《空间向量数量积的运算》的教学反思

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人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思

人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思教学目标通过本节课的学习，学生应该掌握以下知识： - 理解空间向量的数量积运算 - 掌握空间向量的数量积运算的定义和性质 - 熟悉空间向量的数量积运算的计算方法 - 能够应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学内容1.空间向量的数量积概念和定义2.空间向量的数量积运算的性质3.空间向量的数量积运算的计算方法4.应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学重点•掌握空间向量的数量积运算的定义和性质•熟悉空间向量的数量积运算的计算方法教学难点•理解空间向量的数量积运算的概念•应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学方法•讲授法•提问法•实验法教具准备•平面直角坐标系•立体直角坐标系•白板和笔教学过程导入（5分钟）教师通过提问学生上一次课所学的知识，引出本节课所要学习的内容。

讲授（40分钟）1. 空间向量的数量积概念和定义•向量的数量积又叫点积，用符号 $\\vec a \\cdot \\vec b$ 表示，它是两个向量的数量乘积与它们夹角余弦的乘积。

•数量积可以计算向量的模长，夹角余弦，方向余弦等。

•数量积也可以表示两个向量共线或者垂直的关系。

2. 空间向量的数量积运算的性质•交换律：$\\vec a \\cdot \\vec b = \\vec b \\cdot \\vec a$•结合律：$(\\lambda\\vec a) \\cdot \\vec b = \\lambda(\\vec a \\cdot \\vec b) = \\vec a \\cdot (\\lambda \\vec b)$•分配律：$\\vec a \\cdot (\\vec b + \\vec c) = \\vec a \\cdot \\vec b + \\vec a \\cdot \\vec c$•数量积为零的条件：向量相互垂直3. 空间向量的数量积运算的计算方法•模长法：$\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| |\\vec b| \\cos \\theta$，其中 $\\theta$ 为两个向量间夹角。

人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思

人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思一. 教学目标1.理解向量数量积的定义2.掌握向量数量积的运算法则3.能够应用向量数量积的运算法则解决实际问题二. 教学内容1.向量数量积的定义2.向量数量积的运算法则3.向量数量积的应用三. 教学过程及方法1.教学方法：讲解与实验结合2.教学过程：1. 向量数量积的定义向量数量积是指将两个向量相乘后所得到的一个数，用符号 $a \\cdot b$ 表示。

向量数量积的计算公式为 $a \\cdot b=|a| \\cdot |b| \\cdot \\cos \\theta$，其中|a|,|b|分别表示向量a,b的模，$\\theta$ 表示a与b之间夹角。

2. 向量数量积的运算法则(1) 交换律对于任意向量a,b，都有 $a \\cdot b=b \\cdot a$。

(2) 结合律对于任意向量a,b,c，都有 $(a \\cdot b) \\cdot c=a\\cdot(b \\cdot c)$。

(3) 分配律对于任意向量a,b,c，都有 $a \\cdot(b+c)=a \\cdot b+a \\cdot c$。

3. 向量数量积的应用应用向量数量积的运算法则可以解决很多实际问题，例如：例1：已知 $\\vec a =(-1,2)$， $\\vec b=(3,4)$，求 $\\vec a \\cdot \\vec b$。

解：利用向量数量积的计算公式，有$$ \\vec a \\cdot \\vec b = | \\vec a | \\cdot |\\vec b | \\cdot \\cos \\theta $$其中 $\\theta$ 为 $\\vec a$ 与 $\\vec b$ 之间的夹角。

由向量的数量积公式可得$$ \\vec a \\cdot \\vec b = (-1) \\cdot 3 + 2\\cdot 4=5 $$所以 $\\vec a \\cdot \\vec b=5$。

空间向量的数量积运算教案

空间向量的数量积运算教案一、教学目标1. 知识目标：了解空间向量的概念和数量积运算的定义；掌握空间向量数量积的计算方法；理解空间向量数量积的几何意义。

2. 能力目标：能运用数量积的性质解决实际问题；能够运用向量的数量积计算向量的长度和夹角；能够通过数量积判断向量的垂直和平行关系。

3. 情感态度目标：培养学生对数学的兴趣和热爱；培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生学会合作、分享以及互相帮助的品质。

