人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.3.2向量数量积的运算律
人教新课标版数学高一-数学人教B版必修4导学案 2.3.2向量数量积的运算律
导学案：2.3.2向量数量积的运算律一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用三、【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握向量垂直的条件.四、自主学习平面向量数量积的运算律1．交换律：2．数乘结合律：3．分配律：例1 已知、都是非零向量，且+ 3与7- 5垂直，- 4与7- 2垂直，求与的夹角.例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3 四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝d，且·＝·＝·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?五、合作探究1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-363.| a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知||=3，||=4，且与的夹角为150°，则(+)２＝ .5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）。
数学：2.3.2《向量数量积的运算律》教案(新人教B版必修4)
由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50
= 在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量 的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al= cosθ
5
应用
还可能定义什么运算？
期望学生回答：向量相乘
复习向量有关运算
2
引入新课
以物理背景引入
实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W=。
（2）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是量，
F（力）是量，
S（位移）是量，
α是。
我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第一方案
课题：向量数量积的定义及运算率
教
学
目
标
1、知识与技能
①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影பைடு நூலகம்关系。
③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法
通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力
教学方法
将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。
教学环节
教学内容
师生互动
高级中学人教B版高一数学必修四导学案2.3.2向量数量积的运算律
向量数量积的运算律学习目标：一、．掌握平面向量的数量积及其几何意义；．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；．了解用数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；一、复习回顾、已知两个非零向量和,作,则叫做向量与的夹角。
、向量夹角θ的范围是,与同向时,夹角＿;与反向时,夹角。
、如果向量与的夹角是,则与垂直,记作。
、向量数乘运算的定义是.思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？二、探究过程:叫做的夹角。
.已知两个向量，我们把叫的数量积。
（或）记作即＝其中是的夹角。
叫做向量方向上的。
.零向量与任意向量的数量积为。
.平面向量数量积的性质：设均为非零向量：①②当同向时，＝当反向时，＝，特别地，或。
③④.的几何意义：。
.向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。
①＝（律）②＝③＝说明：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。
三、典型例题例已知，，和的夹角为，求？例: 对任意是否有和成立？例:已知已知，，和的夹角为，求四、达标训练:例：已知，，与的夹角为，求的值.变式：已知向量与的夹角为，且，，求：() ;()例: 对任意是否有和成立？例:已知已知，，和的夹角为，求例：已知非零向量和满足，且与垂直，求证：.拓展（）：若向量、、满足，且，，，则.（）：已知,是非零向量，且满足，，求与的夹角选作：已知，且，，若对两个不同时为零的实数，使得与垂直，试求的最小值.。
人教B版高中数学必修四课件高一：2-3-2向量数量积的运算律
• [例1] 已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，
求|a－b|.
• [分析] 利用公式|a|2＝a·a.
• [解析] 由|a＋b|2＝(a＋b)2， • 可得a2＋2a·b＋b2＝576， • ∴169＋2a·b＋361＝576， • ∴2a·b＝46. • ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361
3，且 a 与 b 的夹角为6π，则|a＋b|＝( )
A．3
B. 3
C．21 D. 21
• [答案] D
[解析] ∵|a|＝3，|b|＝ 3，a 与 b 的夹角为6π，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×3× 3×cos6π＋3 ＝9＋2×3× 3× 23＋3＝21， ∴|a＋b|＝ 21.
• [答案] ②④ • [解析] ①错因为向量数量积不满足结合
律；③错，因为[(b·c)a－(c·a)·b]·c
• ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)
• ＝0， • ∴垂直．
• 5．关于平面向量a，b，c，有下列三个命
题：
• ①若a·b＝a·c，则b＝c.
• ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝
A. 7 C. 13
B. 10 D. 4
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 夹角为 60°，
• [答∴案|a]－3bA|2＝|a2|－6a·b＋9|b|2
＝1－6×1×1×cos60°＋9
＝1－6×12＋9＝7，
∴|a－b|＝ 7.
• [例[解2析] ] 已∵知a＋a3、b 与b7都a－是5b非垂零直，向∴(量a＋，3b且)·(7aa－ ＋53b)b＝与0，
(3)A→B与A→D的夹角为 60°， 所以A→B与D→A的夹角为 120°，(←此处易错为 60°.) 所以A→B·D→A＝|A→B|·|D→A|·cos120°＝4×3×－12＝－6.
