【数学】安徽省2019-2020学年高二下学期开学考试(理)
安徽省合肥市高二下学期开学考试数学试题(解析版)
高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知两个向量，且，则的值为（ ）()()2,1,2,4,,a b m n =-= //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【分析】根据向量共线得，解出即可. 4212m n ==-【详解】，，解得， //a b 4212m n∴==-2,4m n =-=则. 2m n +=故选：B.2．直线的一个方向向量是（ ） 210x y ++=A ． B ．C ．D ．()1,2-()1,2()2,1-()2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】因为直线可化为，210x y ++=1122y x =--所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，210x y ++=12k =-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于A ，与不平行，故A 错误；(1,2)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，与不平行，故B 错误；(1,2)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，，故与平行，则也是直线的一个方向向,(22,1)211⎛⎫-= ⎝-⎪⎭(2,1)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2,1)-210x y ++=量，故C 正确；对于D ，与不平行，故D 错误.(2,1)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.3．椭圆的焦距为4，则的值等于（ ）2219x y m +=m A ．5 B ．13C ．5或13D ．25【答案】C【分析】根据椭圆中的关系求解. ,,a b c 【详解】由题知：，24,2=∴=c c当焦点在轴上时，； x 2913m c =+=当焦点在轴上时，，y 295m c =-=或13.5m ∴=故选:C.4．在正四面体中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则的值为-P ABC PE BC ⋅A ．B ．1C D ．1-73【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E 是棱中点，可PA BC ⊥0PA BC ⋅=AB 得，代入，利用数量积运算性质即可得出.()12PE PA PB =+ PE BC ⋅【详解】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅=是棱中点E AB()12PE PA PB \=+()111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC \×=+×=×+×=´´´=- 故选：A 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.5．在数列中，，且，，则（ ） {}n a 12a =111n na a +=-*n ∈N 2022a =A ．2 B ．-1C ．D ．112【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.{}n a【详解】解：在数列中，，，则， {}n a N n *∀∈111n na a +=-2111111111n n n na a a a ++===----，3211111(1)n nn na a a a ++===---于是得数列是周期数列，周期为3， {}n a 又，所以，，所以， 12a =21111112a a ===---()321111112a a ===---202267333312a a a ⨯+===所以. 202212a =故选：C.6．等比数列中，已知，则的值为（ ） {}n a 135716,8a a a a +=+=9111315a a a a +++A ．2 B ．4 C ．6 D ．12【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q 445173,a a q a a q ==. 4571312a a q a a +∴==+.()()2891113151357116862a a a a a a a a q ⎛⎫∴+++=+++⋅=+⨯= ⎪⎝⎭故选:C.7．若两圆和恰有三条公切线，则()229900x y m m +++-=>()221400x y n n +--+=>的最小值为（ ） 114m n+A ． B ．C ．D ．1161414【答案】C【分析】分析出两圆外切，可得出，将与相乘，展开后利用基本不9416m n +=114m n +()19416m n +等式可求得的最小值. 114m n+【详解】圆的标准方程为，圆心为()229900x y m m +++-=>(229x y ++=，半径为，()1C -13r =圆的标准方程为，圆心为，半径为()221400x y n n +--+=>(221x y +-=(20,C ，21r =因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，14C ==即，9416m n +=， 119411149191101416416416m n n m m n m n m n ⎛+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时，等号成立， 494n mm n=344m n ==故的最小值为. 114m n+1故选：C.8．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是111ABC A B C -AB AC 1AA 1AB AC AA ==M N 线段，上的点，平面与平面 所成（锐）二面角为，当最小时，1BB 1CC AMN ABC 6π1B M （ ）AMB ∠=A ．B ．C ．D ．512π3π4π6π【答案】B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能A AC x AB y 1AA z 求出的大小．AMB ∠【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， A AC x AB y 1AA z 设，1=1AB AC AA ==设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，CN b =BM a =(1N )b (0M )a (0A 0)(0B 0)，1，，，0，，(0AM = )a (1AN =)b 设平面的法向量，，，AMN (n x =y )z，取，得，，， ·0·0AM n y az AN n x bz⎧=+=⎨=+=⎩1z =(n b =-a -1)平面的法向量，0，，ABC (0m =1)平面与平面所成（锐二面角为，AMN ABC )6π||cos 6||||m n m n π∴= A A 解得，22331a b +=当|最小时，，∴1|B M 0b=BM a == tan AB AMB BM ∴∠==．3AMB π∴∠=故选．B【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是 12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=A ．若，则m =-1或m =3 B ．若，则m =3 12l l //12l l //C ．若，则D ．若，则 12l l ⊥12m =-12l l ⊥12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为12l l //3(2)0m m --=3m =1m =-1m =-，即，两直线重合，只有时两直线平行，A 错，B 正10x y --=3330x y -++=30x y --=3m =确；，则，，C 错，D 正确． 12l l ⊥230m m -+=12m =故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．10．已知向量，则（ ）()()()1,1,0,1,0,1,2,3,1a b c =-=-=-A ．B ．6a b -= ()()27a b b c +⋅+= C ．D ．()5a b c +⊥ ()a b c - ∥【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,， ()()()1,1,0,1,0,1,2,1,1a b a b =-=-∴-=--A 错误；a b ∴-==对于B ，，()()21,1,2,1,3,2a b b c +=--+=-则，故B 错误； ()()()()()21113226a b b c +⋅+=-⨯+-⨯-+⨯= 对于C,，()54,1,5a b +=--则，()()()54213510a b c +⋅=-⨯+-⨯-+⨯=则，故C 正确；()5a b c +⊥ 对于D ，，故D 正确.()()()3,3,0,1,1,0,3,b c a b c a a b c -=-=-∴-=-∴-∥故选:CD.11．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列说法中正硆的有（ ） A ．大鼠与小鼠在第三天相逢B ．大鼠与小鼠在第四天相逢C ．大鼠一共穿墙尺D ．大鼠和小鼠穿墙的长度比为591759:27【答案】AC【分析】对A 和B 构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出的值，对C ，首先求出前两天n 每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C 和D.【详解】对A 和B ，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列， 分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所成的数列为， {}{},n n a b 则大鼠第日穿墙，小鼠第n 日穿墙，n 12n n a -=112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=则，11122511212nnn S ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=--整理得，解得， 11242nn --=121n -=+()21log 12,3n ⎛=+∈ ⎝，，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A 正确，B 错误； N n *∈ 3n =对C ，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺， 可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.设第三天大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，则打洞时间相等：，解x ()0.5x -()40.50.25x x ÷=-÷方程得大老鼠在第三天打了尺，8,17x =∴817小老鼠打了，三天总的来说：大老鼠打了尺，故C 正确； 810.51734-=85931717+=对D ，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故D 错误.5959:559:261717⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：AC.12．已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是P 22:13y C x -=C 12F F､（ ）A ．双曲线的离心率为2 CB ．双曲线的渐近线方程为C y =C ．动点到两条渐近线的距离之积为定值PD ．