二、教学重难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念和性质；（2）空间向量数量积的定义和计算；（3）向量数量积的几何意义。

2. 教学难点：（1）利用数量积计算向量的长度和夹角；（2）判断空间向量的垂直和平行关系。

三、教学过程1.导入新课通过一个实际问题引入，例如：有一个空间中的物体用向量表示力，物体受力的情况如何影响其运动？引导学生思考并激发学生学习的兴趣。

2.概念讲解介绍空间向量的概念和性质，讲解向量的数量积的定义和性质，并通过具体的例子加深学生对概念的理解。

3. 数量积的计算方法（1）介绍向量数量积的计算公式；（2）讲解向量数量积的几何意义，如何通过数量积计算向量的长度和夹角。

4.练习与实践为了帮助学生更好地掌握数量积的计算方法，老师可以设计一些简单的计算练习题，并让学生进行练习，在练习中体会数量积的计算方法和几何意义。

5. 垂直和平行关系的判断介绍如何利用数量积判断向量的垂直和平行关系，通过具体的实例让学生掌握判断方法。

6. 课堂讨论让学生结合实际问题进行讨论和分享，提高学生自主探究和解决问题的能力。

7. 拓展与应用将向量数量积与实际问题相结合，引导学生解决实际问题，拓展学生的应用能力。

8. 归纳总结总结本节课的重点内容，强调向量数量积在几何问题中的应用，并巩固学生对相关概念的理解。

9. 作业布置布置相关的作业，让学生巩固所学内容，并在课后检查学生的作业情况。

四、教学反思通过本节课的教学，学生能够掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法，能够运用数量积解决实际问题，提高了学生的数学运算能力和应用能力。