高中数学人教B版必修4 2.3.2向量数量积的运算律 学案 Word版缺答案
2．3．2向量数量积的运算律
一、学习要点：向量数量积的运算律及其简单运用
二、学习过程：
一.复习回顾：
平面向量数量积的定义及其几何意义、性质:
二.新课学习：
1.平面向量数量积的运算律:
(1)
(2)
(3)
注意: 向量的数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
〈1〉.实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c . 但是a ⋅b = b ⋅c ⇒ a = c
〈2〉.在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b ) c ≠ a (b ⋅c )
2.常用数量积运算公式
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式及类似于实数平方差的公式在解题中的应用较为广泛.即:
(1)
(2)
(3)
三．例题：
例1用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.
例2已知a 、b 都是单位向量，它们的夹角为60︒，求3a b +.
例3已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.
四.课堂练习:
P练习题;
1. 教材
111
五.课堂小结:
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质及运算律解决相关问题.
六.作业:见作业（21）。
2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.2 向量数量积的运算律
2.3.2向量数量积的运算律明目标、知重点 1.把握平面对量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.1.向量的数量积(内积)|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.|a|cos θ叫做向量a在b 方向上的正射影的数量，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的正射影的数量.2.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b ＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律).[情境导学]引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是格外必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相像，实质差别很大.实数中的一些运算性质不能任凭简洁地类比到向量的数量积上来.探究点一向量数量积运算律的提出思考1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再推断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积推断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误支配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误思考2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.答(a·b)c＝a(b·c)不成立，由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不愿定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般状况下不会成立.a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示.明显a·b＝b·c，且a≠c.探究点二向量数量积的运算律问题已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律).思考1如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？答a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，∴a·b＝b·a.(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考2如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种状况争辩)答当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.当λ>0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉；∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).当λ<0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，∵λ<0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考3下面是证明支配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请补充完整.证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，图(1)向量a＋b在向量c方向上的正射影的数量|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝0；向量a在向量c方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在向量c方向上的正射影的数量为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉.两边乘以|c|得：|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，图(2)向量a＋b在向量c方向上的正射影的数量为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；向量a在向量c方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的正射影的数量为|b|cos〈b，c〉＝OB1，∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴OC1＝OA1＋OB1，∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉.两边同乘以|c|得：|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b|·|c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，图(3)同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.答案④解析由于两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有很多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特殊是向量的数量积不满足结合律，即一般状况下(a·b)·c≠a·(b·c).跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________.答案①③④解析依据向量积的支配律知①正确；由于[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；由于a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确.故正确命题的序号是①③④.探究点三平面对量数量积的运算性质思考实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面对量的数量积运算中照旧成立，请依据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.例2已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.反思与感悟娴熟把握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(m a＋n b)·(p a＋q b)的数量积可仿多项式乘法的法则开放计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|3a－4b|.解(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.(2)|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19∴|3a－4b|＝419.例3已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋k b与a－k b相互垂直.解a＋k b与a－k b相互垂直的条件是(a＋k b)·(a－k b)＝0，即a2－k2b2＝0.∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±34.当k＝±34时，a＋k b与a－k b相互垂直.反思与感悟向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线：a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪训练3已知e1与e2是两个相互垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k>0且k≠1.1.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A.1B.2C.3D.4答案C解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.2.