当动点在双曲线的左支上时，的最大值为P C 122PF PF 18【答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B ，双曲线，22:1,1,23y C x a b c -====所以双曲线的离心率为，C e 2==ca渐近线方程为，A 选项正确，B 选项错误；y =对C ，设点的坐标为，则，P ()00,x y 22013y x -=双曲线，C 0y -=0y +=则点C 选项正确； P 3,4对D ，当动点在双曲线的左支上时，， P C 12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++当且仅当时，等号成立，12=PF 所以，的最大值为，D 选项正确.122PF PF 18故选:ACD.三、填空题13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．如图所示，在平行六面体中是的中点，点1111ABCD A B C D -1AB a AD b AA c M ===，，，，1D D N 是上的点，且，用表示向量的结果是______.1AC 113AN AC = a b c，，MN【答案】121336a b c --【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】是的中点，M 1D D 113AN AC =()111111112323MN MD DA AN DD AD AC AA AD AA AD AB ∴=++=--+=--+++． 1121121336336AB AD AA a b c =--=--故答案为：．121336a b c --四、双空题15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，记其前项和为，设{}n a 12121,1,(3n n n a a a a a n --===+≥)*N n ∈n n S （为常数），则__________，__________. 2022a m =m 20202022S a -=135********a a a a a +++++= 【答案】1-m 【分析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，由{}n a 11a =21a =211n n n n a a a S ++=+=+此可求，再结合求的值. 20202022S a -132********a a a a S ++⋯+=+13520192021a a a a a +++++ 【详解】因为斐波那契数列满足 {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 21122111n n n n n n n a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 所以，20202022S 1a -=-，135201920211123420192020a a a a a a a a a a a a +++++=+++++++ ， 135201920211202012022111a a a a a a S a a m m +++++=+=+-=+-= 故答案为：；.1-m五、填空题16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定比，则点P A B ､m n :P 的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的xOy ()6,0A ||:||2:1MA MO =动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得M C :60l x ay a -+=P C D E ､，则实数的取值范围是__________. PD PE ⊥a 【答案】[]1,7-【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图像，根据题意可知点M C G到直线距离的最大值为，从而利用点线距离公式即可得解.l 【详解】设，由题知，(),M x y ()222222|4|,(6)4MA MO x y x y =-+=+化简整理得，则此圆心为，半径为，22(2)16x y ++=()2,0G -4r =因为是曲线上的两点， ,PD PE D E ⊥､C 当都与圆相切，可使最大， PD PE ､DPE ∠又，，PD PE ⊥DG GE r ==此时四边形为正方形，，PDGE PG =显然，当为锐角，不满足题意，PG >DPE ∠当时，才能取得直角，故，PG ≤DPE ∠PG ≤所以点到直线距离要满足， G :60l x ay a -+=d PG ≤≤，解得，2670a a --≤17a -≤≤所以实数的取值范围为.a []1,7-故答案为：.[]1,7-【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数形结合，找到圆心到直线距离的G :60l x ay a -+=最大值，从而列出关于的不等式，解之即可.a六、解答题17．已知直线：，直线：.1l 2240kx y k --+=2l 224480k x y k +--=（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；1l 1l （2）若，求直线的方程.12//l l 2l 【答案】（1）或；（2）.0x y -=40x y +-=60x y +-=【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.1l 1l (2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，1l 1l 0此时则，解得， 240k -+=2k =②若直线不过原点，则斜率为，解得. 1l 12k =-2k =-因此所求直线的方程为或1l 0x y -=40x y +-=（2）①若，则解得或.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 0k =1l 240y -+=2l 480y -=12l l //当时，直线：，直线：，满足题意；2k =-1l 40x y +-=2l 60x y +-=因此所求直线：2l 60x y +-=【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是l 在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.18．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线()222210,0x y a b a b-=>>y =的准线上.224y x =（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2） ()6,0F ±221927x y -=【分析】（1）根据抛物线的准线方程是，求出双曲线的焦点坐标；（2）由条件可知抛物线6x =-的焦点是，且，求出双曲线的标准方程. ()6,0-b a=222c a b =+【详解】因为抛物线的准线方程为，224y x =6x =-则由题意得，点是双曲线的左焦点.()16,0F -（1）双曲线的焦点坐标.()6,0F ±（2）由（1）得，22236a b c +==又双曲线的一条渐近线方程是，y =所以，， b a =29a =227b =所以双曲线的方程为：. 221927x y -=【点睛】本题考查双曲线方程，几何性质，属于基础计算题型.19．已知圆过点相切于点．C (A 0y -=(B (1)求圆的标准方程；C (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． ()()2,0,2,0M N -P C PM PN 【答案】(1)22(4)12x y -+=(2)证明过程见详解【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方(),C a b r 程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即(),P x y PM PN 可证明结论．【详解】（1）设圆心，半径为，(),C a b r因为点，，所以直线的中垂线方程是，(A (B AB 4x =过点垂直的直线方程是， (B 0y -=40x -=由，解得， 440x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩40x y =⎧⎨=⎩圆心，，∴()4,0C r AC ==圆的标准方程是．∴C 22(4)12x y -+=（2）证明：由（1）知圆的标准方程为，22(4)12x y -+=则其一般方程为，即，22840x y x +-+=2284x y x +=-设点，且点在圆上运动，(),P x y P C则，PM ===PN ==于是， PMPN =为定值．PMPN ∴20．已知等比数列{an }中，a 1=1，且2a 2是a 3和4a 1的等差中项.数列{bn }满足b 1=1，b 7=13，且bn +2+bn =2bn +1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{an +bn }的前n 项和Tn .【答案】(1)；(2).12n n a -=221n n T n =+-【分析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.{}n b 【详解】(1)设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，11a =222131,a a q q a a q q ====因为是和的等差中项，所以，即，解得，22a 3a 14a 23144a a a =+244q q =+2q =所以.1112n n n a a q --==故答案为：.12n n a -=(2)因为，所以为等差数列，212n n n b b b +++={}n b 因为，，所以公差， 11b =713b =131271d -==-故.21n b n =-所以1122n n n T a b a b a b =++++++ ()()1212n n a a a b b b =+++++++ . 2121212112()2n n n n n -+-=+=+--故答案为：.221n n T n =+-21．在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充PAB ⊥ABCD AP CD ⊥BC ⊥PAB 在下面的问题中并作答.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，P ABCD -ABCD E BC //AD BC AB AD ⊥AB AP ⊥，，且______.22244BC AB AD AP BE =====（1）求证：平面平面；PDE ⊥PAC （2）求直线与平面所成角的正弦值.PE PAC【答案】选条件①（1）证明见解析；（2②（1）证明见解析；（2③（1）证明见解析；（2【分析】若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系PA ⊥ABCD 结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，AC DE ⊥DE ⊥PAC 即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证PA ⊥ABCD 明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面AC DE ⊥DE ⊥PAC 平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即PA BC ⊥AB AP ⊥可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，PA ⊥ABCD AC DE ⊥可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可DE ⊥PAC PDE ⊥PAC 得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线PAC ()2,1,0DE =- 与平面所成角的正弦值.PE PAC 【详解】方案一：选条件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，， PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =AP ⊂PAB AP AB ⊥∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，， ()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又， ()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ⋅==== 方案二：选条件②.