〖2021年整理〗《空间向量的数量积运算》优秀教案

空间向量的数量积运算陈菊仙一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律． 2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律． 2．空间向量的模长公式和夹角公式． 3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作>=<a a a a ,cos ||||2||a =．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||； ②若a ，b a b ⊥⇔a b ⋅0=；③==a ||；④若a ，b 为非零向量，则>=====-⨯，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（） A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴B C AB 11⋅)()(11CB C C BB AB +⋅+=C C BB CB AB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】=21||AC 2121)(AA AD AB AC ++=112122222AA AD AA AB AD AB AA AD AB ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】222)(||BD AB CA CD CD ++==BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】222c b a ++．二课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式． 2．问题探究探究一由平面向量类比空间向量的数量积运算★ ●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a ，b 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作>==．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义． ●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答）①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二探究空间向量数量积的性质★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答）①若e 为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>；（解释：1||=e ，转化为投影） ②若a ，b 为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=；（解释：,cos022a b ππ<>==，）③||a ==（解释：,0cos 01a b <>==，） ④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式）⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=，可用于证明空间向量垂直；第③条，||a =长公式；第④条，,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三探究空间向量数量积的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=；②a =||22a b b a =； ④22||4||9)23()23(b a b a b a -=-⋅+．正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；a ，b 不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（）A ．CB BA ⋅2 B ．BD AD ⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由已知可得3,π>=<BD AD ，所以><=⋅BD AD BD AD BD AD ,cos ||||22223cos2a a ==π．【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练．活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（） A ．0 B ．21 C ．22 D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<c a b a ，且||||c b =．所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅3cos ||||3cos||||ππb a c a -=0|)||(|||21=-=b c a ，所以0,cos =>=<BC OA BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为 60，其模都为1，则|2|c b a +-等于（） A ．5 B ．5 C ．6 D ．6 【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∴2|2|c b a +-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|c b a +-5=．【思路点拨】先计算b a ⋅，c b ⋅，a c ⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线的方向向量a ，同时取向量PA ，OA ，∵OA l ⊥，∴0=⋅OA a ．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅PO a ．又∵=⋅PA a )(OA PO a +⋅0=⋅+⋅=OA a PO a ，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量PA 用PO ，OA 来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ． ∵m 与n 相交，∴向量m ，n 不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使n y m x g +=．∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥． ∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量g 表示为m ，n 的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度． 3 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作>=<a a a a ,cos ||||2||a =．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ，②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||a ==；④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型自主突破1．下列命题中正确的是（）A ．222)(b a b a ⋅=⋅ B ．||||||b a b a ≤⋅C ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅D ．若)(c b a -⊥，则0=⋅=⋅c a b a 【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】对于A 项，><=⋅b a b a b a ,cos )(222222b a ≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅c b a ，所以c a b a ⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ．2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-b b a )2(（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||==b a ，>=<b a , 60，∴=⋅-b b a )2(22b b a -⋅0||60cos ||||22=-=b b a ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ．3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅CD AB （） A ．2-B ．2C ．32-D ．32【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=⋅CD AB )(AC AD AB -⋅AC AB AD AB ⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+)()(AC AB DA DC DA DB -⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO +=，则AB 与AC 的夹角为．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AO +=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,AC > 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90．6．已知a ，b ，c 中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||c b a ++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵2||c b a ++a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||c b a ++10=．【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型师生共研7．已知23||=a ，4||=b ，b a m +=，b a n λ+=，43,π>=<b a ，若n m ⊥，则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵n m ⊥，∴0=⋅n m ，即⋅+)(b a 0)(=+b a λ，则0)1(22=⋅+++b a b a λλ，即043cos234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ．【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a CA =．b CB =，c CC =1，1||||||===c b a ，∴0=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∵BM c +=，AN c +=，∴BM ⋅AN 432=+=c ，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴BM <cos ⋅>AN ANBM =1030252643=⨯=．【思路点拨】将BM 与AN 用a ．b ，c 表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥．【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a BA =，b BC =，c BB =1，m b a ==||||，n c =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=c a +-=，=1BC c b +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)(c a )(c b +2c b a +⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴C A AB 11⋅⋅+-=)(c a )(1BC AB A A ++⋅+-=)(c a )(b a c +--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥．【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用a ，b ，c 表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，c AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设BC n BB m BO +=1，则)(a b n c m BO -+=c m b n a n ++-=，而BO AB AO +=c m b n a n ++-=)1(，∴11AA AO O A -=c m b n a n )1()1(-++-=，要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅c O A ，0)(1=-⋅a b O A ， ∴])1()1[(c m b n a n -++-0=⋅c ，])1()1[(c m b n a n -++-0)(=-⋅a b ，解得43=m ，21=n ，BO +=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将BO 表示为BC n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||b a m b a m ⋅=⋅)()(λλ；③a c b c b a ⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=．其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为a 与b 的方向不一定相同，故不一定相等．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】C ．2．已知向量a ，b 满足2||=a ，2||=b ，且a 与a b -2互相垂直，则>===<b a ．【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，则BCD ∆（）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵BD BC ⋅)()(AB AD AB AC -⋅-=2AB AD AB AB AC AD AC +⋅-⋅-⋅=02>=AB ，∴0,cos >>=<BD BC BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角．【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定．【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵DB CD AC AB ++=，∴CD DB CD AC CD AB ⋅++=⋅)(12==CD ，故21,cos =>=<CD AB CD AB ，即 60,>=<CD AB ．【思路点拨】先求出CD AB ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为．【知识点】向量模长的计算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵CD BD AB CA ++=，∴2CD 2)(BD AB CA ++=CA BD BD AB AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将CD 拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式．【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与PA 1所成角的大小为．【知识点】向量夹角公式的运用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵P A C B 11⋅()(1AD AD AA +⋅+-=2AD =1=，由题意得211==C B PA ，则21,cos 11=>==<P A C B ．【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出P A C B 11⋅．【答案】 60．。

苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思

苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.理解向量数量积的概念和特点；2.掌握向量数量积的计算方法；3.运用向量数量积解决几何问题。

2. 教学难点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握；3.运用向量数量积解决几何问题的能力。