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()A.1B.2C.3D.5答案A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3.已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°答案C解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－a 2＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.4.已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案 －8或5解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.[呈重点、现规律]1.数量积对结合律一般不成立，由于(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同.2.在实数中，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，由于其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .一、基础过关1.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C解析 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵c ⊥a ，∴c·a ＝0.又∵c ＝a ＋b ，∴(a ＋b )·a ＝0， 即a 2＋b·a ＝0⇔|a |2＋|a||b |cos θ＝0. 又∵|a |＝1，|b|＝2，∴cos θ＝－12.故θ＝120°.2.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4答案 A 解析 |3a －b |＝(3a －b )2＝9|a |2＋|b |2－6a ·b＝9＋25－6×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49＝7. 故选A.3.在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( ) A.－32 B.0 C.32 D.3答案 A解析 a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA → ＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形答案 B解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0，即对角线相互垂直，∴四边形ABCD 为菱形. 5.设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( ) A.若θ确定，则|a |唯一确定 B.若θ确定，则|b |唯一确定 C.若|a |确定，则θ唯一确定 D.若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 由于|b ＋t a |min ＝1， 所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1， 所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定.6.已知|a |＝3，|b |＝4，则|a －b |的取值范围为______. 答案 [1,7]解析 方法一 ∵||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |， ∴1≤|a －b |≤7，即|a －b |的取值范围是[1,7]. 方法二 设θ为两向量a ，b 的夹角，则θ∈[0，π]. ∵|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ＝25－24cos θ， ∴|a －b |2∈[1,49]，∴|a －b |∈[1,7].7.已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |. 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12； 又|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22，∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22.二、力气提升8.设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4全部可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3B.π3C.π6D.0答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝∑i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种状况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.9.在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0， ∴|AB →|＝12.10.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________. 答案712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0， 解得λ＝712.11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角.解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是π3，∴m·n ＝|m||n |cos π3＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.12.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围.(1)证明 由于|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0， 所以(a －b )⊥c .(2)解 由于|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. 所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2. 所以实数k 的取值范围为k <0，或k >2. 三、探究与拓展13.已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解 由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，∴a 与b 的夹角为π3.。
人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律》_4
向量数量积的运算律教学设计教学目标1.掌握平面向量数量积的运算律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3.培养学生数学运算能力，为下节课灵活运用平面向量数量积解决长度、角度、垂直、共线等问题打好基础。
教学重点：平面向量数量积的运算律教学难点：利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决问题授课类型：新授课 教具：多媒体内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．向量的数量积的重要性质><=⋅=⋅a e a a e ,cos ||)1( （2）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（3）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）（4）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）； （5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；二、新课讲授(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ a (b c)?a b a c ⋅+⋅+⋅ a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ 思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？ 小组合作对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。
（预测：学生对向量数量积的分配律的证明不完整，需要老师讲解，分配律成立的证明会用到向量的线性运算及数量积的几何意义）得出结论向量的数量积满足哪些运算律？2.例1（设计意图：此例题巩固数量积运算律的计算方面的应用）例2：已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线。
2016-2017学年高一数学人教B版必修4教案2.3.2向量数量积的运算律
《向量数量积的运算律》教学设计一、 情景引入知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义（学生回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？ ⑴交换律：b a ⋅= ； ⑵结合律：()b a ⋅λ= = ； ⑶分配律：()c b a ⋅+= 。
