2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3课件新人教A版选修2_3
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3
第1课时排列与排列数公式学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)[自主预习·探新知]1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．思考：如何理解排列的定义？阶乘式A m n＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)[提示]“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．[解析](1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．(2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( )A．3种B．4种C．6种D．12种C[由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．]3．90×91×92×…×100可以表示为( )A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100B[由排列数公式得原式为A11100，故选B.]4．A24＝________，A33＝________.【导学号：95032026】12 6[A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6.][合作探究·攻重难]排列的概念判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；[思路探究]判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题．[规律方法]1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟踪训练]1．判断下列问题是否是排列问题(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？[解](1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话．排列的简单应用(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.【导学号：95032027】[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．[规律方法]在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为( ) A．3种B．4种C．6种D．12种(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(1)C (2)12[(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共排列数公式的推导与应用[探究问题]1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？[提示]从这4个数字中选出2个能构成出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．2．由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝[提示]A2n的意义：假定有排好顺序的a n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．3．你能写出A m n的值吗？有什么特征？若m＝n呢？[提示]A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当m ＝n 时，即n 个不同元素全部取出的一个排列． 全排列数：A n n ＝n (n －1)(n －2)·…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！＝A n n A n－m n －m . (1)计算：2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【导学号：95032028】[思路探究]：(1)合理选用排列数的两个公式进行展开．(2)提取公因式后合并化简．[解] (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×8＋78×7×6×5×24－9＝1. (2)证明：∵A m n ＋1－A m n ＝n ＋1！n ＋1－m ！－n ！n －m ！ ＝n ！n －m ！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 ＝n ！n －m ！·m n ＋1－m ＝m ·n ！n ＋1－m ！＝m A m －1n . ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .[规律方法] 排列数的计算方法1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[跟踪训练]3．求3A x 8＝4A x －19中的x .[解] 原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！， 即3×8！8－x ！＝4×9×8！10－x 9－x 8－x ！， 化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.由题意知{ x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8.所以原方程的解为x ＝6.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．]2．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( )【导学号：95032029】A ．A 4nB ．A n －4n C ．(n －4)! D ．A n －3n D [4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4， 3.] ________种． A 55＝120种．]120.]＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝4！＋5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.。
2017-2018年度高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2.1 组合及组合数公式讲义 新人教B版选修2-3
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知识拓展 (1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序 如何,都是相同的组合.
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时, 就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有组合有3个,它们分别是ab,ac,bc.要注意 ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任 取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照 一定顺序排成一列”.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 易错辨析
【例 4】
已知C15������
−
1 C6������
=
107C7������,求
m.
错解:由已知得������!(55!-������)!
−
������!(6-������)! 6!
=
7(170-������)7!!������!,
即 60-10(6-m)=(7-m)(6-m),
1234 5
4.已知C������2������-1
=
C������������ 3
=
C���������4���+1,则
m
与
n
的值分别为
.
解析:
由C������������-1
2
=
C������������可得
3
5m=2n+2,①
由C������������
3
=
C������������+1可得
=
������! ������!(������-������)!
=
������(������-1)(������-2���)���…! (������-������+1),这里
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列课件新人教A版选修2_3
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
������-1 (4) ������!
������ -1
=
1 1 − . (������-1)! ������!
即A2 4 =12.
A������ 12
2.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念 剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指 “从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数. 例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是 从a,b,c中任取2个元素的排列数. 归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意, 看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一 步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素 中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排 列数公式求解.
1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同, 且元素的排列顺序也相同. 名师点拨1.排列的定义包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的 m个元素也是不同的. 2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完 全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列.
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第3课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240； 方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。
12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
2.从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系中一个点的 坐标,则组成不同点的个数为( ) 答案:C
A.2
B.4
C.12
D.24
栏目 导引
第一章 计数原理
3.全排列 (1)定义:n 个不同元素全部取出的2)×…×3×2×1＝n！. (3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积. (4)规定:0！＝1.
