人教版八年级下册数学第十六章二次根式第一课时课件
3 ；
1 102 .
甘才生
（1）. 3
解： ∵ 3>0
∴ 3 有意义。
（2）. 3
解：∵-3<0
∴ 3 没有意义。
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甘才生
(3). (3)2
解： ∵ (-3)2 =9>0
∴ (3)2 有意义。
(4). 1 解： ∵
>0
10 2
∴ 1 有意义。
10 2
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甘才生
(2) (x 1)2
解：∵ （x-1）2 >0
∴x为任意实数时， (x 1)2在实
数范围内有意义。
(3)
1
1
解：∵ x
>0
，∴x>0
x ∴x>0时， 1 在实数范围
内有意义。 x
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四、归纳小结
1、二次根式的概念
我们把形如：
做二次根式
a
，“
a≥0 ）的式子叫 ”称为 二次根式 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
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数的 平方 .
一般地，我们把形如： a（ a≥0 ）
的式子叫做二次根式，“
”称为二
次根号.
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三、研学教材
练一练
1、判断下列各式是否是二次根式？
① a ；② 0.002 ； ③ 5 .
①因为a可能会小于0，所以
不a
是二次根式
②因为0.002大于0，所以 0.002 是
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
在实数范围内有意义.
答：⑴当
X为任意实数 时，
x 2 在实数范围内有意义 ⑵当 x≥0 时， x3 在实 数范围内有意义
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练一练 当x是怎样的实数时，下列各式在实 数范围内有意义？
(1) x 2 1
解：∵ x2+1>0
∴x为任意实数时， x 2 1在实
数范围内有意义。
甘才生
三、研学教材
认真阅读课本第2至3页的内容，完成 下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一 二次根式的概念
思考 用带有根号的式子填空，看看 写出的结果有什么特点：
⑴ 面积为3的正方形的边长为 3 ，
面积为S的正方形的边长为 s .
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三、研学教材
⑵ 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面
积为130m2 ，则它的宽为 65 m.
⑶一个物体从高处自...由.... 落下，落到地面所 用的时间 t（单位：s ）与开始落下时离地 面的高度 h（单位：m ）满足关系h=5t2. 如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为h .
5
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三、研学教材
观察：上面问题的结果都是表示一些正
例1 当x是怎样的实数时， x 2 在
实数范围内有意义？
解：由 X-2 ≥0， 得x≥ 2
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
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练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
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三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
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⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
当a ≤0
有意义.
， a 在实数范围内
⑷. 5a
解 ：由 5-a ≥0，得a ≤ 5
第1课时 二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
；⑵
⑶ (3)2
;⑷
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次根式
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三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8D．1xຫໍສະໝຸດ 广东省怀集县永固镇初级中学
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三、研学教材
4、已知一个正方形的面积是5，那么它的
边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
D．以上皆不对
5、画一个面积为18cm2 的长方形，使它
的长和宽之比为3:2宽各应取多少？
解：设它的长为3x,宽为2x.
∵ 6x2=18
∴x= 3
∴3x= 3 3 2x= 2 3
故它的长为 3 3 ， 宽为 2 3
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三.研读课本
知识点二 二次根式有意义的条件
当a ≤5
有意义.
， 5 a 在实数范围内
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1
(5)
x 1
解：由 x-1 >0，得x > 1 当x >1 ， 1 在实数范围 内有意义. x 1
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思考
实数范围内有意义？
当x是怎样的实数时， x 2 在
实时，数范围内有意义？ x3 呢？
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人教版数学八年级下册课件1二次根式的乘除(16张)
2利利二、用用次利二 二 根用次次式二根根的次式式乘根乘乘法式法法乘法法则法则则变法解对形则决其对实进其际行进问化行题简计化。算简。下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
二次根式性的质乘知法识法点则回变顾形
利在用本二 章次中根，式如乘果法没法有则特对别其说进明行，化所简有。的字母都表示正数.
2在、本利章用中二，次如根果式没乘有法特法别则说对明其，进所行有化的简字。母都表示正数.
无结果
无结果
二在次本根 章式中性，质如知果识没点有回特顾别说明，所有的字母都表示正数.
