2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)
2007广东省数学高考题目及答案
2007年普通高等招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n i x yx n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21- D.-23.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k= A.9 B.8 C.7 D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若同量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则ba b a ··+＝ .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t ty t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .、2007年数学答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。
2007年高考文科数学试题及答案(全国卷1)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
C
1 n
pk
(1
p) nk
(k
0,1,2，
球的表面积公式 S 4R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
V 4 R3 3
1．a 是第四象限角， tan 5 ，则 sin 12
A． 1 5
B． 1 5
2．设 a 是实数，且 a 1 i 是实数，则 a＝ 1i 2
A． 1 2
B．1
3．已知向量 a＝（－5，6），b＝（6，5），则 a 与 b
n)
其中 R 表示球的半径
C． 5 13
C． 3 2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社 国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会 社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主 会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度 制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立 确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：， 立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当 使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代 占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中 世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国 界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一 人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步 一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠 的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定 东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了 方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制 大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度 会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的 ，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建 这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立 是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极 世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大 界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地 社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提 会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高 主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了 义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工 运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人 动、届 业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶 史新社二 的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级 上民会中 社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和 又主全 会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人 性理历中 ，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民 的论史国 党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积 大以验稳 政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已��
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(文科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）数学（文科）试卷参考答案一、选择题1．D2．B3．A4．A5．C6．C7．D8．D9．B 10．D11．A12．C二、填空题13．0.2514．3()x x∈R15．4π316．1 3三、解答题17．解：（Ⅰ）由a=2b sinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以1 sin2B=，由△ABC为锐角三角形得π6B=。
（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2－2ac cosB=27+25－45=7所以，b=18．解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”。
()P A=（1－0.6）2=0.064，P（A）=1－()P A=1－0.064=0.936。
（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”。
B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”。
B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”。
则B= B 0+ B 1。
P （B 0）=0.63=0.216，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=。
P （B ）=P （B 0+ B 1） =P （B 0）+P （B 1） =0.216+0.432 =0.64819．解法一：（1）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。
因为SA=SB ，所以AO=BO ，又∠ABC=45°，故AOB △为等腰直角三角形，AO ⊥BO ， 由三垂线定理，得SA ⊥BC 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA ⊥BC ， 依题设AD BC ∥， 故SA ⊥AD ， 由，SA =SD =又AO=ABsin45°，作DE ⊥BC ，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE 。
∠ESD 为直线SD 与平面SBC 所成的角。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东理)含答案
试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．66．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）． 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i < Ｄ．9i <7．图3A B C D ，，，四个维修点某种配件各50A ，件，n Ａ．17 8”（即对任意的，．若对任意的，有a A ．)](**a b C ．(**b a b 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ．图 s s ss 图1 图2 210A ，， 是 身高/cm11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=） 18．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标图5 图4原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC △的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．绝密★启用前 试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A卷)解析
