Introduction of Finite Element Method-Lesson3

N i ( xi , yi ) = 1
Ni ( x j , y j ) = 0
N i ( xm , y m ) = 0
Ｈｏｍｅｗｏｒｋ１－１： 证明上式


性质２：在单元中任一点，所有形函数的和等于１。 N i ( x, y ) + N j ( x, y ) + N m ( x, y ) = 1 Ｈｏｍｅｗｏｒｋ１－２： 证明上式 性质３：在三角形单元的边界ｉｊ上任一点（ｘ， ｙ），有
ui
xi xj xm
yi yj ym yi yj ym ui uj um
1 vj a4 = 2A vm
vi
xi xj xm
yi yj ym yi yj ym vi vj vm
1 ui 1 a2 = 1 uj 2A 1 um 1 xi 1 a3 = 1 xj 2A 1 xm
1 vi 1 a5 = 1 vj 2A 1 vm 1 xi 1 a6 = 1 xj 2A 1 xm
泊松比 弹性模量
(1-7)
σx =
E (ε x + µε xy ) 2 1− µ
{σ } = [D]{ε }
(1-8)


矩阵［Ｄ］称为弹性矩阵，对于平面应变的问题，将上式 µ E µ − > 中Ｅ换成 ， 1− µ 1− µ D σ x ε x 1 E µ 1 σ y = ε y 2 { σ } = [D ]{ε } 1− µ 1 − µ γ xy τ xy 0 0 2 各种类型结构的弹性物理方程都可以用（１－８）来表示， 但是结构的形态会不同，力学的性态（应力、应变等） 有区别，弹性矩阵［Ｄ］的体积与元素会不同。

选取位移函数应考虑的问题



１．位移函数的个数：等于单元中任意点的位移分量个数， 本单元中有ｕ和ｖ，因此我们有２个位移函数 ２．位移函数是坐标的函数，所以本单元的坐标系ｘ， ｙ 是为位移的坐标函数 ３．位移函数中待定常数的个数： 待定常数的个数应等 于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移来解待 定常数。本单元有６个节点自由度，两个位移函数中需 包含６个待定常数。

思想：用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采用 能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机 和矩阵运算为工具进行结构受力分析，求得结构变形 和应力。 优点：避免力学获得连续解的困难（求解偏微分方程）， 使大型、复杂结构设计分析容易在计算机上实现。 离散、插值、能量原理、矩阵计算
(1-12)
形函数(Shape Function)

形函数就是由上述的待定常数所组成的矩阵，也就是 用来描述位移函数的插值函数。 通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数 ａ１，ａ２，…ａ６。设节点ｉ， ｊ， ｍ的坐标为（Ｘｉ， Ｙｉ）， （Ｘｊ， Ｙｊ）， （Ｘｍ， Ｙｍ），位移分别为（ｕｉ， ｖｉ）， （ｕｊ， ｖｊ）， （ｕｍ， ｖｍ）：
须满足物理现象 ４．位移函数中需包含单元刚体位移 （常数项） ５．包含单元常应变 （１次项） ６．单元内要连续，相邻单元间要尽量协调 条件４，５称为构成单元的完备性条件 条件６称为单元位移的协调性条件

完备性是有限元收敛于真实解的必要条件 单元的位移协调准则是有限元收敛于真实解的充分条 件 三角形三节点常应变单元要满足以上的必要与充分条 件。
(1-16)

ai = x j ym − xm y j j (1-17) bi = y j − ym m i ci = − x j + xm 式（１－１７）中（ｉ， ｊ， ｍ）意指，按ｉ， ｊ， ｍ依次轮换下标， 可得到ａｊ， ｂｊ， ｃｊ， ａｍ， ｂｍ， ｃｍ。式中可以看出ａｉ￣ｃｍ 是三个节点坐标的函数
2


由上述的推导可以看出，我们最重要的是要求节点的 位移，有了位移单元的应力应变等都可求出。 单元内任意点 插值函数（形函数）
y m j i
x
1.3 位移函数(displacement function)与形函数 (Shape function)