3. 教学重点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握。

4. 教学方法1.探究法；2.演示法；3.练习法；4.归纳法。

5. 教学内容1.向量数量积的概念；2.向量数量积的计算方法；3.向量数量积的性质；4.向量数量积在几何问题中的应用。

6. 教学过程(1) 导入新课教师将一张图片放在黑板上，上面画有一只猎人和一只飞禽。

请学生思考以下问题：1.猎人用什么手段来抓飞禽？2.飞禽飞行时用什么力量来行进？3.猎人与飞禽之间有什么关系？经过学生讨论，引出向量的概念，并简要介绍向量的加减和数量积。

(2) 学习新课1.向量数量积的定义：$ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $，其中 $\\mathbf{a}$ 和 $\\mathbf{b}$ 分别为向量$\\boldsymbol{OA}$ 和 $\\boldsymbol{OB}$，$\\theta$ 为 $\\boldsymbol{OA}$ 和$\\boldsymbol{OB}$ 的夹角。

2.向量数量积的性质：交换律、分配律、数量积为0的充要条件是 $\\boldsymbol{OA}$ 与$\\boldsymbol{OB}$ 垂直。

3.向量数量积的应用。

(3) 练习1.根据上述内容，让学生完成以下例题：例题：已知向量 $\\mathbf{a} = \\boldsymbol{OA}$，$\\mathbf{b} = \\boldsymbol{OB}$，$\\mathbf{c} =\\boldsymbol{OC}$，$\\boldsymbol{OA} = 2\\boldsymbol{i} + \\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OB} = \\boldsymbol{i} + 3\\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OC} =3\\boldsymbol{i} + 4\\boldsymbol{j}$，求$\\boldsymbol{OA} \\cdot \\boldsymbol{OB}$ 和$\\boldsymbol{AB}$ 的夹角。

向量数量积问题的探究教学反思

《向量数量积问题的探究》教学反思一、本节课教学设计亮点1. 创设开放性问题让每位学生都能动手解题，并且要求解题策略多样化，这对学生具有挑战性和探究性，富有深层次的教育价值。

2. 课前准备充分，不仅要想学生所想，还需要对课堂中出现的“意外”有所准备，所以我还查阅资料，归纳出了一些思想方法，以备不时之需。

3. 突出“学为中心”的教学理念，教学过程合理。

给学生一个自主探究的空间，学生自己得出结论，在寻找结论的过程中，学生展示出各种思维，独到的见解，与众不同的方法。

这样的教学设计课堂动态生成多，学生积极性高，并且因学生精彩而课堂精彩。

4. 巩固练习设计合理具有针对性。

重在应用本节课所学的知识解决问题，并且作业编制具有层次性，重在面向全体，差异分层。

5. 问题选取具有典型性。

多以高考、会考和模拟卷中的题目为主。

第一个题组铺垫作为归纳常见知识和方法，第二个问题用来提升学生们的思想，能力。

二、课堂实施中设计上的不足1. 在教学环节上，先学生自主思考，而后可以让学生以小组的形式进行交流，然后选取小组长上台展示组内总结出来的方法。

2. 对于合作分析问题2教学时，可以先将等式21a b +=r r 两边平方，得22441a b a b ++⋅=r r r r ，要得到a b ⋅r r 的最大值，只要求224a b +r r 的最小值带入即可。

这样利用基本不等式来解释学生更容易理解，并且高效。

3. 在两位学生利用几何法画圆来解释问题2时，没能在课堂中发现几何法具有不严密性。

因为不管是利用投影还是正交分解的方法，始终都具有a b r r 和的夹角和a r 的模长两个变量。

当一个变量为最大值时，另一个变量不一定为最大。

下课回到办公室后，有学生和我提起这种做法具有弊端，我才恍然大悟。

看来对于课堂突发生成的想法真的需要教师具有随机应变的能力和专业功底，这对于教师的要求必须很高。

第二节课上我做了必要的解释，并且有学生举出反例来推倒他们的结论。

空间向量的数量积运算教学反思

空间向量的数量积运算教学反思一、教学过程中的问题1. 知识的引入不够清晰：在讲解空间向量的数量积运算之前，我们应该先介绍向量的概念和基本性质，包括向量的表示方法、向量的加法和数乘等，以便学生能够更好地理解数量积运算的意义和作用。