01 二次根式的乘法法则
注意公式成立条件 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
这个结果还能化简吗？
01 二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
01 化简二次根式的步骤
20
20
2利、用利二用次二根次式根乘式法乘法法则法对则其对进其行进化行简化。简。
12
12
计第算十下 六列章各二式次，根观式察计算结果，你能发现什么规律？
二计次算根 下式列的各乘式法，法观则察变计形算结果，你能发现什么规律？
30
30
第十六章 二次根式 2利、用利二用次二根次式根乘式法乘法法则法解则决对实其际进问行题化简。
第十六章 二次根式
二次根式的乘除 （第1课时）
目录
学习目标 LEARNING OBJECTIVES
01 1、理解二次根式乘法法则。
2、利用二次根式乘法法则对其进行化简。
02
重点 A KEY
理解二次根式乘法法则。
03
难点 DIFFICULTY
利用二次根式乘法法则对其进行化简。
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
C．4个
D．5个
4 (中考·滨州)如果式子
有意义，那么x的取值
5 【中考·黄冈】下列结论正确的是( B ) 若式子
有意义，则实数x的取值范围是( )
所以当a≥－ 时，2a＋3在实数范围内有意义．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。
A．3a b－a b＝2 式子 只有在条件a≥0时才叫二次根3 式． 2
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为_____3 ____，面积为S的正
方形的边长为_____S _____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
它的宽为____1 _3 _0 __m. 2
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t
例2 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
巩固新知
1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？
(1) a 1； (3) a ；
(2) 2a 3； (4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在 实数范围内有意义．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件.ppt
时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是 一个________． 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞ ＝ 非 负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0； 当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
2Rh2 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二 次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动 1：知识迁移，归纳概念
ห้องสมุดไป่ตู้
(多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17 的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和 4 cm 的三角形，斜边长应
三、例题讲解 【例】当 x 是怎样的实数时， x－2在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥0，得 x≥2. 所以当 x≥2 时， x－2在实数范围内有意义．
四、巩固练习 1．已知 a－2＋ b＋12＝0，求－a2b 的值． 【答案】 a－2≥0， b＋12≥0，又∵它们的和为 0，∴a－2＝0 且 b＋12＝ 0，解得 a＝2，b＝－21. ∴－a2b＝－22×(－12)＝2. 2．若 x，y 使 x－1＋ 1－x－y＝3 有意义，求 2x＋y 的值． 【答案】－1
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念》公开课课件
16.1 二次根式
学科网
1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
7 表示什么？ 表示7的算术平方根
a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月28日星期一2022/3/282022/3/282022/3/28 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/282022/3/282022/3/283/28/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/282022/3/28March 28, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
例 1： 要 使 x-1 有 意 义 ， 字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什么条件？
想一想： 已 知 ： y= x-2 + 2-x +3， 求 xy的 值 。
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
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1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
7 表示什么？ 表示7的算术平方根
a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月28日星期一2022/3/282022/3/282022/3/28 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/282022/3/282022/3/283/28/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/282022/3/28March 28, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
例 1： 要 使 x-1 有 意 义 ， 字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什么条件？
想一想： 已 知 ： y= x-2 + 2-x +3， 求 xy的 值 。
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二次根式(1)课件
第十六章 二次根式(gēnshì)
二次根式 （1 (gēnshì) ）
第一页，共十五页。
目录 contents
(mùlù)
Hale Waihona Puke 8分钟小测精典范例
(fànlì)
变式练习
巩固(gǒnggù) 提高
第二页，共十五页。
8 分钟小测
是1.正数0；有负两数个平方没平根有方，(根méi它。yǒu)们 互为相反；数0的平方根
第十页，共十五页。
巩固提高
11．当x取何值时，代数式
有意义(yìyì)？
第十一页，共十五页。
巩固提高
12. 请写出一个含有字母(zìmǔ)x的二次根式，且x的取值
范围是x＜1，并说明其正确性
解：（答案(dá àn)不唯一）
,说明略。
13. 若代数式
有意义，则实数x的取值范围是（
）B
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
第十二页，共十五页。
14．式子
巩固提高
有意义(yìyì)的x的取值范围是______
第十三页，共十五页。
巩固提高
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
二次根式（1）。3.9的平方根是 ，7的算术平方根是。6.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式
：。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式。5.下列各式中，是二次根式的是（ ）。x≥－1且x≠0。
10.下列各式在实数范围内有意义(yìyì)，请填写出a的取值范围。12. 请写出一个含有字母x的二次根式，且x的取值
范围是x＜1，并说明其正确性。A．x≥1
B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2。B
第十五页，共十五页。
二次根式 （1 (gēnshì) ）
第一页，共十五页。
目录 contents
(mùlù)
Hale Waihona Puke 8分钟小测精典范例
(fànlì)
变式练习
巩固(gǒnggù) 提高
第二页，共十五页。
8 分钟小测
是1.正数0；有负两数个平方没平根有方，(根méi它。yǒu)们 互为相反；数0的平方根
第十页，共十五页。
巩固提高
11．当x取何值时，代数式