（学生回答）二、合作探究展示探究一 分配律的证明求证：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（师生共同探究）探究二 数量积的运算律应用（一）()2221||2||a b a a b b +=+⋅+证明：（）()()222||||a b a b a b +⋅-=-（）（学生版演）探究三 数量积的运算律应用（二）已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线求证：AC ⊥BD.（师生共同探究，展示规范步骤）跟踪练习：0=3=5ABC=60.ABC AB BC AC ∠在中，已知边长，，，求边长（学生做，说）探究四 数量积的运算律应用（三） 已知06,4,,60a b a b ==〈〉=（1）求).3()2(b a b a -⋅+（学生版演）跟踪练习：已知：04,2,,120a b a b ==〈〉=求：（1）a b + （2）()(2).a b a b +⋅-（学生版演）当堂练习1. 已知向量b a ,的夹角为060,3 ） A 33 B 3 C 23 D 322.已知向量b a ,的夹角为0120,4求)2(b a b +⋅3.,,2b a c +=且,a c ⊥求向量b a ,的夹角。
（学生说答案）2k a b ka b +-（2）当且仅当取何值时，与 互相垂直？。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2．3．2 向量数量积的运算律课时目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．能运用平面向量数量积的运算律及常用公式进行计算．1．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝____________(分配律)．2．熟悉以下计算结果(1)a 2＝a·a ＝__________；(2)(a ＋b )2＝______________＝_____________________________________________；(3)(a －b )2＝__________________＝_________________________________________；(4)(a ＋b )·(a －b )＝______________＝________________________________________；(5)|a ＋b |2＋|a －b |2＝________________．一、选择题1．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·cC ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a·b )c ＝a (b ·c )2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．83．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B ．π6 C ．π3 D ．π24．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．A、B、C均不正确5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为() A．2 B．4 C．6 D．12二、填空题7．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________．8．已知a，b都是非零向量，则a2＋b2与2a·b的大小关系是____________________．9．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．其中正确的序号是________．10．已知(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，则〈a，b〉＝____________________．三、解答题11．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，求|b|的取值范围．12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|k a＋b＋c|＝1 (k∈R)，求k的值．能力提升13．已知a，b是非零向量，当|a＋t b| (t∈R)取最小值时，(1)求t的值；(2)已知a与b共线且同向，求证：b⊥(a＋t b)．14．△ABC 三边的长满足AC 2＋AB 2＝5BC 2，且BE 、CF 分别为AC 与AB 边上的中线，求证：BE ⊥CF ．1．在实数中，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0．2．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c ．3．向量的数量积对结合律一般不成立，(a ·b )·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．2.3.2 向量数量积的运算律 答案知识梳理1．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c 2.(1)|a |2 (2)a 2＋2a·b ＋b 2 |a |2＋2a·b ＋|b |2(3)a 2－2a·b ＋b 2|a |2－2a·b ＋|b |2 (4)a 2－b 2 |a |2－|b |2 (5)2|a |2＋2|b |2作业设计1．D [∵(a·b )c ＝(|a |·|b |cos θ)c ＝λc ，a (b·c )＝a|b||c |cos α＝μa ，而c 的方向与a 的方向不一定相同．]2．B [∵|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.]3．D [∵a ·c ＝a ·⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ＝a ·a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b ·(a ·b )＝a ·a －a ·a ＝0. ∴a ⊥c .故选D.]4．B [(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔AB →2－AC →2＝0⇔|AB →|＝|AC →|.]5．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12， ∴θ＝120°.]6．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]7．±35解析 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35. 8．a 2＋b 2≥2a·b解析 ∵a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2a·b .9．①③④解析 根据向量积的分配律知①正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0，所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，②错误；因为a ·b 不共线，所以|a |、|b |、|a －b |组成三角形三边，所以|a |－|b |<|a －b |成立，③正确；④正确．故正确命题序号是①③④.10．π－arccos 1010 (或arccos ⎝⎛⎭⎫－1010) 解析 由(a ＋b )⊥(2a －b )可得(a ＋b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋a·b －b 2＝0， ①由(a －2b )⊥(2a ＋b )，可得(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即2a 2－3a·b －2b 2＝0， ②①×3＋②得a 2＝58b 2. ∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |， 由①得a·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14|b |2. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－14|b |258|b |2＝－1010. ∴〈a ，b 〉＝π－arccos 1010. 11．解 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.12．(1)证明 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°， 所以(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，所以(a －b )⊥c .(2)解 因为|k a ＋b ＋c |＝1，所以(k a ＋b ＋c )2＝1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c ＝1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°＝1. 所以k 2－2k ＝0，解得k ＝0，或k ＝2.所以实数k 的值为k ＝0，或k ＝2.13．(1)解 令m ＝|a ＋t b |，θ为a 与b 的夹角，则 m 2＝|a |2＋2a ·t b ＋t 2|b |2＝t 2|b |2＋2t |a||b |cos θ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋|a||b |cos θ2＋|a |2sin 2θ， ∴当t ＝－|a||b |cos θ时，|a ＋t b |有最小值|a |sin θ. (2)证明 ∵a 与b 共线且方向相同，故cos θ＝1.∴t ＝－|a||b |. ∴b·(a ＋t b )＝a·b ＋t |b |2＝|a||b |－|a||b |＝0.∴b ⊥(a ＋t b )．14．证明∵BA →＋AC →＝BC →，∴(BA →＋AC →)2＝BC →2，即BA →2＋2BA →·AC →＋AC →2＝BC →2，由已知条件：AC →2＋AB →2＝5BC →2，得AB →·AC →＝2BC →2.∴BE →·CF →＝12(BA →＋BC →)·12(CA →＋CB →) ＝14(BA →·CA →＋BA →·CB →＋BC →·CA →＋BC →·CB →) ＝14[2BC →2＋CB →·(BA →＋AC →)＋BC →·CB →] ＝14[2BC →2＋CB →·BC →＋BC →·CB →] ＝14(2BC →2－2BC →2)＝0. ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .。