巧求正方形面积
正方形的面积推导公式
正方形的面积推导公式正方形的面积推导公式，其实不是什么高深莫测的东西，听起来也许让人觉得有点儿严肃，不过咱们就轻松地聊聊。
想象一下，正方形就像个四四方方的小房子，四面都是墙，墙壁都一样长。
这个“长”可不是随便说说的，得叫“边长”，这是它的秘密武器。
别看它平凡无奇，面积这回事儿就藏在这里头了。
面积嘛，就是这小房子的“占地面积”。
你可以想象一下，正方形的边长是“a”，这时候，咱们就可以开始计算它的“面积”了。
嗯，别被复杂的数学名词吓到。
咱们只要把边长“a”乘以边长“a”，也就是说，面积等于边长的平方。
听起来是不是有点简单？对啊，这就是正方形的魅力所在，它的面积公式就是那么直接，简简单单的。
像是你去买菜，选个大西瓜，结果发现它的体积还真不少，买回来之后却发现切开了，里面的果肉好得不得了，正方形的面积也有这种让人惊喜的感觉。
你会发现，在生活中处处都能碰到正方形。
比如说，棋盘就是个典型的正方形，白黑相间的方格，真的是让人眼前一亮。
咱们再说说地砖，很多时候也是正方形的，铺在地上，真的是很整齐。
这时候，咱们就能用面积公式来计算这块地砖的面积，想想是不是有种恍若“自己动手丰衣足食”的感觉呢？再想象一下，如果正方形的边长变得更大，面积也会随之增长，这就好比你的房子越住越大，面积就会越来越宽敞，真是让人开心得不得了。
这样的变化让人不禁想问，面积的增长是怎么回事呢？其实面积的增长是非线性的，也就是说，边长增加一点，面积却会增加得更多。
这就像你工作努力加薪一样，越努力回报越丰厚，反正都是一个道理。
不仅如此，正方形的面积公式在生活中真的是大有用途。
比如说，装修房子时，算一下需要多少涂料，多少地砖，面积公式都能派上大用场。
就算是小学数学课上的小测试，正方形的面积公式也是个基础的知识点，没准儿还会影响你成绩的高低呢，嘿嘿，别小看了这小小的公式哦。
正方形不仅在数学上有用，在艺术上也有它的位置。
那些漂亮的艺术作品中，正方形的图案常常被用作构图的元素，像一块块小巧的拼图，拼出个别样的风景。
第6讲 巧求面积(三升四)(1)
第6讲巧求面积教学目标：学会应用所学知识解决一些实际问题及较复杂的面积计算。
教学过程：一、知识要点我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，运用这些知识可以解决许多有关面积的问题。
但是有些比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算，生搬硬套公式往往不能奏效，这时，我们可以运用一些巧妙的解题技巧来解决问题。
1、面积公式：长方形的面积=长×宽（S=a×b a表示长方形的长b表示长方形的宽）正方形的面积=边长×边长（S=a×a a表示正方形的边长）2、锦囊妙计。
（1）割补法：把图形分割或添补成可求面积的长方形或正方形，再用长方形或正方形的面积公式计算。
（2）平移法: 通过平移的方法把分散的面积集中到一个长方形或正方形中，再用长方形或正方形的面积公式计算。
二、典型例题1、割补法例1.张爷爷有一块如下图的菜地，你能帮他计算出菜地的面积吗？（单位:米）（1）学生先独立思考，说一说自己的想法。
（2）解析：通过观察可以看出，这个图形可以采用分割的方法，把图形分割成两个长方形，图形的面积=两个长方形面积的和；或者在图形的左上角补上一个正方形，把它变成一个大长方形，图形的面积=大长方形面积－正方形面积。
（课件动画演示）列式：30×20+（30+20）×40=2600（平方米）列式：30×40+（30+40）×20=2600（平方米）列式：（20+30）×（40+30）－30×30=2600（平方米）答：张爷爷的菜地面积是2600平方米。
例2：下图为一个长50米、宽25 米的标准游泳池。
它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。
求游泳池面积和地砖面积。
解析：从图中可以看出，游泳池是长方形，可直接运用长方形面积公式计算出来。
而瓷砖面积不规则，无法直接运用长方形面积公式计算。
如果把大长方形中间空白部分的小长方形割掉（课件动画演示），剩下的就是阴影部分的面积，所以阴影的面积=大长方形的面积－小长方形的面积，即可求出地砖面积。
图形面积巧计算(附解题思路与参考答案)
图形面积巧计算专项练习 （附解题思路和参考答案）教学内容：巧算图形面积。
教学对象：三、四年级学生。
教学重点：正方形、长方形面积的计算。
教学难点：重叠图形面积的计算。
教学过程： 一 复习教学（一）点学生回答：1.什么叫面积？2.正方形、长方形的公式、3.遇到较复杂的组合图形后又该如何计算？（二）投影出示下列内容，引导学生熟读记牢。
1面积：面积指的是物体所占平面的大小。
2 长方形的面积=长×宽，长方形的面积÷长=宽，长方形的面积÷宽=长。
正方形的面积=边长×边长，正方形的面积÷边长=边长。
3 求复杂图形的面积，需要敏锐的观察力和灵活的思维，运用添加辅助线、割补、转化等方法解答。
二新课教学（一）例题1 在一张长9米，宽7米的长方形铁板上，切割出一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少平方米？三 巩固练习11. 明明把一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？请根据例题写出解题思路：请列式计算9米 7 米 解题思路：要使切割出的正方形铁板面积最大就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形的宽为边长，即正方形的边长为7米。
解：7×7＝49（平方米） 答：这个正方形铁板的面积是49平方米。
2 妈妈把一块长2米，宽6分米的长方形布料裁成一个面积最大的正方形，这个正方形的面积是多少？解题思路： 1. 统一单位：2米＝20分米。