有意义(yìyì)？
第十一页，共十五页。
巩固提高
12. 请写出一个含有字母(zìmǔ)x的二次根式，且x的取值
范围是x＜1，并说明其正确性
解：（答案(dá àn)不唯一）
,说明略。
13. 若代数式
有意义，则实数x的取值范围是（
）B
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
第十二页，共十五页。
14．式子
巩固提高
有意义(yìyì)的x的取值范围是______
第十三页，共十五页。
巩固提高
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
二次根式（1）。3.9的平方根是 ，7的算术平方根是。6.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式
：。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式。5.下列各式中，是二次根式的是（ ）。x≥－1且x≠0。
10.下列各式在实数范围内有意义(yìyì)，请填写出a的取值范围。12. 请写出一个含有字母x的二次根式，且x的取值
范围是x＜1，并说明其正确性。A．x≥1
B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2。B
第十五页，共十五页。
人教版八年级下册第十六章第1节《二次根式》课件(共37张PPT)
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别
问题
探索性质
请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；
当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数． 双重非负性
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
2 2 2 ； 4 ； （ 4） = _____ （ 2） = _____
1 1 2 2 0 ． （ ）= （ 0） = _____ 3 ； _____ 3
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
2 （ a） =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
课件说明
• 学习目标 2 1．经历探索性质 （ a ） = a（a≥0）和 a 2 = a （a≥0）的过程，并理解其意义； 2 2．会运用性质 = a（a≥0）和 a 2 = a（a （ a） ≥0）进行二次根式的化简； 3．了解代数式的概念． • 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
（a ＞ 0） （2） a+10 ；
2 （3） a +1 ；
×
√
√ √
（x ≤ 0） （ 4） - x ．
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别
问题
探索性质
请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；
当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数． 双重非负性
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
2 2 2 ； 4 ； （ 4） = _____ （ 2） = _____
1 1 2 2 0 ． （ ）= （ 0） = _____ 3 ； _____ 3
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
2 （ a） =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
课件说明
• 学习目标 2 1．经历探索性质 （ a ） = a（a≥0）和 a 2 = a （a≥0）的过程，并理解其意义； 2 2．会运用性质 = a（a≥0）和 a 2 = a（a （ a） ≥0）进行二次根式的化简； 3．了解代数式的概念． • 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
（a ＞ 0） （2） a+10 ；
2 （3） a +1 ；
×
√
√ √
（x ≤ 0） （ 4） - x ．
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
二次根式(第1课时 概念)八年级数学下册课件(人教版)
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 分式+二次根式 (1) A 1 . B (2) 1 . A
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0
典例讲解
变式练习2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
典例讲解
变式练习3 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) x2 .
(2) x2 2x 1.
解：(1)由题意得
(2)由题意得
∵ 无论 x 为任何实数 x 2+2x+1 = (x+1 ) 2
x 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数
∴ x 为任何实数.
(x+1 ) 2≥0 ∴ x 为任何实数.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 65 m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s) 与开始落 下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2. 如果用含有h的式子表示t， 那么t为_t_=__5h___.
探究新知
思考，上面问题中，得到的结果，思考下列问题：
解不等式②得 x ≤ 3
解不等式②得 x ≤ 3
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 多个二次根式
每个二次根式被开数 ≥0
(1) A B N .
A 0, B 0, , C 0.
解不等式组
(2) x a a x .
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
16-1二次根式(课件)人教版八年级数学下册
(5) (x1)2
(3) x2 1
(6) 1 x
(7) 1 x 1
解：（1） x 2 0, x 2
（2） -a 0, a 0
（3） x2 0, x2 1 0
x取全体实数
（6） 1 0, x
x 0
（4） x3 0,
x 0
（5）（x1）2 0,
x可取全体实数
（7）分式有意义 x 1 0 x 1
02 （0） 0
（2）2 （4）
3
9
2 3
（-2）2 （4） 2
（-0.1）2 （0.）01 0.1
02 （0） 0
（-
2）2 3
（4） 9
2 3
a
a
a(a 0) a(a 0)
11
当堂训练
1.若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 a （a为全体实数）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 5. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
1 38 ； 26； 3 -16 ； 4 - m(m 0)
因为（ 5）2 5，所以5的算数平方根是
因为（ 1 ）2 1，所以1的算数平方根是
33
3
5 ，所以（ 5）2 5
1 3
，所以（ 1）2 1 33
因为（ a）2 a，所以a的算数平方根是 a ，所以（ a）2 a
(3) x2 1
(6) 1 x
(7) 1 x 1
解：（1） x 2 0, x 2
（2） -a 0, a 0
（3） x2 0, x2 1 0
x取全体实数
（6） 1 0, x
x 0
（4） x3 0,
x 0
（5）（x1）2 0,
x可取全体实数
（7）分式有意义 x 1 0 x 1
02 （0） 0
（2）2 （4）
3
9
2 3
（-2）2 （4） 2
（-0.1）2 （0.）01 0.1
02 （0） 0
（-
2）2 3
（4） 9
2 3
a
a
a(a 0) a(a 0)
11
当堂训练
1.若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 a （a为全体实数）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 5. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
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例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
1 38 ； 26； 3 -16 ； 4 - m(m 0)
因为（ 5）2 5，所以5的算数平方根是
因为（ 1 ）2 1，所以1的算数平方根是
33
3
5 ，所以（ 5）2 5
1 3
，所以（ 1）2 1 33
因为（ a）2 a，所以a的算数平方根是 a ，所以（ a）2 a