图 2俯视图侧视图正视图普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能力吧，数学出基础题就好——感恩广东今年数学出题老师——湛江-农垦-小徐注(QQ:808068)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．ks5u 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D. 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则11=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B. 图 17．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =.8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【解析】基础题，1,2,c a b === D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；ks5u③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而302AE CAD =∠= ，2DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-， 1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：图 4（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；ks5u (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BFCF ==. 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ． 【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意d ==1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ks5u ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx x kx =-+，其开口向上，对称轴3k x = ，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k <时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=+>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==- ()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==ks5u【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.新|课|标|第|一|网。
2007年广州市高三数学水平测试试题(文科)
秘密★启用前2007年广州市普通高中学生学业水平测试数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分100分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第一部分 选择题（共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5,A = 则C UA =（A ）{}2,4 （B ）{}1,3,5 （C ） {}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）函数()ln 2y x =-的定义域是（A ）[)1,+∞ （B ）(),2-∞（C ）()1,2（D ）[)1,2（3）已知m +i 1n =-i ，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m n +=（A ）-1 （B ）0（C ）1（D ）2（4）已知3,,sin ,25πθπθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则tan θ=（A ）34-（B ）43- （C ）34 （D ）43（5）已知向量a 表示“向东航行1km”，向量b 表示“向南航行1km”，则向量a +b 表示 （A ）向东南航行2km （B（C ）向东北航行2km （D（6）在下列命题中, 错误的是 （A ）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （B ）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行 （C ）如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直（D ）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（7）直线34140x y +-=与圆()()22114x y -++=的位置关系是（A ）相交且直线过圆心 （B ）相切（C ）相交但直线不过圆心 （D ）相离（8）已知命题p ∶x ≥1，命题q ∶x 2≥x ，则p 是q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）不等式x 2– y 2≥0所表示的平面区域（阴影部分）是（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知空间直角坐标系O xyz -中有一点()1,1,2A --，点B 是xOy 平面内的直线 1x y +=上的动点，则,A B 两点的最短距离是（A（B）2（C ）3 （D ）172第二部分 非选择题（共70分）二、填空题：本大题共5小题，其中（11）～（13）是必做题，（14）～（15）是选做题，要求每位考生只从（14）、（15）题中任选一题作答. 每小题3分，满分12分. 第（13）小题的第一个空1分、第二个空2分．(11) 已知向量a (),1m =，向量b ()1,2=-，若a ⊥b ，则实数m 的值是 . (12) 某班50名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是 .（13） 已知函数 则()1f = ，()32log 2f += .（14）如图,平行四边形ABCD 中, ::AE EB m n =,若AEF ∆的面积等于a cm 2,则CDF ∆的面积 等于 cm 2.（15）把参数方程sin cos sin 2x y θθθ=-⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. （16）（本小题满分8分）已知函数()1cos 2f x x x =+(x ∈R ). （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期; （Ⅱ）求函数()f x 的最大值和最小值.（17）（本小题满分10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知335,9a S ==. （Ⅰ）求首项1a 和公差d 的值; （Ⅱ）若100n S =，求n 的值.EBCD FA0.0100.0120.0360.0240.018（18）（本小题满分10分）同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)， 两颗骰子向上的点数之和记为ξ. （Ⅰ）求5ξ=的概率()5P ξ=; （Ⅱ）求5ξ<的概率()5P ξ<.（19）（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点. （Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF .（20）（本小题满分10分） 已知a ∈R ,函数()3211232f x x ax ax =-++(x ∈R ). （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（Ⅱ）函数()f x 是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由;（Ⅲ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围.（21）（本小题满分10分）如图，已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为45，左、右焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 与x 轴的两交点分别为A 、B ，点P 是椭圆上一点（不与点A 、B 重合），且∠APB =2α，∠F 1PF 22β=.（Ⅰ）若45β=，三角形F 1PF 2的面积 为36，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当点P 在椭圆C 上运动时，试证明 tan tan 2βα⋅是定值.AFPDCB2007年广州市普通高中学生学业水平测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题3分，满分30分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，其中（11）～（13）是必做题，（14）～（15）是选做题，要求每位考生只从（14）、（15）题中任选一题作答.每小题3分，满分12分. 第（13）小题的第一个空1分、第二个空2分．（11）2 （12）35 （13）3；6 （14）21n a m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（15）21,x y x ⎡=-∈⎣三、解答题(16)(本小题满分8分) 解：(Ⅰ) ()1cos 2f x x x =+ sin cos cos sin66x x ππ=+s i n ()6xπ=+. …… 2分∴函数()f x 的最小正周期为2π. …… 4分(Ⅱ)当sin()16x π+=时，函数()f x 的最大值为1. …… 6分当sin()16x π+=-时，函数()f x 的最小值为1-. …… 8分(17) （本小题满分10分） 解: (Ⅰ)335,9a S ==,1125,339.a d a d +=⎧∴⎨+=⎩ …… 4分解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …… 6分(Ⅱ)由100n S =,得()121002n n n -+⨯=, …… 8分 解得10n =或10n =-(舍去).10n ∴=. …… 10分 (18) （本小题满分10分）解: (Ⅰ):显然，ξ的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. …… 4分点数和为5出现4次,∴()415369P ξ===. 