（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.ABCD //AD BC AB CD 又，，，平面，AP AB ⊥AP CD ⊥AB CD ⊂ABCD ∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 方案三：选条件③.（1）∵平面，平面，∴.BC ⊥PAB AP ⊂PAB BC AP ⊥又，，平面，，AP AB ⊥AB BC ⊂ABCD AB BC B ⋂=∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 22．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线x ()0,1A -的距离为4.0x +=(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同的两点，且？若存在，请k l l ,M N AN AM =求出的取值范围，若不存在，请说明理由.k 【答案】(1) 2214xy +=(2)存在，(【分析】(1)根据椭圆的定义结合点到直线距离公式求解； (2)利用韦达定理表示出中点的坐标，再结合可得，利用斜率之积等于MN P AN AM =AP MN ⊥即可求解. 1-【详解】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，x ()0,1A -由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点， 2221(1)xy a a+=>)F 由到直线的距离，F 0x +=4d =4解得，所以椭圆的方程. 2a =2214x y +=（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，:l y kx b =+得：，消去得：2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()222418440.k x bkx b +++-=, ()()()22222(8)441441641kb k b k b ∆=-⨯+⨯-=+-设，则有，()()1122,,,M x y N x y ()22122Δ16140814k b bk x x k ⎧=+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ()12122282221414bk b y y k x x b k b k k ⎛⎫∴+=++=-+= ⎪++⎝⎭的中点的坐标. MN ∴P 224,1414bk b k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭是线段的垂直平分线，于是.,AN AM AP =∴ MN AP MN ⊥根据斜率之积为，即， 1-221141414AP MNb k k k k bk k ++⋅=⋅=--+可得，将其代入， 2413k b +=22140k b ∆=+->并整理得：，解得：.()()224120k k +-<k <故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围. l (【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键在于利用韦达定理表示的中点的坐标，再根据几何MN P 关系确定，从而建立代数关系式可得，再根据判别式大于零即可求范围. AP MN ⊥2413k b +=。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2023-2024学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学试题
2023-2024学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学试题1.已知等差数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．6C．8D．42.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（）A．4B．C．D．13.设数列满足，且，则（）A．-2B．C．D．34.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（）A．B．C．D．5.点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，过作平行于的平面，交母线于，则平面与圆锥侧面的交线为抛物线，其焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．7.已知圆，直线，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当最小时，直线AB 的方程为（）A ．B ．C ．D ．8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（）A ．B ．C ．D ．9.设是各项为正数的等比数列，q 是其公比，是其前n 项的积，且，，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．与均为的最大值10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A ．圆上的点到原点的最大距离为B ．圆上存在三个点到直线的距离为C ．若点在圆上，则的最小值是D ．若圆与圆有公共点，则11.如图，在直三棱柱中，，，D 是棱的中点，，点E 在上，且，则下列结论正确的是（）A．直线与BC所成角为90°B．三棱锥的体积为C．平面D．直三棱柱外接球的表面积为12.已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A．若、的斜率存在且分别为、，则为一定值B．若椭圆上存在点使，则C．若的面积最大时，，则D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为13.已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为______．14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为______.15.如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.16.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________.17.已知圆的圆心为，且与直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)设直线与圆M交于A，B两点，求.18.如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.(1)求与平面所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的大小；19.已知为数列的前项和，且.(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，若恒成立，求的范围.20.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．21.数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)已知，若，求数列的前项和.22.已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设是分别过点的两条平行直线，交曲线C于两个不同的点，交曲线C于两个不同的点，求四边形面积的最大值．。
2023-2024学年安徽省高二下册开学考试数学试题(A卷)(含解析)
2023-2024学年安徽省高二下册开学考试数学试题（A 卷）一、单选题1．已知a ，b 为空间向量，且π,4a b = ，则2,3a b -= （）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【正确答案】C【分析】求出cos ,a b 的表达式及值，即可求出cos 2,3a b -的值，进而得到2,3a b - 的值.【详解】由题意，cos ,2a b a b a b⋅==，∴()23cos 2,323ba b a b a ba b a ⋅--==-⋅-=∴向量夹角3π2,34a b -= ，故选：C.2．已知点(),7A a ，()1,B b -在直线l ：31y x =-+上，则直线10ax by ++=的斜率为（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【正确答案】A【分析】将,A B 两点坐标代入直线方程解出,a b 即可求解.【详解】因为点(),7A a ，()1,B b -在直线l ：31y x =-+上，所以将(),7A a ，()1,B b -带入l ：31y x =-+，得()()731311a b =-+⎧⎨=-⨯-+⎩，解得24a b =-⎧⎨=⎩，所以直线2410x y -++=，即1124y x =-的斜率为12，故选：A3．已知两圆2210x y +=和()()221320x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB =（）A ．B ．CD ．【正确答案】D【分析】先求出两圆的公共弦方程，再利用公共弦过圆心可求解弦长.【详解】因为两圆的方程为2210x y +=和()()221320x y -+-=，所以两圆的公共弦方程为30x y +=，又因为该弦过圆2210x y +=的圆心，故AB =故选：D.4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则C 的离心率等于（）ABCD【正确答案】B【分析】根据椭圆的几何性质即等比数列概念即可得出,,a b c 的关系式，解方程即可得离心率.【详解】由题意可得，长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 成等比数列，所以()2222b a c =⨯，即222b ac a c ==-得210e e +-=，解得e =或e =故选：B5．已知等比数列{}n a 的公比1q >-，且1a 与3a 的等差中项为5，24a =-，则2023a =（）A ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．20232D ．20232-【正确答案】A【分析】根据等差中项的概念和等比数列通项公式即可求得2023a 【详解】由题知3125a a +=⨯，即21110a q a +=，又214a a q ==-，解得1812a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122a q =⎧⎨=-⎩，因为1q >-，所以1182n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，202312019202311822a -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：A6．如图，已知等腰直角三角形ABC 的斜边BC 的中点为O ，且4BC =，点P 为平面ABC 外一点，且PB PC ==2PA =，则异面直线PO 与AB 所成的角的余弦值为（）A ．8B ．4C D ．4【正确答案】D【分析】取AC 中点D ，连接OD ，PD ，则POD ∠即为所求角，再利用余弦定理求解即可.