2. 再根据正方形的面积公式“边长×边长”可求出基面积。
解：3 将以张长10米，宽8米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形的面积是多少平方米？剩下的部分是什么形状？面积是多少？1.正方形的面积：答：这个正方形的面积是 平方米。
2.剩下的面积：答；剩下的部分是 ，面积是 平方米。
（二）例题2 求下面图形的面积。
(单位：厘米)解题思路：不是规则的长方形要把原图进行割补，使其变成规则的图形解答。
数学小论文 巧算正方形的面积
巧算正方形的面积
庐江县盛桥镇中心小学三（4）班高明洁
一天，爸爸带我到公园玩儿。
我们一路走一路笑，心情甭提有多好！走着走着，我们来到一块正方形草地前，爸爸让我停了下来算一算这块正方形草地的面积，但不准量草地的边长。
一听到“不准量草地的边长”，我就犯愁了，心想：正方形的面积就是等于边长乘边长，不量边长，那该怎么算呢？平时，对于爸爸提出的问题我都能对答如流，这次一定不能认输！于是，我席地而坐，拿根小木棍在地上边想边画。
突然，我想出了一个绝妙的方法。
不准量边长，我总可以量对角线长吧！可是没有尺子怎么量呢？我想到了步测的方法，步测的方法虽然可以，可是怎样才能走出直线呢？我让爸爸去给我买根长绳子并拉出来一条直直的对角线，从而量出了对角线的长度大约是8米，我算出了草地的面积：8×8÷2＝32（㎡）。
爸爸看见我算了出来，笑笑说：“孩子，你为什么要这么
算呢？”我不假思索地说：“我们可
以把8m看做另一个正方形的边长，
再把这个正方形完整画出来，依图看，
原来正方形面积的1/2=现在正方形
面积的1/4，也就是说现在正方形的面积是
原来的2
走!我带你去吃肯德基去。
”爸爸拉着我就走了。
请大家记住：我们还可以用“对角线的长×对角线的长÷2”巧算正方形
的面积哦！
指导教师：高青松。
4尖子 第6章 巧求面积2
第6章巧求面积2知识装备解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积计算问题时，不能只是生搬硬套计算公式，需要我们对要计算的图形进行认真的观察和仔细的分析，把看似不规则的图形经过分解、割补转化为可以运用计算公式进行计算的图形后再求它的周长和面积。
（1）长方形、正方形的面积计算公式：长方形的面积＝长×宽；正方形的面积＝边长×边长；（2）转化图形的方法：分割法——把一个大的图形用辅助线把它分解成几个规则图形。
如：割补法——把一个大图形中的一部分割下来后补在图形的另一部分，使原来不规则的图形转化为规则图形。
如：添辅助线法——在图形的某个位置画上一条辅助线，使图形各部分的组成更加清晰。
如：或或以上各种方法经常是综合应用的。
运用以上方法要遵循两个性质：①两个图形能完全重合，则这两个图形面积相等；②把一个图形割补成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积的和。
因此求需求部分的面积时要运用加、减法；求大面积时把各个小部分面积相加；求其中一个部分面积时用大面积减去已知的小部分面积。
初级挑战1把下图的平行四边形割补后变成一个长方形，求长方形的面积。
思考一下，求出的长方形的面积与原来的平行四边形的面积相等吗？2cm4cm思路点拨：题目要求我们把平行四边形经过割补后转化为一个长方形，怎样割补呢?可以这样想：长方形的长与宽是互相垂直的，如果我们从平行四边形的一个顶点，向它的对边作垂线，垂足在对边上，那么就把原来的平行四边形分出了一个小三角形，再把这个小三角形平移到另一边，长方形就出现了。
答案：具体操作如下：通过割补与平移可以发现，长方形的长与平行四边形的底相等，为4cm。
长方形的宽就是平行四边形的高，为2cm。
所以长方形的面积为4×2＝8（平方厘米）。
因为割下来的三角形与补上去的三角形的面积相等，所以长方形的面积就是原平行四边形的面积。
能力探索1用割补法求下图等腰梯形的面积是多少。
第四讲巧算面积
第四讲巧算面积计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=yx宽，正方形的面积=边长X边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形（见右下图），分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。
或例1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。
这个正方形木板的面积是多少平方米举一反三将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少例2 求下面图形的面积。
（单位：厘米）132举一反三计算下面图形的面积。
（单位：厘米）2⑵3020315例3 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。
如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少举一反三求下图中阴影部分的面积。
（单位：分米）7例4 一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。
求原来长方形的面积。
举一反三一个长方形，若长减少5厘米，面积就减少50平方厘米，若宽增加7厘米，面积就增加28平方厘米。
原来长方形的面积是多少平方厘米例5 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。
它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖（阴影部分）。
求游泳池面积和地砖面积。
举一反三有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少例6 一个边长为10米的正方形花坛，依次连接四边中点得到一个小正方形的喷泉，求小正方形喷泉的面积。
