第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间

集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
(2){x|x≥2}
(3)解不等式4x＋5＞0，可得x＞ 5 ，解不等式3x－7＜0，
4
可得x＜ 7 ，
3
所以原不等式组的解集是
6．下面条件是a＞b成立的充分不必要条件的是( A ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【提示】 由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b，由 a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不 必要条件是a>b＋1，故选A.
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二、填空题
7．将由满足下列条件的实数组成的集合用区间表示出
∴(1)A∩B＝{1，2}．(2)A∪B＝{0，1，2，3，4}．
知识梳理
(2)一元一次不等式组的解集 ①含有_相__同__未__知__数__的几个一元一次不等式组成的不等 式组，叫做一元一次不等式组． ②几个一元一次不等式的解集的___交__集___叫做由它们所 组成的一元一次不等式组的解集．特别地，如果各个不等 式的解集的__交__集____是空集，那么由它们组成的不等式组 的解集就是空集．
2
∵不等式的解集是(－5，4)，
a a
2 2
b b
5 4,
解得
a b
1 9.
同步精练
14．设集合A＝{x|x－2＜3，x∈N}，集合B＝{x|x－1≤1， x∈N＋}．求：
(1)A∩B； (2)A∪B.
解：由x－2＜3，得集合A＝{x|x＜5，x∈N}，
由x－1≤1，得集合B＝{x|x≤2，x∈N＋}， ∴集合A＝{0，1，2，3，4}，集合B＝{1，2}，
1．若不等式组 定是( D )
x a x b
的解集是空集，则a，b的关系一
A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a≥b
【提示】 根据解一元一次不等式组 的要求，作出正确的判断．
2．不等式4x－3≤5＋2x的解集用区间表示为( B ) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
【提示】 由不等式x－3≥1＋5x移 项，化系数为1得x≤－1.
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三、解答题 11．解不等式：2x 1 (x 3) 2.
3
解：两边同乘以3，得－6x＋x－3＞6，
即－5x＞9，两边同除以－5，得x＜ 9 .
∴不等式的解集是
,
9 5
.
5
同步精练
12．解不等式组：34xx
60 5 0.
典例解析
【例2】 已知不等式2x－8≥－4＋ax的解集是{x|x≤－2}， 求实数a的值．
a＝4
【解析】 原不等式等价于(2－a)x≥4， ∵不等式的解集是{x|x≤－2}， ∴2－a＝－2，解得a＝4.
典例解析
【举一反三2】 已知不等式2x－8≥－4＋ax的解集是 {x|x≥2}，则a＝___0___.
知识梳理
(5)①满足x＜a的全体实数x的集合，可记作_(_－__∞__，__a_) _； ②满足x＞a的全体实数x的集合，可记作___(a_，__＋__∞__) __；③ 满足x≤a的全体实数x的集合，可记作___(－__∞__，__a_]__；④满 足x≥a的全体实数x的集合，可记作___[a_，__＋__∞__)__；⑤其中 “－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”， 实数集R可记作__(－__∞__，__＋__∞_)_．
【提示】 原不等式等价于(2－a)x≥4，∵不等式的 解集是{x|x≥2}，∴2－a＝2，解得a＝0.
【思路点拨】 解含参数的一元一次不等式，要 注意对参数进行讨论，同时体会不等式与相应方程根 的关系．
典例解析
【例3】 已知不等式5(x－2)＋8<6(x－1)＋7的最小整数 解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．
典例解析
解不等式：－2x－6≤3x－5≤6＋2x.
解：由不等式－2x－6≤3x－5得x≥－ 1 ；
5
由不等式3x－5≤6＋2x得x≤11，
∴不等式－2x－6≤3x－5≤6＋2x的解集为
x
1 5
x
11.
【思路点拨】 明确不等式的基本性质，不等式 前除以一个负数的，不等号才改变方向．
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一、选择题
知识梳理
3．区间 设a，b∈R，且a＜b，则 (1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作 __[_a_，__b_] _． (2)满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间，记 作__(_a_，__b_) _． (3)满足a≤x＜b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间， 记作__[_a_，__b_) _． (4)满足a＜x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间， 记作__(_a_，__b_] _．
x
|
5 4
x
7 3
.
3
x
|
5 4
x
7 3
典例解析
【举一反三1】 (1)不等式(x－3)2－x2＋3≥0的解集是( D )
A．[2，3]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，2]
【提示】 ∵不等式(x－3)2－x2＋3≥0等价于不等式 x2－6x＋9－x2＋3≥0，解得x≤2，故选D.
【提示】 不等式4x－3≤5＋2x等价 于2x≤8，解得x≤4，故选B.
同步精练
3．若不等式ax－2＞0的解集是(－∞，－4)，则实数a的
取值是( D ) A．1
B．－1
1
C. 2
D．
1 2
【提示】 不等式ax－2＞0等价于ax＞2，
∵解集是(－∞，－4)，∴a＝ 1 ,故选D.
2
4．不等式x－1＞2的解集是( C ) A．{x|x＞1} B．{x|x＞2} C．{x|x＞3} D．{x|x<3}
典例解析
(2)不等式组
2x 3x
6 5
3x 4的解集是(
5x 1
C
)
A．(2，3) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，2)
【提示】 解不等式2x＋6＜3x＋4可得x＞2； 解不等式3x＋5＜5x－1可得x＞3，∴不等式组 的解集是(3，＋∞)，故选C.
【思路点拨】 解一元一次不等式要注意依据不 等式的性质进行恒等变形；解一元一次不等式组注 意总结规律——“大大取大，小小取小”．
【提示】 不等式x－1＞2移项得x＞3， ∴不等式x－1＞2的解集是{x|x＞3}．
同步精练
5．若(a＋1)x＜2(a＋1)的解集是(2，＋∞)，则a的取值范
围是( B )
A．(－1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，0)
【提示】 不等式两边同除以a＋1，要 得到解集(2，＋∞)，则a＋1＜0，故选B.
知识梳理
2．不等式的解集 (1)一元一次不等式的解集 ①一元一次不等式最终可化为ax＞b(a≠0)的形式，当a＞ 0时，不等式的解集为____x_|_x___ba___；当a<0时，不等式的 解集为___x_|_x___ba____．
②要注意不等式ax＞b与一元一次不等式ax＞b的区别， 对于不等式ax＞b的解集要讨论a＝0的情况．当a＝0时，若 b＜0，则不等式的解集为___R___；若b≥0，则不等式的解集 为___∅___．
a＝4
【解析】 去括号：5x－10＋8＜6x－6＋7，移项： －x＜3，化系数为1：x>－3，所以不等式的最小整数 解是－2，所以2(－2)－a(－2)＝4，∴a＝4.
典例解析
【举一反三3】 当a满足条件__a_＜__0___时，由ax＞8可 得x＜ 8
a
【提示】 由ax＞8，可得x＜ 8 由不等式的性质可 知不等号方向发生了改变，∴a＜a0.
典例解析
【例1】 解下列不等式(组)：
(1)－2x＋ 1
2
(x－3)＞1;
(2)
x
3
2
1 2
x
－1；(3)
4x 3x
5 7