答：5ξ=的概率是19. …… 6分(Ⅱ)点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,∴()5P ξ<()()()12312343636366P P P ξξξ==+=+==++=. …… 9分 答：5ξ<的概率是16. …… 10分 （19）（本小题满分10分）（Ⅰ）证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF . ABCD 是菱形,O ∴是AC 的中点.点F 为PC 的中点,//OF PA ∴. …… 2分OF ⊂平面,BDF PA ⊄平面BDF ,∴//PA 平面BDF . …… 4分 (Ⅱ)证明: PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , PA AC ∴⊥.OAFPDCB//,OF PA OF AC ∴⊥.ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥. …… 6分 OF BD O =，AC ∴⊥平面BDF . …… 8分 AC ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面BDF . …… 10分 (20) （本小题满分10分） 解: (Ⅰ) 当1a =时,()3211232f x x x x =-++, 2()2f x x x '∴=-++. …… 2分令()0f x '>,即220x x -++>, 即220x x --<，解得12x -<<.∴函数()f x 的单调递增区间是()1,2-. …… 4分(Ⅱ) 若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≤对x ∈R 都成立,即220x ax a -++≤对x ∈R 都成立, 即220x ax a --≥对x ∈R 都成立.280a a ∴∆=+≤, …… 6分 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数()f x 在R 上单调递减. …… 7分(Ⅲ) 解法一：函数()f x 在[]1,1-上单调递增,()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.()22a x x ∴+≥对[]1,1x ∈-都成立,即22x a x +≥对[]1,1x ∈-都成立. …… 8分令()22x g x x =+, 则()()()()222224()22x x x x x g x x x +-+'==++. 当10x -<≤时，()0g x '<；当01x <≤时，()0g x '>.()g x ∴在[]1,0-上单调递减,在[]0,1上单调递增.()()111,13g g -==，()g x ∴在[]1,1-上的最大值是()11g -=.1a ∴≥. …… 10分解法二：函数()f x 在[]1,1-上单调递增,()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.即220x ax a --≤对[]1,1x ∈-都成立. …… 8分令()22g x x ax a =--，则()()1120,1120.g a a g a a =--≤⎧⎪⎨-=+-≤⎪⎩ 解得1,31.a a ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩ 1a ∴≥. …… 10分（21） (本小题满分10分) 解：（Ⅰ）由于三角形F 1PF 2为直角三角形，则2221212PF PF F F +=，即22121212()2PF PF PF PF F F +-=，三角形F 1PF 2的面积为36，∴121362PF PF =，即1272PF PF =， ∴2222722a c -⨯=（）（），即2222272a c -=⨯（）（）， ∴236b =. …… 2分椭圆C 的离心率为45，则21625c a =2，即221625a b a -=2，∴2100a =.∴椭圆C 的方程为22110036x y +=． …… 4分 （Ⅱ）不妨设点P (,)x y 在第一象限，则在三角形12PF F 中，2221212122cos2F F PF PF PF PF β=+-， 222121212()2(1+cos2)F F PF PF PF PF β=+-，即2212442(1cos2)c a PF PF β=-+，∴2221222221cos 22cos cos b b b PF PF βββ===+. ∴12F F PS ∆=2221221sin 2sin sin 2tan 22cos cos b b PF PF b ββββββ===. 12122F F P S c y cy ∆=⨯⨯=， ∴2tan b cy β=，即2tan cybβ=. …… 6分作PC x ⊥轴，垂足为C .tan AC a x APC PC y +∠==，tan CB a xCPB PC y-∠==，∴2222222tan 2tan()1a x a xay y y APC CPB a x x y a y α+-+=∠+∠==-+--.22221x y a b +=， ∴22222a y x a b=-.∴2222222222tan 2(1)aya ab a x y ac y ybα===+---. …… 8分 ∴22tan tan 2c e aβα⋅==--. 离心率45e =， ∴5tan tan 22βα⋅=-. ∴tan tan 2βα⋅是定值, 其值为52-. ……10分。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.理)
试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑ ， ay bx =- ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．66．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）． 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i < Ｄ．9i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61s s ss A ． B ． C ． D ． 图1 图2 身高/cm件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ） Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示）10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +ab = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示）13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）图5 A图4已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 y bxa =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=） 18．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a+=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC △的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）图6PED FBCA已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-=' ，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα-==- ，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．绝密★启用前 试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
2007-2013广东高考文科数学试题分类汇总完整版(含答案)
广东高考文科数学近7年试题分类汇编1.集合与简易逻辑(2007年高考广东卷第1小题)已知集合1{10{0}1M x x N x x=+>=>-，，则M N =（C ）A ．{11}x x -<≤B ．{1}x x >C ．{11}x x -<<D ．{1}x x -≥(2008年高考广东卷第1小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（D ） A. A B ⊆B. B C ⊆C. B ∪C = AD. A ∩B = C(2009年高考广东卷第1小题).已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2+x=0} 关系的韦恩（V enn ）图是 【答案】B【解析】由N= { x |x 2+x=0}{1,0}-得N M ⊂,选B.(2010年高考广东卷第1小题)若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B =( A.)A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝(2010年高考广东卷第8小题) “x >0”是成立的( A.)A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 (2011年高考广东卷第2小题)已知集{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为(C)A ．4 B.3 C.2 D. 1(2012年高考广东卷第2小题)2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =(A) A ．