<1例7 一个长方形，如果宽增加2厘米，或长增加3厘米，他们的面积都增加120平方厘米，原来长方形的面积是多少举一反三 有一个长方形，如果宽不变，长增加 4米，面积就增加24平方米, 如果长不变，宽增加3米，面积就增加36平方米，求原来长方形的面积。
奥数：巧求面积
【温故知新】
巧求面积（上）
正方： 正方形面积＝边长×边长 正方形面积＝对角线×对角线÷2
长方形：
三角形：
长方形面积＝长×宽
三角形面积＝底×高÷2
平行四边形：
平行四边形面积＝底×高
梯形：
梯形面积＝(上底＋下底) ×高÷2
(★★) 如图，边长分别为 8，4，10 的三个正方形放在一起，则其中 四边形 ABCD 的面积是______。
(★★★★) 如图所示，7 个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图 中空白部分的面积是多少平方厘米。
(★★★★) 一个长方形，如果长减少 5 厘米，宽减少 2 厘米，那么面积就 减少 66 平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求 原来长方形的面积？
2
(★★★ ) 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差 40 米，面积 相差 220 平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？
1
(★★★ ) 一块长方形地长是 80 米，宽是 45 米，如果把宽增加 5 米，要 使原来的面积不变，长应减少多少米？
(★★★ ) 有一个长方形，如果宽减少 2 米，或长减少 3 米，则面积均减 少 24 平方米，求这个长方形的面积？
(★★★ ) 如图，一张长方形纸片，长 7 厘米，宽 5 厘米。把它的右上角 往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是 多少平方厘米？
(★★★★) 如图，大正方形的面积为 9，中间小正方形的面积为 1，甲、 乙、丙、丁是四个梯形，那么乙与丁的面积之和是______。
【本讲总结】 两个突破口： 一、寻找不变量 二、寻找等量
两个思想： 一、等量代换 二、任我意 重点例题：例 4，例 5，例 7
答案 【例 1】68 【例 2】8 【例 3】96(平方米) 【例 4】6(平方厘米) 【例 5】32 【例 6】130(平方厘米) 【例 7】36(米) 【例 8】4
【奥数小神童】三年级数学竞赛试题- 巧求面积(二) 北师大版(含答案)
巧求面积（二）【名师解析】我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例1：把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的面积为多少平方厘米？练习：把6个长为3厘米、宽为2厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个大长方形的面积是多少？例2：下图是由5个边长为3厘米的正方形组成的图形，求此图形的面积。
练习：下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的面积。
例3： 4个相同的宽为2厘米的长方形拼成一个大长方形．大长形的面积多少平方厘米？练习：四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为64厘米，长方形面积是多少？例4 六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为48厘米，每个长方形面积是多少？练习：一个长方形的面积是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。
长方形长多少厘米？例5 四个完全相同的小长方形拼车下图，大正方形的面积是81平方厘米，小长方形的宽为2厘米，小正方形的面积是多少平方厘米？练习：如图所示，十个相同的小长方形拼成一个大长方形。
已知小长方形的宽是15厘米，求大长方形的面积是多少平方厘米？例6：求下图中阴影部分的面积。
（单位：分米）227练：两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？888448例7:如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。
练习：一个长为10厘米、宽为6厘米的长方形将一个边长为5厘米的正方形遮住了一部分，如图14所示。
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正方形面积
注意事项：
常用正方形面积公式：面积=边长×边长 用字母表示S=a ² 特殊情况处理：
1.分割法求面积
2.转换法（将多边形转换为三角形）
例：正方形对角线长10厘米，求正方形的面积。
分析：正方形对角线互相垂直平分，所以正方形沿对角线分成两个三角形后，以斜边为底，高就是底的一半。
即10÷2=5（厘米）（注：在小学阶段，知道正方形对角线互相垂直平分是解题的关键。
）
方法一：分割法求面积。
三角形高：10÷2=5（厘米）
三角形面积：10×5÷2=25（平方厘米）
正方形面积：25×2=50（平方厘米）
也可以写综合算式：10×5÷2×2=50
（平方厘米）
方法二转换法（将多边形转换为三角形）
（1） （2）
图（1）正方形沿对角线拆分后重新拼成如图（2）中的等腰
直角三角形，直角边长就是正方形的对角线长。
正方形面积：10×10÷2=50（平方厘米）
所以正方形面积等于对角线的平方÷2，记住这一点简单又方
便。
1。