【详解】如图取AC 中点D ，连接OD ，PD ，因为O 是BC 中点，所有OD BC ∥，则POD ∠即为所求角，因为4BC =，PB PC ==，所以2PO =，又因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC ==OD =在PAC △中由余弦定理可得222cos 24AP AC PC PAC AP AC +-∠==⋅，所以在PAD 中由余弦定理可得2PD ==，所以222cos 24PO DO PD POD PO DO +-∠==⋅，故选：D7．抛物线()2:20C y px p =>的准线交x 轴于点D ，焦点为F ，直线l 过点D 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若2BF AF =，则直线AB 的斜率为（）A ．3±B ．3C ．4±D ．4±【正确答案】A【分析】设出直线AB 的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出两根之积和两根之和，由几何关系可知A 为BD 的中点，即可求解出直线的斜率.【详解】设直线AB 方程为2p x my =-，将222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩联立得2220y pmy p -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，即122122y y pm y y p+=⎧⎨=⎩过点,A B 分别向准线作垂线，垂足为,M N ,又因为2BF AF =，所以2NB MA =,即2BD AD =,所以A 为BD 的中点，即122y y =，所以得122343y pm y pm ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2819m =，解得m =，所以直线AB的斜率为13m =±，故选：A.8．某高科技企业为一科技项目注入启动资金1000万元作为项目资金，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n 年后，该项目资金达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标，则n 的最小值为lg 20.3≈lg 30.5≈（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】B【分析】由已知分析出递推关系，结合等比数列的定义即可得出165006005n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后解指数不等式，结合对数运算性质即可求解.【详解】由题意设经过n 年后，该项目资金为n a 万元，则()11000120%1001100a =+-=，且()16120%1001005n n n a a a +=+-=-，得()165005005n n a a +-=-，得()1116650050060055n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以令1650060020005n -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭≥，得()655lg5lg10lg2lg22162lg2lg3lg10lg2l log g 5n ---==+--≥12lg 242lg 2lg 31-=≈+-，所以至少要经过5年，项目资金才可以达到或超过翻一番的目标.故选：B二、多选题9．已知曲线22:194x y C m m+=--（9m >或4m <），则（）A ．曲线C 可表示椭圆B ．曲线C 为双曲线C ．0m =，则曲线C的焦点坐标为()D ．0m =，则曲线C 的渐近线方程为23y x=±【正确答案】BD【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程和性质求解即可.【详解】若C 表示椭圆，则904094m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，此时m 无解，选项A 错误；因为9m >或4m <，则()()940m m --<，所以曲线C 为双曲线，选项B 正确；当0m =时，曲线22:149y x C -=表示焦点在y轴的双曲线，所以焦点坐标为(0,，渐近线方程为23y x =±，选项C 错误D 正确；故选：BD10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,10100S =,20400S =,则下列说法正确的是（）A ．2d =B ．21n a n =-C ．32n n n S S S =+D ．12111111n S S S n +++>-+ 【正确答案】ABD【分析】先将等差数列的前n 项和公式代入10100S =,20400S =中,求出公差、首项,进而求得,n n a S ,从而判断选项A,B,C 的正误;根据()21111111n S n n n n n =>=-++进行放缩,利用裂项相消即可判断选项D 的正误.【详解】解:因为{}n a 为等差数列,且10100S =,20400S =,所以1012011091010022019204002S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以21n a n =-,故选项A,B 正确;因为()122n n n a a S n +==,所以222223459n n n S S n n n n S +=+=≠=,故选项C 错误;因为2n S n =,所以()21111111n S n n n n n =>=-++,所以2221211111112n S S S n+++=+++ ()11112231n n >+++⨯⨯⨯+ 1111111122311n n n =-+-++-=-++ ,故选项D 正确.故选:ABD11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，14AA =，点E 在棱11B C 上，点F 在棱1AA 上，则以下说法正确的是（）A ．若F 为1AA 中点，存在点E ，CF BE ⊥B ．若E 为11BC 中点，存在点F ，1C F ∥平面ACEC ．若E ，F 分别为11B C ，1AA 的中点，则EF 与平面11CCD D 所成的角的余弦值为3D ．若E ，F 分别为11B C ，1AA 的中点，则EF 到平面1ABC 【正确答案】BCD【分析】利用空间向量进行判断，垂直转化为数量积问题，线面平行结合判定定理来验证，线面角通过法向量来求解，线面距转化为点面距求解.【详解】如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()112,0,0,2,0,4,2,2,0,0,2,0,0,2,4A A B C C .对于A ，F 为1AA 中点，()2,0,2F ，设(),2,4E a ，02a ≤≤,则()()2,2,2,2,0,4CF BE a =-=- ，若CF BE ⊥，则0CF BE ⋅= ，解得2a =-（舍），所以A 不正确.对于B ，E 为11B C 中点，由正四棱柱的性质可得11//A C AC ，AC ⊂平面ACE ，11A C ⊄平面ACE ，所以11//AC 平面ACE ，即当F 在1A 处时，满足题意，所以B 正确.对于C ，E ，F 分别为11B C ，1AA 的中点，()1,2,4,E ()2,0,2F ，()1,2,2EF =--，易知平面11CC D D 的一个法向量为()1,0,0n =r，设EF 与平面11CC D D 所成的角为θ，所以1sin 3n EF n EF θ⋅==，所以cos 3θ=，所以C 正确.对于D ，由上面可知()1,2,2EF =-- ，()()10,1,0,2,2,4AB AC ==- ，()1,0,4BE =-;设平面1ABC 的一个法向量为(),,m x y z =，则100m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，02240y x y z =⎧⎨-++=⎩，令1z =，可得()2,0,1m = ；因为0EF m ⋅=，EF ⊄平面1ABC ，所以EF P 平面1ABC ，所以EF 到平面1ABC 的距离即为点E 到平面1ABC 的距离，点E 到平面1ABC的距离5BE m d m⋅==，所以D 正确.故选：BCD.12．已知数列{}n a ，{}n b ，满足()1*122N nn i i a n +==-∈∑，()221log n n b a +=，则以下结论正确的是（）A ．数列{}n b a 为等比数列B ．数列{}n a b 为等差数列C ．用n x 集合{}*1,n n m b m a m N +≤≤∈中元素个数，则122n n x n+=-D ．把数列{}n a ，{}n b 中的所有项由小到大排列组成一个新数列，这个新数列的第2023项为4025【正确答案】ACD【分析】确定2n n a =，21n b n =+，则212n n b a +=，14n nc c +=，A 正确；121nn a b +=+，B 错误；122n n x n +=-，C 正确；根据1112240252<<确定新数列的第2023项为20124025b =，D 正确，得到答案.【详解】-111122222nn n n n n i i i i a a a +===-=--+=∑∑，2n ≥，当21222a =-=，满足通项公式，故2n n a =，从而得()212212log l 1g 2o 2n n n b n a ++===+，对选项A ：令212n n n b c a +==，得14n nc c +=，正确；对选项B ：令122121n n n n ad b +==⨯+=+，2111222n n n n n d d ++++-=-=，数列{}n a b 不为等差数列，错误；对选项C ：11221122n n n x n n ++=--+=-，正确；对选项D ：1112240252<<，组成的新数列含有数列{}n a 的项为2，22，32，…，102，112共11项，所以新数列含有数列{}n b 的项为1b ，2b ，…2012b ，故所求新数列的第2023项为20124025b =，正确.故选：ACD三、填空题13．已知,a b均为空间单位向量，且它们的夹角为60︒，则2a b +=r r ______．【分析】根据条件可求出a b ⋅，然后根据2a b + 进行数量积的运算即可求解.【详解】因为1a b == ，,60a b =︒，所以1cos ,2a b a b a b ⋅== ，2a b +四、双空题14．已知点A ，B 在曲线22y x x =+图像上，且A ，B 两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点A ______，B ______．【正确答案】()1,1--()1,3【分析】根据A ，B 在曲线上，设出点A ，B 的坐标，由A ，B 两点连线的斜率得出A ，B 的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.【详解】由题意，在22y x x =+中，点A ，B 在曲线上，设()2111,2A x x x +，()2222,2B x x x +，A ，B 两点连线的斜率为2，∴()22221121212222AB x x x x k x x x x +-+==++=-，解得：210x x +=，∴当11x =-时，()1,1A --，()1,3B ．故()1,1A --，()1,3B .五、填空题15．已知矩形ABCD 在平面α的同一侧，顶点A 在平面上，4AB =，BC =且AB ，BC 与平面α所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形ABCD 与平面α所成角的正切值为______．