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
栏目 导引
第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,
第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才
是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有
序还是无序是判定是否是排列的关键.
栏目 导引
变式训练 1.判断下列问题是否为排列问题.
第一章 计数原理
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__完__全__相__同__,且元素的 __排__列__顺__序__也相同.
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人
法二 间接法，总排法种数为 A7 7，甲站排头和乙站 排尾的排法种数均为 A6 6，但这两种情况均包含了甲站排
6 5 头和乙站排尾的情况，故排法共有 A 7 － 2A ＋ A 7 6 5＝3
720(种)．
归纳升华 解决“在”与“不在”问题， 常用的方法是特殊位置 分析法、特殊元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊 位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约束条件， 往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件； 若以元 素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素．
答案：A
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2 人不相 邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24 解析：就座 3 人占据 3 张椅子，在其余 3 张椅子形成 的 4 个空位中，任意选择 3 个，插入 3 张坐人的椅子，不 同坐法共有 A3 4＝24(种)． 答案：D
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标 ] 1.进一步理解排列的概念 (重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法， 并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题 ( 重点、难 点)．
[知识提炼· 梳理] 1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法 (1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)． (2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数， 再减去不合要求的排列数．
[变式训练] 要排出某班一天中语文、数学、政治、 英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表，要求数学课排 在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为 ________(用数字作答)． 解析：先在前 3 节课中选一节安排数学，有 A1 3种排 法；
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列b23b高二23数学
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第二十七页，共三十五页。
定序问题 除法处理
间接法
续表 对于定序问题，可先不考虑顺序限制， 排列后，再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
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第二十八页，共三十五页。
1．在排列数公式中，Anm中的 m、n 满足条件 m≤n 且 m、n∈N＋， 在解方程和不等式时，要注意限制条件． 2．对于间接法，要清楚不适合题意的排法总数，不要“多减”或 “少减”．
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第八页，共三然机票是不同的，但票价是 一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题， 属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列 问题．
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法二：Amn＋1表示从 n＋1 个元素中取出 m 个元素的排列个数， 其中不含元素 a1 的有 Anm个．含有 a1 的可这样进行排列：先 排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m－1 个元 素排在剩下的 m－1 个位置上，有 Amn －1种排法．故 Amn ＋1＝ mAmn －1＋Amn ，所以 mAmn －1＝Anm＋1－Anm.
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第十八页，共三十五页。
排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶 乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘 积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变 形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
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=96个;
=24个;
A3 当末位数字是5时,若首位数字是1或2或4,4共有3×3×
=54个;故共有96+24+54=174个.
2 A3
(2)①a,b中有一个取0时,有2条;②a,b都不取0时,有
A 但a=1,b=2与a=2,b=4重复;a=2,b=1与a=4,b=2重复.
a,b都不为0时有20-2=18条.
(1)组成没有重复数字的三位奇数.
(2)组成没有重复数字的三位偶数.
(3)组成大于300的三位无重复数字的偶数.
【解析】(1)先填个位有5种,再填首位有8种,再填十位 有8种,共有5×8×8=320(个).
(2)直接法:个位为0有
A
2 9
=72个;个位不是0,
有4×8×8=256(个),共有72+256=328(个).
第3课时
排列的综合应用
类型一
与数字有关的排列问题
【典例1】(2017·杭州高二检测)用0,1,2,3,4,5这六个
数字,完成下面两个小题. (1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且 百位数字不是3的不同的五位数?
(2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字 中任取2个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共 有多少条?
类型二
“相邻”与“相间”问题
【典例2】三个女生和五个男生排在一排.
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?
【解题指南】(1)把三个女生看成一个元素与其他元素 排列.
种填法,第三
方法二:(直接法)
0不在两端有
A 有 种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有 1 A3 A4 4 种排法,故共有 =288(个)六位奇数.
