随抛物线”L 4顶点为D (4，4)，∴设L 4的解析式为y ＝t (x －4)2＋4.又∵L 3的顶点为(2，－4)，且与L 4互为“伴随抛物线”，∴y ＝t (x －4)2＋4过点(2，－4)．∴－4＝t (2－4)2＋4，∴t ＝－2，∴L 4的解析式为y ＝－2(x －4)2＋4(或y ＝－2x 2＋16x －28)．(6分)(3)a 1，a 2的关系为a 1＋a 2＝0(或a 1＝－a 2)．(8分)理由如下：由已知抛物线y ＝a 1(x －m )2＋n 的一条“伴随抛物线”的解析式为y ＝a 2(x －h )2＋k ，可知y ＝a 2(x －h )2＋k 过点(m ，n )且y ＝a 1(x －m )2＋n 过点(h ，k )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ，①k ＝a 1（h －m ）2＋n ，②(10分)由①＋②可得(a 1＋a 2)(h －m )2＝0，(11分)．又∵“伴随抛物线”的顶点不重合，∴h ≠m ，∴a 1＋a 2＝0或a 1＝－a 2.(12分)。