{}2,4,6 B ．{}1,3,5 C ．{}1,2,4 D ．U (2013年高考广东卷第1题)1．已知集合{}220,S x x x x R=+=∈，{}220,T x xx x R=-=∈，则ST =（ A ）A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D. {-2,0,2} 2.复数(2007年高考广东卷第2小题)若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ D ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2(2008年高考广东卷第2小题)已知0<a <2，复数z = a + i （i 是虚数单位），则|z|的取值范围是（ B ）A. （1，5）B. （1，3）C. （1D. （1(2009年高考广东卷第2小题)下列n 的取值中，使ni =1(i 是虚数单位）的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 【答案】C 【解析】因为41i =,故选C.(2011年高考广东卷第1小题)设复数z 满足iz = 1，其中i 为虚数单位，则z = (A) A ．- i B ．i C ．- 1 D ．1 (2012年高考广东卷第1小题) 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+=(D) A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - （2013年高考广东卷第3题）3.若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则x+yi 的模是（ D ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.向量(2007年高考广东卷第4小题)若向量a b ，满足1a b ==，a 与b 的夹角为60°，则a a a b +=··（ B ）Ａ．12Ｂ．32Ｃ．1 Ｄ．2(2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量a =（1，2），b =（－2，m ），且a ∥b ，则2a + 3b =（B ） A. （－5，－10） B . （－4，－8） C. （－3，－6） D. （－2，－4）(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b （ ）A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.(2010年高考广东卷第5小题)若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x )满足条件 (8a －b )·c=30，则x = (C) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2011年高考广东卷第3小题)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则 (B) A ．14 B.12C.1D. 2 (2012年高考广东卷第3小题)若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =(A) A ． (4,6) B ． (4,6)-- C ． (2,2)-- D ． (2,2)(2012年高考广东卷第10小题) 对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =(D)A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12（2013年高考广东卷）10.设a 是已知的平面向量且a ≠0。
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试卷类型：A
2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题。
满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。
答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题号（或题组号），对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式V=31
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y n x
n x y
x n y x b n
i i n
i i i
-=-∑-∑=
==,2
1
2
1
一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|10}M x x =+>，1
{|
0}1N x x
=>-，则M N = A ．{x|-1≤x ＜0} B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜0} D ．{x |x ≥-1}
2．若复数（1+bi ）（2+i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b=
A ．-2
B ．1
2
- C.
1
2
D ．2
3．若函数f （x ）=x 3（x ∈R ），则函数y=f （-x ）在其定义域上是
A ．单调递减的偶函数
B ．单调递减的奇函数
C ．单凋递增的偶函数
D ．单涮递增的奇函数
4．若向量a 、b 满足||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则a ·a+a ·b=
A ．1
2
B ．
3
2
C.3
12
+ D ．2
5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地。
下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是
6．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A ．若a ∥β，,l a n β⊂⊂，则l ∥n
B ．若a ⊥β，l a ⊂，则l ⊥β
C ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m
D ．若l ⊥a ， l ∥β，则a ⊥β
7．图l 是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A ：、…、A ，。
（如A ：表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。
现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A ．i<9
B ．i<8
C ．i<7
D ．i<6
8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。
现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
A ．310
B ．15
C ．110
D ．
112
9．已知简谐运动()2sin(
)(||)3
2
f x x π
π
ϕϕ=+<
的图象经过点（0，1），则该简谐运动的
最小正周期T 和初相ϕ分别为
A ．6,6
T π
ϕ== B ．6,3
T π
ϕ==
C ．6,6
T π
πϕ== D ．6,3
T π
πϕ==
10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A 、 B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分。
其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P （2，4），则该抛物线的方程是 。
12．函数f （x ）=xlnx （x>0）的单调递增区间是 。
13．已知数列{an}的前n 项和S n =n 2-9n ，则其通项an= ；若它的第k 项满足5<a k <8，则k=________。
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点（2，π/6）到直线l 的距离为 。
15．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
16．（本小题满分14分）
已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）
（1）若AB·AC=0，求c的值；
（2）若C=5，求sin∠A的值．
17．（本小题满分12分）
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
（1）求该儿何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S
18．（本小题满分12分）
F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗Y（吨标准煤）的几组对照数据。
3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤。
试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切
于坐标原点0。
椭圆
22
2
1
9
x y
a
+=与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长。
若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是力程以()0f x =的两个根（α>β），()f x '是
()f x 的导数，设11()
1,()
n n n n f a a a a f a +==-
'(1,2,3,)n = （1）求a ，β的值；
（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln n n n a b a β
α
-=-(1,2,3,)n = ，
求数列{}n b 的前n 项和n S 。
21．（本小题满分l4分）
已知a 是实数，函数f （x ）=2ax+2x-3-a.如果函数y=f （x ）在区间[-1，1]上有零点，求a 的取值范围。