2. 公式的逐步推导不够充分：在推导空间向量的数量积运算公式时，我们应该逐步引导学生思考和发现，而不是直接给出公式，这样有助于学生更好地理解公式的本质和推导过程。

3. 缺乏具体的例题分析：在教学过程中，我们应该注重对具体例题的分析和讲解，让学生通过解题来理解和掌握数量积运算的方法和技巧。

4. 缺乏实际应用的讨论：在教学中，我们应该引导学生思考数量积运算在实际问题中的应用，例如力的分解、工作的计算等，以增强学生对数量积运算的兴趣和理解。

二、教学反思和改进1. 引入知识的方式：在讲解空间向量的数量积运算之前，我们可以通过引入实际问题或生活中的例子来激发学生的兴趣，例如通过讨论力的作用、物体的运动等引入向量的概念和数量积运算的意义。

2. 公式的推导过程：在推导空间向量的数量积运算公式时，我们可以通过实际问题的讨论和几何图形的分析，引导学生逐步推导出公式，让学生在实践中体会公式的本质和推导过程。

3. 例题的分析和讲解：在教学过程中，我们应该选取一些具有代表性的例题，通过详细的分析和讲解，引导学生掌握数量积运算的方法和技巧。

同时，我们还可以设计一些拓展性的例题，让学生灵活运用所学知识解决问题。

4. 实际应用的讨论：在教学中，我们可以引导学生讨论数量积运算在实际问题中的应用，通过具体的例子和实际情境，让学生体会数量积运算在解决实际问题中的重要性和作用。

通过对空间向量的数量积运算教学的反思和改进，我们可以使教学内容更加清晰、生动，提高学生的学习兴趣和理解能力。

同时，我们也要不断总结和反思自己的教学经验，不断提高教学水平，为学生的学习创造更好的条件和环境。

空间向量的数量积运算教学设计高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算一、教学内容及解析（一）教学内容本节主要学习空间向量的夹角、数量积和投影向量（二）内容解析空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。

二、教学目标及分析（一）教学目标1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题（二）目标分析1、第一节学生已经学习过空间中的任意两个向量通过平移转化为同一平面内的向量，空间向量的夹角即可转化为平面向量的夹角，以此掌握空间向量的夹角的概念及表示方法2、学生通过类比平面向量的数量积得出空间向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、教师利用例题讲解如何利用向量解决立体几何中的夹角、距离等一些简单问题，学生利用变式练习进一步巩固空间向量的运用三、教学重难点1、重点：空间向量数量积的概念及运算律2、难点：用向量的方法解决立体几何问题四、教学过程问题一、如何定义空间向量的夹角及数量积？问题1、平面向量的夹角及数量积是如何定义的？师生活动：学生回顾平面向量的夹角的定义及范围，教师指导设计意图：复习旧知，引入新知问题2、空间向量和平面向量有何关系？如何定义空间向量的夹角及数量积？师生活动：教师指出上节课已经探究过空间任意两个向量通过平移都可以平移到一个平面内，转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义，教师提问并板书，学生回答夹角、夹角范围、数量积及相关结论设计意图：通过类比转化，得出空间向量的夹角及数量积定义，学生容易接受并掌握新知问题二、类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？师生活动：学生回忆平面向量中投影向量的知识，教师板书平面中向量的投影向量推导过程，帮助学生回顾旧知，为空间向量的投影做准备。

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《空间向量数量积的运算》教学反思
本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。

根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。

突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。

三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。

在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。

同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。

但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。

精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。

不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。

其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。

另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。

对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。

应
该适当引导，调控好探究的时间，还有，在课堂上，如果时间充分，让学生自己发现、分析，总结问题的求解方法，更有助于他们掌握解决此类问题方法。

以上是我对《空间向量的运算》的教学反思，还有很多不足之处，恳请各位老师批评、指正，在今后的教学中，我会取长补短，力争做到课堂效率最大化。