位移函数：由于有限元法采用能量原理进行单元分析， 因此必须是事先设定位移函数。位移函数也可称为位 移模式，表示单元内部位移变化的数学表达式，其为 单元任一点坐标的函数。 一般来说，位移函数的选取会影响计算结果的精度， 适当的选取位移函数是很难的。但是在有限元的概念 中，若是将单元划分的很小，我们可以将位移函数设 定为简单的多项式来表示，也因单元够小，我们可以 获得好的精确度，这就是有限元法的优势。
1 u= [(ai + bi x + ci y )ui + (a j + b j x + c j y )u j + (am + bm x + cm y )um ] 2A 1 v= [(ai + bi x + ci y )vi + (a j + b j x + c j y )v j + (am + bm x + cm y )vm ] 2A

７．位移函数的形式： 一般选完全多项式。为实现４－６的 要求，根据Ｐａｓｃａｌ三角形由低阶到高阶按顺序、对秤 的选；多项式项数等于（稍大于）单元节点自由度
例题:

平面应力矩形板划分为数个三角形单元
4 1 2 5 3 4 6
1 3 2 对任一单元，（３）单元与位移函数， u = a + a x + a y v = a4 + a5 x + a6 y 1 2 3 位移函数中的刚体位移？ 位移函数中的常应变？ 相邻单元连续性？

位移函数设定



不同类型的单元结构会有不同的位移函数。在这里我们， 以三角形单元为例，来说明如何设定位移函数： 图是一个三节点的三角形单元，节点为ｉ，ｊ，ｍ按逆时针方 向排列。每个节点上的位移在单元内有两个分量：
{δ n } = [un
vn ]
T
n=i,j,m
(1-10)

一个三角形单元有３个节点，所以共有６个结点位移分 量。其单元位移或是节点位移列阵：
{δ i } {δ } = {δ j } = ui vi u j v j um vm { } δ m
[
]
T
(1-11)
假定单元中任一点位移与节点的关系，为一个简单多 项式： u = a1 + a2 x + a3 y v = a4 + a5 x + a6 y 式中ａ１，ａ２，…．为待定常数， 由单元位移的６个分量来确定
x − xi N i ( x, y ) = 1 − x j − xi
N j ( x, y ) = x − xj xi − x j
N m ( x, y ) = 0
ui = a1 + a2 xi + a3 yi
u j = a1 + a2 x j + a3 y j
vi = a4 + a5 xi + a6 yi
v j = a4 + a5 x j + a6 y j
um = a1 + a2 xm + a3 ym
vm = a4 + a5 xm + a6 ym
1 uj a1 = 2A um

εy =
∂v ∂y
T
γ xy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
∂u [ε ] = ∂x
∂u ∂v + ∂y ∂x
(1-6)

７．物理方程矩阵表示： 对于弹性力学的平面应力问题， 物理方程的矩阵形式可表示为
σ x ε x 1 E µ 1 ε y σ y = 2 1− µ γ µ 1 − τ xy xy 0 0 2


分析步骤

（１）结构离散化：用点、线或面把结构划分为有限个离 散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平 衡和变形协调，来形成单元平衡方程。
P 1 l/2 1 1 1 l/2 2 2 2 2 l/2 2 l/2 3 单元的 节点上 有位移 和力
3
δ ,F
δ ,F
δ ,F
δ ,F
（２）单元集合： 把所有离散的有限元单元集合起来代替 原结构，形成离散结构节点平衡方程。 建立单元刚度矩阵［ｋ］ｅ，形成单元等价节点力 （３）系统分析：平衡方程求解节点位移与计算单元应力 把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵［Ｋ］，形成等 价节点荷载｛Ｐ｝ （４）解综合方程：［Ｋ］｛△｝＝｛Ｐ｝ 找出位移、内力与应力
1 u= [(ai + bi x + ci y )ui + (a j + b j x + c j y )u j + (am + bm x + cm y )um ] 2A
v=
1 [(ai + bi x + ci y )vi + (a j + b j x + c j y )v j + (am + bm x + cm y )vm ] 2A
(1-14)
上式中，Ａ为三角形单元的面积：
y m j i
1 xi 1 A = 1 xj 2 1 xm
(1-15)
yi yj ym
x
为了使得求得的面积为正值，每个三角形单元的节点次序必须是逆时针， 至于起始位置则没有影响 待定常数只跟坐标和节点有关

将1-14代入1-12，在整理后：
qvy }
T
(1-2)
x

３．单元的位移ｆ ＝ ｛ｕ ｖ｝Ｔ