【分析】如图，过B ，D 分别做平面α的垂线，垂足分别为E ，F ，连接AE ，AF ，通过几何关系可得到2BE DF AF ===，AE =EF BD ==过A 作l 满足//l EF ，过E 做EP 垂直l 于点P ，连接BP ，则BPE ∠即为所求，通过等面积法计算出PE =即可求解【详解】如图，过B ，D 分别做平面α的垂线，垂足分别为E ，F ，连接AE ，AF ，由,,DF BE αα⊥⊥,AE AF α⊂，所以,DF AF BE AE ⊥⊥，因为AB ，BC 与平面α所成的角的大小分别为30°,45°,且//BC AD ，=BC AD ，所以30BAE ∠=︒，45DAF ∠=︒，得2BE DF AF ===，AE =因为,,DF BE αα⊥⊥所以//DF BE ，又2BE DF ==，所以四边形DFEB 是平行四边形，所以//BD EF ，因为,BD EF αα⊄⊂，所以BD α∥，所以EF BD ==过A 作l 满足//l EF ，则l 即为矩形ABCD 与平面α的交线，过E 做EP 垂直l 于点P ，连接BP ，则BPE ∠即为所求，在AEF △中，cos 3FAE ∠=-，由22cos sin 1,0πFAE FAE FAE ∠+∠=<∠<可得sin 3FAE ∠=，所以11222AEFSFAE EP =⨯⨯∠=⨯，解得3PE =，所以矩形ABCD 与平面α所成角的正切值为tan BEBPE PE∠==..故答案为16．已知函数()2f x x x =+，数列{}n a 的首项118a =，点()1,n n a a +在函数()y f x =图象上，若20231111i im m a =<<++∑，则整数m =_____________.【正确答案】7【分析】将点代入函数得到21n nn a a a +=+，变换得到11111n n n a a a +=-+，2023120241181i i a a ==-+∑，根据2024101a <<得到答案.【详解】因为点()1,n n a a +在函数()y f x =图像上，所有21n n n a a a +=+，得2111111n n n n n a a a a a +==-++，所以11111n n n a a a +=-+，20231122320232024120242024111111111181i ia aa a a a a a a a ==-+-++-=-=-+∑ ，118a =，21n nn a a a +=+，故0n a >恒成立；21164n n n a a a +-=>，故1164n n a a +>+，200411+20031864a >⨯>，2024101a <<，所以20241788a <-<，所以7m =.故7六、解答题17．已知正项等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=.(1)求n a ；(2)若13log 2n n a b +=，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证.1n S <【正确答案】(1)123n n a -=⨯(2)证明见解析【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由2111136360a a q a q a q ⎧=⎨+++=⎩求解；由（1）得13log 2n n a b n +==，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：设{}n a 的公比为q ，则有2111136360a a q a q a q ⎧=⎨+++=⎩，解得12a =，3q =，所以123n n a -=⨯；（2）由（1）得13log 2n n a b n +==，所以()11112231n S n n =++⨯⨯⨯+ 11n 1=-+，因为101n >+，所以1111n -<+，所以1n S <.18．已知直线l 过点()1,2P -，且l 与,x y 轴分别交于点,A B ，OAB 为等腰直角三角形．(1)求l 的方程；(2)设O 为坐标原点，点A 在x 轴负半轴，求过O ，A ，P 三点的圆的一般方程．【正确答案】(1)30x y -+=或10x y +-=(2)2230x y x y ++-=【分析】（1）设直线方程为()21y k x -=+，分别解出,A B 两点坐标(),0x 和()0,y ，利用x y =解出k 的值即可；（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240DE F +->，将点代入解方法组即可.【详解】（1）因为直线l 过点()1,2P -，所以设直线为()21y k x -=+，0k ≠，令0y =，得21x k =--，所以21,0A k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭令0x =，得2y k =+，所以()0,2B k +，又因为OAB 为等腰直角三角形，所以OA OB =，得212k k--=+，解1k =±或2k =-，当2k =-时直线过原点，不满足题意，故直线l 的方程为()21y x -=+或()21y x -=-+，即30x y -+=或10x y +-=.（2）由题意可知直线l 的方程为30x y -+=，即()30A -,，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，将()0,0O ，()30A -,，()1,2P -代入得09301420F D F D E F =⎧⎪-+=⎨⎪+-++=⎩，解得310D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以所求圆的方程为2230x y x y ++-=.19．已知A ，B 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，点(P 在椭圆C上，且直线OP 经过线段AB 的中点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 经过C 的右焦点F 与C 交于M ，N 两点，且π2MBN ∠=，求直线l 的方程．【正确答案】(1)221164x y +=(2)0x -=或30x --=【分析】（1）由直线过中点得12b a =，再将点(P 代入椭圆方程得到方程组，解出即可；（2）首先排除斜率为0的情况，从而设l：x my =+，联立椭圆得到韦达定理式，根据0BM BN ⋅=得到关于12,y y 的等式，代入韦达定理式，解出m 即可.【详解】（1）因为(),0A a ，()0,B b ，所以AB 的中点为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，直线经OP 过线段AB的中点，所以12b a =，又因为点(P 在椭圆C 上，故22821a b +=，故可得216a =，24b =，所以221164x y +=（2）若直线l 的斜率为0时，可得()4,0M -，()4,0N ，易得0NB MB ⋅≠，故不满足题意；若直线l 的斜率不为0时，设l：x my =+，联立221164x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22440m y ++-=，()11,M x y ，()22,N x y ，则1224m y y m -+=+，12244y y m -=+，因为π2MBN ∠=，所以0BM BN ⋅=，即()()1122,2,20x y x y -⋅-=，得()()1212220x x y y +--=，即(()()1212220my my y y +++--=得()()()2121212160m y y y y ++-++=，得23150m --=，所以m =m所以直线l ：0x -=或30x --=．方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，ABC 是边长为2的等边三角形，1AA '=，AB '=，平面ABB A ''⊥平面ABC ，E 为线段AB '的中点．(1)求证：CE AB '⊥；(2)求CE 与平面AA C C ''所成的角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)65【分析】（1）作B M AB '⊥于M ，连接CM ，由平面ABB A ''⊥平面ABC ，得到B M '⊥平面ABC ，进而得到B M CM '⊥，然后求得CB 2'=，根据2AC =且E 为AB '中点，利用三线合一证明；（2）以M 为坐标原点，MA ，MB '分别为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得(),,n x y z =是平面AA C C ''的一个法向量，设CE 与平面AA C C ''所成的角为θ，由sin cos ,CE n θ=求解.【详解】（1）如图所示：作B M AB '⊥于M ，连接CM ，由平面ABB A ''⊥平面ABC ，且平面ABB A ''⋂平面ABC AB =，B M '⊂平面ABB A ''，得B M '⊥平面ABC ，CM ⊂ 平面ABC ，所以B M CM '⊥，因为1B B '=，2AB =，AB '=，由勾股定理得222AB BB AB ''+=，所以90AB B '∠=︒，所以2B M '=，12BM =，在CBM 中，由余弦定理得：222132cos 604CM CB BM CB BM =+-⋅⋅=，所以2CM =，在直角三角形CB M '中，由勾股定理可得2CB ='，又2AC =且E 为AB '中点，所以CE AB '⊥（2）如图，以M 为坐标原点，MA ，MB '分别为x 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0M ，1,0,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ⎛ ⎝⎭'，B ⎛ ⎝⎭'，344E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1,44CE ⎛= ⎝⎭，()AC =-，122AA ⎛= ⎝⎭' ，设(),,n x y z = 是平面AA C C ''的一个法向量，则0,10,2n AC x y n AA x z '⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，得)1n =- 设CE 与平面AA C C ''所成的角为θ，所以sin cos ,65CE n θ==.所以CE 与平面AA C C ''所成的角的正弦值为65.21．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且n a ，n S ，22n 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12nn n a b +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21log 20232nm T >--对*n ∈N 恒成立，求n T 和正整数m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)2025【分析】（1）根据n a ，n S ，22n 成等差数列得到222n n a n S +=，再利用通项和前n 项和的关系，得到142n n a a n -+=-，进而得到24n n a a +-=，再分n 为奇数偶数求解；（2）由122n n n na nb +==，利用错位相减法得到n T ，然后由21log 20232n m T >--对*n ∈N 恒成立求解.【详解】（1）解：由题意222n n a n S +=，令1n =，有12a =，当2n =时，得24a =，所以2n ≥，n N ∈时有()211212n n a n S --+-=，两式相减得()221122122n n n n a a n n S S ---+--=-，得142n n a a n -+=-，即当1n ≥时，142n n a a n ++=+，2146n n a a n +++=+，所以24n n a a +-=，当n 为奇数时，111422n n a a n +⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，21422n n a a n ⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，所以2n a n =；（2）因为122n n n na nb +==，所以231232222n n nT =++++ ，2341123122222n n n T +=++++ ，两式相减得2341111111111222222222n n n n n n nT ++=+++++-=-- ，所以222n nnT +=-.