4 A14 A1 A 3 4
1 4
种排法,从1,3,5中任选一个排在个位
方法三:(排除法)
6个数字的全排列有
3
5 5
A 个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3
的排法.因此共有
3 A6 A 6 3 3 3
种不同
A =4320(种)不同的排法 .
(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好, 每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空
位,加上两边男生外侧的两个空位,共有六个空位,再把
三个女生插入这六个空位里,只要保证每个位置至多插
入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五
百位是4,则十位为5只有1个.
A2 2
由分类加法计数原理知,共有比210435大的六位数
3A ＋3A ＋3A ＋A ＋1
5 5 4 4 3 3 2 2
=453(个).
【方法总结】数字排列问题的解题策略
(1)解题原则:排列问题的本质是“元素”占“位子” 问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某 元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解 决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先
间接法:
2 A1 A 9 9
-5×8×8=328(个).
(3)分两类:第一类首位是3、5、7、9时,可组
A A A 可组成 =96(个),共有大于300的无重 1 1 A1 A A 3 4 8 复数字的偶数的个数为 160+96=256(个).
1 4
1 5
1 8
=160(个);第二类首位是4、6、8时,
6 6
个,0,2,4在个位上的六位数为
4 4
A 个,故满足条件的六位奇数共有
5 4 A6 － 3A 3A 6 5 4
A =288(个).
2.若题(1)条件不变,能组成多少个没有重复数字且比
210435大的六位数?
【解析】①首位是3,4,5时满足要求,有3× 5 个; A5
②首位是2时,当万位是3,4,5时满足要求,有3× 4 个; A4 当万位是1时,千位是3,4,5时满足要求,有3× 个;当 3 A3 首位为2,万位是1,千位是0时,若百位是5,有 个,若
个男生排成一排有 种不同排法,对于其中任意一种
A5 5
排法,从上述六个空位中选出三个让三个女生插入都有
A
3 6
种排法,因此共有
3 A5 A 5 6
=14400(种)不同的排法.
(3)方法一(位置分析法):因为两端都不能排女生,所以 两端只能挑选五个男生中的两个,有
A 对于其中的任意一种不同的排法,其余六个位置都有
(2)把三个女生排在五个男生之间及两边的空位置中.
(3)两端先排上两个男生,其余人再排列.
(4)两端都是男生或一端是男生一端是女生.
【解析】(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所
以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在
一起共有六个元素,排成一排有
6 6
种不同的排法,对
A 于其中的每一种排法,三个女生之间又有
排特殊元素或优先满足特殊位子,若一个位子安排的元 素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
(2)常用方法:直接法、间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法. (3)注意事项:解决数字问题时,应注意题干中的限制条
件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的
处理.
【补偿训练】用0～9这10个数字,按下列不同要求, 求可组成的三位数的个数.
种不同的排法,所以共有
6 A 6 的排法 .
2 5
种不同的排法,
=14400(种)不同
A A
2 5
6 6
方法二(间接法):三个女生和五个男生排成一排共有
A 种排法和女生排在末位的
8 8
种不同的排法,从中扣除女生排在首位的
7 A1 A 3 7 种排法,但两端都是女
所以共有18+2=20条.
2 5
=20(条),
【延伸探究】 1.若本例条件不变,问能组成多少个无重复数字的六位 奇数?
【解析】方法一:(直接法)分三步完成,第一步先填个
位,有
A 步填其他位,有
奇数.
1 3
种填法,第二步再填十万位,有
A14 种填法,故共有 =288(个)六位 1 1 4 A4 A 4 3A 4 A 4
【解题指南】(1)依据能被5整除的数,其个位是0或5,
分两类,由加法原理得到结论.
(2)分两类,一类是a,b均不为零;第二类a,b中有一个为
0,则不同的直线仅有两条,根据分类加法计数原理得到
结果.
【解析】(1)当末位数字是0时,百位数字有4个选择, 共有4
A3 4 当末位数字是5时,若首位数字是3,共有