()221log log 22nn n T =-+-，令()2log 2n c n n =-+，得()()1221log 3log 2n n c c n n n n +-=+-+-++22232621log log log 1222n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭10n n c c +->，即1n n c c +<，要使得21log 20232nm T >--对*n ∈N 恒成立，只需1220231log 3m c -<=-，即22024log 3m <+，故正整数m 的最大值为2025.22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，离心率为3，点()3,8M 在C 上．(1)求C 的标准方程；(2)已知直线l 过C 的右焦点且与C 的左，右两支分别交于A ，B 两点，点P 是1AF B ∠的平分线上一动点，且10F P AB ⋅=，求MAB △的面积．【正确答案】(1)2218y x -=【分析】（1）根据已知条件、双曲线的性质建立方程组求解即可.（2）利用直线与双曲线方程联立、韦达定理、弦长公式、三角形的性质和面积公式、向量的性质进行求解.【详解】（1）由题意知222223,9641,,ca a bc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以21a =，28b =，29c =，所以双曲线方程为.2218y x -=（2）因为双曲线方程为：2218y x -=，所以()23,0F ，由题知，直线l 的斜率一定存在，所以设l ：()3y k x =-，因为直线l 与C 的左，右两支分别交于A ，B 两点，所以bk a<，得k -<①当0k ≠时：设()()111,1A x y x <-，()()222,1B x y x >，因为10F P AB ⋅= ，所以1F P AB ⊥，又1F P 为1AF B ∠的角平分线，所以11AF BF =，由()22318y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()222286980k x k x k -+--=，所以212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-，因为11(31)AF x ====-+，1231BF x ====+，所以123131x x +=--，即()21221832208k x x k ++=+=-，解得245k =，当k =l：)3y x=-，即260x -=，所以点M 到直线l的距离为d =||4AB ==，所以求MAB △的面积为142MAB S =⨯△当k =l ：)35y x =--，即260x -=，所以点M 到直线l 的距离为3d =，||4AB ==，所以求MAB △的面积为14233MAB S =⨯⨯=△，②当0k =时：直线l 的方程为0y =，()1,0A -，()10B ,，显然不满足；故MAB △.。
霍邱县第二中学2019_2020学年高二数学下学期开学考试试题理
安徽省霍邱县第二中学2019—2020学年高二数学下学期开学考试试题 理一、选择题（60分)1．复数5iz i =+的虚部为（ ）A ．526B ．526iC ．526-D ．526i -2．若,则“"是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题000:R,tan p xx x ∃∈>的否定是（ ）A ．000,tan xR x x ∃∈≤B ．,tan x R x x ∀∈<C ．,tan x R x x ∀∈≤ D ．000,tan xR x x ∃∈<4.已知f （x ）=x 2+3xf ′（1),则f ′（2)等于( ）A ．1B ．2C ．4D ．85.用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a aaa n N a++-++++=≠∈-”，在验证1n =成立时,左边计算所得结果是（ ）A ．1 B ．1a + C ．21a a ++ D ．231a aa +++6。
观察下列算式:21＝2，22＝4,23＝8,24＝16，25＝32，26＝64，27＝128,28＝256,…，用你所发现的规律得出22 018的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 7。
已知椭圆C :错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1,A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!8。
过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方),l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A 。
错误!B ．2错误!C ．2错误!D ．3错误!9．设f (x )＝错误!x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．［－5，＋∞）B ．(－∞,－3]C ．(－∞，－3］∪[－5，＋∞）D ．［－5，错误!] 10。
2022-2023学年安徽省六安第二中学高二下学期开学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省六安第二中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知抛物线的准线是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ） A ．24y x = B ．24y x =- C ．24x y = D ．24x y =-【答案】C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答. 【详解】将两圆2240x y +-=、2230x y y ++-=的方程相减得：1y =-， 显然圆2240x y +-=的圆心(0,0)到直线1y =-距离1小于其半径2，圆2230x y y ++-=的圆心1(0,)2-到直线1y =-距离12，因此直线1y =-是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，即抛物线的准线， 所以抛物线的标准方程为：24x y =. 故选：C2．若椭圆2214x y m +=的一个焦点为(0,1)-，则m 的值为（ ）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】B【分析】由题意判断椭圆焦点在y 轴上，则4=+1m ，解方程即可确定m 的值.【详解】有题意知：焦点在y 轴上，则2224,,1a b m c ===，从而4=+1m ，解得：=3m . 故选：B.3．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABPSAB d =∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F则双曲线的离心率取值范围是（ ） A． B ．(1,2) C．)+∞ D ．(2,)+∞【答案】D【分析】设过右焦点F)y x c =-，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得a b ，的关系，由此求双曲线的离心率取值范围. 【详解】设过右焦点F)y x c t =-+，联立方程组22221)x y a b y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简可得22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=， 方程22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=的判别式4222222224=364(3)(3)160a c b a a c a b a b ∆+-+=>， 设方程的解为12x x ，，∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点， ∴ 120x x ⋅<，∴ 222222303a c a b b a --<-，∴ 2240c a ->，∴ 双曲线的离心率2e >，即双曲线的离心率取值范围是(2,)+∞. 故选：D.5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d >，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．设12,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则2212212()e e e e +的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．不确定【答案】C【分析】设它们共同的焦距为2c ，椭圆的长轴长12a ，双曲线的实轴长为22a ，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理建立关于12,,a a c 的方程，联立解得可得222122a a c +=,再根据离心率的定义化简整理可得到()2212212e e e e +的值.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，P 为两曲线的一个公共点，则1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，平方相加得2222121222PF PF a a +=+，又1212,0PF PF PF PF ⋅∴⊥=，22222221212124,2PF PF F F c a a c ∴+==∴+=，2212222a a c c∴+=，即221222*********e e e e e e ++==.故选：C.7．直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】分类讨论，0x ≥和0x <，分别解方程组得解了和个数，也即得交点个数．【详解】解：若0x ，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得225720x x -=，解得0x =或72x 25=，均满足题意，所以直线与半椭圆有两个交点；若0x <，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得225720x x +=，解得7225x =-，满足题意，所以直线与半双曲线有一个交点．综上所述，直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为3个． 故选：B ．8．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN = A ．212B ．323C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得直线PF的方程为)2y x =-，再将直线的方程与抛物线28y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．【详解】抛物线C ：28y x =的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ， 由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+， 于是124MN MF NF x x =+=++． 作MH ⊥l 于H ， ∵3PF MF =，∴22PM MF MH ==， ∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB 的斜率为3 ∴直线PF 的方程为)32y x =±-.由)2328y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=， ∴12203x x +=． 于是1220324433MN x x =++=+=． 故选B ．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．二、多选题9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或-3C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限 【答案】ACD【分析】将直线化为(2)310a x y y -+-=可判断A ；将1a =或-3代入直线方程可判断B ；根据12120A A B B +=可判断C ；将直线化为11y x a=-+，即可求解. 【详解】2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确； 1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是（ ）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁【答案】ABC【解析】由122a a =，12222c a c c =+>，得出A 正确； 由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到B 正确； 由122a a =，122c a c =+，得出离心率判断C 正确；求出12e e >，判断D 错误．【详解】解：对于A 、由122a a =，12222c a c c =+>，所以11222()a c a c +>+，所以选项A 正确； 对于B 、由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到：1122a c a c -=-，所以选项B 正确； 对于C 、由122a a =，122c a c =+，得2122212122c c a c a a a ++==， 即2112e e +=，所以选项C 正确； 对于D 、根据选项C 知，122212e e e =+>，所以12e e >，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项D 错误． 故选：ABC ．11．已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线y kx =与双曲线C无交点，则k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为2 【答案】BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点(),P x y ，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C ； 求出,PA PB 的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D. 【详解】对A，双曲线的渐近线方程为2y x =±，若直线y kx =与双曲线C无交点，则k ≥错误；对B ，由A渐近线方程为0x =，焦点为()±，则焦点到渐近线的距离2d ==.B 正确；对C ，设点(),P x y ，则222212884x y x y -=⇒-=，点P 到两条渐近线的距离之积为()()2222222228331212x y x y x y +--⨯==++-.C 正确； 对D ，易得()()22,0,22,0A B -，由C 点(),P x y 满足()2241228x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线,PA PB 的斜率之积为222241818822222x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯===---+-.D 错误.故选：BC.12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列说法一定正确的是（ ） A ．AB 的最小值为2B ．线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切C ．12x x 为定值D ．若(1,0)M -，则AMF BMF ∠=∠ 【答案】BCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.【详解】对A ，抛物线2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1x -，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值24p =，故A 不正确；对B ，如图，设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线的定义可知11AA AF BB BF ，，所以11112()12DD AA BB AB ==+,所以以线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切，故B 正确；对C ，设AB 所在的方程为1x ny =+，由21,4x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ny --=， 所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；对D ，由C 得124y y n +=，()()()()()12121212121222880111111AM BM ny y y y y y n n k k x x x x x x ++-++=+===++++++，故D 正确． 故选:BCD三、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________． 【答案】10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14．直线y x b =+与曲线x b 的取值范围是__________． 【答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x （1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤. 故答案为：11b -<≤或b =【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.15．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是__________． 36a <【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】由221,31,y ax x y =+⎧⎨-=⎩得()223220a x ax ---=， 方程在3,⎛ ⎝- ∞⎦有两个不相等的负实根，所以22212212230Δ48(3)020320,3a a a x x a ax x a ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨=>-⎪⎪+=<⎪-⎩,36a <<36a <16．若点P 在椭圆C 1：22x ＋y 2＝1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋10x －8y ＋39＝0上，则PQ PF -的最小值为__________． 2【分析】根据椭圆的定义得222PE PF a +==.【详解】记椭圆C 1：22x ＋y 2＝1的左焦点为E (－1,0)，右焦点F (1,0)，由椭圆的定义可得，222PE PF a +==， 所以22PQ PF PQ PE -=+-， 由22108390x y x y ++-+=，得 22542x y ，即圆C 2的圆心为()5,4-，半径为2r =，作出图形如图所示，由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，22PQ PF PQ PE -=+-223322PC PE EC ≥+-≥-＝22(51)4-++32-＝42－32＝2 (当且仅当C 2，Q ，P ，E 四点共线时，等号成立)， 所以PQ PF -的最小值为2. 故答案为：2四、解答题17．已知圆22:410C x y y +-+=，点()11M --，. (1)若过点M 的直线l 与圆交于A ，B 两点，若22AB =l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，记切点为T ，若满足PT ＝PM ，求使PT 取得最小值时点P 的坐标．【答案】(1)=1x -或4310x y -+=. (2)131,2020⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的弦长求解，即可根据直线有无斜率讨论求解，（2）根据两点间距离公式可得点P 轨迹，根据点到直线的距离即可求解最小值，联立方程即可求解交点坐标.【详解】（1）圆C 的标准方程为223=2x y ，圆心为()02，， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时AB = 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1=1y k x ，即10kx y k -+-=， .∵AB =∴ 圆心C 到直线l 的距离d＝1，∴ d＝1，解得k ＝43，则直线l 的方程为4310x y -+=，∴ 所求直线l 的方程为=1x -或4310x y -+=. （2）设00P ,x y,PT∵ PT PM =， ∴，化简得002610x y ++=，∴点()00,P x y 在直线2610x y ++=. 当PT 取得最小值时，即PM 取得最小值， 即为点()1,1M --到直线2610x y ++=的距离， 此时直线PM 垂直于直线2610x y ++=，∴直线PM 的方程为6240x y -+=，即320x y -+=. 由2610,320,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得13,201,20x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 点P 的坐标为(－1320，120). 18．已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）2m =±. 【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算. 【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x，又因为双曲线过点M，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m +=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y += 得2520=m ，所以2m =±.19．已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ 面积的最小值 【答案】(1)是定值，116；【分析】（1）由题意设出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得2211||||AM BM +为定值116； （2）当AB 的斜率为0时，求得三角形ABQ的面积为AB 的斜率不为0时，由弦长公式求解||AB ，再由点到直线的距离公式求Q 到AB 的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形ABQ的面积大于ABQ 面积的最小值． 【详解】（1）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+， 联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-，所以1AM =，2BM =，所以)()(22222212111111k x k xAMBM+=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-===++， 所以2211AMBM+是定值116；（2）当直线AB 的斜率为0时，)(0,4Q -， 又)(42,4A ， )(42,4B -， 此时18283222ABQ S =⨯⨯=△．当直线AB 的斜率不力0时，)(22222121212114812AB k x x k x x x x k k =+-=++-=++，又因为OQ AB ⊥，且直线AB 的斜率不为0， 所以1:OQ y x k=-，即)(4,4Q k -，所以点Q 到直线AB 的距离22421k d k+=+，此时)(2322224211812162221ABQk SAB OQ k k kk +==⋅++⋅=++，因为)(3228k +>，所以)(32162322k +>，综上，ABQ 面积的最小值为322．20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)求证：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值． 【答案】(1)y 2＝4x (2)证明见解析【分析】（1）由焦点坐标得焦参数p ，从而得抛物线方程；（2）直线垂直于x 轴时直接求出面积比，直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得12x x ，然后计算面积比可得． 【详解】（1）由焦点坐标可知，2p＝1，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x . （2）证明：当直线垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似， 所以ABO MNOS S＝(2OF )2＝14.当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以ABO MNOS S＝1sin 21sin 2AO BO AOB MO NO MON ⋅⋅∠⋅⋅∠＝AO BO MO NO ⋅⋅＝12x ·22x ＝14，综上，ABO MNOS S ＝14. 21．如图，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =; (3)是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)28x ＋24y ＝1，24x －24y ＝1；(2)证明见解析； (3)存在，328.【分析】（1）由题可得a 、c ，再根据222a b c =+2设双曲线方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，由顶点坐标求出m ，即可求出双曲线方程；（2）设()00,P x y ，即可表示1k ，2k ，再根据P 在双曲线上，即可得到22004x y -=，从而得解；（3）设直线1PF 的方程为1(1)y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式表示出||AB ，再设直线2PF 的方程为2(1)y k x =-，即可得到CD ，则11||||AB CD λ=+代入计算可得；【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：c a =，由椭圆定义知)2241a c +=，所以2c =，a =222a b c =+，因此24b =，故椭圆的标准方程为228:14x y M +=， 由题意知双曲线为等轴双曲线，设其标准方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m c ==，因此双曲线的标准方程为22:144x y N -=； （2）设()00,P x y ，由于1(2,0)F -，2(2,0)F ，则0102y k x =+，0202y k x =-，因为点P 在双曲线22:144x y N -=上，所以22004x y -=， 因此20001220001224y y y k k x x x =⋅==+--，即121k k =为定值； （3）由于直线1PF ､2PF 斜率一定存在，设直线1PF 的方程为1(2)y k x =+联立122(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222111128880k x k x k +++-=，由于()213210k ∆=+>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有211221812k x x k -+=+，2112218812k x x k -=+，则由弦长公式||AB =化简得)21211||12k AB k +=+即21||AB = 直线2PF 的方程为()22y k x =-，同理可得21||CD =由于121k k =，可得)()2212121||81k CD k +==+，所以)())())()2221112221111223311||||8181881k k k AB CD k k k λ+++=+=+==+++，综上，存在常数λ=·AB CD AB CD λ+=恒成立.。
安徽省六安第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知抛物线的准线是圆 x2 y2 4 0 与圆 x2 y2 y 3 0 的公共弦所在的直线，
B．焦点到渐近线的距离为 2
C．点 P 到两条渐近线的距离之积为 8 3
D．当 P 与 A, B 不重合时，直线 PA, PB 的斜率之积为 2
12．已知抛物线 C : y2 4x ，焦点为 F，过焦点的直线 l 与抛物线 C 相交于
A x1, y1, B x2, y2 两点，则下列说法一定正确的是（ ）
VABP 面积的取值范围是
A． 2 ，6
B． 4 ，8
C． 2 ，3 2
D． 2 2 ，3 2
4．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点 F
且斜率为
3 的直线与双曲线的左右支各有
一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． (1, 3)
B． (1, 2)
C． ( 3, )
C． 2x y 1 0
D． 2x y 1 0
6．设 e1, e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率， P 为两曲线的一个公
uuur uuuur 共点，且满足 PF1 PF2
0 ，则
e12 e22 (e1e2 )2
的值为（
）
A． 1
2
B．1
C．2
D．不确定
7．直线 l : y x 4 与曲线 y2 x x 1交点的个数为（ ） 16 9
A．
l2
安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷
安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．12B．22．已知直线()()y k x k=+>与抛物线20的焦点.若4=，则k=（）FA FB（2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围.和平面11AB D 的法向量，可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断A 的正误，求出,CH DBuuur uuu r的坐标后利用数量积可判断B 的正误，由已知确定O 轨迹图形，进而求其长度判断C ；最后利用直线CD 和平面b 的法向量计算线面角的正弦值后可判断D 的正误.【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1D B C A D C B ，设()1,0,H h ，其中01h ££，对于A ：()10,1,1AB =uuur，()()11,0,1,1,1,0AD AC =-=-uuuu r uuu r ，设平面11AB D 的法向量为(),,m x y z =u r，则1100m AB m AD ì×=ïí×=ïîuuur r uuuu r r ，即00y z x z +=ìí-+=î，取1z =，则1,1x y ==-，故()1,1,1m =-u r.设平面1AB C 的法向量为(),,n a b c =r，则100n AB n AC ì×=ïí×=ïîuuur r uuu r r ，即00b c a b +=ìí-+=î，取1b =，则1,1a c ==-，【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思想，属于难题.。
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参考答案
1-6、ACBDCB,7-12、BADABA 13.
14.
15. s =10−4ξ23
16. 2
17.
18.【答案】解：(1)依题意，以点A 为原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)． 由E 为棱PC 的中点，得E(1,1，1)．
BE ሬሬሬሬሬԦ=(0,1，1)，DC ሬሬሬሬሬԦ=(2,0，0)，故BE ሬሬሬԦ⋅DC
ሬሬሬሬԦ=0，所以BE ⊥DC ．
(-2，0)，PB ሬሬሬሬሬԦ=(1,0，−2)．设n ሬԦ=(x,y ，z)为平面PBD 的一个法向量， 则൜n ሬԦ⋅BD ሬሬሬሬሬԦ=0n ሬԦ⋅PB ሬሬሬሬሬԦ=0即ቄ−x +2y =0,x −2z =0.不妨令y =1，可得n
ሬԦ=(2,1，1)． 于是有
，
所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为ξ3
3．
19.【答案】解：(1)f′(x)=3ax 2
−b ，由题意知ቊf′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43
，
解得a =13,b =4，所求的解析式为f (x)=1
3x 3−4x +4;
(2)由(1)可得f′(x)=x 2−4=(x −2)(x +2)，令f′(x)=0，得x =2或x =−2， 所以f(x)在(−∞,−2)，(2,+∞)上单调递增，在(−2,2)上单调递减， 因此，当x =−2时，有极大值f(−2)=
28
3
，当x =2时，有极小值f(2)=−4
3 ； (3)由(2)知，函数f(x)的图象大致如下图，若关于x 的方程有三个零点，即函数f(x)的图象与直线x =k 有三个交点，由图可知−4
3<k <
283
．
20. （1）
Ⅱ 由g(x)=x 2+alnx +2x ，得g ′(x)=2x +a x −2
x 2，
因为函数g(x)为[1,+∞)上的单调增函数，则g ′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立， 即不等式2x −2
x 2+a
x ≥0在[1,+∞)上恒成立，也即a ≥2
x −2x 2在[1,+∞)上恒成立． 令φ(x)=2
x −2x 2，则φ′(x)=−2
x 2−4x ，
当x ∈[1,+∞)时，φ′(x)=−2
x 2−4x <0，∴φ(x)=2
x −2x 2在[1,+∞)上单调递减， ∴φ(x)max =φ(1)=0．∴a ≥0．∴a 的取值范围为[0,+∞)． 21.【答案】解：Ⅰ由题意可得e =
c a =
ξ32
，又△OAB 的面积为1，可得1
2ab =1，且a 2−b 2=c 2，
解得a =2，b =1，c =ξ3，可得椭圆C 的方程为x 2
4
+y 2=1；Ⅱ证法一：设椭圆上点P(x 0,y 0)，可得x 02+4y 02=4，直线PA ：y =y
0x 0
−2(x −2)，令x =0，可得y =−2y 0
x 0
−2
，则|BM|=|1+2y 0
x
0−2
|；
直线PB ：y =
y 0−1x 0
x +1，令y =0，可得x =−x 0
y
0−1
，则|AN|=|2+x
0y 0−1|. 可得|AN|⋅|BM|=|2+x 0
y 0−1
|⋅|1+
2y 0x 0−2
|=|
(x 0+2y 0−2)2(x 0−2)(y 0−1)
|=|
x 02+4y 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0
2+x 0y 0−x 0−2y 0
|
=|
8+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0
|=4，
22.【答案】解：(1)函数f (x)=lnx −x +1的定义域为(0,+∞)，导函数为f ′(x)=1
x −1， 由f ′(x)>0，可得0<x <1；由f ′(x)<0，可得x >1．即有f(x)的单调增区间为(0,1)；单
调减区间为(1,+∞)；
<x，即为证lnx<x−1<xlnx．(2)证明：要证当x∈(1,+∞)时，1<x−1
lnx
由(1)可得f(x)=lnx−x+1在(1,+∞)递减，可得当x>1时，f(x)<f(1)=0，即有lnx<x−1；设F(x)=xlnx−x+1，x>1，F′(x)=1+lnx−1=lnx，当x>1时，F′(x)>0，可得F(x)递增，即有F(x)>F(1)=0，
即有xlnx>x−1，则原不等式成立；。